До
сих пор функция записывалась в явном
виде y=
f(x) и
в неявном F(x,y)=0. Но
существует еще третий вид аналитического
представления функции — это представление
её в па
раметрической форме в
виде двух уравнений
где t —
вспомогательная переменная,
называемая параметром.
Заметим,
что функция может быть представлена в
параметрической форме различными
способами.
Например, функция,
записанная в неявном виде x2 +
y2 =
1 может
быть представлена в явном виде: 
и
в параметрической форм е:
Заметим,
что x2 +
y2 =
1 есть
уравнение окружности единичного радиуса
с центром в начале координат.
В
первом параметрическом представлении
уравнения x2 +
y2 =
1 параметр t изменяется
от -1 до +1 и равен абциссе подвижной точки
окружности, во втором случае
параметр t изменяется
от 0 до 2p и
равен углу, образованному радиусом
подвижной точки и осью Ox.
Если
функция задана в явном виде y=f(x),
то всегда можно записать её в неявном
виде y-f(x)=0,
а также в параметрической форме
От
вида F(x,y)=0 не
всегда возможно перейти к
виду y=f(x) или x=j (y),
так как уравнение F(x,y)=0 может
оказаться неразреш имым
относительно yили x .
Лего
перейти от параметрического представления
функции к уравнению вида y=f(x).
Для этого из первого уравнения x=x(t) нужно
найти t=t(x),
если конечно это возможно , и подставить
его во второе уравнение y=y(t)
y=y[t(x)]=f(x)
От
параметрического представления функции
к уравнению вида F(x,y)=0 можно
прийти путем исключения параметра t,
если это возможно.
Уравнения y=f(x) и F(x,
y)=0 служат
различными аналитическими представлениями
одной и той же функции F[x,
f(x)]=0.
Параметрические
уравнения
и
уравнение F(x,
y)=0 представляют
одну и ту же функцию, если F(x(t),
y(t))=0.
Наконец,
параметрические уравнения определяют
ту же функцию, что и уравнение y=f(x),
если
y(t)=f
[ x(t) ].
Найдем
производную функции y по x в
случае, когда она задана в параметрическом
виде. Для этого будем рассматривать t как
функцию от x.
То естьt=t(x).
Тогда y=y[t(x)].
Продифференцируем y как
сложную функцию от x,
т.е. по формуле
и
применим формулу, связывающую производные
обратных функций:
Введя
обозначения
,
получим
Теперь
найдем вторую производную от функции,
заданной в параметрической форме. Из
предидущего уравнения и определения
второй производной следует, что
Но
Следовательно
Где
49. Гиперболические функции. Их свойства и дифференцирование.
В
приложениях показательные функции
часто встречаются в комбинациях
Вследствие
этого эти комбинации получили особые
названия. Первую называют гиперболическим
косинусом, обозначая его через ch x (cos
hyp х),
а вторую — гиперболическим синусом,
обозначая его через sh x (sin
hyp x).
Таким образом имеем
Эти
обозначения и названия введены по
аналогии с известными формулами Эйлера
для тригонометрических функций
Исходя
из равенств, определяющих sh x и
ch x,
можно развить теорию гиперболических
функций. Формулы ее весьма схожи с
формулами обыкновенной тригонометрии.
Нетрудно проверить, что
ch
(- х)
= ch х,
sh (- х)
= — sh x,
ch xi =
cos x,
sh xi = i sin x,
ch2 x —
sh2 x =
1.
Рассматривают
также гиперболические тангенс и
котангенс, определяя их с помощью
равенств
Теорема
сложения для гиперболических функций
имеет вид
ch
(x
+ y)
= ch x·ch у +
sh x·sh у,
sh
(x
+ y)
= sh х·ch у +
sh y·ch x.
Нетрудно
видеть, что
sh
2х =
2 sh х·ch x,
ch 2x =
ch2x +
sh2 x,
.
В
приложениях приходится рассматривать
и обратные гиперболические функции.
Если положим ch x
= u и
sh v
= v,
то x =
Arch u =
= arsh v.
Здесь Ar происходит от латинского слова
«area» Из этих двух функций первая
двузначна, а вторая однозначна. Решая
уравнения
относительно ех,
находим
,
откуда
.
Следовательно,
.
Впервой
из этих двух формул допустимы перед
корнем оба знака. Во второй — только
один, ибо при отрицательном знаке
логарифм перестает быть вещественным.
|
|
|
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Производная функции, заданной параметрически
4 января 2022
Сегодня мы научимся считать производную параметрической функции. Для этого разберём основную формулу, несколько примеров, но главное — одну из самых частых и глупых ошибок, которые допускают начинающие студенты.
План такой:
- Параметрическое задание функции — основные понятия
- Производная функции, заданной параметрически
- Типичные ошибки на примере второй производной
- Третья производная — разминка для мозгов
Начнём с ключевых определений и соображений.
1. Функция, заданная параметрически
Считая производные, мы привыкли работать с функциями, заданными аналитически, т.е. формулой $y=fleft( x right)$. Подставляя в эту формулу разные значения $x$, мы легко находим значение $y$.
Несколько примеров таких функций:
- Квадратичная функция: $y={{x}^{2}}$. График — парабола.
- Показательная функция: $y={{text{e}}^{x}}$. Она же «экспонента».
- Тригонометрическая функция: $y=sin x$. График — синусоида.
Но что если величины $y$ и $x$ зависят не друг от друга, а от некой третьей переменной? Скажем, от параметра $t$?
Пример 1. Функция, заданная параметрически:
[left{ begin{align} & x=cos t \ & y=sin t \ end{align} right.]
Перебирая разные $tin mathbb{R}$, мы будем получать точки с координатами $left( x;y right)$, которые в итоге превратятся в график:
Да это же тригонометрическая окружность! Она задаётся уравнением ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
График такого уравнения не является функцией (если забыли почему, гляньте урок про графики уравнений с двумя переменными). Но его можно «составить» из графиков двух функций:
[begin{align} & {{y}_{1}}=sqrt{1-{{x}^{2}}} \ & {{y}_{2}}=-sqrt{1-{{x}^{2}}} \ end{align}]
А вот это уже привычные нам аналитические функции, и для них можно посчитать производную!
К сожалению, далеко не всегда параметрическое уравнение вида
[left{ begin{align} & x=varphi left( t right) \ & y=psi left( t right) \ end{align} right.]
можно свести к привычными выражениям вида $y=fleft( x right)$. Но это ни в коем случае не означает, что для таких параметрических функций нельзя посчитать производную. Можно и даже нужно. И поможет нам в этом следующая формула.
2. Производная функции, заданной параметрически
Итак, основная теорема.
Теорема 1. Пусть функция $y=fleft( x right)$ задана параметрически:
[left{ begin{align} & x=varphi left( t right) \ & y=psi left( t right) \ end{align} right.]
Тогда производная этой функции считается по формуле
[{{{y}’}_{x}}left( x right)=frac{{{{{y}’}}_{t}}left( t right)}{{{{{x}’}}_{t}}left( t right)}]
Эту теорему очень легко доказать. В самом деле, если функция $x=varphi left( t right)$ рассматривается на интервале $tin left( a;b right)$ таком, что существует обратная функция $t={{varphi }^{-1}}left( x right)$, то можно определить сложную функцию
[yleft( x right)=psi left( {{varphi }^{-1}}left( x right) right)]
По теореме о производной сложной функции:
[{{{y}’}_{x}}left( x right)={{{psi }’}_{x}}left( {{varphi }^{-1}}left( x right) right)={{{psi }’}_{x}}left( t right)={{{psi }’}_{t}}left( t right)cdot {{{t}’}_{x}}left( x right)]
[begin{align} {{{{y}’}}_{x}}left( x right) & ={{{{psi }’}}_{x}}left( {{varphi }^{-1}}left( x right) right)= \ & ={{{{psi }’}}_{x}}left( t right)= \ & ={{{{psi }’}}_{t}}left( t right)cdot {{{{t}’}}_{x}}left( x right) end{align}]
Но по теореме об обратной функции ${{{t}’}_{x}}={1}/{{{{{x}’}}_{t}}};$, поэтому
[{{{y}’}_{x}}left( x right)=frac{{{{{psi }’}}_{t}}left( t right)}{{{{{x}’}}_{t}}left( t right)}]
Что и требовалось доказать.
Замечание. Когда выражение дифференцируется по разным переменным, целесообразно указывать в нижним индексе ту переменную, по которой выполняется дифференцирование: ${{{y}’}_{x}}$, ${{{y}’}_{t}}$, ${{{x}’}_{t}}$ и т.д.
Это поможет избежать недоразумений и глупых вычислительных ошибок. Кроме того, подобные обозначения активно используются в дифференциальном исчислении функций нескольких переменных.
Детальное руководство по работе с нижними индексами и переменными дифференцирования — см. урок «Производная сложной функции». Сейчас просто отметим, что мы привыкли считать производную по переменной $x$. Но с тем же успехом можно считать производную и по $t$, и по какому-нибудь $varphi $, и вообще по любой переменной, которую мы увидим в функции.
2.1. Примеры
Приведённые выше формулы могут показаться сложными и страшными. Но на деле это одна из самых лёгких тем в производных. Взгляните:
Пример 1. Найдите ${{{y}’}_{x}}$, если
[left{ begin{align} & x=2t \ & y=3{{t}^{2}}-5t \ end{align} right.]
Считаем производные ${{{x}’}_{t}}$ и ${{{y}’}_{t}}$:
[begin{align} & {{{{x}’}}_{t}}={{left( 2t right)}^{prime }}_{t}=2 \ & {{{{y}’}}_{t}}={{left( 3{{t}^{2}}-5t right)}^{prime }}_{t}=6t-5 end{align}]
Теперь считаем ${{{y}’}_{x}}$ по формуле производной параметрической функции:
[{{{y}’}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{6t-5}{2}]
Вот и всё! Готовое выражение можно разбить на две дроби, а можно оставить и так.
Пример 2. Найдите ${{{y}’}_{x}}$, если
[left{ begin{align} & x={{2}^{-t}} \ & y={{2}^{2t}} \ end{align} right.]
Вместо многочленов видим показательные функции. Это ничего не меняет, снова считаем ${{{x}’}_{t}}$ и ${{{y}’}_{t}}$:
[begin{align} & {{{{x}’}}_{t}}={{left( {{2}^{-t}} right)}^{prime }}_{t}={{2}^{-t}}cdot left( -ln 2 right) \ & {{{{y}’}}_{t}}={{left( {{2}^{2t}} right)}^{prime }}_{t}={{2}^{2t}}cdot 2ln 2 end{align}]
Теперь находим ${{{y}’}_{x}}$ по формуле:
[{{{y}’}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{{{2}^{2t}}cdot 2ln 2}{{{2}^{-t}}cdot left( -ln 2 right)}=-{{2}^{3t+1}}]
Для решения этого задания пришлось вспомнить производную показательной функции и некоторые свойства степеней.:)
Пример 3. Найдите ${{{y}’}_{x}}$, если
[left{ begin{align} & x=acos varphi \ & y=bsin varphi \ end{align} right.]
Здесь переменной-параметром является $varphi $, а буквы $a$ и $b$ — просто числа, которые будут частью ответа. Считаем ${{{x}’}_{varphi }}$ и ${{{y}’}_{varphi }}$ — производные тригонометрических функций:
[begin{align} & {{{{x}’}}_{varphi }}={{left( acos varphi right)}^{prime }}_{varphi }=-asin varphi\ & {{{{y}’}}_{varphi }}={{left( bsin varphi right)}^{prime }}_{varphi }=bcos varphiend{align}]
Находим ${{{y}’}_{x}}$:
[{{{y}’}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{varphi }}}{{{{{x}’}}_{varphi }}}=frac{bcos varphi }{-asin varphi }=-frac{b}{a}operatorname{ctg}varphi ]
2.2. Производная в точке
Понятно, что это были совсем простые задачи. Буквально через минуту мы рассмотрим примеры посерьёзнее, но сначала важное дополнение.
Часто нам требуется посчитать не производную функции вообще, а лишь в конкретной точке. Например, чтобы провести касательную или нормаль к кривой, заданной параметрически, в некой точке ${{M}_{0}}left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$, лежащей на этой кривой.
В этом случае задача ещё более упрощается.
Пример 4. Найдите ${{{y}’}_{x}}$ при $t={pi }/{4};$, если
[begin{align} & xleft( t right)=tcdot left( tcos t-2sin t right) \ & yleft( t right)=tcdot left( tsin t+2cos t right) \ end{align}]
Задача явно серьёзнее, чем все предыдущие. Считаем ${{{x}’}_{t}}$ и ${{{y}’}_{t}}$:
[begin{align} & {{{{x}’}}_{t}}={{left( tcdot left( tcos t-2sin t right) right)}^{prime }}_{t}=-left( {{t}^{2}}+2 right)cdot sin t \ & {{{{y}’}}_{t}}={{left( tcdot left( tsin t+2cos t right) right)}^{prime }}_{t}=left( {{t}^{2}}+2 right)cdot cos t end{align}]
[begin{align} {{{{x}’}}_{t}} & ={{left( tcdot left( tcos t-2sin t right) right)}^{prime }}_{t}= \ & =-left( {{t}^{2}}+2 right)cdot sin t \ {{{{y}’}}_{t}} & ={{left( tcdot left( tsin t+2cos t right) right)}^{prime }}_{t}= \ & =left( {{t}^{2}}+2 right)cdot cos tend{align}]
И сразу подставляем $t={pi }/{4};$:
[begin{align} & {{{{x}’}}_{t}}left( frac{pi }{4} right)=-left( frac{{{pi }^{2}}}{16}+2 right)cdot frac{sqrt{2}}{2} \ & {{{{y}’}}_{t}}left( frac{pi }{4} right)=left( frac{{{pi }^{2}}}{16}+2 right)cdot frac{sqrt{2}}{2} end{align}]
Осталось найти ${{{y}’}_{x}}$:
[{{{y}’}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=-frac{32+{{pi }^{2}}}{32+{{pi }^{2}}}=-1]
Разумеется, можно было сначала найти общую формулу для ${{{y}’}_{x}}$, а уже затем подставить в неё $t={pi }/{4};$ — результат получится точно такой же.
3. Типичные ошибки при вычислении производных
А теперь, пожалуй, ключевой момент, связанный с дифференцированием параметрических функций. Ошибка, которую я сам допустил много лет назад.
Давайте ещё раз взглянем на функцию, заданную параметрически:
[left{ begin{align} & x=varphi left( t right) \ & y=psi left( t right) \ end{align} right.]
И на производную этой функции:
[{{{y}’}_{x}}left( x right)=frac{{{{{y}’}}_{t}}left( t right)}{{{{{x}’}}_{t}}left( t right)}]
А теперь представьте, что надо посчитать вторую производную: ${{{y}»}_{xx}}$. И тут у многих проскакивает мысль: а что если взять формулу для первой производной и просто увеличить в ней количество «штрихов»?
Получится что-то типа вот этого:
[{{{y}»}_{xx}}left( x right)=frac{{{{{y}»}}_{tt}}left( t right)}{{{{{x}»}}_{tt}}left( t right)}]
Так вот: эта формула не верна!
Чтобы правильно найти вторую производную функции, заданной параметрически, достаточно вспомнить, что вторая производная — это просто производная от производной:
[{{{y}»}_{xx}}={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}]
Проще говоря, сначала мы находим ${{{y}’}_{x}}$ — это будет какая-то функция от $t$. Затем уже от этой функции вновь считаем производную — всё по той же формуле, которую мы сегодня уже много раз использовали. Получится так:
[{{{y}»}_{xx}}={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}]
Тут нас ждёт две новости:
- Хорошая: мы уже знаем ${{{x}’}_{t}}$. Это значит, что каждая последующая производная будет считаться чуть проще и быстрее;
- Плохая: можно легко запутаться во всех этих штрихах и переменных.
Чтобы разобраться с плохой новостью, достаточно просто небольшой практики. Поэтому сейчас мы разберём три примера. А точнее, три задачи из контрольных работ МГТУ им. Баумана. А там знают толк в производных.:)
Пример 5. Найдите ${{{y}»}_{xx}}$, если
[left{ begin{align} & x=cos 2t \ & y=sin t \ end{align} right.]
1. Сначала находим первую производную. Для этого считаем ${{{x}’}_{t}}$ и ${{{y}’}_{t}}$:
[begin{align} & {{{{x}’}}_{t}}=-2sin 2t=-4sin tcos t \ & {{{{y}’}}_{t}}=cos t end{align}]
Откуда находим саму производную ${{{y}’}_{x}}$:
[{{{y}’}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{cos t}{-4sin tcos t}=-frac{1}{4sin t}]
2. Теперь находим вторую производную. Для этого считаем ${{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}$:
[{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}={{left( -frac{1}{4sin t} right)}^{prime }}_{t}=frac{cos t}{4{{sin }^{2}}t}]
Кроме того, мы уже знаем ${{{x}’}_{t}}$. Поэтому находим вторую производную ${{{y}»}_{xx}}$:
[{{{y}»}_{xx}}={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{cos t}{4{{sin }^{2}}t}cdot frac{1}{-4sin tcos t}=-frac{1}{16}cdot frac{1}{{{sin }^{3}}t}]
[begin{align} {{{{y}»}}_{xx}} & ={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}= \ & =frac{cos t}{4{{sin }^{2}}t}cdot frac{1}{-4sin tcos t}= \ & =-frac{1}{16}cdot frac{1}{{{sin }^{3}}t} end{align}]
Вторая производная найдена.
Для сравнения посчитаем «производную» по неправильной формуле:
[frac{{{{{y}»}}_{tt}}}{{{{{x}»}}_{tt}}}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{t}} right)}^{prime }}_{t}}{{{left( {{{{x}’}}_{t}} right)}^{prime }}_{t}}=frac{{{left( cos t right)}^{prime }}_{t}}{{{left( -2sin 2t right)}^{prime }}_{t}}=frac{-sin t}{-4cos 2t}=frac{1}{4}cdot frac{sin t}{cos 2t}]
[begin{align} frac{{{{{y}»}}_{tt}}}{{{{{x}»}}_{tt}}} & =frac{{{left( {{{{y}’}}_{t}} right)}^{prime }}_{t}}{{{left( {{{{x}’}}_{t}} right)}^{prime }}_{t}}=frac{{{left( cos t right)}^{prime }}_{t}}{{{left( -2sin 2t right)}^{prime }}_{t}}= \ & =frac{-sin t}{-4cos 2t}=frac{1}{4}cdot frac{sin t}{cos 2t} end{align}]
Получили совершенно другое выражение, которое не является второй производной.
Итак, вторая производная считается из первой ровно по той же формуле, по какой первая производная считается из исходной функции.
Пример 6. Найдите ${{{y}»}_{xx}}$, если
[left{ begin{align} & x={{text{e}}^{t}}+1 \ & y=left( {{t}^{2}}-2t+2 right)cdot {{text{e}}^{t}} \ end{align} right.]
Первая производная ${{{y}’}_{x}}$ через ${{{x}’}_{t}}$ и ${{{y}’}_{t}}$:
[begin{align} & {{{{x}’}}_{t}}={{text{e}}^{t}} \ & {{{{y}’}}_{t}}={{t}^{2}}cdot {{text{e}}^{t}} \ & {{{{y}’}}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{{{t}^{2}}cdot {{text{e}}^{t}}}{{{text{e}}^{t}}}={{t}^{2}} \ end{align}]
Вторая производная ${{{y}»}_{xx}}$ через ${{{x}’}_{t}}$ и ${{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}$:
[begin{align} & {{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}=2t \ & {{{{y}»}}_{xx}}={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{2t}{{{text{e}}^{t}}} \ end{align}]
Замечание. Когда освоитесь с основной формулой, выкладки можно сократить буквально до двух строк:
[begin{align} & {{{{y}’}}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{{{t}^{2}}cdot {{text{e}}^{t}}}{{{text{e}}^{t}}}={{t}^{2}} \ & {{{{y}»}}_{xx}}={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{2t}{{{text{e}}^{t}}} \ end{align}]
Впрочем, не стоит увлекаться сокращением выкладок, если у вас есть хоть малейшее сомнение или недопонимание на любом этапе вычислений.
Пара дополнительных минут — сомнительная экономия по сравнению с парой баллов на контрольной. И уж тем более по сравнению с недопониманием материала.
Пример 7. Найдите ${{{y}»}_{xx}}$, если
[left{ begin{align} & x={1}/{left( 1+{{t}^{2}} right)}; \ & y=2operatorname{arctg}t \ end{align} right.]
Дифференцирование арктангенса дробно-рациональной функции — довольно громоздкие действия. Тут в пару строк не уложиться.
1. Считаем ${{{x}’}_{t}}$ и ${{{y}’}_{t}}$:
[begin{align} & {{{{x}’}}_{t}}={{left( frac{1}{1+{{t}^{2}}} right)}^{prime }}_{t}=frac{-2t}{{{left( 1+{{t}^{2}} right)}^{2}}} \ & {{{{y}’}}_{t}}={{left( 2operatorname{arctg}t right)}^{prime }}_{t}=frac{2}{1+{{t}^{2}}} \ end{align}]
Первая производная ${{{y}’}_{x}}$:
[{{{y}’}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{2}{1+{{t}^{2}}}cdot frac{{{left( 1+{{t}^{2}} right)}^{2}}}{-2t}=-frac{1+{{t}^{2}}}{t}]
2. Считаем ${{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}$:
[{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}=-frac{2tcdot t-left( 1+{{t}^{2}} right)}{{{t}^{2}}}=frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}}]
Вторая производная ${{{y}»}_{xx}}$:
[{{{y}»}_{xx}}={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}}cdot frac{{{left( 1+{{t}^{2}} right)}^{2}}}{-2t}=frac{{{left( 1+{{t}^{2}} right)}^{2}}left( {{t}^{2}}-1 right)}{2{{t}^{3}}}]
[begin{align} {{{{y}»}}_{xx}} & ={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}= \ & =frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}}cdot frac{{{left( 1+{{t}^{2}} right)}^{2}}}{-2t}= \ & =frac{{{left( 1+{{t}^{2}} right)}^{2}}left( {{t}^{2}}-1 right)}{2{{t}^{3}}} end{align}]
Замечание. При делении дробных выражений полезно заменять их умножением на обратное:
[frac{Aleft( x right)}{Bleft( x right)}:frac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)}=frac{Aleft( x right)}{Bleft( x right)}cdot frac{Qleft( x right)}{Pleft( x right)}]
Именно так мы и поступили при вычислении ${{{y}’}_{x}}$ и ${{{y}»}_{xx}}$ в последнем примере. И не только в последнем.:)
4. Третья производная
Пример 8. Найдите производную третьего порядка ${{{y}»’}_{xxx}}$ для функции, заданной параметрически:
[left{ begin{align} & xleft( t right)={{text{e}}^{t}}left( cos t+sin t right) \ & yleft( t right)={{text{e}}^{t}}left( cos t-sin t right) \ end{align} right.]
Решение будет состоять из трёх шагов.
1. Найдём первую производную ${{{y}’}_{x}}$. Для этого считаем ${{{x}’}_{t}}$ и ${{{y}’}_{t}}$:
[begin{align} {{{{x}’}}_{t}} & =2cos tcdot {{text{e}}^{t}} \ {{{{y}’}}_{t}} & =-2sin tcdot {{text{e}}^{t}} \ end{align}]
Первая производная ${{{y}’}_{t}}$ равна
[{{{y}’}_{x}}=frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{-2sin tcdot {{text{e}}^{t}}}{2cos tcdot {{text{e}}^{t}}}=-operatorname{tg}t]
2. Считаем вторую производную. При этом ${{{x}’}_{t}}$ уже посчитано, осталось найти ${{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}$:
[{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}={{left( -operatorname{tg}t right)}^{prime }}_{t}=-frac{1}{{{cos }^{2}}t}]
Находим вторую производную по всё той же формуле:
[{{{y}»}_{xx}}={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}=-frac{1}{{{cos }^{2}}t}cdot frac{1}{2cos tcdot {{text{e}}^{t}}}=-frac{1}{2{{text{e}}^{t}}{{cos }^{3}}t}]
[begin{align} {{{{y}»}}_{xx}} & ={{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{x}=frac{{{left( {{{{y}’}}_{x}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}= \ & =-frac{1}{{{cos }^{2}}t}cdot frac{1}{2cos tcdot {{text{e}}^{t}}}= \ & =-frac{1}{2{{text{e}}^{t}}{{cos }^{3}}t} end{align}]
3. Считаем третью производную. Вновь нужно лишь найти ${{left( {{{{y}»}}_{xx}} right)}^{prime }}_{t}$:
[{{left( {{{{y}»}}_{xx}} right)}^{prime }}_{t}={{left( -frac{1}{2{{text{e}}^{t}}{{cos }^{3}}t} right)}^{prime }}_{t}=frac{cos t-3sin t}{2{{text{e}}^{t}}{{cos }^{4}}t}]
[begin{align} {{left( {{{{y}»}}_{xx}} right)}^{prime }}_{t} & ={{left( -frac{1}{2{{text{e}}^{t}}{{cos }^{3}}t} right)}^{prime }}_{t}= \ & =frac{cos t-3sin t}{2{{text{e}}^{t}}{{cos }^{4}}t} end{align}]
Для сокращения вычислений я сразу записал готовую формулу ${{left( {{{{y}»}}_{xx}} right)}^{prime }}_{t}$ — проверьте её самостоятельно. А дальше вновь используем формулу производной для параметрической функции:
[{{{y}»’}_{xxx}}=frac{{{left( {{{{y}»}}_{xx}} right)}^{prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}=frac{cos t-3sin t}{4{{text{e}}^{2t}}cdot {{cos }^{5}}t}]
Задача решена. Хотя вычислений получилось довольно много.
В любом случае помните главную формулу:
[{{{y}’}_{x}}left( x right)=frac{{{{{psi }’}}_{t}}left( t right)}{{{{{x}’}}_{t}}left( t right)}]
И помните, что вторая производная не равна частному вторых производных:
[{{{y}»}_{xx}}left( x right)ne frac{{{{{psi }»}}_{tt}}left( t right)}{{{{{x}»}}_{tt}}left( t right)}]
Попытка использовать эту формулу для нахождения производных высших порядков будет считаться грубой ошибкой.
Вот и вся теория. Теперь — за практику!:)
Смотрите также:
- Частные производные для функции нескольких переменных
- Формула полной вероятности
- Тест по теории вероятностей (1 вариант)
- Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
- Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)
- Производительность совместного труда
Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде
- Все переменные выражаются через t
Примеры
≡ t^2/(1+t)
cos2(t) ≡ cos(t)^2
≡ 1+(t-1)^(2/3)
Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде
- Все переменные выражаются через t
Примеры
≡ t^2/(1+t)
cos2(t) ≡ cos(t)^2
≡ 1+(t-1)^(2/3)
Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически: 
Решение.
.
.
Пример 2. Найти y’’xx функции
Решение. Найдем y’x по формуле (*): .
Производную y’x запишем в параметрической форме
К этой функции снова применим формулу (*):
.
Пример 3. Для функции найти y’’’xxx.
Решение. тогда и
.
.
.
Рассмотрим вопрос о дифференцировании функций, заданных параметрическим путем. До этого мы имели дело с функциями вида y=f(x)y=f(x) (то есть с явной зависимостью) и неявными функциями F(x,y)=0F(x, y)=0. Однако это не единственные способы представления функциональной зависимости между двумя величинами yy и xx.
Речь идет о функциях, которые задаются неким параметром tt. Идея состоит в том, что мы рассматриваем две «обычные» функции x=φ(t)x=varphi (t) и y=ψ(t)y=psi (t). Здесь видно, что каждому значению аргумента (параметра) tt будут отвечать какие-то частные значения функций φ(t)varphi (t) и ψ(t)psi (t). То есть для каждого значения tt мы получим два значения: xx и yy. А теперь смотрите: мы можем забыть, что у нас есть параметр tt, а довольствоваться только парой величин xx и yy.
Можно увидеть здесь функциональную зависимость между xx и yy и даже попытаться представить эту зависимость в привычном нам виде y=f(x)y=f(x). Следующие примеры помогут уяснить эту идею.
Примеры параметрически заданных функций
x=φ(t)=tx=varphi (t)=t,
y=ψ(t)=t2y=psi (t)=t^2
Это элементарный пример. Функция φ(t)varphi (t) имеет обратную, и мы легко можем выразить tt через xx. Здесь эти функции попросту совпадают и t=xt=x. Подставим теперь это выражение в функцию y=ψ(t)y=psi (t):
y=ψ(t)=t2=x2y=psi (t)=t^2=x^2
Вот мы и получили обычную функцию y=f(x)=x2y=f(x)=x^2. Дифференцировать такие функции мы, конечно, умеем. Здесь это просто f′(x)=2xf'(x)=2x.
x=φ(t)=t4x=varphi (t)=t^4,
y=ψ(t)=sinty=psi (t)=sin t
Чтобы представить данную функцию в обычном виде, нам нужно избавится от tt. То есть выразить его из одной функции и подставить в другую. В нашем случае tt проще выразить из первой функции. Получаем t=x14t=x^{frac{1}{4}}. Теперь подставим это в функцию для yy:
y=sint=sin(x14)y=sin t=sin big({x^{frac{1}{4}}}big)
x=φ(t)=a(t−sint)x=varphi (t)=a(t-sin t),
y=ψ(t)=a(1−cost)y=psi (t)=a(1-cos t),
−∞<t<∞-infty<t<infty
Если мы начертим кривую, задаваемую этими уравнениями (функциями), то получим удивительное изображение циклоиды. Ранее мы имели дело с такими параметрически заданными функциями, где без труда можно было избавиться от tt. Но бывают случаи, когда это сделать довольно непросто, а порой даже невозможно. В таком случае мы не сможем записать нашу функцию в виде y=f(x)y=f(x) и взять производную по тем правилам, которые мы уже знаем. Этот пример, впрочем, позволяет исключить tt. Можно пытаться выразить tt через yy из второго уравнения. Получается что-то вроде арккосинуса. Подставив tt в первое уравнение, мы получим функцию зависимости xx от yy. Но, возможно, нам захочется получить функцию yy от аргумента xx, а с этим могут возникнуть проблемы. А потом нужно будет это еще продифференцировать.
Так что все выглядит не очень просто. К счастью, математики на этот счет придумали способ, как можно вычислить производную от yy по xx, не получая предварительно функциональной зависимости вида y=f(x)y=f(x). Этим мы сейчас и займемся.
Дифференцирование параметрически заданной функции
Итак, представим себе, что xx и yy заданы как функции некого параметра tt:
x=φ(t)x=varphi (t),
y=ψ(t)y=psi (t).
Предположим также, что функции φ(t)varphi (t) и ψ(t)psi (t) нужное число раз дифференцируемые, то есть имеют нужное число производных по аргументу (параметру) tt. Наложим еще одно условие: чтобы у функции x=φ(t)x=varphi (t) существовала обратная функция t=φ−1(x)t=varphi^{-1}(x). Это значит, что первая производная φ′(t)varphi ‘(t) отлична от нуля.
Найдем теперь первую производную от yy по xx. Как вы помните, из определения производной следует, что:
yx′=dydx.y’_x=frac{dy}{dx}.
Запишем теперь аналогично первые производные от функций φ(t)varphi (t) и ψ(t)psi (t) по tt:
x′(t)=φ′(t)=dxdt,x'(t)=varphi ‘(t)=frac{dx}{dt},
y′(t)=ψ′(t)=dydt.y'(t)=psi ‘(t)=frac{dy}{dt}.
Теперь выразим дифференциалы dxdx и dydy: dx=φ′(t)dtdx=varphi ‘(t)dt и dy=ψ′(t)dtdy=psi ‘(t)dt. Наконец, подставим их в определение первой производной функции y(x)y(x):
yx′=dydx=ψ′(t)dtφ′(t)dt=ψ′(t)φ′(t).y’_x=frac{dy}{dx}=frac{psi ‘(t)dt}{varphi ‘(t)dt}=frac{psi ‘(t)}{varphi ‘(t)}.
Вот это и есть главное правило дифференцирования параметрически заданных функций. Сформулируем его так:
Если нам даны функции x=φ(t)x=varphi (t) и y=ψ(t)y=psi (t) параметра tt, то производная от функции yy по аргументу xx представляется выше приведенной формулой. Нужно просто производную ψ′(t)psi ‘(t) разделить на производную φ′(t)varphi ‘(t).
Теперь, кстати, понятно, почему мы потребовали, чтобы первая производная φ′(t)varphi ‘(t) была отлична от нуля. В противном случае у нас в знаменателе оказался бы нуль, а на нуль, как известно, делить очень трудно. Аналогичным образом можно подойти и к определению формул для производных функции y=f(x)y=f(x) высших порядков.
Теперь, вооружившись этой главной формулой, мы можем приступить к тем примерам, которые мы приводили раньше. Для двух первых случаев мы вычислим производные yx′y’_x двумя способами и сравним их. То есть сначала мы используем правило дифференцирования параметрически заданных функций, а потом воспользуемся явным видом функции y=f(x)y=f(x) там, где это возможно сделать.
x=φ(t)=tx=varphi (t)=t,
y=ψ(t)=t2y=psi (t)=t^2
x′(t)=φ′(t)=1x'(t)=varphi ‘(t)=1
y′(t)=ψ′(t)=2ty'(t)=psi’ (t)=2t
yx′=ψ′(t)φ′(t)=2ty’_x=frac{psi’ (t)}{varphi ‘(t)}=2t
Для того чтобы получить эту производную как функцию xx, а не tt, нам нужно выразить tt через xx и подставить в формулу для производной. Вы можете сказать, зачем нам нужен этот новый способ дифференцирования параметрически заданных функций, если нам все равно приходится выражать tt через xx. Но здесь это нужно сделать только для того, чтобы получить результат дифференцирования, то есть производную, как функцию xx. Саму же производную (пусть даже параметра tt) мы получили без какого бы то ни было выражения tt через xx. И уж точно мы не пытались записать функцию вида y=f(x)y=f(x). Так что разница все-таки есть.
Хорошо, tt легко выражается через xx: t=xt=x. Значит: yx′=2t=2xy’_x=2t=2x.
Вычислим теперь эту производную, воспользовавшись явной функцией f(x)f(x). Раннее мы установили, что y=x2y=x^2 и f′(x)=2xf'(x)=2x. Это совпадение и доказывает, что мы все делаем правильно.
x=φ(t)=t4x=varphi (t)=t^4,
y=ψ(t)=sinty=psi (t)=sin t
t=x14t=x^{frac{1}{4}}
y=sint=sin(x14)y=sin t=sin big({x^{frac{1}{4}}}big)
x′(t)=φ′(t)=4t3x'(t)=varphi ‘(t)=4t^3
y′(t)=ψ′(t)=costy'(t)=psi’ (t)=cos t
yx′=ψ′(t)φ′(t)=14costt3y’_x=frac{psi’ (t)}{varphi ‘(t)}=frac{1}{4}frac{cos t}{t^3}
Подставим теперь сюда tt как функцию xx:
yx′=14cos(x14)x34y’_x=frac{1}{4}frac{cos big(x^{frac{1}{4}}big)}{x^frac{3}{4}}
Теперь вычислим производную y′(x)y'(x) прямо:
y′(x)=ddxsin(x14)=cos(x14)ddxx14=14cos(x14)x34y'(x)=frac{d}{dx}sin big({x^{frac{1}{4}}}big)=cos (x^frac{1}{4})frac{d}{dx}x^{frac{1}{4}}=frac{1}{4}frac{cos big(x^frac{1}{4}big)}{x^frac{3}{4}}
Отлично, опять совпадение.
x=φ(t)=a(t−sint)x=varphi (t)=a(t-sin t),
y=ψ(t)=a(1−cost)y=psi (t)=a(1-cos t),
−∞<t<∞-infty<t<infty
Здесь мы вычислим производную только первым способом.
x′(t)=φ′(t)=a(1−cost)x'(t)=varphi ‘(t)=a(1-cos t)
y′(t)=ψ′(t)=asinty'(t)=psi’ (t)=asin t
yx′=asinta(1−cost)=ctgt2, t≠2πk, k∈Zy’_x=frac{asin t}{a(1-cos t)}=ctg frac{t}{2}, tneq 2pi k, k in Z
Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование
- Функции, задаваемые параметрами и их отличиями /. Параметрические обязанности и линии До сих пор рассматривались линейные уравнения на плоскости, которые непосредственно связывают текущие координаты этих точек. Тем не менее, другой метод определения линий часто используется. В этом методе текущие координаты x и y считаются функцией третьей переменной. Укажите две функции переменной /. (73) То же значение / считается.
Когда переменная t проходит через все значения области функции (73), точка My) описывает конкретную линию C в плоскости Ohu. Уравнение (73) называется параметрическим уравнением этой линии, а переменная / называется параметром. Предположим, что функция x = x (() имеет обратную функцию / = φ (:) :).
Тогда одно из этих значений t соответствует однозначному значению x и однозначному значению y, так что определенная точка M (x y) соответствует.
Людмила Фирмаль
Подставляя эту функцию во второе выражение (73), выражение (74) y = y [Φ (A ‘)], Выразите y как функцию от x. Я согласен, что эта функция параметрически определяется уравнением (73). Переход от этих уравнений к уравнению (74) называется исключением параметров. При рассмотрении функциональности, Найдите вторую производную. Второй по определению FX. ~ Dx2 рф * ‘дх Функция параметра- = / (/), DY дх) дх d ^
Следует рассматривать как заданную функцию Параметрический: 1 * = «(/). J ■ ‘8 Следовательно, ~ = определяется уравнением (78) вместо y ду Должен быть заменен (А ты (79) «» Dar Пример 3. Найти вторую производную функции y, определенной параметрически. x = sin2 /, ^ y = sin2 /. ) Решения. В примере 1 первая производная была найдена, но рассматривают эту производную как параметрически определенную функцию. | = 2ctg2 /, | я Пой- ^ 7.
- Решение задач по высшей математике
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Согласно уравнению (78) * = найти sin2 /, вторая производная dyV ‘2 2 «в уравнении (79) Y / (2 ctg _ sin * 2 / __4 dx2 «» * * (sin2 /) ‘~ 2 sin / cos / sin * 2 /’ Когда вы указываете параметр, исключение параметра не только не требуется, но и не всегда возможно на практике. Во многих случаях гораздо удобнее запрашивать разные значения для параметров и использовать уравнение (73) для вычисления соответствующих значений для аргументов x и y. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Пример 1.Декартовы координаты x и y этой точки выражаются полярным радиусом r-R и полярным углом. , §3, пункт 3): x = Rcostt y = Rs nt. ((7 ° Уравнение (75) называется параметрическим круговым уравнением. Эти параметры являются полярным углом / и варьируются от 0 до 2n. Если уравнение (75) возводится в квадрат и заканчивается для каждого члена, тождество устраняется тождеством cos2 // fsin2 / = 1, а круговое уравнение в декартовой системе координат xx + y2z = R * f определяет две основные функции вы: И tj- * / R2-A2’2. Каждая из этих функций определяется параметрически уравнением (75), но диапазон изменения параметров для этих функций различен.
Пусть M — любая точка на окружности с центром в начале координат и радиусе R.
Людмила Фирмаль
Их первый 0 <t ^ i; график этой функции — верхний полукруг. Для второй функции Внизу находится нижний полукруг. Пример 2. Придумайте эллипс одновременно L, L -4 — = 1 a3 h b ‘1 Круг с центром в начале координат и радиусе а (рис. 138). Свяжите каждую точку M эллипса с точкой N окружности, которая имеет ту же абсциссу, что и точка M, и расположена одна за другой. Ось сторона ах. Положение точки N и, следовательно, точки M полностью определяется полярным углом t точки N. Кроме того, для этих полных абсцисс х мы получаем x- стоимость.
Найти ординату точки M из эллиптического уравнения. Y — V £ L в фа К в л з Рис. 138 Ордината точки M и ордината точки N y1 = a $ r t должны иметь один и тот же знак, поэтому выбирается знак «+». Таким образом, для эллипса получено следующее параметрическое уравнение: (76) Здесь параметр t изменяется от 0 до 2π. Пример 3. Рассмотрим окружность с центром в точке 01 (0; a) и радиусом a, который четко соприкасается с горизонтальной осью начала координат (рис. 139). Предположим, этот круг вращается, не скользя по абсциссе.
Затем точка M окружности, совпадающая с началом координат в первый момент, рисует линию, называемую циклоидой. Рис. 139 X При перемещении фиксированной точки из положения O в положение M параметрическое циклоидальное уравнение получают с использованием угла поворота MSW окружности в качестве параметра t. Далее, получите следующую формулу для координат х и у М: x = OL = OB — AB = OB — MD] y = LM = BD = BC — DC. Поскольку круг вращается вдоль оси Ox без скольжения, длина отрезка OB равна длине дуги VM. Поскольку длина дуги VM равна произведению радиуса a на центральный угол t, VM = at. Следовательно, OB = at. Где BC — a, MD = as nt, DC = стоимость. так x = at-as ntt y — a — cos /, или = a (t-sin /), 1-a ( -cos /), j х = у (77)
Эти уравнения являются циклоидальными параметрическими уравнениями. Если параметр t изменяется от 0 до 2jx, круг совершит один полный оборот. Точка М в этом случае представляет собой одну арку циклоиды. Исключение параметра t делает здесь выражение громоздким и непрактичным. Параметрические линейные назначения часто используются, особенно в механике, где время является параметром.
Пример 4. Определите траекторию снаряда, выпущенного из пушки с начальной скоростью v0 под углом а от горизонтали. Сопротивление воздуха и размеры снаряда игнорируются, поскольку они считаются важными. Выберите систему координат. Для начала возьмем отправную точку снаряда от морды. Расположите его в той же плоскости, что и ствол пистолета, с горизонтальной осью Ox и вертикальной осью Oy. Без гравитации снаряд движется по прямой линии, образуя ось Ox и угол a, и путь vQt проходит к моменту времени t.
Координаты снарядов в момент времени t равны: x = cos a, y-v0t sin a. Из-за гравитации Земли, снаряд должен падать вертикально в этой точке Арканзас По значению ~. Таким образом, на практике, в момент времени t, координаты снаряда определяются x = v0t cos a, y-v0t sin a— ^ • J W В этих уравнениях u0, a и g — постоянные величины. При изменении t координаты хны точки запуска также изменяются. Уравнение () является параметрическим уравнением траектории снаряда, параметром которого является время t. Выразить из первого выражения () / = —— и присвоить ему VQ Cos GC
Второе уравнение получает уравнение траектории снаряда в виде tj = x-t% a ~~ 2vlc s ° a X. Х — параболическое уравнение. 2. Дифференцирование параметрически определенных функций Предположим, что функция y от x задана параметрически уравнением (73). х = х (т), у — у (т)> я Кроме того, в конкретной области изменения параметра t функции x (t) и y (t) дифференцируемы и x ‘(/) Φ0. Найдите производную y’x. Как вы знаете, yx = ^ 6 * dx = = x ‘(t) dt, dy = y’ (t) dt, то > dy_y ‘(t) dt y’ (t) yt yx dx x ‘{t) dt x’ (0 x’t ‘ Вот так ты не поймешь / * 7о Уравнение (78) находит производную параметрически определенной функции.
Пример 1. Найти производную функции y от k, заданную параметрическим уравнением x = sin2 /, y = sin2 /. Решение. Из уравнения (78) dy_y’t _ (sin 2Q ‘_ 2cos21 0 0 dx to x; (sin54 /)’ 2 sin / cos / ^ 8 Пример 2. Найти касательные и циклоидальные нормальные уравнения (А = 1) x = / -sin ^ r / = 1-cos / / T ~ Y ‘решение в точке Ml (xr; yx), соответствующей значению параметра. Найти координаты контакта Mt (xx yv). т. , Зло зла зло. Зло | -2 *! = (/ -Sin /) / = zy = -2 — Sin-2- = -2- + 1 * зло yt = ( -cos /) = 1 — COS— = 1. • г Найти производную от уравнения (78), чтобы найти коэффициенты тангенса и нормального угла. dy_ (1-cos /) ‘_ sin t dx ~ (/ -sin /) ‘~~ 1 —cos /
Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде в точке М. b-dJ-1- (sin / = —I * kas- <fx | Af, -U-cos /;! Ev / = т И нормальный угловой коэффициент K = -f— —1 ■ «СУО Используя уравнение прямой через данную точку, Y — Yx = b (x — xx), Легко получить касательные уравнения ,. (Zl + 2 , Zl-A и y — — b ^ x-J-J или l: — И нормальное уравнение -1 = 1 Или X — y — y = 0. Уравнение (78) можно использовать для нахождения производных высшего порядка функции, определенной параметрами. Покажи как
