Как найти формулу обратной пропорциональности

Прямая и обратная пропорциональность

• Прямая пропорциональность
• Формула прямой пропорциональности
• Обратная пропорциональность
• Формула обратной пропорциональности

Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость  v  равной  5 км/ч,  то пройденный путь  s  будет зависеть только от времени движения  t:

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения  t,  во столько же раз увеличивается пройденное расстояние  s.  В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость  (v = 5 км/ч)  является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

следовательно,

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время  (t = 2 ч):

следовательно,

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

y = kx,

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных  y  и  x  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь  s  равным  120 км,  то потраченное на преодоление этого пути время  t  будет зависеть только от скорости движения  v:

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения  v,  во столько же раз уменьшается время  t.  В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

s = vt,

следовательно,

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных  y  и  x,  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Прямая пропорциональность

Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.

Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.

Функция прямой пропорциональности и ее график

Эта зависимость описывается следующей формулой:

y = k * x.

Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.

Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа).

Свойства функции прямой пропорциональности

Основные свойства следующие:

• область определения, значений составляют все действительные числа;

• является нечетной;

• возрастает при всех значениях x, если k > 0;

• если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает;

• если k > 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 — 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х.

Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

Функция обратной пропорциональности и ее график

Функция задается формулой:

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

Нужно построить график функции y = 8/x. 

Вот так выглядит таблица для данной функции:

Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

Свойства функции обратной пропорциональности

Основные следующие:

• области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;

• если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;

• оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше. 

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.

Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция

ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ:

Величины называются прямо пропорциональными, когда при увеличении одной из них в какое-то количество раз, в это же количество раз увеличивается и другая. Аналогично при уменьшении одной из величин в какое-то количество раз, вторая уменьшается во столько же.

Например:

(S = vt)

где S – расстояние, v – скорость, t – время.

Представим, что скорость у нас всегда равна 5 км/ч. Тогда будем изменять только расстояние и время:

— Если время равно 1 ч, то расстояние будет равным:

(S = 5 bullet 1 = 5)

— Увеличим время в 3 раза, получим, что время равно 3 ч, а расстояние:

(S = 5 bullet 3 = 15)

Видим, что расстояние тоже увеличилась в 3 раза.

Тогда мы говорим, что в выражении (S = vt) величины S и t – прямо пропорциональные.

Аналогично можем поступить с расстоянием и скоростью, если время будет постоянной величиной. Расстояние и время, расстояние и скорость – прямо пропорциональные между собой, потому что имеют один вид. Такая формула называется – формулой прямой пропорциональности:

(y = kx)

где (x, y) – переменные пропорциональные величины, а (k )– коэффициент пропорциональности

Если выразим k, получим, что:

(k = frac{y}{x})

В таком случае коэффициент k будет одинаков при любых значениях переменных, если они прямо пропорциональны.

ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ:

Величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в какое-то количество раз, вторая в это же количество раз уменьшается. И наоборот, если одна из величин в какое-то количество раз уменьшается, то вторая в это же количество раз увеличивается.

Например:

(S = vt)

где S – расстояние, v – скорость, t – время.

Представим, что расстояние у нас всегда равно 60 км. Тогда будем изменять только скорость и время. Выразим, например, скорость:

(v = frac{S}{t})

— Если время равно 1 ч, то скорость будет равна:

(v = frac{60}{1} = 60)

— Увеличим время в 2 раза, то время будет равно 2 ч, а скорость:

(v = frac{60}{2} = 30)

Видим, что при увеличении времени в 2 раза, скорость в 2 раза уменьшилась. Такие величины, как скорость и время в данном выражении, называются обратно пропорциональными.

Общая формула обратной пропорциональности выглядит так:

(y = frac{k}{x})

А коэффициент обратной пропорциональности находится перемножением обратно пропорциональных величин:

(k = x bullet y)

В таком случае коэффициент k будет одинаков при любых значениях переменных, если они обратно пропорциональны.

ПРОПОРЦИЯ:

Пропорция – это выражение, описывающее равенство отношений двух величин.

То есть, если (frac{a}{b} = k) и (frac{c}{d} = k), то пропорцией будет являться выражение:

(frac{a}{b} = frac{c}{d} = k)

где (k) – коэффициент пропорциональности данной пропорции. Обычно пропорцию записывают без коэффициента в виде:

(frac{a}{b} = frac{c}{d})

Числа a и d – крайние члены пропорции, а b и с – средние

Это легко запомнить, если записать пропорцию в строчку:

(a : b = c : d)

Сразу видно, что a и d находятся по краям, а b и с – посредине

Свойство пропорции:

Если помножить обе части пропорции на (text{bd}), то мы получим:

(frac{a}{b} bullet text{bd} = frac{c}{d} bullet bd)

(ad = cb)

Это и есть свойство пропорции – произведение крайних членов пропорции равно произведение средних членов. Еще такое равенство произведений называют умножением крест-накрест.

Чтобы проверить, является ли выражение пропорцией – используют свойство или коэффициент пропорции.

Пример №1:

Проверим, является ли пропорцией:

(frac{0,1}{0,175} = frac{4}{7})

Используем свойство пропорции, т.к. найти коэффициент пропорции будет затруднительно:

(0,1 bullet 7 = 4 bullet 0,175)

(0,7 = 0,7)

Значит данное выражение является пропорцией.

Пример №2:

Проверим, является ли пропорцией:

(frac{4}{0,2} = frac{95}{5})

Используем коэффициент пропорции. Он должен быть равен для двух дробей, если выражение является пропорцией:

(frac{4}{0,2} = frac{40}{2} = 20)

(frac{95}{5} = 19)

(20 neq 19)

Значит данное выражение НЕ является пропорцией.