Определение координат центра тяжести xC и yC плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.
Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.
Способы определения координат центра тяжести
Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.
Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:
- Аналитический (путем интегрирования).
- Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
- Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел. - Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.
Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A1 и A2 (A = A1+ A2).
Рисунок 1.8
Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
- Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9
Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:
При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).
Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:
Другие видео
Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры
Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием
Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.
Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести Ci отдельных фигур:
Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A1=400×500=200000 мм2
Положение центра тяжести
x1=200мм
y1=250мм
Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A2=π×2002/4=31416 мм2
Центр тяжести
x2=200мм
y2=300мм
Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A3=400*100/2=20000 мм2
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x3=400×2/3=266,7мм
y3=500+100×1/3=533,3мм
Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:
Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами xC=207,1мм, yC=271,7мм.
Другие примеры решения задач >
Центры тяжести простейших фигур >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Виды равновесия. Центр тяжести
- Центр тяжести
- Виды равновесия
- Задачи
- Лабораторная работа №10. Определение центра тяжести тела
п.1. Центр тяжести
Центр тяжести– это точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на тело при любом его положении.
Если точка опоры (или точка подвеса) совпадает с центром тяжести тела, то тело находится в равновесии.
Примеры центров тяжести тел
«Однородный» в данных примерах означает, что в телах нет уплотнений или полостей, их плотность везде одинакова.
п.2. Виды равновесия
Условия равновесия
Тело находится в состоянии равновесия, если:
- сумма внешних сил, действующих на него, равна 0;
- сумма моментов относительно любой оси вращения равна 0.
Для практических задач важно, как поведет себя тело при небольших отклонениях от положения равновесия: вернется в исходное состояние или нет.
С этой точки зрения, различают три вида равновесия.
п.3. Задачи
Задача 1. Однородная линейка подвешена на гвозде и находится в состоянии равновесия. Определите тип равновесия для каждого расположения точки подвеса C.
Задача 2. Однородный куб лежит на горизонтальной плоскости. На какой угол его нужно приподнять, чтобы опрокинуть через ребро?
На рисунке слева куб лежит на горизонтальной плоскости; сила тяжести (F_{text{т}}) направлена из центра тяжести перпендикулярно вниз, линия её действия проходит через центр площади опоры.
Приподнимем куб на ребре на угол меньше 45°. Линия действия силы тяжести (F_{text{т}}) сдвигается, но по-прежнему проходит через ту же плоскость опоры. Если отпустить куб, он станет вращаться. Ось вращения пройдет вдоль ребра, плечо силы тяжести (l) показано на рисунке. Момент силы тяжести направлен против часовой стрелки и вернет куб в исходное положение.
Если приподнять куб на ребре на угол α=45°, линия действия силы тяжести проходит через ребро. Вращающего момента нет, получаем неустойчивое равновесие.
Наконец, если приподнять куб на ребре на угол больше 45°, линия действия силы тяжести выйдет за исходную плоскость опоры. Если отпустить куб, он станет вращаться вокруг ребра. Момент сил тяжести направлен по часовой стрелке и перевернет куб на другую плоскость.
Ответ: на угол больше 45°.
п.4. Лабораторная работа №10. Определение центра тяжести тела
Цель работы
Научиться находить центр тяжести пластины неправильной формы методом подвешивания.
Теоретические сведения
При подвешивании пластины в какой-либо точке она будет поворачиваться до тех пор, пока не придет в положение устойчивого равновесия. В этом положении на нее действуют две силы: сила тяжести (overrightarrow{F_{text{т}}}), приложенная в центре тяжести и направленная вертикально вниз, и сила упругости (overrightarrow{F_{text{упр}}}), приложенная в точке подвеса и направленная вертикально вверх. Эти две силы уравновешивают друг друга, а значит, точка подвеса и центр тяжести лежат на одной вертикали. В противном случае, возникал бы момент сил, и пластина продолжила бы вращение, а не находилась бы в равновесии.
Расположение точки подвеса и центра тяжести на одной вертикали используется в методе подвешивания, который реализуется в три этапа:
Приборы и материалы
Картонная или пластмассовая пластина неправильной формы с тремя отверстиями, штатив, стержень, отвес (нить с грузом), карандаш.
Ход работы
1. Обозначьте отверстия на пластине A,B,C.
2. Закрепите стержень горизонтально в штативе и наденьте на него пластину, используя отверстие A.
3. Аккуратно подвесьте на тот же стержень отвес и отметьте карандашом на пластине точку A’ пересечения отвеса и нижнего края пластины.
4. Повторите опыт, надев пластину на стержень через отверстие B.
5. Снимите пластину, проведите линии AA’ и BB’ и на их пересечении отметьте центр тяжести – точку O=AA’∩BB’.
6. Проведите контрольный опыт, используя отверстие C. Проходит ли отвес через найденный центр тяжести?
7. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
Для данной пластины были получены следующие прямые, проходящие через центр тяжести.
При подвешивании за третье отверстие C в контрольном опыте вертикальная линия CC’ также прошла через точку O — центр тяжести пластины.
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Все прямые, проходящие после уравновешивания тела через любую точку подвеса вертикально вниз, пересекаются в одной точке – центре тяжести. На этом основан метод подвешивания.
Метод подвешивания можно использовать для определения центра тяжести тел неправильной формы, а также неоднородных тел (с пустотами или уплотнениями).
При создании машин, механизмов и различных конструкций важно знать, при каких условиях они будут устойчивыми, т. е. находиться в равновесии. Каким же образом можно добиться равновесия тела? Возьмём линейку и, обвязав её петлей, подвесим на нити. Затем, перемещая петлю по линейке, можно найти положение, в котором линейка будет находиться в равновесии. В этом случае говорят, что линейка подвешена в центре тяжести. Центр тяжести имеется у каждого тела. Что же такое центр тяжести? Разделим мысленно тело на несколько частей. На каждую часть будет действовать сила тяжести, которая всегда направлена вертикально вниз (рис. 184). При всевозможных изменениях положения тела расположение центра тяжести не меняется (см. рис. 184).
Рис. 184. Направление действия силы тяжести
Точку приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные части тела, называют центром тяжести тела. |
Как же найти центр тяжести в различных твёрдых телах? Проделаем следующий опыт. Возьмём фигуру неправильной формы из картона (рис. 185, а) и подвесим её на гвоздь вместе с отвесом. На фигуру действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Поскольку картон находится в покое, то эти две силы взаимно уравновешиваются, т. е. они равны по величине и направлены в разные стороны. Это значит, что точки приложения сил лежат на одной вертикальной прямой, отмеченной отвесом.
Рис. 185. Нахождение центра тяжести плоского тела неправильной формы
Рис. 186. Центр тяжести твёрдых тел
Проведём на фигуре вертикальную линию по отвесу. Затем подвесим её в другой точке и снова проведём по отвесу вертикальную линию (рис. 185, б). Сколько бы ни проводили таким способом линий, все они пересекутся в одной точке, которая и будет центром тяжести тела С (рис. 185, в). Проверить это можно, если на остриё карандаша поместить фигуру в найденном центре тяжести. Она окажется в равновесии (рис. 185, г).
Во время опыта мы несколько раз меняли положение картонной фигуры, но центр тяжести её оставался в одной и той же точке.
187. Центр тяжести кольца
При любом положении тела центр тяжести его находится в одной и той же точке.
Например, центр тяжести шара лежит в его геометрическом центре, у цилиндра он находится на середине линии, соединяющей центры его оснований, у параллелепипеда — в точке пересечения диагоналей (рис. 186). Иногда центр тяжести может находиться и вне тела. Например, у кольца он лежит на пересечении диаметров (рис. 187).
Положение центра тяжести может изменяться только при изменении относительного расположения частей тела.
1. Что такое центр тяжести? 2. Где может находиться центр тяжести тела? 3. В каких случаях может меняться положение центра тяжести тела?
1.Расположив карандаш на указательном пальце руки, найдите его центр тяжести.
2.Определите центр тяжести ластика, ключа, используя нить.
поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
-
экономические
43,660 -
гуманитарные
33,654 -
юридические
17,917 -
школьный раздел
611,971 -
разное
16,905
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.