- | Печать |
Вместо того чтобы использовать площадь для описания взаимодействия мы можем использовать длину, так как расстояние которое проходит электрон между взаимодействиями с атомами имеет большое значение, когда мы используем тонкие образцы. Этот новый параметр является тем средним расстоянием, которое электрон проходит между актами рассеяния. Это расстояние важно, зная его, мы можем вычислить насколько тонкие мы должны сделать наш образцы, так чтобы множественное рассеяние не является значительным, что позволяет легче интерпретировать получаемые изображения и спектроскопические данные с использованием теории однократного рассеяния. Термин σtotal может быть выражен как обратная длина свободного пробега λ. Поскольку размерность σtotal являются м-1, есть простое выражение для длины свободного пробега, которое имеет размерность длины
(2.9)
Типичные значения λ для рассеяния при типичных для ПЭМ ускоряющих напряжениях составляют порядка десятков нанометров, поэтому приближение однократного рассеяния применимо для образов толщиной этого порядка. К сожалению, для длины свободного пробега принято использовать обозначение λ, не надо путать это обозначение с длиной волны электрона. Из уравнения 2.9 мы можем определить вероятность рассеяния p, при прохождении электроном через образец толщиной t
(2.10)
где (σtotal) из уравнения 2.8.
Хотя вычислительные ресурсы постоянно совершенствуются наши знания о значениях σ, λ, и θ неточны в лучшем случае, в частности, для 100-400 кэВ энергий пучков, используемых в ПЭМ. Мы можем объединить все наши знания о рассеянии, для предсказания путей в пучке электронов рассеивающихся в тонкой фольге, путем моделирования методом Монте Карло.
Рисунок 2.4 показывает, рассчитанные методом Монте-Карло пути электронов через тонкую фольгу из меди и золота.
Элементарная классическая теория электропроводности металлов
Исходя из
представлений о свободных электронах,
Друде разработал классическую теорию
электропроводности металлов, которая
затем была усовершенствована Лоренцем.
Согласно этой
теории в металлах кроме отрицательных
зарядов должны существовать и положительные
заряды.
Эти положительные
заряды металла представляют собой ионы,
образующие кристаллическую решетку
металла.
Электроны
проводимости, вследствие теплового
движения, хаотически перемещаясь,
испытывают соударения с ионами решетки.
При наложении внешнего поля электроны
совершают упорядоченное
движение, противоположное внешнему
полю. Это и есть электрический ток.
В теории
Друде-Лоренца предполагается,
что движение электронов подчиняется
законам классической механики Ньютона.
Взаимодействием электронов между собой
в этой теории пренебрегают, а взаимодействие
электронов с положительными ионами
сводят только к соударениям. Иными
словами, электроны проводимости в
металлах рассматриваются как «электронный
газ», подобный идеальному газу,
подчиняющемуся законам статистики
Максвелла – Больцмана.
Согласно закону
распределения энергии по степеням
свободы, средняя энергия хаотического
движения электронов в металле равна
,
где
—
средняя квадратическая скорость
электронов;
— масса электрона.
Отсюда
.
Обозначив через
среднюю длину свободного пробега
электронов в металле, можно найти время
свободного пробега электронов
:
,
где
— средняя скорость движения электронов
в металле (величина ее близка к
.
При включении поля
на хаотическое тепловое движение
электронов накладывается их упорядоченное
движение с некоторой средней скоростью
.
Величину этой
скорости можно найти из формулы,
связывающей плотность тока
с числом носителей в единице объема
,
их зарядом
и средней скоростью
:
.
Скорость
упорядоченного движения зарядов во
много раз меньше средней скорости
теплового движения, поэтому в дальнейших
расчетах модуль результирующей скорости
можно заменить модулем скорости теплового
движения
.
Закон Ома в
электронной теории металлов
Чтобы объяснить
закон Ома с точки зрения электронной
теории металлов и упростить расчеты,
предположим, что при каждом соударении
электрон
передает
решетке накопленную энергию полностью
и поэтому, после
соударения начинает движение без
начальной скорости.
Предположим так же, что при прохождении
тока через проводник напряженность
поля,
создаваемого этим током, не
изменяется.
На каждый электрон
при движении действует сила
.
Под действием этой силы электрон
приобретает ускорение
.
Скорость электрона
к концу свободного пробега равна
(аналог
,
,
).
Так как электрон
между соударениями движется равноускоренно,
то среднее значение его скорости равно
половине максимального значения
.
Подставив в эту
формулу вместо
его выражение, получим
.
И, наконец, подставив
найденное значение скорости
в формулу для плотности тока, получим
.
Как следует из
этой формулы, плотность тока пропорциональна
напряженности поля, а это, как знаем,
выражается законом Ома
.
— удельная
проводимость материала проводника или
коэффициент электропроводности.
Следовательно,
.
Если бы электроны
не сталкивались с ионами решетки, длина
свободного пробега, а, следовательно,
и проводимость проводников, были бы
бесконечно велики. Таким образом,
электрическое сопротивление металлов
обусловлено соударениями свободных
электронов с ионами, помещающимися в
узлах кристаллической решетки металла.
Закон Джоуля-Ленца
в электронной теории металлов
К концу свободного
пробега электронов их кинетическая
энергия равна
.
Подставим вместо
ее
значение. Тогда
.
Заменив
его выражением, получим
.
Столкнувшись с
ионом, электрон полностью теряет
приобретенную им за время пробега
скорость, т.е. передает свою энергию
кристаллической решетке. Эта энергия
идет на увеличение внутренней энергии
металла, проявляющейся в его нагревании.
Каждый электрон
при своем движении претерпевает за
секунду в среднем число соударений
.
.
В единице объема
за 1 секунду выделяется тепло
,
— число электронов
в единице объема проводника.
Т.к.
— удельная мощность тока, а в нашем случае
и
,
то в формуле
можно заменить на
.
Тогда
.
Обозначим
через
,
тогда
.
Это и есть закон
Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Закон Видемана-Франца
Из опыта известно,
что металлы, обладающие более высокой
электропроводностью, имеют и лучшую
теплопроводность. Видеман и Франц в
1853г. становил закон, согласно которому
отношение
коэффициента теплопроводности
к коэффициенту электропроводности
для всех металлов одинаково и увеличивается
пропорционально абсолютной температуре.
Электроны
проводимости, перемещаясь в металле,
переносят с собой не только электрический
заряд, но и присущую им энергию
беспорядочного теплового движения,
т.е. осуществляют теплопередачу.
Рассматривая
электроны как одноатомный газ, выражение
для коэффициента теплопроводности
можно записать как
(см. тему «Механика:
явления переноса»),
здесь
— плотность газа;
— масса электрона;
— число электронов
в единице объема;
— удельная
теплоемкость при постоянном объеме;
— средняя скорость
теплового движения электронов;
— длина свободного
пробега электронов.
Как нам известно,
удельная теплоемкость одноатомного
газа равна
.
Величина универсальной
газовой постоянной связана с постоянной
Больцмана соотношением
.
С учетом этого
,
а
.
Разделив
на выражение
,
полученное нами при выводе закона Ома,
имеем
.
Средняя энергия
хаотического теплового движения
электронов, как мы отмечали выше, равна
.
Заменив
через
получим
— закон Видемана-Франца.
Недостатки
классической электронной теории
проводимости металлов
Классическая
электронная теория металлов смогла
объяснить законы Ома, Джоуля-Ленца и
дать качественное объяснение закона
Видемана-Франца.
І.
Вместе с тем согласие экспериментальных
данных и теоретических расчетов для
закона Видемана – Франца оказалось не
очень хорошим. Лоренц уточнил расчеты,
учтя распределение электронов по
скоростям, и для отношения
получил значение
,
которое согласуется с экспериментальными
данными еще хуже. Это указывало на
недостатки теории Друде-Лоренца.
ІІ.
Второе затруднение теории Друде-Лоренца
возникло при сопоставлении с опытом
килограмм-атомной теплоемкости
одновалентного металла. Согласно теории,
килограмм-атомная теплоемкость металла
должна складываться из теплоемкости
ионной кристаллической решетки, равной
,
и теплоемкости электронного газа, равной
.
У одновалентного
металла
,
следовательно
.
Однако, опыт показывает, что килограмм-
атомная теплоемкость металлов, как и
других твердых тел, одинакова и равна
(закон Дюлонга и Пти).
ІІІ.
Третье затруднение классической
электронной теории проводимости металлов
заключается в невозможности правильно
объяснить температурную зависимость
электрического сопротивления.
Как мы уже знаем,
электрическое сопротивление — это
величина обратная коэффициенту
электропроводности
,
т.е.
.
В формуле для
в знаменателе стоит величина средней
скорости теплового движения электронов
.
Следовательно, для
это значение будет в числителе, а так
как
прямо пропорционально
,
то
~
.
Однако, как
показывает опыт,
~
.
Объяснение этим несоответствиям смогла
дать лишь квантовая
теория.
Несмотря на
неспособность классической теории дать
объяснение ряду явлений, она сохранила
свое значение и до настоящего времени,
потому что в случае малых концентраций
свободных электронов (что имеет место
в полупроводниках) она дает вполне
удовлетворительные результаты. Вместе
с тем, по сравнению с квантовой теорией,
классическая теория обладает значительной
простотой и наглядностью.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Длина — свободный пробег — электрон
Cтраница 1
Длина свободного пробега электрона обратно пропорциональна вероятности рассеяния электр она внутри кристаллической решетки полупроводника. Мерой такой вероятности служит степень отступления от строгой периодичности идеальной кристаллической решетки.
[1]
Длина свободного пробега электронов, вычисленная из формул классической электронной теории, оказывается на несколько порядков больше межатомного расстояния, что противоречит основным представлениям теории.
[2]
Длина свободного пробега электронов весьма мала. Поэтому электроны под действием поляне успевают приобрести большой скорости; их средняя скорость упорядоченного ( создаваемого полем) движения и во много раз меньше средней скорости v их теплового движения.
[3]
Длина свободного пробега электронов в металле определяется волновыми свойствами электронов.
[4]
Длина свободного пробега электрона в пленке ограничивается не только ее поверхностью, но и структурными дефектами. На структуру пленки влияет температура подложки в момент осаждения, поэтому удельное сопротивление зависит от температуры подложки, уменьшаясь с возрастанием температуры. Снижение удельного сопротивления наблюдается у пленок, полученных на холодной подложке после прогрева в вакууме. Температура структурных превращений пленок близка к температуре рекристаллизации металла и существенно зависит от толщины пленок. Степень изменения удельного сопротивления после прогрева у тонких пленок более велика, чем у толстых.
[5]
Газокинетическая длина свободного пробега электрона Ае дает лишь приближенное представление о движении электронов в газе. Qe) оказывается зависящим также от скорости движения ( энергии) электронов. Здесь скорость электрона V3 см / сек связана с энергией электрона U3 эв соотношением v3 6 107 Уиз.
[7]
Если длина свободного пробега электронов превышает расстояние между электродами, то движение электронов можно рассматривать как свободное. Теплопередача сводится к переносу энергии электронами и к лучеиспусканию.
[8]
Понятие длина свободного пробега электронов и ее зависимость от кинетической энергии теряет смысл для таких ионных полупроводников, в которых длина пробега оказывается меньше межатомных расстояний. Длина волны электронов здесь превышает размеры рассеивающих центров, а неопределенность в значении кинетической энергии на порядок величины больше самой энергии.
[9]
Обычно длина свободного пробега электрона в полупроводнике значительно меньше толщины электронно-дырочного перехода. Если за время свободного пробега электроны успевают набрать достаточную энергию, то возникает ударная ионизация атомов электронами. Поскольку скорость электронов, определяющая их энергию, зависит от напряженности электрического поля: vn inE, для ударной ионизации необходима определенная величина этой напряженности.
[10]
Когда длина свободного пробега электрона начинает ограничиваться примесями и дефектами, она становится температурно независящей и сопротивление, которое и называется остаточным, становится практически постоянной величиной. В неупорядоченных сплавах даже при комнатной температуре сопротивление может обусловливаться главным образом неоднородностями.
[11]
Если длина свободного пробега электронов превышает расстояние между электродами, то движение электронов можно рассматривать как свободное. Теплопередача сводится к переносу энергии электронами и к лучеиспусканию.
[12]
Конечность длины свободного пробега электрона обусловлена неидеальностью решетки и взаимодействием электронов. Неидеальность же решетки, в свою очередь, связана с наличием примесей и искажений, а также с тепловыми колебаниями решетки. Таким образом, следует различать три основных механизма рассеяния электронов — рассеяние электронов примесными атомами, рассеяние электронов колебаниями решетки и рассеяние электронов электронами.
[13]
Вычисление длины свободного пробега электронов проводимости в металлах при комнатной температуре дает величину в несколько сотен ангстрем. Таким образом, в этом интервале толщин электроны проводимости в пленках будут чаще сталкиваться с поверхностью пленки, чем с другими центрами рассеяния, и рассеяние на поверхности становится важным механизмом для сопротивления. Так как этот механизм рассеяния не чувствителен к деформации, в целом чувствительность к деформации уменьшается. Если еще дальше уменьшать толщину пленки, пленка перестает быть сплошной, и общее сопротивление начинает определяться сопротивлением участков между отдельными островками.
[15]
Страницы:
1
2
3
4