Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.
Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, три измерения — это длины трёх рёбер
DA,DC,DD1
.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:
,
где (a, b, c) — измерения прямоугольного параллелепипеда, т. е. его длина, ширина и высота.
На рисунке:
DB12=DA2+DC2+DD12
.
Обрати внимание!
У прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны:
Пример:
формула диагоналей куба.
Так как у куба все измерения равны, обозначаем их за (a), тогда
Упрощаем и получаем формулу диагонали куба:
Диагональ прямоугольного параллелепипеда
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 90.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 90.
В геометрии 10 класса есть разделы, изучающие свойства диагонали прямоугольного параллелепипеда. Свойства изучаются не просто так, много задач на нахождение диагонали этой фигуры встречаются в ЕГЭ. Поэтому имеет смысл подробно поговорить о характеристиках диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Определение понятия
В общем случае диагональ представляет собой отрезок, соединяющий вершины двух углов, не принадлежащих одной стороне многогранника. Прямоугольный параллелепипед в свою очередь состоит из шести граней, являющихся прямоугольниками.
Диагонали в прямоугольном параллелепипеде могут быть проведены не только во внутреннем пространстве фигуры, но и на боковых гранях, и в гранях оснований. В последнем случае обычно уточняется, что речь идет о диагонали боковой грани или диагонали основания.
У параллелепипеда есть четыре диагонали. Причем, эти отрезки не принадлежат ни одной боковой грани или основаниям, а проводятся внутри фигуры.
Характеристики диагонали
Существует две теоремы, касающиеся диагоналей параллелограмма. Чтобы их доказать, используются дополнительные построения. К примеру, часто диагональ нижнего основания данной объемной геометрической фигуры служит стороной для нескольких треугольников.
Первая Теорема
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда можно найти, суммировав квадраты трех измерений этой геометрической фигуры.
Здесь речь идет о длине, ширине и высоте рассматриваемого многогранника. Чтобы доказать данную теорему необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников.
Диагональ, проведенная в основании будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника $АВС$, значит ее можно найти по теореме Пифагора через сумму квадратов $АВ$ и $ВС$.
Но $АВ$ и $ВС$ это длина и ширина параллелепипеда.
$$АC=sqrt{AB^2+BC^2}$$
Затем рассмотрим прямоугольный треугольник $АСС’$. Диагональ $АС’$ также можно найти через теорему Пифагора, как корень из суммы катетов $АС$ и $СС’$. Но $АС$ мы уже находили как корень из суммы квадратов $АВ$ и $АС$:
$(ACʹ)^2= (CCʹ)^2+(CD)^2+(CB)^2$, где
$CCʹ$ – высота;
$CD$ – длина;
$CB$ – ширина.
Так выглядит формула, отражающая содержание данной теоремы.
Обычно больший отрезок, лежащий в основании параллелепипеда, считается ее длиной. Меньший отрезок – шириной.
Вторая теорема
В любом параллелепипеде четыре диагонали пересекаются в одной точке, которую называют точкой симметрии, и делятся ею пополам. Это свойство доказывают, рассматривая две любые диагонали, и проводя соответствующие отрезки.
Для доказательства этой теоремы нужно вспомнить, что плоскость может задаваться двумя пересекающимися прямыми. В рассматриваемом случае, сечение плоскостью, заданной двумя пересекающимися диагоналями, принимает форму прямоугольника. А диагонали прямоугольника, как известно, точкой пересечения делятся пополам.
Из этой же теоремы можно сделать вывод о том, что все его диагонали будут равными между собой отрезками.
Что мы узнали?
Мы поговорили о диагоналях прямоугольного параллелепипеда. Узнали, что, используя свойства диагоналей параллелепипеда, можно найти ширину, длину и высоту параллелепипеда. Поговорили о том, как найти центр симметрии, и определить длину диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 90.
А какая ваша оценка?
Параллелепипед — это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник с длиной a и шириной b. Двигаясь по вертикальной или наклонной оси на определенную высоту c, данный прямоугольник создает объемное тело, именуемое параллелепипедом.
Параллелепипед по определению может быть наклонным или прямым, то есть угол между высотой и прямоугольником в основании варьируется от 0 до 90 градусов. Прямой параллелепипед имеет в качестве граней исключительно прямоугольники, и даже иногда квадрат (в основании), поэтому решение задач с его участием значительно облегчено. В случае с наклонным параллелепипедом в формулах необходимо учитывать, что боковой гранью является параллелограмм, строение которого зависит также от угла его наклона.
Помимо трех вышеуказанных параметров параллелепипеда — длины, ширины высоты, являющихся его ребрами, в данном теле можно также провести еще несколько отрезков, соединяющих его вершины. Как и в геометрических фигурах на плоскости, линии, проходящие внутри основного каркаса через вершины, называются диагоналями. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда идентичны диагоналям прямоугольников, которыми представлены грани — их, соответственно, можно вычислить, используя подходящий онлайн калькулятор для прямоугольников.
Другое дело — диагональ, проходящая не по внешней поверхности прямоугольного параллелепипеда, а сквозь него, соединяя противоположные вершины верхнего и нижнего оснований. При этом, какая именно пара противоположных вершин соединена, не имеет значения для расчетов, так как если рассмотреть сечения, можно увидеть, что обе диагонали параллелепипеда идентичны и найти их можно одним и тем же способом.
Итак, для того чтобы вывести формулу диагонали через длину, ширину и высоту, необходимо заключить диагональ в плоскую геометрическую фигуру, свойства которой можно будет использовать. Для этого в любом основании — верхнем или нижнем, проводится диагональ, которая образует с диагональю параллелепипеда и боковым ребром (высотой) прямоугольный треугольник. Применив одну лишь теорему Пифагора, можно найти диагональ основания через ширину и длину,а затем диагональ прямоугольного параллелепипеда, добавив в расчеты высоту.
Используя последнюю и предпоследнюю формулу, можно также успешно найти длину, ширину или высоту прямоугольного параллелепипеда, имея в заданных условиях три параметра из четырех, включая диагональ параллелепипеда.
Например: 
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Смотрите также
Материал урока.
Прежде чем
приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какую фигуру мы
назвали параллелепипедом, основные свойства параллелепипеда.
Напомним, что параллелепипедом
мы назвали поверхность, составленную из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов ABB1A1, BCC1B1,
CDD1C1, DAA1D1.
Повторим свойства
параллелепипеда. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и
равны. Например, в параллелепипеде, который
показан на рисунке грань ABCD равна и параллельна грани
A1B1C1D1, грань AA1B1B равна и параллельна грани DD1C1D, грань AA1D1D равна и параллельна грани BB1C1C.
Диагонали
параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Эти свойства мы уже
доказывали.
Когда мы изучали
тему «Параллелепипед», мы говорили, что, если все боковые ребра параллелепипеда
перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани –
прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым. Если же и
основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед
называется прямоугольным.
Сегодня на уроке мы
познакомимся с прямоугольным параллелепипедом поближе.
Форму
прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы.
Давайте посмотрим
на рисунок.
Основаниями этого
прямоугольного параллелепипеда служат прямоугольники ABCD
и A1B1C1D1, боковые
рёбра AA1, BB1,
CC1, DD1 перпендикулярны
к основаниям. То есть можно записать, что AA1
перпендикулярно AB, то есть боковая грань AA1B1B – прямоугольник. Аналогично, можно показать, что все
боковые грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Таким
образом, мы обосновали свойство прямоугольного параллелепипеда.
Сформулируем его. В
прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.
Полуплоскости, в
которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы,
которые называются двугранными углами параллелепипеда.
Рассмотрим,
например, двугранный угол с ребром AB, то есть
двугранный угол между плоскостями ABB1 и ABC.
По другому этот
угол можно записать так: угол A1ABD.
Возьмем на ребре AB, например, точку А. AA1
– перпендикуляр к ребру AB в плоскости ABB1, АD– перпендикуляр к
ребру АB в плоскости ABC.
Значит, угол A1AD – линейный угол двугранного
угла. Это прямой угол, значит, двугранный угол при ребре AB
– прямой.
Аналогично
доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда
прямые. Это утверждение является еще одним свойством прямоугольного
параллелепипеда.
Длины трех ребер,
имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, у параллелепипеда, который изображен на рисунке в качестве измерений
можно взять длины ребер AB, АD
и AA1.
Понятно, что если
мы говорим, например, о размерах коробки, которая имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, то мы вместо слова измерения используем слова: длина, ширина и
высота.
Давайте вспомним,
что в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон.
Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника. Тогда это
утверждение можно переформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов двух его измерений.
Аналогичным
свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.
Сформулируем теорему.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех
его измерений.
Пусть дан
прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Тогда нам надо доказать, что, например, .
Доказательство.
Поскольку
параллелепипед прямоугольный, то ребро CC1 перпендикулярно
к основанию ABCD. А, значит, угол ACC1
– прямой.
Рассмотрим
треугольник ACC1. Это прямоугольный
треугольник, значит, по теореме Пифагора можно записать, что .
AC
– диагональ прямоугольника ABCD. Значит, по свойству
диагоналей прямоугольника можно записать, что . Кроме
того, мы знаем, что ребро CC1 равно AA1. Тогда подставив все в выражение для , получим,
что .
Что и
требовалось доказать.
Теперь давайте
сформулируем и докажем следствие из этой теоремы.
Диагонали
прямоугольного параллелепипеда равны.
Это следствие легко
доказать, если мы посмотрим на доказательство теоремы. Мы могли взять вместо
диагонали AC1, например, диагональ CA1 или диагонали BD1
или DB1, но мы бы получили то же самое
выражение.
Если мы обозначим
измерения прямоугольного параллелепипеда буквами a, b, c, тогда можно записать, что .
Если все измерения
прямоугольного параллелепипеда равны, то такой прямоугольный параллелепипед
называется кубом.
Поскольку все
измерения куба равны, значит, все грани куба – квадраты.
Решим несколько
задач.
Задача. Измерения
прямоугольного параллелепипеда равны .
Найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Решение.
Воспользуемся
следствием из теоремы и запишем, что все диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.
Теперь применим
теорему и запишем, что диагонали равны корню квадратному из суммы квадратов измерений
прямоугольного параллелепипеда.
Поскольку мы знаем,
что все диагонали параллелепипеда равны, при решении задач мы будем изображать
только одну диагональ параллелепипеда, если условие задачи не потребует
изобразить больше диагоналей.
Ответ.
Решим еще одну
задачу.
Задача. В
прямоугольном параллелепипеде измерения равны ,
,
. Найти
диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и
плоскостью его основания.
Решение.
Ответ. ;
.
А теперь давайте решим
одну задачу, которую очень часто решают люди, которые делают ремонт.
Задача. Измерения
комнаты равны ,
,
.
Подсчитать площадь пола, потолка, и стен комнаты.
Решение.
Каждая из граней
прямоугольного параллелепипеда – прямоугольник. Для того, чтобы найти площадь
каждой грани, достаточно перемножить соответствующие измерения каждого
прямоугольника.
Ответ. 20м2;
15 м2; 12 м2
Решим еще одну
задачу.
Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
а два измерения равны соответственно и
. Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.
Решение.
Запишем формулу,
связывающую квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда и квадраты
измерений прямоугольного параллелепипеда.
(Очевидно, что
измерение прямоугольного параллелепипеда не может быть отрицательным числом).
Ответ. 4
Решим еще одну
задачу.
Задача. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
,
. Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.
Решение.
Ответ. 8
Решим еще одну задачу.
Задача. Измерения
параллелепипеда равны ,
,
. На ребре
прямоугольного
параллелепипеда, изображенного на рисунке, дана точка такая,
что отношение . На ребре
отмечена
точка так, что
. На
отрезке отмечена
точка , которая
является серединой отрезка . Найти
длину отрезка .
Решение.
Сначала построим
плоскость, в которой будет лежать отрезок МК. Для этого достаточно из точки Е
опустить перпендикуляр на грань ABCD. Получим точку E1. Тогда в плоскости EE1C и будет лежать искомый отрезок КМ.
Найдем длину
отрезка KC1.Рассмотрим треугольник EB1C1.
Теперь из
треугольника MKC1 определим МК.
Подведем итоги
урока.
Сегодня на уроке мы
повторили определение параллелепипеда, повторили основные свойства
параллелепипеда. Дали определение прямоугольному параллелепипеду, измерениям
прямоугольного параллелепипеда, рассмотрели свойства прямоугольного
параллелепипеда. Решили несколько задач.
Объект изучения
Прежде чем рассматривать формулу диагонали параллелепипеда, следует изучить подробно, что собой представляет эта фигура. Речь идет о призме, для которой характерны следующие особенности:
- основание представляет собой прямоугольник или квадрат;
- она является прямой, то есть длина любого ее бокового ребра совпадает с высотой.
Как и любой объект в пространстве, параллелепипед состоит из набора элементов. К ним относятся:
- 8 вершин (точки, в которых пересекаются 3 ребра).
- 12 ребер (8 из них принадлежат двум основаниям и 4 являются боковыми).
- 6 граней (2 из них называются основаниями, остальные 4 образуют боковую поверхность). Все грани — прямоугольники. Если они являются квадратами, получается частный случай прямоугольного параллелепипеда — куб.
Фигуру можно получить, если взять плоский четырехугольник с прямыми углами и переместить его вдоль направленного отрезка, который перпендикулярен его плоскости. Длина вектора будет высотой, а исходный прямоугольник — основанием.
С прямоугольным параллелепипедом удобно работать, поскольку его форма идеально соответствует декартовой системе координат. По этой причине существует множество формул, применяя которые можно рассчитать любую геометрическую характеристику объекта.
Теорема Пифагора
Теорема справедлива для любого треугольника с прямым углом. Данные исторических архивов свидетельствуют, что греческий философ Пифагор впервые доказал, что при складывании квадратов катетов всегда получается квадрат гипотенузы, то есть стороны, которая лежит против прямого угла.
Теорема Пифагора — полезный геометрический инструмент при расчетах параметров не только треугольников, но и прямоугольников. Если 2 противоположные (несмежные) вершины четырехугольника соединить, получится отрезок, который называется диагональю. Она делит фигуру ровно на 2 половинки, каждая представляет собой треугольник с углом 90 градусов, если исходный четырехугольник является прямоугольным.
Исходя из геометрических построений можно понять, что прямоугольник имеет 2 одинаковые диагонали. Если предположить, что стороны фигуры равны a и b, диагональ c легко рассчитывается по теореме Пифагора: c = (a 2 + b 2 )^0,5.
В случае квадрата получается еще более простая формула: c = a*(2)^0,5.
Диагональ параллелепипеда
Особое внимание этому элементу фигуры принято уделять по причине того, что он часто используется для вычисления объема и площади поверхности, совместно с двумя другими линейными параметрами. Прямоугольный параллелепипед определяется тремя линейными характеристиками.
Геометрический элемент
Чтобы построить диагональ параллелепипеда, необходимо рассмотреть его произвольную вершину. Она соединена ребрами с тремя другими. Еще 3 можно соединить с помощью диагоналей граней. В итоге остается лишь одна вершина, которая с исходной соединяется отрезком, проходящим через весь объем фигуры. Этот отрезок называется диагональю параллелепипеда.
Из этих рассуждений несложно понять, сколько диагоналей у параллелепипеда — 4. Их особым свойством является равенство длин. Оно следует из факта симметричности фигуры.
Вывод формулы
Для определения длины диагонали параллелепипеда следует ввести некоторые обозначения. Все вершины одного основания будут A, B, C, D, а их аналоги — A1, B1, C1, D1.
Пусть следует найти диагональ AC1. Дополнительными обозначениями сторон, которые облегчат процедуру вывода формулы, будут:
- a — сторона AB;
- b — сторона AD;
- h — высота параллелепипеда, равна длине сторон AA1, BB1, CC1 и DD1.
Сначала необходимо рассмотреть треугольник ABC, который лежит в плоскости одного из оснований. В нем угол B является прямым, а сторона AC — гипотенуза. Если применить теорему Пифагора, получится следующий результат для длины AC: AC = (a 2 + b 2 )^0,5.
Теперь следует обратить внимание на фигуру, которая ограничена вершинами A, C и C1. Это прямоугольный треугольник, в котором стороны AC и CC1 являются катетами, а диагональ AC1 — гипотенуза. Используя введенные обозначения и снова применяя теорему греческого философа: AC1 = (AC 2 + CC1 2 )^0,5 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5.
Полученное выражение является искомой формулой для диагонали. Равенство позволяет сделать умозаключение: какие бы стороны ни образовывали фигуру, и какой бы формы она ни была, ее объемная диагональ всегда больше, чем любая из диагоналей грани. Они станут равны только в случае вырождения параллелепипеда в прямоугольник на плоскости (h = 0).
Случай куба
Все рассуждения касательно вывода формулы диагонали параллелепипеда остаются верными для куба. Поскольку фигура обладает высокой симметрией в пространстве, для однозначного определения всех ее параметров необходимо знать лишь одну-единственную сторону квадрата. Пусть это будет a. Общая формула для длины диагонали имеет вид: AC1 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5.
Если подставить сюда вместо b и h длину стороны a, получается следующее простое равенство: AC1 = a*(3)^0,5.
В кубе его объемная диагональ приблизительно в 1,225 раза больше, чем аналогичный отрезок для грани.
Объем и площадь поверхности
Полученная формула для диагонали не является исключительно теоретической. Ее можно применять для расчета важных для практики величин, например, объема фигуры и площади ее поверхности.
Объем V и площадь поверхности S вычисляются по таким формулам:
- V = a*b*h;
- S = 2*(a*b + a*h + b*h).
V и S однозначно определяются, если знать 3 линейных параметра фигуры. Одним из них может являться длина объемной диагонали, которая зависит от тех же величин, что V и S.
При решении задач, в которых необходимо найти какой-либо объемный параметр или характеристику площади через известные диагонали, потребуется выполнять вычисления с квадратными и кубическими уравнениями.
Косоугольная фигура
Параллелепипед бывает не только прямоугольным, но и наклонным или косоугольным. Основной его отличительной чертой является, что боковое ребро наклонено к плоскости прямоугольного основания под некоторым углом, который отличается от 90 градусов. В таком случае высота фигуры оказывается меньше длины этого ребра.
Наклонный параллелепипед также имеет 4 диагонали в объеме, однако они не всегда имеют одинаковую длину. В этом случае не существует какой-либо конкретной формулы для расчета длины. Для решения подобных сложных задач можно воспользоваться двумя методами:
- Если известны двугранные углы, определяющие наклоны боковых граней по отношению к основаниям, можно воспользоваться знаниями тригонометрии для вычисления диагоналей. Метод является достаточно сложным, поскольку требует знания других теорем.
- Если известны координаты вершин параллелепипеда в прямоугольной декартовой системе координат, можно воспользоваться достаточно простым методом вычисления длин отрезков. Для этого следует найти разности соответствующих координат выбранных вершин, возвести каждую из разностей в квадрат, взять сумму полученных трех слагаемых и возвести ее в степень ½. Это обычный метод нахождения длины отрезка по координатам его концов.
Пример решения задачи
Пусть дан прямоугольный параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники ABCD и A1B1C1D1. Известны следующие его параметры:
- диагональ грани бокового четырехугольника AD1 = 5 см;
- высота AA1 = 4 см;
- объем V = 64 см.
Необходимо найти объемную диагональ этой фигуры.
Пусть AB = a, AD = b, AA1 = h. Для решения задачи сначала необходимо выписать известные равенства, выраженные через параметры a, b, h:
- V = a*b*h = 64;
- AD1 2 = a 2 + h 2 = 5 2 = 25.
Из выражения для AD1 и h = 4 см получается значение a = 3 см. При подстановке его в формулу для V, получается значение стороны b = 5,33 см.
Теперь остается подставить значения a, b, h и рассчитать по формуле значение AC1. Получается число: AC1 = (a 2 + b 2 + h 2 )^0,5 = (3 2 + 5,33 2 + 4 2 )^0,5 = 7,31 см.
Таким образом, все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Для определения их длины необходимо сложить квадраты длин всех сторон объемной фигуры и взять квадратный корень от полученной суммы.