Как найти интервалы выпуклости графика функции - AutoPluse.ru

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

С помощью онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с помощью матрицы Гессе.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

Найти вторую производную f’’(x).
Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x₀ разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x₀ является абсциссой точки перегиба графика функции.
Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x²–x³.

Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x², f ‘’(x) = 12 – 6x.

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.

f(2) = 6*2² – 2³ = 16

Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).

Пример 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x³-6x²+2x-1

Пример 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x³-6x²+12x+4

Источник

Содержание:

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале выпуклым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не выше любой
своей касательной (рис. 1).

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале вогнутым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не ниже любой
своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция $y=f(x)$ определена на интервале
$(a ; b)$ и имеет непрерывную, не равную нулю в точке
$x_{0} in(a ; b)$ вторую производную. Тогда, если
$f^{prime prime}(x)>0$ всюду на интервале
$(a ; b)$, то функция имеет вогнутость на этом интервале,
если $f^{prime prime}(x) lt 0$, то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции $y=f(x)$
называется точка $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция $y=f(x)$ имеет перегиб в точке
$Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, то
$f^{prime prime}left(x_{1}right)=0$ или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

первая производная $f^{prime}(x)$
непрерывна в окрестности точки $x_{1}$;
вторая производная $f^{prime prime}(x)=0$ или не существует в точке $x_{1}$;
$f^{prime prime}(x)$ при переходе через точку $x_{1}$ меняет свой знак,

тогда в точке $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$ функция $y=f(x)$ имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

Найти вторую производную функции.
Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

Пример

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции
$y=frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1$

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

$y^{prime prime}=left(frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1right)^{prime prime}=left(frac{x^{2}}{2}-2 x+3right)^{prime}=x-2$

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение
$y^{prime prime}(x)=0$:

$y^{prime prime}(x)=x-2=0 Rightarrow x=2$

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке $(-infty ; 2)$ вторая производная
$y^{prime prime}(x) lt 0$, то на этом промежутке функция
$y(x)$ выпукла; в силу того, что на промежутке
$(2 ;+infty)$ вторая производная
$y^{prime prime}(x)>0$ — функция вогнута. Так как при переходе через
точку $x=2$ вторая производная сменила знак, то
эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка $x=2$ — точка перегиба графика функции.

На промежутке $(-infty ; 2)$ функция выпукла, на промежутке
$(2 ;+infty)$ функция вогнута.

Читать дальше: асимптоты графика функции.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №18. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение производной второго порядка;

2) Определение промежутка выпуклости графика функции с помощью алгоритма;

3) Решение прикладных задач с использованием производной второго порядка.

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку х₀называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка минимума функции. Точку х₀называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

Найти область определения функции
Найти вторую производную функции
Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует
Найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками
Определить знаки второй производной на каждом интервале
Если f ‘‘(х) < 0, то кривая выпукла вверх;

если f ‘‘(х) > 0 то кривая выпукла вниз.

Точки, в которых вторая производная меняет знак, — точки перегиба.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение:

Область определения данной функции D(y) = (-∞; +∞)
Найдем вторую производную функции:
при х = 1, х = -1
Определим знаки второй производной на каждом интервале (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞), используя метод интервалов (рис. 1).

Рисунок 1 – интервалы на числовой прямой

Так как на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) вторая производная положительна, то на этих интервалах функция выпукла вниз.

Так как на интервале (-1; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точки х = 1 и х = -1 вторая производная меняет знак, то эти точки являются точками перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах (-∞; -1), (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1, х = -1 – точки перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба функции у=sinх

Решение:

Найдем вторую производную заданной функции

У’=соsх

У»= -sinх

Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения -sinх=0

В промежутках

Функция у=sinх принимает положительные значения, следовательно, У»= -sinх <0, а в промежутках , sinх <0, следовательно

У» >0. Значит, в точках вторая производная меняет знак и в этих точках график функции у=sinх имеет перегиб

Ответ: точка перегиба

Пример 3.Точка движется по закону S(t) = 3t⁴ – 8t³ + 2t – 3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 48?

Решение:

Ускорение — это вторая производная s(t).

Найдем уравнение ускорения.

v=S'(t) = 12t³ – 24t² + 2

a= S»(t) = 36t² – 48t

Остается подставить вместо ускорения его значение равное 48 и решить уравнение.

36t² – 48t=48

36t² – 48t-48=0

При решении один корень получается отрицательный, чего не может быть по условиям задачи, а второй корень равен 2

Ответ: 2

Пример 4. Найдите интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба функции f(x) = x³ – 6xlnx.

Проверьте свое решение.

Решение:

D(f) = (0; +∞)
f (x) = (x³ – 6xln x)

f (x) = 0 при х = 1, х = -1.

f (x) не существует при х = 0.

С учетом области определения функции, х = 1

Так как на интервале (1; +∞) вторая производная положительна, то на этом интервале функция выпукла вниз.

Так как на интервале (0; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точку х = 1 вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1– точка перегиба.

Источник

Точки
перегиба и общее исследование функций.
Лекция 17.

Точки
перегиба.

Основные
понятия.

График
дифференцируемой функции

называется выпуклым
(вогнутом)
на интервале
,
если он расположен выше (ниже) ее любой
касательной на этом интервале (рис. 72).

Точка
графика непрерывной функции
,
в которой она меняет вогнутость на
выпуклость называется точкой
перегиба.

Так
на рис. 73 функция на интервале

является выпуклой а на интервале

– вогнутой. Следовательно, точка

является точкой перегиба.

Достаточные
условия выпуклости и вогнутости функции
на интервале.

Выпуклость
и вогнутость функции на интервале можно
определить с помощью ее вторых производных.

Теорема
37.
Если
функция

во всех точках из интервала

имеет отрицательную (положительную)
вторую производную

(),
то график функции на этом интервале
является выпуклым (вогнутым).

Доказательство.
Пусть
.
Возьмём на графике функции произвольную
точку М с координатами

и проведём через неё касательную.
Покажем, что график функции расположен
ниже этой касательной. Для этого возьмём
произвольную точку

и сравним ординаты в этой точке графика

и касательной
.
Уравнение касательной имеет вид
,
поэтому
.

Тогда
.
По теореме Лагранжа

Снова
применим теорему Лагранжа (для разности
производных):

Исследуем
знак этого выражения в зависимости от
взаимного расположения точек
.

Случай
1. Точка

(рис. 74).
Тогда

и
,
следовательно

или
.

Случай
2.

(рис. 75).
Тогда

и
,
следовательно

или опять
.

В
любом случае
,
т.е. ордината касательной больше ординаты
графика для любой точки интервала
.
По определению, график функции

является выпуклым. Аналогично можно
рассмотреть случай, когда

и показать, что график функции в этом
случае будет вогнутым.

Достаточное
условие существования точек перегиба.

Теорема
38.
Если
вторая производная

при переходе через точку

, в которой она не существует или равна
нулю, меняет знак, то точка

является точкой перегиба.

Доказательство.
Пусть

при

и

при
.
Это означает, что слева график функции
является выпуклым, а справа – вогнутым,
следовательно, точка
является
точкой перегиба по пределению.

Пример
62.
Найти промежутки выпуклости, вогнутости
функции

и
установить ее точки перегиба.

Решение.
Найдем последовательно первую и вторую
производные функции

Определим
на числовой оси знаки второй производной.
Из рисунка видно, что вторая производная
отрицательна (там функция выпукла) на
интервале

и положительна на интервале
.
В точке

она меняет знак с (-) на (+), следовательно,
эта точка является точкой перегиба
(рис. 76).

Асимптоты.

Асимптотой
кривой
называется прямая, расстояние до которой
от точки, лежащей на кривой, стремится
к нулю при неограниченном удалении этой
точки от начала координат.

Асимптоты
могут быть вертикальными, наклонными
и горизонтальными.

Вертикальные
асимптоты.

Прямая

является вертикальной асимптотой
графика функции
,
если

Обычно
такими точками являются точки разрыва
второго рода (рис. 77). Для отыскания
вертикальных асимптот нужно найти те
значения
,
вблизи которых функция неограниченно
возрастает по модулю. Так функция
обратной пропорциональности

имеет вертикальную асимптоту
,
т. е. ось

(рис. 78).

Наклонные
и горизонтальные асимптоты.

Уравнение
наклонной асимптоты имеет вид
.
Пусть

— произвольная точка графика функции
,
по формуле расстояния от точки до прямой,
имеем

Так как

Разхделим
обе части равенства на
,
получим

Применяя
к левой части правило Лопиталя, получим

Коэффициент

найдем из условия

Отсюда

Если
хотя бы один из этих пределов (или оба)
не существуют, то функция

не имеет наклонных асимптот. Если
,
то прямая

в этом случае является горизонтальной
асимптотой. Так функция
имеет вертикальную асимптоту

и наклонную

(рис. 79).

Пример
63.
Исследовать на асимптоты функцию

Решение.
Так как при

функция имееи разрыв 2 – го рода, то
график имеет вертикальную асимптоту
.
Наклонные асимптоты имеют вид

Найдем коэффициенты

и

Таким
образом, график имеет наклонную асимптоту

(рис. 80).

Схема
исследования функций и построения их
графиков.

1)
Находят область определения функции
;

2)
определяют (если возможно) точки
пересечения графика с осями координат;

3)
проверяют чётность или нечётность,
периодичность функции. Графики четной
и нечетной функции строят только для
,
затем четную функцию отображают
симметрично относительно оси
,
нечетную – относительно точки
.
Периодическую функцию строят на
интервале, равном периоду, затем
продолжают на всю числовую ось
;

4)
находят первую производную и исследуют
интервалы монотонности и находят точки
экстремума;

5)
находят вторую производную и исследуют
промежутки выпуклости и вогнутости,
устанавливают точки перегиба;

6)
исследуют функцию на наличие асимптот
(вертикальных, наклонных, горизонтальных).

На
основании всех этих свойств строят
эскиз графика
.

Пример
64.
Исследовать и построить график функции

Решение.
1) Найдем область определения функции.
Так как знаменатель дроби равен нулю
при

и при
,
то в этих точках функция не определена
и имеет разрыв второго рода, поэтому

2)
При

переменная
.
Таким образом, ось

пересекается в точке
.
Если же
,
то

и

,
.
Эти точки иявляются точками пересечения
графика с осью
;

3)
Так как

то
функция не является четной и не является
нечетной, т. е.

– функция общего вида. Заметим, что этот
вывод следует так же из того, что она
определена на не симметрическом
множестве. Из последнего факта следует
так же непериодичность функции;

4)
Найдем производную функции и исследуем
ее на монотонность и точки экстремума:

Отсюда

при

и
,
.
Нанесем на числовую ось критические
точки и определим знаки производной на
промежутках

Из
рисунка видно, что функция

убывает на промежутках
,
,

и возрастает на промежутках
,
.
Точка

является точкой минимума а точка

– точкой максимума. Причем

5)
Найдем вторую производную и исследуем
промежутки выпуклости, вогнутости
функции, определим точки перегиба:

Отсюда

и

или

Проверяя
целые делители числа 216, убеждаемся,
что значение

является корнем уравнения. Разделив в
соответствии с теоремой Безу выражение
в правой части на
,
получим разложение на множители

Уравнение

корней не имеет, так как дискриминант

Нанесем
на числовую ось точки, в которых вторая
производная равна нулю или не существует
и определим промежутки выпуклости и
вогнутости.

Из
рисунка видно, что вторая производная
функции положительна на промежутках

и
,
следовательно, на них график является
выпуклым. На промежутках

и

вторая производная отрицательна и
функция является выпуклой на них. В
точке

функция определена и

меняет знак с (+) на (-) и поэтому она
является точкой перегиба, причем

6)
Исследуем график на асимптоты.
Так как функция в точках

и

имеет разрыв второго рода, то прямые

и

являются вертикальными асимптотами.
Для определения наклонных (и горизонтальных)
асимптот вида
,
определим коэффициенты

и
.

Таким
образом график функции имеет горизонтальную
асимптоту
.

На
основании полученных данных, строим
график функции (рис. 81).

101

Источник

1. Исследование выпуклости графика функции

График функции (f(x)) имеет на ((a,b)) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на ((a,b)).

Если функция (f(x)) имеет на интервале ((a,b)) вторую производную и

f′′(x)≥0

(

f′′(x)≤0

) во всех точках ((a,b)), то график функции (f(x)) имеет на ((a,b)) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Пример:

определить выпуклости функции

f(x)=x3+x

Вторая производная этой функции — это

f′′(x)=6x

. Она отрицательна, если (x<0), положительна, если (x>0).

Значит, график (f(x)) в интервале

−∞;0

имеет выпуклость, направленную вверх, и в интервале

0;+∞

имеет выпуклость, направленную вниз.

2. Нахождение точек перегиба функции

Чтобы определить точки перегиба функции (f(x)), нужно найти точки, в которых вторая производная этой функции является нулём или не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда можно определить знак второй производной функции в соответствующих интервалах — вычислив значения второй производной в какой-либо точке интервала.

Если вторая производная функции в точке меняет знак, эта точка является точкой перегиба, если не меняет, не является точкой перегиба.

Пример:

рассмотрим функцию

f(x)=x3+x

Вторая производная этой функции — это

f′′(x)=6x

. Она отрицательна, если (x<0), и положительна, если (x>0). Значит, в точке (x=0) вторая производная меняет знак, и эта точка — точка перегиба функции.

Источник

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

Не пропустите также: