Что такое интеграл в математике
Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, возникающее при решении задач нахождения площади под кривой, пройденного расстояния при неравномерном движении, массы неоднородного тела и т. П., А также задачи восстановления функция от своей производной (неопределенный интеграл).
Упрощенный интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых членов. В зависимости от пространства, на котором задается подынтегральное выражение, интеграл может быть — двойным, тройным, криволинейным, поверхностным и так далее.
Зачем может потребоваться вычисление интеграла
Ученые пытаются выразить все физические явления в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, с ее помощью уже можно что угодно считать. А интеграл — один из основных инструментов для работы с функциями.
Например, если у нас есть формула круга, мы можем использовать интеграл для вычисления его площади. Если у нас есть формула шара, то мы можем вычислить его объем. Благодаря интеграции они находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.
Неопределенный интеграл онлайн
В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!
Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?
Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!
Вводная к интегралам
В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.
Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.
В этом заключается один из физических смыслов интеграла.
Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.
Решение интегралов
Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.
Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.
Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод. Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами. Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.
Калькулятор решения интегралов
Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.
И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.
Вычисление интегралов
Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Также решают
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять любые интегралы. Например, найти интеграл x3sin(x2). Запишем как x^3*sin(x^2) и нажимаем кнопку Получить решение.
Если интеграл определенный, например, 
, то записываем 2/x^4+tan(x), в качестве пределов интегрирования указываем 1, 2.
Примечание: число «пи» (π) записывается как pi; знак «бесконечность» (∞) ≡ infinity
Примеры правильной записи некоторых выражений
Таблица интегралов
Приемы нахождения неопределенных интегралов
Способы нахождения неопределенных интегралов:
- Подведение под знак дифференциала:
- Интегрирование по частям: ∫xexdx
- Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример):
- Интегрирование рациональных дробей:
- Интегрирование простейших иррациональностей:
- Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: ∫cos4(x)sin3(x)dx
Пример 1. Вычислить ∫(3x+15)17dx.
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла 
, получаем
= 
.
Пример 2. Вычислить 
.
Решение.
Аналогично предыдущему,
= 
Пример 3. 
.
Решение. Поскольку
, то 
.
Пример 4. Вычислить 
Решение. Так как
, то 
.
Пример 5. Вычислить 
.
Решение.
Применим подстановку 
. Отсюда x-5=t2, x=t2+5, dx=2tdt.
Подставив в интеграл, получим
= 
Пример 6. Вычислить ∫x2exdx.
Решение.
Положим u=x2, dv=exdx; тогда du=2xdx, v=ex. Применим формулу интегрирования по частям:
∫x2exdx=x2ex-2∫xex.
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xex, применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x, dv=exdx; тогда du=dx, v=ex и
∫xex=x2ex-2xex+2ex+C.
Пример 7. Вычислить 
.
Решение. Выделяя целую часть, получим: 
.
Учитывая, что x4+5x2+4=(x2+1)(x2+4), для второго слагаемого получаем разложение
Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x2–4=(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x3: 0=A+C
x2: -5=B+D
x: 0=4A+C
x0: -4=4B+D
Отсюда находим A=C=0, B=1/3, D=-16/3.
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:
Пример 8. Вычислить 
.
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и 
; поэтому введем подстановку:
; 
,
откуда
; 
; 
;
.
Следовательно,
Пример 9. Вычислить 
.
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x); применим подстановку tgx/2=t, тогда
, 
, 
и
= 
Возвращаясь к старой переменной, получим
= 
.
Пример 10. Вычислить 
.
Решение.
Произведем замену 1+3x8 = z2. Тогда 
, 
;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.
Пример 11.Вычислить несобственный интеграл 
или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция 
не ограничена в окрестности точки x=1. На любом же отрезке [1+ε;e] она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому
.
Пример 12. Вычислить несобственный интеграл 
или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на R. По определению
= 
= 
Интеграл сходится.
Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2 и прямой x+y=2.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y=x2 и прямой y=2-x. Решая уравнение x2=2-x, находим x1=-2, x2=1. Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.
| bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Показать Этапы
Номер Строки
Примеры
-
int e^xcos(x)dx
-
int cos^3(x)sin (x)dx
-
int frac{2x+1}{(x+5)^3}
-
int_{0}^{pi}sin(x)dx
-
int_{a}^{b} x^2dx
-
int_{0}^{2pi}cos^2(theta)dtheta
-
неполные:дроби:int_{0}^{1} frac{32}{x^{2}-64}dx
-
подстановка:intfrac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}dx,:u=e^{x}
- Показать больше
Описание
Поэтапное интегрирование функций
integral-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
Advanced Math Solutions – Integral Calculator, advanced trigonometric functions, Part II
In the previous post we covered integrals involving powers of sine and cosine, we now continue with integrals involving…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Step-by-Step Examples
Calculus
Integral Calculator
Step 1:
Enter the function you want to integrate into the editor.
The Integral Calculator solves an indefinite integral of a function. You can also get a better visual and understanding of the function and area under the curve using our graphing tool.
Integration by parts formula: ?udv=uv-?vdu
Step 2:
Click the blue arrow to submit. Choose «Evaluate the Integral» from the topic selector and click to see the result!