Трапеция — геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.
Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.
- Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую
боковую сторону - Угол трапеции через нижнее основание, боковую сторону и
диагональ - Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание,
среднию линию и боковую сторону - Угол равнобедренной трапеции через среднию линию, верхнее
основание и боковую сторону - Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
через высоту и два основания - Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
через два основания и боковую сторону
Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону
Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы
sin α = h/с
где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.
Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции
Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:
cos α = (2a-2m) / 2c
где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.
Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали
Если известны эти величины, воспользуемся формулой:
cos α= (a²+c²-d²) / 2ac
где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.
Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции
Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:
cos α = (2m-2b) / 2c
где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º
Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции
Находится по формуле
cos α = (a — b) / c
где a,b — основания, c — боковая сторона.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º
Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции
При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:
tg(α) = h / (a-b)
где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.
Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.
Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.
Как найти угол в трапеции
Трапеция — это плоский четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. Они называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами трапеции.
Инструкция
Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует достаточного количества дополнительных данных. Рассмотрим пример, в котором известны два угла при основании трапеции. Пусть известны углы ∠BAD и ∠CDA, найдем углы ∠ABC и ∠BCD. Трапеция обладает таким свойством, что сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°. Тогда ∠ABC = 180°-∠BAD, а ∠BCD = 180°-∠CDA.
В другой задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-нибудь дополнительные углы. Например, как на рисунке, может быть известно, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол ∠CAD = α.Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, так как AB = BC. Тогда ∠BAC = ∠BCA. Обозначим его x для краткости, а ∠ABC — y. Сумма углов любого треугольника равна 180°, из этого следует, что 2x + y = 180°, тогда y = 180° — 2x. В то же время из свойств трапеции: y + x + α = 180° и следовательно 180° — 2x + x + α = 180°. Таким образом, x = α. Мы нашли два угла трапеции: ∠BAC = 2x = 2α и ∠ABC = y = 180° — 2α.Так как AB = CD по условию, то трапеция равнобокая или равнобедренная. Значит, диагонали равны и равны углы при основаниях. Таким образом, ∠CDA = 2α, а ∠BCD = 180° — 2α.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Углы трапеции
Какими могут быть углы трапеции?
Как и все другие четырехугольники и многоугольники, которые изучаются в школьном курсе, трапеция — выпуклый четырехугольник. Поэтому сумма углов трапеции равна 360º (речь идет о внутренних углах).
То есть для трапеции ABCD ∠A+∠B+∠C+∠D=360º.
Поскольку основания трапеции лежат на параллельных прямых, сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.
Для трапеции ABCD (рисунок 1)
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),
∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).
Следовательно, если один из углов, прилежащих к одной боковой стороне, острый, то другой — тупой. Если один из этих углов прямой, другой — тоже прямой.
Суммы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны:
Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться как
Нет, поскольку 7k+3k≠5k+2k и 7K+2k≠3k+5k.
5k+4k=6k+3k, следовательно, углы трапеции могут быть пропорциональны этим числам.
На рисунке 1 углы прилежащие к основанию AD, оба острые, углы, прилежащие к основанию BC, оба тупые. В паре противолежащих углов ∠A и ∠С, ∠B и ∠D один — острый, другой — тупой.
Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла обо тупые или оба острые?
Да, такая трапеция существует.
Например, трапеция, изображенная на рисунке 2.
Существует ли трапеция, у которой два противоположных угла оба прямые? Противоположные углы равны?
Нет, такой трапеции не существует (противоположные углы равны у параллелограмма).
Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения
Содержание:
Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
На рисунке 66 изображена трапеция
Свойства трапеции
Рассмотрим некоторые свойства трапеции.
1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
Так как то
(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично
2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.
Поскольку то
Аналогично
Следовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник.
Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.
Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 — высота трапеции
Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция Очевидно, что
является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.
Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция
Свойства равнобокой трапеции
Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.
1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.
Доказательство:
1) Пусть в трапеции Проведем высоты трапеции
и
из вершин ее тупых углов
и
(рис. 70). Получили прямоугольник
Поэтому
2) (по катету и гипотенузе). Поэтому
3) Также Но
поэтому
и
Следовательно,
2. Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство:
Рассмотрим рисунок 71. (как углы при основании равнобокой трапеции),
— общая сторона треугольников
и
Поэтому
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,
Пример:
— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции
с основаниями
и
(рис. 71). Докажите, что
Доказательство:
(доказано выше). Поэтому
По признаку равнобедренного треугольника
— равнобедренный. Поэтому
Поскольку
и
то
(так как
).
Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.
Доказательство:
1) Пусть в углы при большем основании
равны (рис. 70), то есть
Проведем высоты
и
они равны.
2) Тогда (по катету и противолежащему углу). Следовательно,
Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.
Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).
В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.
Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Свойство средней линии трапеции
Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Рассмотрим свойство средней линии трапеции.
Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство:
Пусть — данная трапеция,
— ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что
и
1) Проведем луч до его пересечения с лучом
Пусть
— точка их пересечения. Тогда
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых
и
и секущей
(как вертикальные),
(по условию). Следовательно,
(по стороне и двум прилежащим углам), откуда
(как соответственные стороны равных треугольников).
2) Поскольку то
— средняя линия треугольника
Тогда, по свойству средней линии треугольника,
а значит,
Но так как
то
3) Кроме того,
Пример:
Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.
Доказательство:
Пусть — средняя линия трапеции
— точка пересечения
и
— точка пересечения
и
(рис. 110). Пусть
Докажем, что
1) Так как и
то, по теореме Фалеса,
-середина
— середина
Поэтому
— средняя линия треугольника
— средняя линия треугольника
Тогда
2) — средняя линия трапеции, поэтому
3)
Пример:
В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.
Решение:
Пусть — данная трапеция,
— ее средняя линия,
(рис. 111).
1) Обозначим Тогда
2) (по условию).
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых
и
и секущей
Поэтому
Следовательно,
— равнобедренный, у которого
(по признаку равнобедренного треугольника). Но
(по условию), значит,
3) Учитывая, что получим уравнение:
откуда
4) Тогда
То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).
О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Площадь трапеции
- Центральные и вписанные углы
- Углы и расстояния в пространстве
- Подобие треугольников
- Площадь параллелограмма
- Прямоугольник и его свойства
- Ромб и его свойства, определение и примеры
- Квадрат и его свойства
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то
Площадь
или где – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Углы при параллельных прямых и секущей
Пусть прямая пересекает параллельные прямые
и
. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.
Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.
Накрест лежащие углы равны.
,
,
,
.
Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
,
.
Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
,
.
Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
,
,
,
.
Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.
В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».
Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.
Теорема 1.
Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.
Доказательство:
Дано два острых угла: и
Известно, что их стороны параллельны:
и
Докажем, что
Пусть
Тогда как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.
как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.
Отсюда следует, что что и требовалось доказать.
Аналогично и для тупых углов.
Теорема 2.
Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют если один из них острый, а другой тупой.
Доказательство:
Дано: – острый, а
– тупой. Известно, что их стороны параллельны:
и
Докажем, что сумма углов и
равна
Пусть Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.
Получили два острых угла, и
с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е.
как смежные. Значит,
Теорема доказана.
Теорема 3.
Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых и
секущей AB накрест лежащие углы равны:
Докажем, что Если углы 1 и 2 прямые, то прямые
и
перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой
На прямой от точки В отложим отрезок
равный отрезку AH
по двум сторонам и углу между ними, поэтому
и
Из равенства
следует, что точка
лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и
лежат на одной прямой, а из равенства
следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые
и
перпендикулярны к прямой
поэтому они параллельны. Теорема доказана.
Теорема 4.
Если соответственные углы равны, прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых и
секущей
соответственные углы равны, например
Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то Из этих двух равенств следует, что
. Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые
и
параллельны. Теорема доказана.
Теорема 5.
Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых и
секущей
сумма односторонних углов равна
например
Так как углы 3 и 4 – смежные, то Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые
и
параллельны. Теорема доказана
И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.
Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей
Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.
Решение:
Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы и
равны как накрест лежащие.
– равнобедренный треугольник.
Мы доказали важное утверждение.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
AB=BK=5.
Ответ: 48.
Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.
Найдите AB, если AF=24, BF=10.
Решение:
Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна
Мы получили, что
AF — биссектриса угла А,
BF — биссектриса угла В, поэтому
тогда
Из треугольника AFB получим, что
Мы доказали теорему:
Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.
Значит, треугольник AFB – прямоугольный.
По теореме Пифагора,
Ответ: 26.
Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.
Решение:
Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС,
Значит, как односторонние углы при параллельных прямых
и
и секущей АВ.
по двум углам.
Отсюда ;
Ответ: 21.
Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение:
ABCD – трапеция, – основания, AB – секущая.
Значит, и
– внутренние односторонне углы.
Отсюда
Ответ:
Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
Решение:
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна
Это значит, что
AК — биссектриса угла А,
BК — биссектриса угла В, поэтому
тогда
Из треугольника AKB получим, что
Мы доказали теорему:
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.
Значит, треугольник AKB – прямоугольный.
Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую АВ, т.е.
по гипотенузе и острому углу
Аналогично, по гипотенузе и острому углу
Получили:
Тогда ;
Ответ: 56.
Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что
Найдите
Ответ дайте в градусах.
Решение:
и
– это внутренние односторонние углы,
Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е.
Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей d.
и
– это односторонние углы, а значит, они равны:
Ответ:
Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите если
Ответ дайте в градусах.
Решение:
как односторонние углы.
Сумма углов треугольника равна
Для треугольника на рисунке:
Ответ: 86.
Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 и 45
Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
и
– это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей АВ, их сумма равна
Тогда
Это и есть наибольший угол параллелограмма.
Ответ: 105.
Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 Ответ дайте в градусах.
Решение:
AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD,
и
– внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей АВ. Их сумма равна
значит,
Ответ: 150.
Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
тогда
– равнобедренный, в нем
Значит,
Ответ: 5,5.
Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей
Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Решение:
Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.
Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.
Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть
7x+7x+4x+4x=88.
Отсюда
Ответ: 28.
Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Решение:
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на рисунок. По условию, то есть
Углы и
– односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
по свойству односторонних углов.
Итак,
тогда
Ответ: 115.
Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
Решение:
и
– внутренние односторонние углы и при параллельных прямых
и
и секущей BC; их сумма равна
BE – биссектриса угла В, значит как накрест лежащие углы при
и секущей BE. Тогда
– равнобедренный,
Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит как накрест лежащие углы при
и секущей CE. Тогда
– равнобедренный и
Значит
Ответ : 10.
Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
и
– это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей BC, их сумма равна
Значит,
– ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.
Тогда
Ответ: 29.
Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен Найдите острый угол ромба.
Решение:
Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен
Ответ: 72.
Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при
и секущей BC. Их сумма равна
Тогда Построим высоту из вершины
Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30
Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в и равный половине гипотенузы, т. е.
Отсюда
Ответ: 42.
Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Решение:
У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е.
По условию,
и
прилежащие к боковой стороне
трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
и
и секущей BC. Их сумма равна
Получили:
Сложив два уравнения, получим: тогда
Ответ: 115.
Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.
Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол Найдите площадь трапеции.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол трапеции равен 30
Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е.
Отсюда
Ответ: 60.
Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен Найдите меньшую боковую сторону.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол равен
Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.
Отсюда
Ответ: 16,5.
Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, и
Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна
Значит, острый угол равен
Нам дана трапеция, в которой Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями
и
.
и
параллельны, BD секущая, тогда
Ответ: 70.
Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.
Решение:
ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.
AK – биссектриса угла А, значит,
как накрест лежащие углы при параллельных прямых
и
и секущей AK.
Получили, что – равнобедренный и
значит
Ответ: 2.
Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите если
Ответ дайте в градусах.
Решение:
(как накрест лежащие углы).
(развернутый угол).
Тогда
Ответ: 39.
Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е.
и
параллельны, АС – секущая,
– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:
Ответ: 38.
Если вам понравился наш материал на тему «Углы при параллельных прямых и секущей» — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Asked
10 years, 2 months ago
Viewed
4k times
$begingroup$
Assume I have a trapezoid and I know all its sides:
$AB = 10$
$CD =6$
$AC = 3$
$BD = 5$
I need to know the angle between $AB$ and $AC$.
AB and CD are parallel
asked Mar 11, 2013 at 18:26
user844541user844541
1,5233 gold badges13 silver badges28 bronze badges
$endgroup$
1
$begingroup$
I assume that $ABparallel CD$.
Then the line parallel to $BD$ passing through $C$ intersects $AB$ in a point $P$ such that we know the lengths of all sides in triangle $APC$ as $AP=10-6=4, PC=BD=5, CA=3$.
answered Mar 11, 2013 at 18:50
$endgroup$
1
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.