Как найти длину нормали к плоскости

5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов.

Но для решения задач нам будет хватать и одного: если плоскость задана общим уравнением  в прямоугольной (!) системе координат, то вектор  является нормальным вектором данной плоскости.

Просто до безобразия! – всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости. И чтобы хоть как-то усложнить практику рассмотрим тоже простую, но очень важную задачу, которая часто встречается, причём, не только в геометрии:

Задача 134

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение: принципиально ситуация выглядит так:

Сначала из уравнения плоскости «снимем» вектор нормали: .

И эту задачку мы уже решали: для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора  разделить на длину вектора .

Вычислим длину вектора нормали:

Таким образом:

Контроль:, ОК

Ответ:

Вспоминаем, что координаты этого вектора  – есть в точности направляющие косинусы вектора : .

И, как говорится, обещанного три страницы ждут   – вернёмся к Задаче 130, чтобы выполнить её проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке  и двум векторам , и в результате решения мы получили уравнение .

Проверяем:

Во-первых, подставим координаты точки  в полученное уравнение:

 – получено верное равенство, значит, точка  лежит в данной плоскости.

На втором шаге из уравнения плоскости «снимаем» вектор нормали: . Поскольку векторы  параллельны плоскости, а вектор  ей перпендикулярен, то должны иметь место следующие факты: . Ортогональность векторов элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:

Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор  параллелен плоскости  в том и только том случае, когда .

Итак, с «выуживанием» нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

5.2.4. Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Нормальное уравнение плоскости

В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения плоскости по углу наклона нормального вектора плоскости от осей Ox, Oy, Oz и по расстоянию r от начала координат до плоскости. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение плоскости Ω представляется следующей формулой:

где r− расстояние от начала координат до плоскости Ω, а α,β,γ− это углы между единичным вектором n, ортогональным плоскости Ω и координатными осьями Ox, Oy, Oz, соответственно (Рис.1). (Если r>0, то вектор n направлен в сторону плоскости Ω, если же плоскость проходит через начало координат, то направление вектора n выбирается произвольной).

Выведем формулу (1). Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат и плоскость Ω (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q, перпендикулярную плоскости Ω, и точку пересечения обозначим через R. На этой прямой выделим единичный вектор n, с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).

Выразим уравнение плоскости Ω через следующие параметры: длину отрезка и углы наклона α, β, γ между вектором n и осьями Ox, Oy, Oz, соответственно.

Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox, Oy, Oz будут иметь следующие координаты:

Обозначим через r расстояние от начала координат до точки R. Рассмотрим, теперь, точку M (x,y, z). Точка M лежит на плоскости Ω тогда и только тогда, когда проекция вектора на прямую R равна r, т.е.

Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:

где − обозначен скалярное произведение векторов n и , а | · |− норма (длина) вектора, α−угол между векторами n и .

Поскольку n единичный вектор, то (4) можно записать так:

Учитывая, что n=<cosα, cosβ, cosγ>, , мы получим:

Тогда из уравнений (3), (5), (6) следует:

Мы получили нормальное уравнение плоскости Ω. Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением плоскости . Вектор n называется нормальным вектором плоскости .

Как было отмечено выше, число r в уравнении (1) показывает расстояние плоскости от начала координат. Поэтому, имея нормальное уравнение плоскости легко определить расстояние плоскости от начала координат. Для проверки, является ли данное уравнение плоскости уравнением в нормальном виде, нужно проверить длину нормального вектора этой плоскости и знак числа r, т.е. если |n|=1 и r>0, то данное уравнение является нормальным (нормированным) уравнением плоскости.

Пример 1. Задано следующее уравнение плоскости:

Определить, является ли уравнение (7) нормальным уравнением плоскости и если да, то определить расстояние данной плоскости от начала координат.

Решение. Нормальный вектор плоскости имеет следующий вид:

Определим длину вектора n:

Ответ: Длина вектора n равна 1, , следовательно уравнение (7) является нормальным уравнением плоскости, а − это расстояние плоскости от начала координат.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Утрерждение 2 статьи «Общее уравнение плоскости»), то существует такое число t, что

Возвышая в квадрат первые три равенства в (9) и складывая их, получим:

Упростим выражение и найдем t:

t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2 )=1,

Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).

Выясним, какой знак имеет t. Обратим внимание на четвертое равенство в (9). Так как r−это расстояние от начала координат до плоскости, то r≥0. Тогда произведение tD должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку D.

Подставляя в (1) вместо cosα, cosβ, cosγ и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tCz+tD=0. Т.е. для приведения общего уравенения плоскости к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .

Пример 2. Задано общее уравнение плоскости

Построить нормальное уравнение плоскости (12).

Решение. Из уравнения (12) можно записать: A=2, B=−3, C=6, D=4. Вычислим t из равенства (11):

Так как D>0, то знак t отрицательный:

Умножим уравнение (12) на t:

Ответ. Нормальное уравнение прямой (12) имеет следующий вид:

Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).

Нормальное уравнение плоскости: описание, примеры, решение задач

Статья раскрывает суть нормального (нормированного) уравнения и показывает, при каких видах задач его чаще всего применяют. Рассмотрим выведение нормального уравнения плоскости с примерами решений. Приведем примеры приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду. Решим задачи по нахождению расстояния от точки до плоскости при помощи нормального уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости – описание и пример

Возьмем прямоугольную систему координат О х у z трехмерного пространства. Если плоскость удалена на расстояние p ≥ 0 в положительном направлении нормального вектора n → . Возьмем за единицу длину вектора n → . Получим, что координатами направляющего косинуса являются n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , тогда n → = cos 2 α , cos 2 β , cos 2 γ = 1 .

Примем обозначение O N за расстояние от точки до плоскости, таким образом, точка N принадлежит плоскости, где длиной отрезка O N будет значение p . Представим это на рисунке, изображенном ниже.

Теперь найдем уравнение заданной плоскости.

В трехмерном пространстве обозначим точку M ( x , y , z ) . Отсюда получим, что O M → , являющийся ее радиус вектором, с координатами ( x , y , z ) . Запись примет вид O M → = ( x , y , z ) . Отсюда получаем, что плоскость определена множеством точек M ( x , y , z ) , тогда числовая проекция вектора O M → по направлению n → равна значению p . Запись принимает вид n p n → O M → = p . Рассмотрим на приведенном ниже рисунке.

Из вышесказанного получим, что определение скалярного произведения векторов по формуле n → = ( cos α , cos β , cos γ ) и O M → = ( x , y , z ) в результате дают равенство

n → , O M → = n → · O M → · cos n ⇀ , O M → ^ = n → · n p n → O M → = 1 · p = p

Данная формула представляет скалярное произведение в координатной форме. Тогда получаем следующее выражение:

n → , O M → = cos α · x + cos β · y + cos γ · z

При сопоставлении двух последних равенств получаем уравнение плоскости такого вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z = p . Упростим выражения. Для этого необходимо перенести значение p в левую сторону, получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 .

cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 называют нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Реже его называют нормированным уравнением заданной плоскости.

Теперь заданное в прямоугольной системе координат О х у z нормальное уравнение принимает вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Р имеет значение расстояния положительного направления единичного нормального вектора плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) .

Чаще всего косинус не представляется явно в уравнении плоскости, потому как cos α , cos β и cos γ является некоторыми действительными числами, сумма квадратов которых равна единице.

Рассмотрим пример нормального уравнения плоскости.

Если имеется плоскость, заданная в прямоугольной системе координат O x y z при помощи уравнения нормального вида, — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 .

Отсюда cos α = — 1 4 , cos β = — 3 4 , cos γ = 6 4 .

Из выражения находим, что — 1 4 , — 3 4 , 6 4 — координаты нормального вектора плоскости n → . Его длина вычисляется из формулы n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 2 = 1 . Плоскость располагается относительно координат в направлении вектора n → на расстоянии 7 единиц, потому как p = 7 .

Отсюда ясно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , где A , B , C – некоторые действительные числа, при которых длина нормального вектора плоскости n → = ( A , B , C ) равняется 1 , причем D является неотрицательным числом.

Чтобы выявить, является представленное уравнение нормальным уравнением плоскости, необходимо выполнение обоих условий n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 и p ≥ 0 , тогда получим уравнение плоскости нормального вида. При невыполнении хотя бы одного условия, уравнение не является нормальным.

Рассмотрим на примере.

Выявить уравнение плоскости нормального вида из заданных уравнений:

1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 — 3 = 0 1 3 x + 7 6 y — 5 6 z + 2 5 = 0 1 3 x + 1 2 y + 1 4 z — 11 = 0

Начнем решение с первого уравнения. Для этого необходимо проверить, равняется ли длина нормального вектора n → = 1 7 , — 4 7 , 4 2 7 единице.

Вычисляем длину по формуле и получаем: n → = 1 7 2 + — 4 7 2 + 4 2 7 2 = 1 49 + 16 49 + 32 49 = 1

Необходимо поработать с числом p , так как его значение должно быть положительным. Это верно, так как p = 3 . Значит, первое заданное уравнение плоскости можно считать уравнением плоскости в нормальном виде.

Второе уравнение из заданных нельзя считать нормальным уравнением плоскости, так как условие p ≥ 0 не выполняется, ибо в данном уравнении p = — 2 5 .

Третье уравнение имеет нормальный вектор с координатами n → = 1 3 , 1 2 , 1 4 , длина которого не равняется единице из вычислений:

n → = 1 3 2 + 1 2 2 + 1 4 2 = 1 9 + 1 4 + 1 16 = 61 12 ≠ 1

Отсюда следует, что его нельзя считать за уравнение плоскости в нормальном виде.

Ответ: 1 7 x — 4 7 y + 4 2 7 z — 3 = 0 уравнение является нормальным уравнением плоскости.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Для приведения уравнения плоскости A x + B y + C z + D = 0 к нормальному виду, обе части умножаются на нормированный множитель ± 1 A 2 + B 2 + C 2 . Знак определятся по числу D , он должен быть противоположным значения числа D .

Когда D = 0 , знак может быть любым.

Нормальным уравнением плоскости считается общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель, потому как длина вектора с кооординатами ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 равна 1 .

Отсюда получаем, что ± A A 2 + B 2 + C 2 , ± B A 2 + B 2 + C 2 , ± C A 2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 + C 2 = 1 .

Знак множителя необходим для того, что проверять выполнимость условия p ≥ 0 .

Привести уравнение 2 x — 3 y + z + 5 = 0 к нормальному виду.

Из условия имеем, что A = 2 , B = — 3 , C = 1 , D = 5 . Исходя из того, что D является положительным числом, нормирующий множитель дожжен иметь противоположный знак. Отсюда получим, что получим отрицательный результат.

— 1 A 2 + B 2 + C 2 = — 1 2 2 + ( — 3 ) 2 + 1 2 = — 1 14

Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель. Получим:

— 1 14 · 2 x — 3 y + z + 5 = — 1 14 · 0 ⇔ ⇔ — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0

Ответ: — 2 14 x + 3 14 y — 1 14 z — 5 14 = 0 .

Написать нормальное уравнение плоскости, если оно задано уравнением 3 x — 4 z = 0 прямоугольной системы координат O x y z .

Из условия видно, что A = 3 , B = 0 , C = — 4 , D = 0 . Знака перед множителем нет, потому как D = 0 . Значит, возьмем со знаком « + ». Получаем выражение вида:

1 A 2 + B 2 + C 2 = 1 3 2 + 0 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5

При умножении обеих частей уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости нормального вида 3 5 x — 4 5 z = 0 .

Ответ: 3 5 x — 4 5 z = 0 .

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Теперь раскроем тему нормального уравнения плоскости, где уравнение плоскости нормального вида применимо для нахождения расстояния от заданной точки в пространстве до плоскости.

При заданной системе координат О х у z трехмерного пространства имеем плоскость с уравнением cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где необходимо определить расстояние от p до точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) заданной плоскости. Его вычисляют по формуле p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p . Само расстояние является числом, которое получается при подстановке координат точки в левую сторону уравнения. Для вывода формулы необходимо обратиться к статье расстояния от точки до плоскости.

Имеется уравнение плоскости вида — 1 3 x + 2 3 y — 2 3 z — 1 = 0 , которое располагается в прямоугольной системе координат. Определить расстояние от точки с координатами M 0 ( 1 , — 3 , 0 ) до плоскости.

Координаты точки M необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости. Тогда получаем:

— 1 3 · 1 + 2 3 · ( — 3 ) — 2 3 · 0 — 1 = 0

Искомое расстояние – величина абсолютная, значит p = — 3 1 3 = 3 1 3 .

Если плоскость задана другим уравнением, а необходимо произвести вычисление от заданной точки до плоскости, необходимо привести уравнение к виду нормального уравнения плоскости, используя формулу p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p .

Найти расстояние от заданной точки с координатами M 0 ( 5 , — 1 , 2 ) до плоскости x 5 + y — 2 + z 4 = 1 .

По условию имеем уравнение плоскости в отрезках. Это значит, что необходимо привести его к нормальному уравнению плоскости. Для этого переходим к общему уравнению, после чего приведем к нормальному виду.

Получаем: x 5 + y — 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0

Для вычисления нормирующего множителя применяем: 1 1 5 2 + — 1 2 2 + 1 4 2 = 1 141 25 · 16 = 20 141

Обе части уравнения 1 5 x — 1 2 y + 1 4 z — 1 = 0 умножаем на нормирующий множитель. Теперь получено нормальное уравнение исходной плоскости вида:

4 141 x — 10 141 y + 5 141 z — 20 141 = 0

Отсюда видно, что cos α = 4 141 , cos β = — 10 141 , cos γ = 5 141 , p = — 20 141 , x 0 = 5 , y 0 = — 1 , z 0 = 2

Все имеющиеся данные помогут использовать формулу для нахождения искомого расстояния от точки до плоскости:

p = cos α · x 0 + cos β · y 0 + cos γ · z 0 — p = 4 141 · 5 — 10 141 · — 1 + 5 141 · 2 — 20 141 = 20 141

Метод координат в пространстве: формулы и комментарии репетитора

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Если Ваш репетитор по математике имеет высокую квалификацию, то он должен это знать. В противном случае я бы советовал для «С» части сменить репетитора. Моя подготовка к ЕГЭ по математике С1-С6 обычно включает разбор основных алгоритмов и формул, описанных ниже.

Угол между прямыми а и b

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).

Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?

1) Выбираем любые вектора и , имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов и по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденный координаты в формулу:
. Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Нормаль к плоскости

Нормалью к плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов и и требуем выполнения условий и . Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.

Замечание репетитора по математике : Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).

Угол между прямой и плоскостью

Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора и нормали
Угол между прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:

Угол между плоскостями

Пусть и — две любые нормали к данным плоскостям. Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

Уравнение плоскости в пространстве

Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью . Коэффициент отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение и найти коэффициент .

Расстояние от точки до плоскости

Для вычисления расстояния от точки до плоскости , заданной уравнением можно использовать следующую формулу:

В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой части уравнения плоскости в точке

Комментарий репетитора по математике :

Методом координат можно находить не только углы и расстояния в пространстве, но и
1) площади многоугольников (треугольника, параллелограмма), расположенных в заданной плоскости.
2) объемы простейших многогранников (параллелепипедов и пирамид).

Для понимания таких формул нужно изучить понятия векторного и смешанного произведения векторов, а также определителя матрицы. В скором времени я сделаю для вычисления объемов соответствующую справочную страничку.

Средства аналитической геометрии репетитор по математике практически не использует в работе со средним и тем более слабым учеником. И очень жаль, что загруженность среднестатистического сильного школьника не позволяет репетитору провести более-менее серьезную работу на уровне определений из высшей математики и с соответствующей практикой решения задач. Поэтому я часто ограничиваюсь простым сообщением формул и демонстрацией одного – двух примеров их использования. В школьной программе не предусмотрено время для изучения векторных приемов вообще, однако на ЕГЭ Вы имеете право решать задачу С2 любым из известных науке способов. Отсюда мораль: учите координаты. Расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с изучением приемов аналитической геометрии даст Вам мощное и универсальное средство для решения огромного класса задач типа С2. Пользуйтесь этой страничкой на здоровье!

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва (Строгино).

Спасибо Вам за этот материал,все наглядно и понятно.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Нормальный вектор плоскости — наиболее компактный и наглядный способ определить плоскость в трехмерной системе координат.

Для каждой плоскости существует бесконечное множество коллинеарных друг по отношению к другу нормальных векторов.

В качестве примера плоскостей, задаваемых нормальными векторами, можно рассматривать координатные плоскости системы координат $Oxyz$: $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$. Для них нормальными векторами будут, векторы, направляющие оси, т.е., соответственно, $Oz$, $Oy$ и $Ox$ ($vec{k}, vec{j}, vec{i}$).

Рассмотрим основные математические закономерности, показываюшие как найти вектор нормали к плоскости.

Формула нормального вектора выводится из общего уравнения плоскости, которое имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Плоскости, в уравнениях которых один из коэффициентов равен $0$, соответствуют базовым плоскостям системы координат ($Oxy, Oxz, Oyz$).

Уравнения вида

$Ax + D = 0 \ By + D = 0 \ Cz + D = 0$

описывают плоскости, параллельные $Oxy, Oxz, Oyz$ и отстоящие от них на расстояние, равное отношению свободного члена $D$ к соответствующему коэффициенту, например:

$x = frac{D}{A}$

Нормальный вектор плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ можно выразить как $bar{n}(A; B; C)$. Существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных данному вектору. Для определения плоскости нужна еще точка на ней. Через любую точку также можно провести бесконечное количество плоскостей (их совокупность называется связкой). Нормальный вектор и точка взаимодополняют друг друга, определяя единственную плоскость.

Точку на плоскости можно обозначить как $M_1(x; y; z)$. Вектор, соединяющий ее с любой другой точкой $M$ данной плоскости, при скалярном умножении на вектор нормали к плоскости $N$ дает ноль:

$overline{M_1M} cdot N = 0$

Переписав уравнение через проекции, получим

$overline{M_1M} cdot N = A(x — x_1) + B(y — y_1) + C(z — z_1) = 0$

Это дает нам возможность выводить уравнение плоскости через координаты точки и параметры нормального вектора плоскости.

С помощью нормального вектора плоскости как ее определителя могут быть решены задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, на составление уравнения плоскости, на нахождение угла между прямой и плоскостью, на нахождение угла между плоскостями.

Нормальное уравнение плоскости.

Общее
уравнение плоскости вида называют нормальным
уравнением плоскости,
если длина
вектора равна
единице, то есть, ,
и .

Часто
можно видеть, что нормальное уравнение
плоскости записывают в виде .
Здесь —
направляющие косинусы нормального
вектора данной плоскости единичной
длины, то есть ,
а p –
неотрицательное число, равное расстоянию
от начала координат до плоскости.

Нормальное
уравнение плоскости в прямоугольной
системе координат Oxyz определяет
плоскость, которая удалена от начала
координат на расстояние p в
положительном направлении нормального
вектора этой плоскости .
Если p=0,
то плоскость проходит через начало
координат.

Приведем
пример нормального уравнения плоскости.

Пусть
плоскость задана в прямоугольной системе
координат Oxyz общим
уравнение плоскости вида .
Это общее уравнение плоскости является
нормальным уравнением плоскости.
Действительно, и
нормальный вектор этой плоскости имеет
длину равную единице, так как .

Уравнение
плоскости в нормальном виде позволяет
находить расстояние
от точки до плоскости.

1. Расстояние
   от точки до плоскости.

Расстояние
от точки до плоскости — это наименьшее
из расстояний между этой точкой и точками
плоскости. Известно, что расстояние от
точки до плоскости равно длине
перпендикуляра, опущенного из этой
точки на плоскость.

• Отклонение
  точки от
  плоскости заданной нормированным
  уравнением

,если и
начало координат лежат по разные стороны
плоскости, в противоположном случае.
Расстояние от точки до плоскости равно

1. Взаимное
   расположение плоскостей. Условия
   параллельности и перпендикулярности
   плоскостей.

Расстояние
между параллельными плоскостями

• Расстояние
  между плоскостями, заданными
  уравнениями и:

• Расстояние
  между плоскостями, заданными
  уравнениями и:

Связанные
понятия

• Плоскости
  параллельны,
  если

 или (Векторное
произведение)

• Плоскости
  перпендикулярны,
  если

 или .
(Скалярное произведение)

1. Прямая
   в пространстве. Различные виды уравнения
   прямой.

Уравнения
прямой в пространстве – начальные
сведения.

Уравнение
прямой на плоскости в
прямоугольной системе координат Oxy представляет
собой линейное уравнение с двумя
переменными x и y,
которому удовлетворяют координаты
любой точки прямой и не удовлетворяют
координаты никаких других точек. С
прямой в трехмерном пространстве дело
обстоит немного иначе – не существует
линейного уравнения с тремя
переменными x, y и z,
которому бы удовлетворяли только
координаты точек прямой, заданной в
прямоугольной системе координат Oxyz.
Действительно, уравнение вида ,
гдеx, y и z –
переменные, а A, B, C и D –
некоторые действительные числа,
причем А, В и С одновременно
не равны нулю, представляет собой общее
уравнение плоскости.
Тогда встает вопрос: «Каким же образом
можно описать прямую линию в прямоугольной
системе координат Oxyz»?

Ответ
на него содержится в следующих пунктах
статьи.

Уравнения
прямой в пространстве — это уравнения
двух пересекающихся плоскостей.

Напомним
одну аксиому: если две плоскости в
пространстве имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой находятся
все общие точки этих плоскостей. Таким
образом, прямую линию в пространстве
можно задать, указав две плоскости,
пересекающиеся по этой прямой.

Переведем
последнее утверждение на язык алгебры.

Пусть
в трехмерном пространстве зафиксирована
прямоугольная система координат Oxyz и
известно, что прямая a является
линией пересечения двух плоскостей и,
которым отвечают общие уравнения
плоскости видаисоответственно.
Так как прямаяa представляет
собой множество всех общих точек
плоскостей и,
то координаты любой точки прямой a будут
удовлетворять одновременно и уравнениюи
уравнению,
координаты никаких других точек не
будут удовлетворять одновременно обоим
уравнениям плоскостей. Следовательно,
координаты любой точки прямойa в
прямоугольной системе координат Oxyz представляют
собой частное
решение системы линейных уравнений вида ,
а общее решение системы уравненийопределяет
координаты каждой точки прямойa,
то есть, определяет прямую a.

Итак,
прямая в пространстве в прямоугольной
системе координат Oxyz может
быть задана системой из уравнений двух
пересекающихся плоскостей .

Вот
пример задания прямой линии в пространстве
с помощью системы двух уравнений — .

Описание
прямой линии уравнениями двух
пересекающихся плоскостей отлично
подходит принахождении
координат точки пересечения прямой и
плоскости,
а также при нахождении
координат точки пересечения двух прямых
в пространстве.

Рекомендуем
продолжить изучение этой темы, обратившись
к статье уравнения
прямой в пространстве — уравнения двух
пересекающихся плоскостей.
В ней дана более детальная информация,
подробно разобраны решения характерных
примеров и задач, а также показан способ
перехода к уравнениям прямой в пространстве
другого вида.

Следует
отметить, что существуют различные способы
задания прямой в пространстве,
и на практике прямая чаще задается не
двумя пересекающимися плоскостями, а
направляющим вектором прямой и точкой,
лежащей на этой прямой. В этих случаях
проще получить канонические и
параметрические уравнения прямой в
пространстве. О них поговорим в следующих
пунктах.

Параметрические
уравнения прямой в пространстве.

Параметрические
уравнения прямой в пространстве имеют
вид ,

где x₁,y₁ и z₁ –
координаты некоторой точки
прямой, a_x, a_y и a_z (a_x, a_y и a_z одновременно
не равны нулю) — соответствующие координаты
направляющего вектора прямой,
а —
некоторый параметр, который может
принимать любые действительные значения.

При
любом значении параметра по
параметрическим уравнениям прямой в
пространстве мы можем вычислить тройку
чисел,

она
будет соответствовать некоторой точке
прямой (отсюда и название этого вида
уравнений прямой). К примеру, при 

из
параметрических уравнений прямой в
пространстве получаем координаты x₁, y₁ и z₁: .

В
качестве примера рассмотрим прямую,
которую задают параметрические уравнения
вида .
Эта прямая проходит через точку,
а направляющий вектор этой прямой имеет
координаты.

Рекомендуем
продолжить изучение темы, обратившись
к материалу статьи параметрические
уравнения прямой в пространстве.
В ней показан вывод параметрических
уравнений прямой в пространстве,
разобраны частные случаи параметрических
уравнений прямой в пространстве, даны
графические иллюстрации, приведены
развернутые решения характерных задач
и указана связь параметрических уравнений
прямой с другими видами уравнений
прямой.

Канонические
уравнения прямой в пространстве.

Разрешив
каждое из параметрических уравнений
прямой вида относительно
параметра,
легко перейти кканоническим
уравнениям прямой в пространстве вида .

Канонические
уравнения прямой в пространстве
определяют прямую, проходящую через
точку,
а направляющим вектором прямой является
вектор.
К примеру, уравнения прямой в каноническом
видесоответствуют
прямой, проходящей через точку пространства
с координатами,
направляющий вектор этой прямой имеет
координаты.

Следует
отметить, что одно или два из чисел в
канонических уравнениях прямой могут
быть равны нулю (все три числаодновременно
не могут быть равны нулю, так как
направляющий вектор прямой не может
быть нулевым). Тогда запись видасчитается
формальной (так как в знаменателях одной
или двух дробей будут нули) и ее следует
понимать как,
где.

Если
одно из чисел в
канонических уравнениях прямой равно
нулю, то прямая лежит в одной из
координатных плоскостей, либо в плоскости
ей параллельной. Если два из чиселравны
нулю, то прямая либо совпадает с одной
из координатных осей, либо параллельна
ей. Например прямая, соответствующая
каноническим уравнениям прямой в
пространстве вида,
лежит в плоскостиz=-2,
которая параллельна координатной
плоскости Oxy,
а координатная ось Oy определяется
каноническими уравнениями .

Графические
иллюстрации этих случаев, вывод
канонических уравнений прямой в
пространстве, подробные решения
характерных примеров и задач, а также
переход от канонических уравнений
прямой к другим уравнениям прямой в
пространстве смотрите в статье канонические
уравнения прямой в пространстве.

1. Общее
   уравнение прямой. Переход от общего к
   каноническому уравнению.