Гдз как найти координаты вектора - AutoPluse.ru - решение различных проблем

Содержание:

Формула
Примеры нахождения координат вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline {A B}$, если заданы координаты его начала и конца,
необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно
координаты $Aleft(x_{A} ; y_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B}right)$, то координаты вектора $overline {A B}$ вычисляются по формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}right)$$

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты
$Aleft(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}right)$ соответственно, то координаты вектора
$overline {A B}$ вычисляются по следующей формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}right)$$

Примеры нахождения координат вектора

Пример

Задание. Даны точки
$A(5 ; 1)$ и $B(4 ;-3)$. Найти координаты векторов
$overline {A B}$ и
$overline {B A}$

Решение. Точки заданны на плоскости, поэтому координаты вектора
$overline {A B}$ вычислим по формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}right)$$

Подставляя координаты заданных точек, получим:

$$overline{A B}=(4-5 ;-3-1)=(-1 ;-4)$$

Для нахождения вектора $overline {B A}$ исходная формула примет вид:

$$overline{B A}=left(x_{A}-x_{B} ; y_{A}-y_{B}right)$$

то есть

$$overline{B A}=(5-4 ; 1-(-3))=(1 ; 4)$$

Ответ. $overline{A B}=(-1 ;-4), overline{B A}=(1 ; 4)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны точки
$A(4 ; 3 ; 2)$, $B(-3 ; 2 ;-1)$ и $C(-1 ; 0 ; 1)$ . Найти координаты вектора
$overline {A B}$,
$overline {C B}$ .

Решение. Точки заданны в пространстве, поэтому для нахождения координат искомых векторов будем пользоваться формулой

$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}right)$

Подставляя заданные координаты, получим:

$$overline{A B}=(-3-4 ; 2-3 ;-1-2)=(-7 ;-1 ;-3)$$

Для вектора $overline {C B}$ имеем:

$overline{C B}=left(x_{B}-x_{C} ; y_{B}-y_{C} ; z_{B}-z_{C}right)$
$overline{C B}=(-3-(-1) ; 2-0 ;-1-1)=(-2 ; 2 ;-2)$

Ответ. $overline{A B}=(-7 ;-1 ;-3), overline{C B}=(-2 ; 2 ;-2)$

Читать дальше: как найти направляющие косинусы вектора.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора
Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора


Для плоских задач	AB = {B_x — A_x; B_y — A_y}
Для трехмерных задач	AB = {B_x — A_x; B_y — A_y; B_z — A_z}
Для n-мерных векторов	AB = {B₁ — A₁; B₂ — A₂; … B_n — A_n}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB_x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB_y + A_y = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Источник

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Метод координат
Координаты вектора

Прямоугольная система координат (декаротова система координат) — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков.

На рисунке выше оси и перпендикулярны. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число. Так, единичный вектор — это вектор, длина которого равна 1.

Отложим от начала координат О единичные векторы и так, чтобы их направления совпадали с направлениями осей и соответственно.

Векторы и называют координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде , причем коэффициенты разложения и определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.

Координаты вектора записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: .

На рисунке выше .

Нулевой вектор можно представить в виде , следовательно, его координаты равны нулю: .

Если векторы и равны, то и . Значит, координаты равных векторов соответственно равны.

Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число:

1⁰. Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

По условию и , тогда и .

Сложим последние два равенства и применим свойства сложения векторов и умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

2⁰. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Доказательство

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

По условию и , тогда (1) и . (2)

Вычтем из равенства (1) равенство (2) и применим свойства сложения векторов и умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

3⁰. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Доказательство

Дано: , — число, .

Доказать: .

Доказательство:

По условию , значит, .

Умножим последнее равенство на число и используя свойства умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

Данные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Пример

Найти координаты вектора , если известно, что .

Решение:

По правилу 3⁰ вектор будет иметь координаты , т.е. , вектор координаты , т.е. .

Так как , то координаты вектора можно найти по правилу 1⁰: , т.е. .

Ответ: .

Советуем посмотреть:

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Связь между координатами вектора его начала и конца

Простейшие задачи в координатах

Уравнение линии на плоскости

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Взаимное расположение двух окружностей

Метод координат

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 926,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 948,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 950,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 951,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 17,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 24,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1006,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1009,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 19,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Координаты вектора по двум точкам

Чтобы найти координаты вектора по двум точкам нужно найти разность между координатами конца и начала вектора. Пусть даны две точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $Вектор $ overline{AB} $ для плоской задачи можно найти по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) $$

В случае, если точки расположены в пространстве $ A(x_1;y_1;z_1) $ и $ B(x_2;y_2;z_2) $, то координаты вектора $ overline{AB} $ расчитываются по формуле: $$ overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1) $$

Следует обратить внимание, что координаты вычисляются именно с помощью вычитания начальной точки из конечной, но не наоборот. То есть векторы $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $ имеют разные координаты: $$ overline{AB} neq overline{BA} $$

Пример 1

Даны точки $ A(2;1;-3) $ и $ B(1;0;2) $. Найти координаты векторов $ overline{AB} $ и $ overline{BA} $

Решение

Как найти координаты вектора по двум точкам? Согласну правилу нужно из конечной точки вычесть начальную. Так как вектор $ overline{AB} $ имеет начало в точке $ A $, а конец в $ B $, то получаем:

$$ overline{AB} = (1-2;0-1;2-(-3)) = (-1; -1; 5) $$

Теперь посмотрим на вектор $ overline{BA} $, в котором начало в точке $ B $, а конец в $ A $. Поэтому имеем:

$$ overline{BA} = (2-1;1-0;-3-2)=(1;1;-5) $$

Как видим, векторые разные, и координаты их тоже отличаются.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ overline{AB} = (-1;-1;5) $$ $$ overline{BA} = (1;1;-5) $$

Источник

Как найти вектор по точкам

ФОРМУЛА

Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
)на плоскости, если он задан координатами его начала (
Aleft(x_{1} ; y_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2}right)
) конца, необходимо вычесть соответствующие координаты начала из координат конца, то есть

(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}right)
)

Чтобы найти координаты вектора (
overline{A B}
), заданного в пространстве по координатам (
Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)
) и (
Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)
), необходимо, по аналогии с плоским случаем, вычесть координаты начала из координат конца:

(
overline{A B}=left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}right)
)

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПО ТОЧКАМ

ПРИМЕР

Задание: Даны точки (
A(4 ;-1)
) и (
B(2 ; 1)
). Найти координаты векторов (
overline{A B}
) и (
overline{B A}
)

Решение: Для вектора (
overline{A B}
) точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
B
) — концом. Тогда координаты вектора (
overline{B A}
)равны

(
overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)
)

Для вектора (
overline{B A}
) точка (
B
) является началом, а точка (
mathrm{A}
) — концом. Тогда координаты вектора (
overline{B A}
)равны

(
overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)
)

Ответ: (
overline{A B}=(-2 ; 2)
)

(
overline{B A}=(2 ;-2)
)

ПРИМЕР

Задание: Даны три точки в пространстве точки (
A(1 ;-2 ; 0,5)
) , (
B(3 ; 2 ; 1,5)
) и (
C(0 ;-1 ; 1)
). Найти координаты векторов (
overline{A B}, overline{A C}, overline{B C}
)

Решение. Для искомого вектора (
overline{A B}
) точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
B
) — концом. Тогда координаты вектора (
overline{A B}
)соответственно равны:

(
overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)
)

Для вектора (
overline{A C}
)точка (
mathrm{A}
) является началом, а точка (
mathrm{C}
) — концом. Тогда его координаты соответственно равны

(
overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)
)

Для вектора (
overline{B C}
) точка (
B
) является началом, а точка (
mathrm{C}
) — концом. Его координаты равны

(
overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)
)

Ответ: (
overline{A B}=(2 ; 4 ; 1)
)

(
overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5)
)

(
overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)
)

Источник

Формула

Примеры нахождения координат вектора

Нахождение координат вектора

Примеры задач

Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число:

Доказательство

Доказательство

Доказательство

Пример

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Координаты вектора по двум точкам

Как найти вектор по точкам

Не пропустите также: