Как найти гиперболу в прямоугольном треугольнике - AutoPluse.ru

§ 4.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых от двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, постоянна.

Для вывода простейшего уравнения
гиперболы расположим оси координат по отношению к ее фокусам
и
так же, как мы это делали в предыдущем параграфе для эллипса. Сохраним для
гиперболы те же обозначения: 2а для постоянной величины, упоминаемой
в определении гиперболы, 2с
для расстояния между фокусами
и .
Координаты фокусов те же, что и для эллипса в предыдущем параграфе:
и .

Возьмем произвольную точку ,
лежащую на гиперболе. По определению гиперболы для точек кривой, лежащих в
I и IV
четвертях имеем:

(3.18),

а для
точек, лежащих во II и III четвертях:

(3.18`).

Заметим, что для гиперболы в отличие
от эллипса
(2а
есть разность двух сторон треугольника ,
а 2с – его третья сторона). Выражая через координаты точек ,

и
длины отрезков
и
оба равенства (3.18) и (3.18‘)
можно записать в виде:

(3.19).

Производя над этим уравнением те же преобразования, что и
над уравнением (3.6) в случае эллипса (см. § 4.2), мы в конечном счете придем
к тому же самому уравнению (3.10):

в котором, однако, теперь .
(Рекомендуется читателю произвести это преобразование самостоятельно.)

Деля левую и правую части уравнения
(3.10) на
и учитывая, что теперь ,
запишем результат в виде:

(3.20).

Наконец, полагая ,
получим окончательно простейшее (каноническое) уравнение гиперболы:

(3.21).

Можно доказать, что равенство (3.21) равносильно объединенному равенству (3.19).

Для построению гиперболы по ее
уравнению (3.21) заметим прежде всего, что первый член левой части этого уравнения
не меньше его правой части, т. е. единицы (поскольку из
вычитается неотрицательная величина ):
.

Отсюда .
Таким образом, в вертикальной полосе между параллельными оси Oy
прямыми
и
точек кривой нет.

Отмечаем далее, что, так же как и для эллипса, оси координат служат осями симметрии гиперболы, так как в уравнении (3.21) x и y входят лишь в четных степенях. Поэтому достаточно построить часть гиперболы, лежащую в I четверти.

Решим уравнение гиперболы (3.21)
относительно y: ,
выберем в правой части знак плюс, поскольку в I
четверти :

,
(3.22).

При
;
при возрастании x
возрастает и y:
ветвь гиперболы, подымаясь от оси Ox,
уходит на плоскости все дальше и дальше, или, как говорят в геометрии, уходит
«в бесконечность». Но при этом, как нетрудно показать, ветвь кривой все ближе
и ближе подходит к прямой .
В самом деле, разность между ординатами точек этой прямой и гиперболы (обозначим
ее через ),
соответствующих одному и тому же значению абсциссы х, имеем следующее
выражение:

(3.23)

Из последнего выражения видно,
что когда х неограниченно возрастает, то ,
оставаясь положительным, стремится к нулю, что и подтверждает высказанную
нами мысль: ветвь гиперболы, лежащая в I
четверти неограниченно приближается (и притом снизу, так как )
к прямой ,
когда абсцисса х точки гиперболы неограниченно возрастает. Такие прямые,
к которым неограниченно приближаются уходящие в бесконечность ветви кривых,
называются асимптотами этих кривых.

Таким образом, прямая
является асимптотой гиперболы. В силу симметрии гиперболы у нее есть и вторая
асимптота: .
Наличие асимптот и соображения симметрии позволяют нам построить всю гиперболу
(рис. 5): кривая состоит из двух не смыкающихся ветвей, лежащих в углах между
прямыми
и
и неограниченно приближаются к этим прямым.

В отношении гиперболы используется следующая терминология.

Отрезок
называют вещественной, а
– мнимой
осью гиперболы; их длины равны соответственно 2а и 2b
(а
– вещественная полуось, b
– мнимая полуось). Точки гиперболы
и ,
лежащие на вещественной оси, – вершины гиперболы. Точка О
– центр
гиперболы. Изображенный на рис. 3.5 пунктиром прямоугольник
с центром в точке О и сторонами ,
и ,
параллельными осями симметрии гиперболы, называют осевым прямоугольником
гипербол; его построение облегчает построение гиперболы; сама гипербола касается
вертикальных сторон этого прямоугольника в их серединах, являющихся вершинами
гиперболы.

Для построения фокусов гиперболы

и
полезно знать, что основное соотношение между величинами ,

и
у гиперболы можно записать в виде:

(3.24).

Поэтому расстояние от центра гиперболы
до ее фокуса
равно половине длинны диагонали осевого прямоугольника :
в прямоугольном треугольнике
катеты ,
,
а следовательно, его гипотенуза .

Форма гиперболы зависит от угла
наклона асимптоты к вещественной оси, т. е. от величины отношения :
чем эта величина меньше, тем меньше угол между асимптотами, в котором заключена
гипербола, и тем более сжата сама гипербола; чем больше величина ,
тем круче располагаются ветви гиперболы.

Но, так же как и для эллипса,
в качестве характеристики формы гиперболы в аналитической геометрии пользуются
не величиной отношения ,
а величиной ,
называемой эксцентриситетом гиперболы и обозначают той же буквой ,
как и для эллипса:

(3.25).

Так как у гиперболы ,
то эксцентриситет гиперболы .
Из прямоугольного треугольника
, в котором острый угол наклона асимптоты к вещественной оси обозначен через
,
находим:

и, следовательно:

(3.26),

т. е. эксцентриситет гиперболы

равен секансу угла наклона асимптоты к вещественной оси.

Важным частным случаем гиперболы
является равносторонняя (равноосная) гипербола – такая гипербола, у
которой равны длины вещественной и мнимой полуосей: .

Уравнение этой гиперболы имеет вид:

(3.27).

У равносторонней гиперболы, как
нетрудно показать, угол между асимптотами прямой,
и .

Для гиперболы, у которых оси совпадают и равны, но вещественная
ось одной служит мнимой осью другой и наоборот, называются сопряженными;
асимптоты таких гипербол также совпадают (поскольку совпадают их осевые прямоугольники),
но гиперболы располагаются в смежных углах между асимптотами.

Нетрудно видеть, что если уравнением одной из сопряженных гипербол является уравнение (3.21):

то уравнение второй будет иметь вид:

,
или (3.28),

поскольку меняются ролями оси Ox и Oy и полуоси гипербол а и b.

Отметим, что расстояние с
от центра до фокусов у обеих сопряженных гипербол одно и то же, определяемое
формулой (3.24), но эксцентриситеты различные: ,
;
(если только обе гиперболы не являются равносторонними).

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.

Определение и функция гиперболы
Алгоритм построения гиперболы
- Пример 1
- Пример 2

Определение и функция гиперболы

Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:

Здесь:

x – независимая переменная;
k ≠ 0;
при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
при k < 0 график находится во II и IV четвертях.

На рисунке ниже изображен пример гиперболы.

Линии графика (зеленым цветом) называются его ветвями.
Оси абсцисс и ординат (Ox и Oy) являются асимптотами гиперболы, т.е. ветви бесконечно к ним приближаются, но никогда их не коснутся и не пересекут.
Ось симметрии (синим цветом) – это прямая:
- y = x (при k > 0)
- y = -x (при k < 0)

Смещение асимптот

Допустим у нас есть функция, заданная формулой:

В этом случае:

x = a – это вертикальная асимптота графика (при a ≠ 0) вместо оси Oy;
y = b – горизонтальная асимптота (при b ≠ 0) вместо оси Ox.

Канонический вид уравнения гиперболы (координатные оси совпадают с осями графика):

Алгоритм построения гиперболы

Пример 1

Дана функция y = ⁴/_x. Построим ее график.

Решение

Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.

Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.


x	y	Расчет y
0,5	8	⁴ / _0,5 = 8
1	4	⁴ / ₁ = 4
2	2	⁴ / ₂ = 2
4	1	⁴ / ₄ = 1
8	0,5	⁴ / ₈ = 0,5

Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, которая будет стремиться к осям координат. В итоге получится ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.

Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.


x	y	Расчет y
-0,5	-8	⁴ / _-0,5 = -8
-1	-4	⁴ / _-1 = -4
-2	-2	⁴ / _-2 = -4
-4	-1	⁴ / _-4 = -1
-8	-0,5	⁴ / _-8 = -0,5

Соединив полученные точки получаем следующий результат. На этом построение гиперболы завершено.

Пример 2

Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:

Решение

Так как k < 0, график будет располагаться во второй и четвертой четвертях.

Теперь определяемся с асимптотами, в нашем случае это x = 3 и y = 4 (см. информацию выше про их смещение).

Составим таблицу соответствия значений x и y.


x_{II четв.}	y_{II четв.}	x_{IV четв.}	y_{IV четв.}
-1	4,5	3,5	0
1	5	4	2
2	6	5	3
2,5	8	7	3.5

Остается только нанести рассчитанные точки на координатную плоскость и соединить их плавными линиями.

Источник

Гипербола — определение и вычисление с примерами решения

Гипербола:

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение гиперболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 31. Вывод уравнения гиперболы.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению, для гиперболы имеем Из треугольников по теореме Пифагора найдем соответственно.

Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем неизвестные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Получим Разделив все члены уравнения на величину получаем каноническое уравнение гиперболы: Для знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси Ох, вдоль которой вытянута гипербола. Для знака фокусы гиперболы расположены на оси Оу, вдоль которой вытянута гипербола.

Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и симметричные точки и следовательно, гипербола симметрична относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии гиперболы (Рис. 32). Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями: т.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки т.е. гипербола не пересекает ось ординат.

Рис. 32. Асимптоты и параметры гиперболы

Определение: Найденные точки называются вершинами гиперболы.

Докажем, что при возрастании (убывании) переменной х гипербола неограниченно приближается к прямым не пересекая эти прямые. Из уравнения гиперболы находим, что При неограниченном росте (убывании) переменной х величина следовательно, гипербола будет неограниченно приближаться к прямым

Определение: Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр а называется действительной, а параметр b — мнимой полуосями гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму гиперболы. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения мнимой полуоси гиперболы к действительной полуоси Если эксцентриситет и гипербола становится равнобочной. Если и гипербола вырождается в два полубесконечных отрезка

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось b = 5 и гипербола проходит через точку М(4; 5).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины:

Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса

Решение:

Для определения координат фокусов и вершин эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: или Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Итак, вершины эллипса расположены на оси и на оси Так как то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Согласно условию задачи (см. Рис. 33):

Рис. 33. Параметры эллипса и гиперболы

Вычислим длину мнимой полуоси Уравнение гиперболы имеет вид:

Гипербола в высшей математике

Решая его относительно , получим две явные функции

или одну двузначную функцию

Функция имеет действительные значения только в том случае, если . При функция действительных значений не имеет. Следовательно, если , то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует.

При получаем.

При каждому значению соответствуют два значения , поэтому кривая симметрична относительно оси . Так же можно убедиться в симметрии относительно оси . Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36).

Кривая, все точки которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой.

Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами и .

Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью.

Рассмотрим прямую, заданную уравнением . Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой , а ординату точки на гиперболе через . Тогда , (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах:

Умножим и разделим правую часть на

Будем придавать все большие и большие значения, тогда правая часть равенства будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться. Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой .

Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением . Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой , а кусок левой ветви, расположенный в третьей четверти, — к прямой .

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболы.

Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями (рис. 37).

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Тела вращения: цилиндр, конус, шар
Правильные многогранники в геометрии
Многогранники
Окружность
Эллипс

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Что такое гипербола

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:

Две симметричные ветви.
Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.

Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) — 4(y^2) = 20.

Приведем данное уравнение к каноническому виду (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1.

Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:

Сокращаем обе дроби в уме или при помощи трехэтажной дроби:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Готово. Можно начертить гиперболу.

Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 — 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 — (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.

Пример 2. Построить гиперболу, которая задана уравнением 3(x^2)/20 — 8(y^2)/20 = 1.

Произведем сокращение при помощи трехэтажной дроби:
Воспользуемся каноническим уравнением
- Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
  Важно! Без этого шага ветви гиперболы «вылезут» за асимптоты.
- Найдем две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).

Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.

Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

Найдем дополнительные точки — хватит двух-трех.

В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:

— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

— определяет нижние дуги гиперболы.

Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

Изобразим на чертеже полученные асимптоты y = (√5/2)x, y = -(√5/2)x, вершины A1(2; 0), A2(-2; 0), дополнительные C1, C2 и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединяем соответствующие точки у каждой ветви гиперболы.

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

Мнимая полуось гиперболы — число b.

В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

Форма гиперболы

Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .

Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:

пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

Запишем это уравнение в координатной форме:

Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

, т.е. выбранная система координат является канонической.

Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

Директориальное свойство гиперболы звучит так:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

можно записать в координатной форме так:

Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 — a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Так как b^2 = c^2 — a^2, то величина b изменится.

При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 — y^2 = a^2

Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 — a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-giperbola

http://function-x.ru/curves_hyperbola.html

Источник

Гиперболой
называется множество всех точек
плоскости, модуль разности расстояний
от каждой из которых до двух заданных
точек этой же плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная,
меньшая, чем расстояние между фокусами.

аноническое уравнение гиперболы:

(9)

где

—
действительная полуось,

—
мнимая полуось гиперболы,

—
фокусное расстояние. Числа

связаны соотношением

.
(10)

Координаты
фокусов

Точки

и

называются
вершинами гиперболы, точка O
– центром
гиперболы.

Важными
характеристиками гиперболы являются:

—
эксцентриситет

(1<
<
)
(11)

если

~ 1, то ветви гиперболы широкие, почти
вертикальные,

если

~

,
то ветви гиперболы узкие, гипербола
приближается к оси Ox.

—
асимптоты

.
(12)

Прямоугольник

,
центр которого совпадает с точкой О,
а стороны равны и параллельны осям
гиперболы называется основным
прямоугольником гиперболы. Диагонали
основного прямоугольника лежат на
асимптотах.

—
директрисы
гиперболы
– прямые, параллельные мнимой оси
гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии,
равном

.
Уравнения директрис:

.
(13)

—
фокальные
радиусы
определяются формулами:

для точек правой
ветви гиперболы:

;
(14)

для точек левой
ветви:

.
(15)

Рис. 5. Гипербола,
ее асимптоты и основной прямоугольник

Если

,
то гипербола (9) называется равносторонней
(равнобочной). Ее уравнение принимает
вид

.
(16)

Если
фокусы гиперболы лежат на оси

,
то уравнение гиперболы имеет вид:

(17)
эксцентриситет этой гиперболы равен

,
асимптоты определяются уравнениями

,
уравнения директрис

.
Гипербола (17) называется сопряженной
гиперболе (9).

Пример
3.1.

Дано
уравнение гиперболы

.
Найти:

длины
его полуосей;
координаты
фокусов;
эксцентриситет
гиперболы;
уравнения
асимптот и директрис;
фокальные
радиусы точки
на
гиперболе найти точку, для которой
расстояние от левого фокуса в 3 раза
больше, чем от правого.

Решение.

Разделив
обе части уравнения

на

,
приведем уравнение гиперболы к
каноническому виду:

Отсюда:

,
т.е. действительная полуось

,
мнимая полуось

2)
Используя соотношение (10), находим

,
т.е.

.
Запишем фокусы гиперболы:

,

.

3)
По формуле (11) находим эксцентриситет
гиперболы

.

4)
Уравнения асимптот и директрис найдем
по формулам (12) и (13):

и

.

5)
точка

лежит
на правой ветви гиперболы

,
используем формулы (14):

,

6)
Найдем на гиперболе точку

такую, что

.
Используя формулы (14) и

,
получим:

;

Находим

и

.

Поскольку

лежит на гиперболе

,
то ординаты соответствующих точек
найдем из этого уравнения при найденных
значениях x:

и,
если

,
то

(это число не существует в нужном нам
смысле), а если

,
то

.

Итак,
получили две точки на гиперболе,
удовлетворяющие данным условиям:

и

.

Пример
3.2.

Составить
уравнение гиперболы, симметричной
относительно координатных осей, которая
проходит через точку

и ее асимптоты имеют уравнения

.

Решение.

Подставим
координаты точки

в уравнение (9):

.

Уравнения
асимптот гиперболы

,
поэтому

,
тогда

.
Получим систему двух уравнений:

Запишем
уравнение гиперболы:

Задачи для
самостоятельного решения:

1.
Дана гипербола

.
Найти: 1) полуоси

;
2) фокусы;

3)
эксцентриситет; 4) уравнения асимптот;
5) уравнения директрис.

2.
Дана гипербола

.
Найти: 1) полуоси

;
2) фокусы;

3)
эксцентриситет; 4) уравнения асимптот;
5) уравнения директрис.

3.
Составить уравнение гиперболы, фокусы
которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала
координат, зная, кроме того, что:

1)
ее оси

и

;

2)
расстояние между фокусами

и ось

;

3)
расстояние между фокусами

и эксцентриситет

;

4)
ось

и эксцентриситет

;

5)
уравнения асимптот

и расстояние между фокусами

;

6)
расстояние между директрисами равно

и расстояние между фокусами

;

7)
расстояние между директрисами равно

и ось

;

расстояние между директрисами равно

и эксцентриситет

;

9)
уравнения асимптот

и расстояние между директрисами равно

;

10)
точки

и

гиперболы;

11)
точка

гиперболы и эксцентриситет

;

12)
точка

гиперболы и уравнения асимптот

;

13)
точка

гиперболы и уравнения директрис

;

14)
уравнения асимптот

и уравнения директрис

4.
Составить уравнение гиперболы, фокусы
которой расположены на оси ординат
симметрично относительно начала
координат, зная, кроме того, что:

1)
ее полуоси

(буквой

мы обозначаем полуось гиперболы,
расположенную на оси абсцисс);

2)
расстояние между фокусами

и эксцентриситет

;

3)
уравнения асимптот

и расстояние между вершинами равно 48;

4)
расстояние между директрисами равно

и эксцентриситет

;

5)
уравнения асимптот

и расстояние между директрисами равно

5.
Установить, какие линии определяются
следующими уравнениями:

1)

;
2)

;
3)

;
4)

.

Изобразить
эти линии на чертеже.

6.
Вычислить площадь треугольника,
образованного асимптотами гиперболы

и прямой

.

7.
Дана точка

на гиперболе

.
Составить уравнения прямых, на которых
лежат фокальные радиусы точки

8.
Убедившись, что точка

лежит на гиперболе

,
определить фокальные радиусы точки

9.
Эксцентриситет гиперболы

,
фокальный радиус ее точки

,
проведенный из некоторого фокуса, равен
16. Вычислить расстояние от точки

до односторонней с этим фокусом
директрисы.

10.
Эксцентриситет гиперболы

,
расстояние от точки

гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить
расстояние от точки

до фокуса, одностороннего с этой
директрисой.

11.
Эксцентриситет
гиперболы

,
центр ее лежит в начале координат, один
из фокусов

.
Вычислить расстояние от точки

гиперболы с абсциссой, равной 13, до
директрисы, соответствующей заданному
фокусу.

12.
Эксцентриситет гиперболы

,
центр ее лежит в начале координат, одна
из директрис дана уравнением

.
Вычислить расстояние от точки

гиперболы с абсциссой, равной 10, до
фокуса, соответствующего заданной
директрисе.

13.
Определить точки гиперболы

,
расстояние от которых до правого фокуса
равно 4,5.

14.
Определить точки гиперболы

,
расстояние от которых до левого фокуса
равно 7.

15.
Составить уравнение гиперболы, если ее
эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают
с фокусами эллипса

.

16.
Составить уравнение гиперболы, фокусы
которой лежат в вершинах эллипса

,
а директрисы проходят через фокусы
этого эллипса.

17.
Найти уравнение гиперболы, вершины и
фокусы которой находятся в соответствующих
фокусах и вершинах эллипса

.

18.
Определить эксцентриситет равносторонней
гиперболы.

19.
Определить эксцентриситет гиперболы,
если отрезок между ее вершинами виден
из фокусов сопряженной гиперболы под
углом

.

20.
Прямая

касается гиперболы, фокусы которой
находятся в точках

и

.
Составить уравнение этой гиперболы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Гипербола: определение, свойства, построение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка F_1F_2 — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение $e=frac{c}{a}$ , где $c=sqrt{a^2+b^2}$ , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1.$

(3.50)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Гипербола и фокальное свойство гипербол

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:

$left||overrightarrow{F_1M}|-|overrightarrow{F_2M}|right|=2a.$

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

$sqrt{(x+c)^2+y^2}-sqrt{(x-c)^2+y^2}=pm2a.$

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,,$

где $b=sqrt{c^2-a^2}$ , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии $a^2!!not{phantom{|}},c$ от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство гиперболы). Здесь и — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

Директрисы гиперболы и директориальное свойство

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие $frac{r_2}{rho_2}=e$ можно записать в координатной форме:

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=eleft(x-frac{a^2}{c}right)$

Избавляясь от иррациональности и заменяя $e=frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2$ , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :

$frac{r_1}{rho_1}=e quad Leftrightarrow quad sqrt{(x+c)^2+y^2}= eleft(x+frac{a^2}{c} right).$

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2rvarphi (рис.3.41,б) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi}$ , где $p=frac{p^2}{a}$ — фокальный параметр гиперболы.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,varphi) и F_1(2c,pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$F_1M=sqrt{(2c)^2+r^2-2cdot(2c)^2cdot rcdotcos(varphi-pi)}=sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}.$

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

$sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}-r=2a.$

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

$r^2+4crcdotcosvarphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 quad Leftrightarrow quad aleft(1-frac{c}{a}cosvarphiright)r=c^2-a^2.$

Выражаем полярный радиус и делаем замены $e=frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=frac{b^2}{a}$ :

$r=frac{c^2-a^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{b^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-ecosvarphi},$

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( e>1 для гиперболы, 0leqslant e<1 для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число — действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),,(0,b) , равна . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые x=pm a,~y=pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые $y=pmfrac{b}{a},x$ , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox'y' (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид $y'=frac{a^2}{2x'}$ (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

Асимптоты гиперболы и равносторонняя гипербола

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол $varphi=-frac{pi}{4}$ (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

$left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y',\ y&=-frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y'end{aligned}right. quad Leftrightarrow quad left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(x'+y'),\ y&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(y'-x')end{aligned}right.$

Подставляя эти выражения в уравнение $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

$frac{frac{1}{2}(x'+y')^2}{a^2}-frac{frac{1}{2}(y'-x')^2}{a^2}=1 quad Leftrightarrow quad 2cdot x'cdot y'=a^2 quad Leftrightarrow quad y'=frac{a^2}{2cdot x'}.$

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ . то и точки M'(x,y) и M''(-x,y) , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах $r=frac{p}{1-ecosvarphi}$ (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при $varphi=frac{pi}{2}$ ).

5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: $operatorname{tg}frac{gamma}{2}=frac{b}{2}$ . Учитывая, что $e=frac{c}{a}$ и c^2=a^2+b^2 , получаем

$e^2=frac{c^2}{a^2}=frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{left(frac{b}{a}right)!}^2=1+operatorname{tg}^2frac{gamma}{2}.$

Чем больше , тем больше угол gamma . Для равносторонней гиперболы (a=b) имеем e=sqrt{2} и $gamma=frac{pi}{2}$ . Для e>sqrt{2} угол gamma тупой, а для 1<e<sqrt{2} угол gamma острый (рис.3.43,а).

Эксцентриситет гиперболы и сопряжённая гипербола

6. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ и $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ называются сопряженными друг с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение $frac{(x-x_0)^2}{a^2}-frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение $-frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

$begin{cases}x=acdotoperatorname{ch}t,\y=bcdotoperatorname{sh}t,end{cases}tinmathbb{R},$

где $operatorname{ch}t=frac{e^t+e^{-t}}{2}$ — гиперболический косинус, a $operatorname{sh}t=frac{e^t-e^{-t}}{2}$ гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству $operatorname{ch}^2t-operatorname{sh}^2t=1$ .

Построение гиперболы в канонической системе координат

Пример 3.21. Изобразить гиперболу $frac{x^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1$ в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 — действительная полуось, b=3 — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6 с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4 в уравнение гиперболы, получаем

$frac{4^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1 quad Leftrightarrow quad y^2=27 quad Leftrightarrow quad y=pm3sqrt{3}.$

Следовательно, точки с координатами (4;3sqrt{3}) и (4;-3sqrt{3}) принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

$2cdot c=2cdotsqrt{a^2+b^2}=2cdotsqrt{2^2+3^2}=2sqrt{13}$

эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{13}}{2}$ ; фокальныи параметр $p=frac{b^2}{a}=frac{3^2}{2}=4,!5$ . Составляем уравнения асимптот $y=pmfrac{b}{a},x$ , то есть $y=pmfrac{3}{2},x$ , и уравнения директрис: $x=pmfrac{a^2}{c}=frac{4}{sqrt{13}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Определение и функция гиперболы

Алгоритм построения гиперболы

Пример 1

Пример 2

Гипербола — определение и вычисление с примерами решения

Гипербола в высшей математике

Что такое гипербола

Понятие гиперболы

Форма гиперболы

Фокальное свойство гиперболы

Директориальное свойство гиперболы

Построение гиперболы

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Гипербола: определение, свойства, построение

Фокальное свойство гиперболы

Директориальное свойство гиперболы

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы

Не пропустите также: