Иррациональные уравнения
Что такое иррациональные уравнения и как их решать
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную
степень, называются иррациональными. Когда мы имеет дело с дробной степенью, то мы лишаем себя
многих математических действий для решения уравнения, поэтому иррациональные уравнения решаются
по-особенному.
Иррациональные уравнения, как правило, решают при помощи возведения обеих частей уравнения в одинаковую
степень. При этом возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень – это равносильное
преобразование уравнения, а в четную – неравносильное. Такая разница получается из-за таких особенностей
возведения в степень, таких как если возвести в чётную степень, то отрицательные значения
“теряются”.
Смыслом возведения в степень обоих частей иррационального уравнения является желание избавиться от
“иррациональности”. Таким образом нам нужно возвести обе части иррационального уравнения в такую
степень, чтобы все дробные степени обоих частей уравнения превратилась в целые. После чего можно искать
решение данного уравнения, которое будет совпадать с решениями иррационального уравнения, с тем
отличием, что в случае возведения в чётную степень теряется знак и конечные решения потребуют проверки и
не все подойдут.
Таким образом, основная трудность связана с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же четную
степень – из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни. Поэтому обязательна
проверка всех найденных корней.
Проверить найденные корни чаще всего забывают те, кто решает иррациональное уравнение. Также не всегда
понятно в какую именно степень нужно возводить иррациональное уравнение, чтобы избавиться от
иррациональности и решить его. Наш интеллектуальный калькулятор как раз создан для того, чтобы решать
иррациональное уравнение и автоматом проверить все корни, что избавит от забывчивости.
Также читайте нашу статью «Калькулятор рациональных
уравнений онлайн»
Бесплатный онлайн калькулятор иррациональных уравнений
Наш бесплатный решатель позволит решить иррациональное уравнение онлайн любой сложности за считанные
секунды. Все,
что вам необходимо
сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть
видео
инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то
вы
можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher.
Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Решение уравнений
Данный онлайн-калькулятор предназначен для нахождения корней функции.
- Для решения уравнений вида
ax2+bx+c=0можно воспользоваться сервисом Дискриминант онлайн. В решении приводятся подробное нахождение дискриминанта, а также корней функции. Результаты оформляются в формате Word. - Для нахождения корней уравнения методами дихотомии, Ньютона и других используйте сервис Решение нелинейных уравнений.
- Для уравнений высших степеней используйте следующий сервис. Например,
x3-3x2+4=0записываем как x^3-3x^2+4=0.
Примечание: число «пи» (π) записывается как pi; корень квадратный как sqrt, например, sqrt(3)
Более подробно о нахождении корней функции.
Для нахождения нулей функции также можно использовать графический метод, при котором строится график и уже по нему определяется примерное значение x0. Также применим и метод подбора, когда задается определенный диапазон [a;b] поиска корней функции с некоторым шагом Δh. Например в MS Excel для функции ln(x)+x2 с шагом Δh=0.2:
| A | B | C | |
| 1 | x | f(x) | Условия |
| 2 | 0 | =ln(A2)+A2^2 | =Если(B2=0;»корень найден»;»продолжить») |
| 3 | =A2+0,2 | =ln(A3)+A3^2 | =Если(B3=0;»корень найден»;Если((B2<0)*(B3>0)+(B2>0)*(B3<0);»корень найден»;»продолжить»)) |
Пример №1. Красная лента в 4 раза длиннее желтой ленты, а длина желтой ленты короче длины красной на 39 см. Найдите длину каждой ленты.
Решение. Эта задача на составление системы уравнений. Длину красной ленты обозначим за x. Длину желтой ленты обозначим как y.
По условию красная лента в 4 раза длиннее желтой ленты: 4y=x, а длина желтой ленты короче длины красной на 39 см: y=x-39
Имеем систему из двух уравнений:
4y=x
y=x-39
Решаем ее.
1) выразим x=y+39 и подставим в первое уравнение
4y=y+39 или 3y=39
Откуда y=13
x=4*13=52
Ответ: x=52, y=13
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Калькулятор уравнений
Калькулятор уравнений предназначен для решения большинства типов уравнений и систем уравнений, таких как: линейные, квадратные, кубические, уравнения четвертой степени и более и т.д. Для решения уравнения введите уравнение и укажите неизвестную переменную, корни которой необходимо найти, например: x, y, a, b.
Для правильной работы с калькулятором необходимо ознакомиться с правилами ввода данных, указанных ниже. Калькулятор, принимает такие функции как: возведение в степень, извлечение корня n-ой степени, логарифм, любые тригонометрические функции, нод и нок чисел и т.д.
При решении квадратных уравнений рекомендуем воспользоваться калькулятором квадратных уравнений на сайте SmartCalculator.online. Калькулятор вычислит любой тип квадратного уравнения, включая неполные квадратные уравнения, найдет действительные и комплексные корни, а также построит график и найдет точки пересечения параболы с осью x.
Решить неравенства и системы неравенств можно воспользовавшись калькулятором неравенств. Калькулятор неравенств решит большинство типов неравенств и систем неравенств, таких как: линейные, квадратные, кубические, неравенства четвертой степени и более, модульные неравенства и т.д.
Примеры ввода уравнений
x
2
—
4
x
—
2
=
x
2
—
4
·
x
+
7
(x^2-4)/(x-2)=x^2-4*x+7
2
·
x
3
—
3
·
x
2
2
+
1
2
=
0
2*x^3-(3/2)*x^2+1/2=0
Правила ввода чисел и функций
Содержание:
Десятичная дробь.
Обыкновенная дробь a/b.
Произведение чисел a*b.
Число пи (π).
Число Эйлера e.
Е – буква, означающая 10n.
Абсолютная величина. Модуль |x| числа Abs(x).
Квадратный корень sqrt(x).
Корень любой степени root(n, x).
Корень (в области вещественных чисел) real_root(n, x).
Возведение в степень n^(x) или pow(n, x).
Логарифм числа log(n, x).
Натуральный логарифм ln(n).
Наибольший общий делитель НОД gcd(n, m).
Наименьшее общее кратное НОК lcm(n, m).
Тригонометрические функции.
Синус угла sin(x).
Косинус угла cos(x).
Тангенс угла tan(x).
Котангенс угла cot(x).
Секанс угла sec(x).
Косеканс угла csc(x).
Обратные тригонометрические функции.
Арксинус угла asin(x).
Арккосинус угла acos(x).
Арктангенс угла atan(x).
Арккотангенс угла acot(x).
Арксеканс угла asec(x).
Арккосеканс угла acsc(x).
Выражения, содержащие множественное вложение функций и математических операций.
Десятичная дробь
Запись
:
Для записи десятичной дроби используйте точку
Пример
:
1.12
Обыкновенная дробь a/b
Запись
:
Для ввода обыкновенных дробей воспользуйтесь знаком «/»
Пример
:
1/2 или 3/4
Произведение чисел
Запись
:
Для записи произведения используйте знак «*»
Пример
:
5*4 или 2* — 5*(3^9)
Число пи (π)
Запись
:
Для записи числа π введите «π», либо «pi».
Пример
:
sin(π)
Число Эйлера e
е = 2.7182818284…
Запись
:
Для записи числа e введите 2.7182818284.
Е – буква, означающая 10n
Запись
:
Буква Е должна находится только в числе
Пример
:
16e+6
16e-4
3.96e+3
Абсолютная величина (модуль)
Запись
:
Abs(x)
Пример
:
|x| записывается как Abs(x)
|x-2|-|x+2| записывается как Abs(x-2)-Abs(x+2)
|x|/|y| записывается как Abs(x)/Abs(y)
Квадратный корень sqrt(x)
Запись
:
sqrt(x), где
x – любое число или выражение.
Пример
:
√3 записывается как sqrt(3)
√(3/5) записывается как sqrt(3/5)
√(3*3) записывается как sqrt(3*3)
Корень любой степени root(n, x)
Запись
:
root(n, x), где
n – подкореное выражение
x – степень корня
x, n – любые числа или выражения.
Для корня четной степени, подкореное выражение не может быть отрицательным.
Пример
:
Корень кубический из дроби 2/5
3√(2/5) записывается как root(2/5, 3)
Другие примеры
3√(2/5) записывается как root(1.5, 3)
3/2√(3*5) записывается как root((3*5), 3/2)
3/7√(1.5) записывается как root(1.5, 3/7)
Корень (в области вещественных чисел) real_root(n, x)
Если вам не нужно вычислять значение корня в области комплексных чисел, используйте функцию real_root(n, x) для нахождения вещественных корней.
Запись
:
real_root(n, x), где
n – подкореное выражение
x – степень корня
x, n – любые числа или выражения.
Пример
:
Выражение:
-2
3
Запись:
real_root(-2, 3)
Для возведения в степень используйте знак «^» либо функцию pow(n, x)
Пример
:
53 записывается как 5^(3)
abc записывается как a^(b*c)
5sin(x) записывается как 5^(sin(x))
Возведение в степень pow(n, x)
Запись
:
pow(n, x), где
n – основание
x – показатель степени
x, n – любые числа или выражения.
Пример
:
Пять в степени три
pow(5, 3)
Другие примеры
pow(12.5, 3)
pow((3-5), 3/2)
pow(1.5, sqrt(2))
Логарифм числа log(n, x)
Запись
:
log(n, x), где
n – число, логарифм которого требуется найти
x – основание логарифма.
x > 0, x ≠ 1, n > 0
Пример
:
Log5 34 (логарифм числа 34 по основанию 5), запишем как
log(34, 5)
Натуральный логарифм ln(n)
Основание равно числу Эйлера e
(е = 2.7182818284…)
Запись
:
ln(n), где
n > 0 <
Пример
:
Ln(7)
Наибольший общий делитель НОД gcd(n, m)
Запись
:
gcd(n, m), где
n, m – целые неотрицательные числа
Пример
:
НОД(12; 16) нужно записать как
gcd(12, 16)
Наименьшее общее кратное НОК lcm(n, m)
Запись
:
lcm(n, m), где
n, m – целые неотрицательные числа
Пример
:
НОК(4; 23) нужно записать как
lcm (4, 23)
Тригонометрические функции
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Синус угла sin(x)
Запись
:
sin(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Синус π/3
sin(π/3)
Синус 60° градусов
Sin(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Косинус угла cos(x)
Запись
:
Cos(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Косинус π/3
cos(π/3)
Косинус 60° градусов
cos(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Тангенс угла tan(x)
Запись
:
tan(x)
tan(x, measure)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Тангенс π/3
tan(π/3)
Тангенс 60° градусов
tan(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Котангенс угла cot(x)
Запись
:
Cot(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Котангенс π/3
cot(π/3)
Котангенс 60° градусов
cot(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Секанс угла sec(x)
Запись
:
sec(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Секанс π/3
sec(π/3)
Секанс 60° градусов
sec(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Косеканс угла csc(x)
Запись
:
csc(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Косеканс π/3
csc(π/3)
Косеканс 60° градусов
csc(60)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Обратные тригонометрические функции
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Арксинус asin(x)
Запись
:
asin(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Арксинус 1/3
asin(1/3)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Арккосинус acos(x)
Запись
:
acos(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Арккосинус 1/3
acos(1/3)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Арктангенс atan(x)
Запись
:
atan(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Арктангенс 1/3
atan(1/3)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Арккотангенс acot(x)
Запись
:
acot(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Арккотангенс 1/3
acot(1/3)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Арксеканс asec(x)
Запись
:
asec(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Арксеканс 1/3
asec(1/3)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Арккосеканс acsc(x)
Запись
:
acsc(x)
Где
x – число, буква или выражение
Пример
:
Арккосеканс 1/3
Acsc(1/3)
Для вычисления тригонометрических функций в градусах в калькуляторе слева в верхнем углу выберете DEG, в радианах выберете RAD.
Выражения, содержащие множественное вложение функций и математических операций
Любое выражение может содержать в себе множественное вложение функций, ограничение по длине выражения составляет 100 символов.
Введите выражение (максимальная длина 100 символов).
Примеры
:
root(2^(3.4), 2);
sin(x)+cos(x)
и т.д.
| Вам могут также быть полезны следующие сервисы |
| Калькуляторы (Теория чисел) |
| Калькулятор выражений |
| Калькулятор упрощения выражений |
| Калькулятор со скобками |
| Калькулятор уравнений |
| Калькулятор суммы |
| Калькулятор пределов функций |
| Калькулятор разложения числа на простые множители |
| Калькулятор НОД и НОК |
| Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида |
| Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел |
| Калькулятор делителей числа |
| Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых |
| Калькулятор деления числа в данном отношении |
| Калькулятор процентов |
| Калькулятор перевода числа с Е в десятичное |
| Калькулятор экспоненциальной записи чисел |
| Калькулятор нахождения факториала числа |
| Калькулятор нахождения логарифма числа |
| Калькулятор квадратных уравнений |
| Калькулятор остатка от деления |
| Калькулятор корней с решением |
| Калькулятор нахождения периода десятичной дроби |
| Калькулятор больших чисел |
| Калькулятор округления числа |
| Калькулятор свойств корней и степеней |
| Калькулятор комплексных чисел |
| Калькулятор среднего арифметического |
| Калькулятор арифметической прогрессии |
| Калькулятор геометрической прогрессии |
| Калькулятор модуля числа |
| Калькулятор абсолютной погрешности приближения |
| Калькулятор абсолютной погрешности |
| Калькулятор относительной погрешности |
| Дроби |
| Калькулятор интервальных повторений |
| Учим дроби наглядно |
| Калькулятор сокращения дробей |
| Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную |
| Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей |
| Калькулятор возведения дроби в степень |
| Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную |
| Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную |
| Калькулятор сравнения дробей |
| Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю |
| Калькуляторы (тригонометрия) |
| Калькулятор синуса угла |
| Калькулятор косинуса угла |
| Калькулятор тангенса угла |
| Калькулятор котангенса угла |
| Калькулятор секанса угла |
| Калькулятор косеканса угла |
| Калькулятор арксинуса угла |
| Калькулятор арккосинуса угла |
| Калькулятор арктангенса угла |
| Калькулятор арккотангенса угла |
| Калькулятор арксеканса угла |
| Калькулятор арккосеканса угла |
| Калькулятор нахождения наименьшего угла |
| Калькулятор определения вида угла |
| Калькулятор смежных углов |
| Калькуляторы систем счисления |
| Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские |
| Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел |
| Системы счисления теория |
| N2 | Двоичная система счисления |
| N3 | Троичная система счисления |
| N4 | Четырехичная система счисления |
| N5 | Пятеричная система счисления |
| N6 | Шестеричная система счисления |
| N7 | Семеричная система счисления |
| N8 | Восьмеричная система счисления |
| N9 | Девятеричная система счисления |
| N11 | Одиннадцатиричная система счисления |
| N12 | Двенадцатеричная система счисления |
| N13 | Тринадцатеричная система счисления |
| N14 | Четырнадцатеричная система счисления |
| N15 | Пятнадцатеричная система счисления |
| N16 | Шестнадцатеричная система счисления |
| N17 | Семнадцатеричная система счисления |
| N18 | Восемнадцатеричная система счисления |
| N19 | Девятнадцатеричная система счисления |
| N20 | Двадцатеричная система счисления |
| N21 | Двадцатиодноричная система счисления |
| N22 | Двадцатидвухричная система счисления |
| N23 | Двадцатитрехричная система счисления |
| N24 | Двадцатичетырехричная система счисления |
| N25 | Двадцатипятеричная система счисления |
| N26 | Двадцатишестеричная система счисления |
| N27 | Двадцатисемеричная система счисления |
| N28 | Двадцативосьмеричная система счисления |
| N29 | Двадцатидевятиричная система счисления |
| N30 | Тридцатиричная система счисления |
| N31 | Тридцатиодноричная система счисления |
| N32 | Тридцатидвухричная система счисления |
| N33 | Тридцатитрехричная система счисления |
| N34 | Тридцатичетырехричная система счисления |
| N35 | Тридцатипятиричная система счисления |
| N36 | Тридцатишестиричная система счисления |
| Калькуляторы площади геометрических фигур |
| Площадь квадрата |
| Площадь прямоугольника |
| КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ |
| Калькуляторы (Комбинаторика) |
| Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов |
| Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов |
| Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия |
| Калькулятор сложения и вычитания матриц |
| Калькулятор умножения матриц |
| Калькулятор транспонирование матрицы |
| Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы |
| Калькулятор нахождения обратной матрицы |
| Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками |
| Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам |
| Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора |
| Калькулятор сложения и вычитания векторов |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами |
| Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор векторного произведения векторов через координаты |
| Калькулятор смешанного произведения векторов |
| Калькулятор умножения вектора на число |
| Калькулятор нахождения угла между векторами |
| Калькулятор проверки коллинеарности векторов |
| Калькулятор проверки компланарности векторов |
| Генератор Pdf с примерами |
| Тренажёры решения примеров |
| Тренажер по математике |
| Тренажёр таблицы умножения |
| Тренажер счета для дошкольников |
| Тренажер счета на внимательность для дошкольников |
| Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ. |
| Тренажер решения примеров с разными действиями |
| Тренажёры решения столбиком |
| Тренажёр сложения столбиком |
| Тренажёр вычитания столбиком |
| Тренажёр умножения столбиком |
| Тренажёр деления столбиком с остатком |
| Калькуляторы решения столбиком |
| Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком |
| Калькулятор деления столбиком с остатком |
| Конвертеры величин |
| Конвертер единиц длины |
| Конвертер единиц скорости |
| Конвертер единиц ускорения |
| Цифры в текст |
| Калькуляторы (физика) |
|
Механика |
| Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния |
| Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения |
| Калькулятор вычисления времени движения |
| Калькулятор времени |
| Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. |
| Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. |
| Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости |
| Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. |
| Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения |
|
Оптика |
| Калькулятор отражения и преломления света |
|
Электричество и магнетизм |
| Калькулятор Закона Ома |
| Калькулятор Закона Кулона |
| Калькулятор напряженности E электрического поля |
| Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q |
| Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q |
| Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q |
| Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля |
| Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы |
|
Конденсаторы |
| Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора |
| Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов |
| Калькуляторы по астрономии |
| Вес тела на других планетах |
| Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках |
| Генераторы |
| Генератор примеров по математике |
| Генератор случайных чисел |
| Генератор паролей |
Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение.
Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию о показательной функции и
общие методы решения показательных уравнений.
Примеры подробного решения >>
Введите показательное уравнение
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Показательная функция, её свойства и график
Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) an am = an+m
2) ( frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} )
3) (an)m = anm
4) (ab)n = an bn
5) ( left( frac{a}{b} right)^n = frac{a^n}{b^n} )
6) an > 0
7) an > 1, если a > 1, n > 0
an < am, если a > 1, n < m
9) an > am, если 0< a < 1, n < m
В практике часто используются функции вида y = ax, где a — заданное положительное число, x — переменная.
Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является
показатель степени, а основанием степени — заданное число.
Определение. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0, ( a neq 1)
Показательная функция обладает следующими свойствами
1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0, ( a neq 1), не имеет корней,
если ( b leqslant 0), и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и
убывающей, если 0 < a < 1.
Это следует из свойств степени (8) и (9)
Построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.
Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и
расположен выше оси Oх.
Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси Oх (но не пересекает её).
Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
График функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох.
Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является
горизонтальной асимптотой графика.
Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
Показательные уравнения
Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0, ( a neq 1),
х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, ( a neq 1) равны
тогда и только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение 23x • 3x = 576
Так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде
8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3х + 1 — 2 • 3x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х — 2, получаем 3х — 2(33 — 2) = 25,
3х — 2 • 25 = 25,
откуда 3х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2
Решить уравнение 3х = 7х
Так как ( 7^x neq 0 ) , то уравнение можно записать в виде ( frac{3^x}{7^x} = 1 ), откуда ( left( frac{3}{7} right) ^x = 1 ), х = 0
Ответ х = 0
Решить уравнение 9х — 4 • 3х — 45 = 0
Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение,
находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.
Уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не
может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 • 2х + 1 + 2 • 5x — 2 = 5х + 2х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2х + 1 — 2x — 2 = 5х — 2 • 5х — 2, откуда
2х — 2 (3 • 23 — 1) = 5х — 2( 5 2 — 2 )
2х — 2 • 23 = 5х — 2• 23
( left( frac{2}{5} right) ^{x-2} = 1 )
x — 2 = 0
Ответ х = 2
Решить уравнение 3|х — 1| = 3|х + 3|
Так как 3 > 0, ( 3 neq 1), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1)2 = (х + 3)2, откуда
х2 — 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1
Алгебраическое уравнение
-ой степени имеет вид:
Алгебраические уравнения
-ой степени
()
в общем случае в радикалах не решаются, т.е. не существует формул, которые давали бы возможность вычислить корни уравнения по его коэффициентам. Это впервые доказал норвежский математик Нильс Абель.
Однако, корни уравнения
-ой степени могут быть найдены с любой наперед заданной точностью при помощи численных методов. В данном примере мы рассмотрим решение уравнений одним из таких методов, а именно: методом Лягерра (Laguerre).
Чтобы начать работу, для любого численного алгоритма необходимо изначально задать требуемую точность нахождения корней и максимальное количество итераций, которое предполагается при этом затратить.