Как найти боковую поверхность вписанной призмы

• Формула площади правильной призмы
  • 1. Общая формула

  • 2. Площадь правильной треугольной призмы

  • 3. Площадь правильной четырехугольной призмы

  • 4. Площадь правильной шестиугольной призмы
• Примеры задач

Площадь	Формула
основание
боковая поверхность	Sбок. = 3ah
полная

microexcel.ru

microexcel.ru

Площадь	Формула
основание
боковая поверхность	Sбок. = 6ah
полная

microexcel.ru

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

Математика профильного уровня

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Содержание

1. Призма треугольная — определение
2. Элементы треугольной призмы
3. Виды треугольных призм
4. Прямая треугольная призма
5. Наклонная треугольная призма
6. Основные формулы для расчета треугольной призмы
7. Объем треугольной призмы
8. Площадь боковой поверхности призмы
9. Площадь полной поверхности призмы
10. Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
11. Пример призмы
12. Задачи на расчет треугольной призмы

Содержание

Призма — многогранник, две грани которого равны и лежат в параллельных плоскостях (это основания призмы), а остальные грани — параллелограммы (это боковые грани).

Все боковые грани призмы параллельны и равны.

Если боковые грани призмы перпендикулярны плоскости основания, то призму наз. прямой.

Площадь боковой поверхности прямой призмы = произведению периметра ее основания на длину бокового ребра.

Объем прямой призмы = произведению площади основания на длину бокового ребра.

Пирамида — многогранник, у которого одна грань — многоугольник (это основание пирамиды), а остальные грани — треугольники.

Объем пирамиды — третья часть от произведения площади основания на высоту.

Евдокс (ок. 408 до н. э. — ок. 355 до н. э) еще до Архимеда открыл, что:

всякая пирамида есть треть призмы, имеющей с пирамидой то же основание и ту же высоту.

Цилиндр можно представить как тело вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон — АВ. Прямую, проходящую через этот отрезок АВ, наз. осью цилиндра. Круги — основания цилиндра. Все образы отрезка CD наз. образующими цилиндра.

Все образующие цилиндра равны и параллельны, и каждая образующая перпендикулярна плоскостям оснований.

Площадь поверхности цилиндра = площадь оснований (2 круга) + площадь развертки (длина окружности на длину образующей).

Объем цилиндра = площадь оснований (т.е. круга) умножить на длину образующей.

Еще Архимед открыл, что

Ци­линдр, име­ю­щий ос­но­ва­ни­ем наи­боль­ший круг ша­ра, а вы­со­ту, рав­ную по­пе­реч­ни­ку оно­го, есть по­лу­тор­ный ша­ра; и его по­верх­ность есть по­лу­тор­ная же по­верх­но­сти ша­ра. Свой­ства сии без со­мне­ния су­ще­ство­ва­ли в ска­зан­ных фигу­рах, но до­се­ле не бы­ли ещё за­ме­че­ны ни­кем из за­ни­мав­ших­ся Гео­мет­ри­ей…

Нахож­де­ние со­от­но­ше­ния меж­ду объ­ё­ма­ми ша­ра и опи­сан­но­го око­ло него ци­лин­дра Архи­мед (Ар­хи­мед Си­ра­куз­ский, др.-греч. Ἀρχιμήδης, лат. Archimedes, 287 до н. э. — 212 до н. э.) счи­тал сво­им глав­ней­шим ма­те­ма­ти­че­ским от­кры­ти­ем. Не слу­чай­но на над­гро­бии Архиме­да бы­ли изоб­ра­же­ны шар и ци­линдр.

Конус можно представить как тело вращения прямоугольного треугольника АВС вокруг одного из его катетов — АС.

Круг — основание катета. Вращение гипотенузы АВ образует боковую поверхность конуса.

Все образы отрезка АВ наз. образующими конуса. Все образующие конуса равны. Прямая АС — ось конуса. Развертка боковой поверхности конуса — сектор.

Площадь боковой поверхности конуса = пи умножить на радиус основания умножить на длину образующей.

Объем конуса:

$$V = frac {1} {3} pi R^2h$$

где h — высота конуса.

Таким образом, объем конуса равен трети объема цилиндра с тем же основанием и такой же высотой.

Полезно проделать опыт: взять банку цилидрической формы, из плотной бумаги изготовить конус той же высоты и с таким же основанием, и насыпать крупу в конус, а затем в банку. Нужно ровно три конуса, чтобы заполнить банку. видео

Все точки поверхности, равноудаленные от центра — это сфера.

Часть пространства, ограниченная сферой — это шар. Поверхность шара — сфера.

$$S = 4pi r^2$$
$$V = frac 4 3 pi r^3$$

Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.

Объем шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности.

Учебники:
Геометрия 9 класс Мерзляк, параграф 6

http://book.etudes.ru/toc/orange/

Вы купили апельсин и разрезали его пополам. Можно ли, глядя на половинку апельсина, определить, чего в ней больше — кожуры или мякоти?

Вопрос кажется странным, ведь кожура — это тонкий слой, край апельсина (будем считать, что апельсин имеет форму шара). Оказывается, что относительно тонкий слой на границе шара имеет тот же объём, что и вся остальная часть. Например, у апельсина диаметром 10 см c кожурой толщиной 1 см почти половина всего объёма сосредоточена в кожуре!

Давайте проверим. Рассмотрим два шара радиусов r и R. Каким должен быть радиус меньшего шара, чтобы его объём составлял половину объёма большого?

… [корень кубический из 2]

Таким образом, почти половина объёма шара сосредоточена в слое около поверхности толщиной всего лишь 1/5 радиуса.

Объём шара: весы Архимеда — Математические этюды

Рас­смот­рим ры­чаж­ные ве­сы. Пред­ста­вим, что с од­ной сто­ро­ны ве­сов рас­по­ло­жен ци­линдр, вы­со­той рав­ной ра­ди­у­су ос­но­ва­ния, а с дру­гой сто­ро­ны, на том же рас­сто­я­нии от под­ве­са что и ци­линдр, — ко­нус и по­ло­ви­на ша­ра. При­чём та­кие, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са и вы­со­та рав­ны ра­ди­у­су ци­лин­дра, ра­ди­ус ша­ра ра­вен ра­ди­у­су ци­лин­дра.

Нач­нём по­слой­но на­би­рать эти фигу­ры так, чтобы вы­со­ты сло­ёв каж­дой из трёх фигур бы­ли оди­на­ко­вы. Ока­зы­ва­ет­ся, при ука­зан­ных со­от­но­ше­ни­ях ры­чаж­ные ве­сы все­гда бу­дут при­хо­дить в рав­но­ве­сие. Ко­гда фигу­ры бу­дут пол­но­стью со­бра­ны, ве­сы бу­дут на­хо­дить­ся в рав­но­ве­сии. Зна­чит, объ­ём ци­лин­дра ра­вен сум­ме объ­ё­мов ко­ну­са и по­ло­ви­ны ша­ра, ес­ли ра­ди­у­сы и вы­со­ты всех трёх фигур сов­па­да­ют.

Уди­ви­тель­но: с од­ной сто­ро­ны ве­сов про­стая фигу­ра — пря­мой кру­го­вой ци­линдр, с дру­гой сто­ро­ны од­на из фигур то­же от­но­си­тель­но про­стая — пря­мой кру­го­вой ко­нус, а урав­но­ве­ши­ва­ю­щая ве­сы фигу­ра — шар.

Де­ло в том, что ес­ли про­ве­сти плос­кость, па­рал­лель­ную ос­но­ва­ни­ям фигур, то пло­щадь кру­га, по­лу­ча­ю­ще­го­ся в се­че­нии ци­лин­дра рав­на сум­ме пло­ща­дей кру­гов, по­лу­ча­ю­щих­ся в се­че­нии рас­смат­ри­ва­е­мых ко­ну­са и ша­ра. Неслож­но (в на­ше вре­мя!) пря­мым вы­чис­ле­ни­ем про­ве­рить, что ра­вен­ство пло­ща­дей бу­дет вы­пол­нять­ся для лю­бо­го по­ло­же­ния се­ку­щей плос­ко­сти.

Из ука­зан­но­го ра­вен­ства пло­ща­дей, как сей­час го­во­рят, по прин­ци­пу Ка­ва­лье­ри (итал. Bonaventura Francesco Cavalieri, лат. Cavalerius, 1598—1647), сле­ду­ет ра­вен­ство объ­ё­мов.

От­но­ше­ние объ­ё­мов ци­лин­дра и ко­ну­са бы­ло из­вест­но до Ар­хи­ме­да

Рав­но­ве­сие ве­сов да­ёт воз­мож­ность вы­ра­зить объ­ём по­ло­ви­ны ша­ра через объ­ём ци­лин­дра. Вы­чи­тая из объ­ё­ма ци­лин­дра треть — объ­ём ко­ну­са с те­ми же ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той, что и у ци­лин­дра, — по­лу­ча­ем, что объ­ём по­ло­ви­ны ша­ра ра­вен 2/3 от объ­ё­ма ци­лин­дра.

Таким образом: объём шара, равен 2/3 объёма описанного около шара цилиндра. (Отсюда легко получить формулу объема шара, зная формулу объема цилиндра)

Интересно, что, как заметил Архимед, в том же отношении находятся и площади их поверхностей.

см. также Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #049 | Борис Трушин | — YouTube

Принцип легко понятен даже детям — есть два многоэтажных дома. На первом этаже первого дома живет столько же жильцов, сколько на первом этаже второго дома. На втором этаже — аналогично, на третьем, на 18-м этаже… Очевидно, что одинаковое количество живет в этих домах, даже не понимая что такое сумма. Так и принцип Кавальери не так просто доказать, но он достаточно «очевиден», даже не зная что такое объем, интегрирование и т.п.

Если любая плоскость, параллельная данной, пересекает два тела по фигурам равной площади, то объемы этих тел равны.

итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). В 1635 г. вышла книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин».

При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например разрезать на части и составлять новые (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами.

Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев — «неделимых» или «нитей» и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга.

Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами. Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды. В каждый момент времени Роберваль проектировал точку, двигающуюся по циклоиде, на вертикальный диаметр катящегося круга. Получалась новая кривая, которую Роберваль назвал спутницей циклоиды. Но потом выяснилось, что это синусоида, и это было первое (1634) появление ее в математике!

Площадь под аркой синусоиды легко вычисляется при помощи перехода к равносоставленному с ней прямоугольнику площадью $2pi$ (рис. 2,б). Каждая из оставшихся двух фигур, которые называли лепестками Роберваля, по принципу Кавальери равновелика вертикальному полукругу, т.е. общая площадь равна $3pi$.

Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной. Отсюда следует теорема о равновеликости пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, а эти пирамиды, как правило, не равносоставлены (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). На этой теореме основывается формула для объема пирамиды. Очень удобен принцип Кавальери и для получения формул объемов круглых тел, скажем шара. Впишем в круговой цилиндр радиусом $r$ и высотой $2r$ шар. Тело, являющееся дополнением шара до цилиндра, по принципу Кавальери равновелико телу, составленному из двух конусов, построенных на верхнем и нижнем основаниях цилиндра с вершиной в центре шара. Отсюда следует, что $V=4/3 pi r^3$.

Интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Однако, поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому. Этот материал можно найти в школьных учебниках. [источник Энциклопедический словарь юного математика]

Метод неделимых — Википедия

Метод неделимых — возникшее в конце XVI века наименование совокупности приёмов, предназначенных для вычисления площадей геометрических фигур или объёмов геометрических тел. Идея метода для плоских фигур состояла в том, чтобы разделить эти фигуры на фигуры нулевой ширины («неделимые», обычно они представляют собой параллельные отрезки), которые потом «собираются» без изменения их длины и образуют другую фигуру, площадь которой уже известна (см. примеры ниже). Вычисление объёма пространственных тел происходит аналогично, только они разделяются не на отрезки, а на «неделимые» плоские фигуры. Формализация этих приёмов во многом определила в дальнейшем зарождение и развитие интегрального исчисления.

Наиболее полное выражение и теоретическое обоснование метод неделимых получил в работе итальянского математика Бонавентуры Кавальери «Геометрия неделимых непрерывных, выведенная из некоего нового подсчёта» (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, 1635 год)

Вычислим площадь круга радиуса R. Формула для длины окружности: $L=2pi R$ считается известной.

Разобьём круг (слева на рис. 1) на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник (справа на рис. 1) с длиной основания $L$ и высотой $R$, который тоже разобьём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса $r$ и длины $L=2pi r$ можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины $L$. Тогда, по принципу Кавальери, площади круга и треугольника равны. Площадь треугольника находится как произведение длины его основания на половину высоты:

$ 2pi Rcdot {R over 2}=pi R^{2}.$

Анимация:

Парадокс Кавальери[править | править код]

Математики сразу указали на возможность ошибочного применения принципа неделимых; один из таких примеров привёл сам Кавальери в письме к Торричелли (см. рисунок). Треугольники ABD и BCD состоят из вертикальных неделимых, причём каждой неделимой левого треугольника (EF) можно взаимно-однозначно сопоставить неделимую той же длины (GH) правого треугольника. Отсюда, согласно основному принципу, можно сделать ошибочный вывод, что площади треугольников равны[5]. Тем не менее ясного правила для избежания ошибок Кавальери не дал.

Кавальери в своём трактате сформулировал основы метода неделимых следующим образом:

В современном виде:

Для плоскости

Площади двух фигур с равными по длине хордами всех их общих секущих, параллельных прямой, по одну сторону от которой они лежат, равны.

Для пространства

Объёмы двух тел над плоскостью, с равными по площади сечениями всех общих секущих их плоскостей, параллельных данной плоскости, равны.

Принцип Кавальери явился одним из первых шагов на пути к интегральному исчислению.

Идея нахождения объёмов в этом примере восходит к Архимеду.

Вычислим объём полушария радиуса r. Формулы для площади круга, а также для объёма конуса и цилиндра считаются известными.

Проведём сечения полушария плоскостями, параллельными его основанию. Полушарие разобьётся на бесконечно малые круги (слева на рис. 3). На высоте h площадь сечения будет равна $pi (r’)^{2}$, или (по теореме Пифагора) $ pi (r^{2}-h^{2})$.

Далее рассмотрим круговой цилиндр высоты r, с радиусом основания тоже r, из которого вырезан конус острием вниз (справа на рис. 3). Рассечём и это тело параллельно основанию. В сечении на высоте h получится кольцо площадью $ pi r^{2}-pi h^{2}$. Замечаем, что эта площадь такая же, как и для полушария.

Следовательно, по принципу Кавальери, объёмы обоих тел равны. Объём тела, изображённого справа на рис. 3, равен

$$ pi cdot r^{2}cdot r-{frac {1}{3}}cdot pi cdot r^{2}cdot r={frac {2}{3}}pi cdot r^{3}.$$

Вывод: объём полного шара (двух полушарий) равен $2cdot {frac {2}{3}}pi r^{3}={frac {4}{3}}pi r^{3}.$

В. М. Тихомиров. Великие математики прошлого и их великие теоремы. Квант 02-2000

Я вдруг обнаружил маленькую колонну, вершина которой поднималась из зарослей. На ней
были изображены шар и цилиндр, которые я искал. Я тотчас же сказал сопровождавшим меня, что
перед нами, несомненно, могильный памятник Архимеда. Цицерон

Архимед (ок. 287—212 до н.э.) – величайший ученый Древнего мира.
Имя его овеяно легендами. Мы восклицаем: «Эврика!» – выражая, как
Архимед, восторг по поводу своей удачи. Каждый знает, что он может
перевернуть мир, если найдется надежная точка опоры. У каждого перед глазами сцена:
убийца с обнаженным мечом и сидящий старец, восклицающий: «Не трогай моих чертежей!»

Архимед общепризнанно считается одним из величайших гениев в
истории человечества. Его вклад в математику огромен. Именно он придумал формулу для определения
площади треугольника по его сторонам (она известна нам как формула
Герона). Не кто иной, как Архимед первый дерзнул исчислить размеры
окружающего нас мира. Он определил границы для числа π , доказав, что
$$ 3 frac {10} {72} < π < 3 frac 1 7.$$

Вплотную он подошел к понятию определенного интеграла, опередив
человечество почти на два тысячелетия.

Ему принадлежат точные формулировки законов природы, сохранившиеся в неприкосновенности
на все времена. Но более всего он гордился найденной им формулой
объема шара, и в память об этом потомки изобразили шар и цилиндр
на его могильном камне.

Теорема 1. Объем шара радиуса 1 равен $frac 4 3 pi$.

Доказательство.
Мы будем опираться на следующие две формулы стереометрии: объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен $ pi R^2 H$, и объем конуса с радиусом основания R и высотой H равен $frac 1 3 pi R^2 H$. Эта последняя формула также принадлежит Архимеду.

А теперь перейдем к доказательству. Я надеюсь, вы еще не забыли детских игрушек, которые называют пирамидками. Вот как они устроены: имеются подставка с вертикальной палочкой и набор колечек разного размера. Надо нанизать эти колечки на палочку так, чтобы размеры колечек увеличивались по мере приближения к подставке. Тогда получится фигура, похожая на конус.

Доказательство теоремы Архимеда (по Архимеду) очень легко понять с помощью подобных игрушек. Только надо сделать не одну – коническую, а три разных – цилиндрическую (когда колечки будут иметь радиус 1, сами будут тоненькими-претоненькими, а если собрать их все вместе, то они образуют цилиндр высоты 1), коническую (из таких же тоненьких колечек, но разных радиусов, из которых можно собрать «почти» конус высоты и радиуса основания, равных 1), и «полушаровую» (опять-таки из таких же тоненьких колечек, из которых можно собрать «почти» полушар радиуса 1). При этом все колечки должны быть сделаны из одинакового материала.

А теперь, вслед за Архимедом, возьмем аптекарские весы с плоскими чашами и поставим на одну чашу собранную из колечек игрушку-цилиндр, а на другую – конус и полушар, причем конус поставим основанием на чашу весов, а полушар – «на голову», чтобы плоское основание полушара было сверху и расположено горизонтально (см. рис.).

Пусть высоты колечек одинаковы и равны δ, где δ — очень малое число. Подсчитаем, каков объем колечек, находящихся на одной и той же высоте h. У цилиндрического колечка этот объем равен πδ, у конического $pi (1-h)^2δ$, а у «полушарного» (а как еще сказать?) $pi (1-(1-h)^2 delta)$ (ибо радиус колечка у конуса равен 1-h, а у полушара, по теореме Пифагора, $sqrt {1-(1-h)^2}$). Суммарный объем на каждой из чаш весов оказался одинаковым. Но если δ очень мало, то коническая игрушка будет почти неотличима от конуса, полушаровая – от полушара, а цилиндрическая – всегда цилиндр.

В пределе получаем, что объем полушара радиуса 1 равен объему цилиндра с радиусом основания и высотой, равными 1, минус объем конуса с радиусом основания и высотой, также равных 1. Откуда и следует теорема 1.

самое четкое доказательство. для конуса получается равнобедренный треугольник с высотой и радиусом 1, а внутри — подобный треугольник

источник

Изопериметрическая задача (на плоскости) состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром. Решение изопериметрической задачи является также решением и другой задачи, а именно: найти фигуру наименьшего периметра среди всех равновеликих фигур.

По аналогии с указанной изопериметрической задачей на плоскости можно рассмотреть и пространственную изопериметрическую задачу: какое трехмерное тело среди всех тел той же площади поверхности имеет наибольший объем. Уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра (или равной площади поверхности). Посмотрите на зависимость изопериметрического частного от формы плоских фигур.

Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри не случайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности. Характерно также, что кошки, когда холодно, спят, максимально сворачиваясь в клубок: так они уменьшают площадь поверхности тела, поскольку, чем меньше поверхность, тем меньше тепла они расходуют во внешнее пространство.

Наверное, один из самых простых результатов на тему изопериметрических фигур – теорема о том, что из всех прямоугольников одинакового периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

• при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного;

• из двух правильных многоугольников с равными периметрами больше площадь того, у которого больше сторон. Таким образом, чем «ближе» многоугольник к кругу, тем, действительно, больше его изопериметрическое частное.