Как найти касательный вектор в точке

From Wikipedia, the free encyclopedia

For a more general, but more technical, treatment of tangent vectors, see Tangent space.

In mathematics, a tangent vector is a vector that is tangent to a curve or surface at a given point. Tangent vectors are described in the differential geometry of curves in the context of curves in Rⁿ. More generally, tangent vectors are elements of a tangent space of a differentiable manifold. Tangent vectors can also be described in terms of germs. Formally, a tangent vector at the point is a linear derivation of the algebra defined by the set of germs at .

Motivation[edit]

Before proceeding to a general definition of the tangent vector, we discuss its use in calculus and its tensor properties.

Calculus[edit]

Let be a parametric smooth curve. The tangent vector is given by , where we have used a prime instead of the usual dot to indicate differentiation with respect to parameter t.^[1] The unit tangent vector is given by

${displaystyle mathbf {T} (t)={frac {mathbf {r} '(t)}{|mathbf {r} '(t)|}},.}$

Example[edit]

Given the curve

${displaystyle mathbf {r} (t)=left{left(1+t^{2},e^{2t},cos {t}right)mid tin mathbb {R} right}}$

in $mathbb{R} ^{3}$ , the unit tangent vector at t=0 is given by

${displaystyle mathbf {T} (0)={frac {mathbf {r} '(0)}{|mathbf {r} '(0)|}}=left.{frac {(2t,2e^{2t},-sin {t})}{sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+sin ^{2}{t}}}}right|_{t=0}=(0,1,0),.}$

Contravariance[edit]

If is given parametrically in the n-dimensional coordinate system xⁱ (here we have used superscripts as an index instead of the usual subscript) by ${displaystyle mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),ldots ,x^{n}(t))}$ or

${displaystyle mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),quad aleq tleq b,,}$

then the tangent vector field ${displaystyle mathbf {T} =T^{i}}$ is given by

${displaystyle T^{i}={frac {dx^{i}}{dt}},.}$

Under a change of coordinates

${displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},ldots ,x^{n}),quad 1leq ileq n}$

the tangent vector ${displaystyle {bar {mathbf {T} }}={bar {T}}^{i}}$ in the uⁱ-coordinate system is given by

${displaystyle {bar {T}}^{i}={frac {du^{i}}{dt}}={frac {partial u^{i}}{partial x^{s}}}{frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{frac {partial u^{i}}{partial x^{s}}}}$

where we have used the Einstein summation convention. Therefore, a tangent vector of a smooth curve will transform as a contravariant tensor of order one under a change of coordinates.^[2]

Definition[edit]

Let ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ be a differentiable function and let be a vector in $mathbb {R} ^{n}$ . We define the directional derivative in the direction at a point ${displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^{n}}$ by

${displaystyle nabla _{mathbf {v} }f(mathbf {x} )=left.{frac {d}{dt}}f(mathbf {x} +tmathbf {v} )right|_{t=0}=sum _{i=1}^{n}v_{i}{frac {partial f}{partial x_{i}}}(mathbf {x} ),.}$

The tangent vector at the point may then be defined^[3] as

${displaystyle mathbf {v} (f(mathbf {x} ))equiv (nabla _{mathbf {v} }(f))(mathbf {x} ),.}$

Properties[edit]

Let ${displaystyle f,g:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ be differentiable functions, let be tangent vectors in $mathbb {R} ^{n}$ at ${mathbf {x}}in {mathbb {R}}^{n}$ , and let . Then

Tangent vector on manifolds[edit]

Let be a differentiable manifold and let A(M) be the algebra of real-valued differentiable functions on . Then the tangent vector to at a point in the manifold is given by the derivation $D_{v}:A(M)rightarrow {mathbb {R}}$ which shall be linear — i.e., for any and we have

$D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g),.$

Note that the derivation will by definition have the Leibniz property

${displaystyle D_{v}(fcdot g)(x)=D_{v}(f)(x)cdot g(x)+f(x)cdot D_{v}(g)(x),.}$

References[edit]

^ J. Stewart (2001)
^ D. Kay (1988)
^ A. Gray (1993)

Bibliography[edit]

Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press.
Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole.
Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill.

Источник

1 Найти годограф вектор-функции

Решение. Параметрические уравнения годографа есть

, , .

Из первых двух уравнений исключаем параметр :

Следовательно, годографом вектор-функции является окружность

, ,

Из которой исключена точка .

При изменении от до точка на годографе движется от точки против часовой стрелки (если наблюдать из точки, расположенной выше плоскости ). При этом

, .

2 Вычислить , если .

Решение. Согласно определению

3 Найти единичный касательный вектор годографа вектор-функции

При .

Решение. Параметрические уравнения годографа есть

, , .

Найдем координаты направляющего вектора касательной к кривой :

В частности в точке

Тогда единичный вектор годографа имеет вид

4 Найти производную скалярного произведения векторов

и .

Решение. Согласно свойствам дифференцируемых векторных функций, имеем

==.

5 Дано уравнение движения . Определить траекторию и скорость движения.

Решение. Параметрические уравнения годографа есть

, , .

Из первого уравнения исключим параметр

И подставим во второе

Отсюда уравнение траектории движения

, .

Вектор скорости движения есть

6 Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой

В точке .

Решение. Данной точке соответствует значение параметра .

Имеем

, , .

Подставляя значение , получаем

, , .

Тогда уравнение касательной:

Уравнение нормальной плоскости:

Или .

7 Найти скорость и ускорение материальной точки , движущейся с постоянной угловой скоростью по окружности

Решение. Пусть – произвольная точка окружности. Обозначим через угол между радиус-вектором точки и положительным направлением оси . По условию

Где – время движения.

Выразим координаты точки как функции времени (рисунок 9.8):

Следовательно, радиус-вектор точки

Скорость движения точки

Модуль скорости

Рисунок 9.8 – Геометрическая интерпретация задачи 7.

Скалярное произведение векторов и есть:

Т. е. векторы и перпендикулярны.

Отсюда следует, что вектор направлен по касательной к окружности, по которой движется точка .

Найдем ускорение :

Значит, векторы и имеют противоположные направления.

Таким образом, ускорение материальной точки, движущейся с постоянной угловой скоростью по окружности, в каждый момент времени направлено к центру этой окружности.

8 К годографу винтовой линии (рисунок 9.9)

А) найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости в точке ;

Б) доказать, что касательная к винтовой линии образует постоянный угол с осью ;

В) записать натуральное уравнение винтовой линии;

Г) найти дифференциал длины дуги.

Рисунок 9.9 – Годограф функции

Решение. а) координаты точки касания есть:

, , .

Координаты вектора :

, . .

Тогда уравнение касательной прямой имеет вид

А уравнение нормальной плоскости

;

Б) вектор касательный к годографу вектора :

Тогда

В) векторная функция является непрерывно дифференцируемой и

Тогда . Интегрируя обе части, получим . Из начального условия , имеем . При этом длина винтовой линии равна

Следовательно, .

Отсюда натуральное уравнение винтовой линии в координатной форме запишется в виде:

Где .

Г) дифференциал длины дуги равен

Для винтовой линии имеем

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Касательный вектор к кривой

Пусть функция [math]displaystyle{ fcolon U(x_0) subset mathbb{R} to mathbb{R} }[/math] определена в некоторой окрестности точки [math]displaystyle{ x_0in mathbb{R} }[/math] и дифференцируема в ней: [math]displaystyle{ f in mathcal{D}(x_0) }[/math].

Касательным вектором к графику функции [math]displaystyle{ f }[/math] в точке [math]displaystyle{ x_0 }[/math] называется вектор с компонентами

[math]displaystyle{ vec e = frac{1}{sqrt{1+f'(x_0)^2}} cdot vec e_x + frac{f'(x_0)}{sqrt{1+f'(x_0)^2}} cdot vec e_y }[/math].
Если функция [math]displaystyle{ f }[/math] имеет в точке [math]displaystyle{ x_0 }[/math] бесконечную производную [math]displaystyle{ f'(x_0) = pm infty, }[/math] то касательный вектор

[math]displaystyle{ vec e = vec e_y }[/math].

Общее определение

Касательным вектором к гладкому многообразию [math]displaystyle{ M }[/math] в точке [math]displaystyle{ p in M }[/math] называется оператор [math]displaystyle{ X }[/math], сопоставляющий каждой гладкой функции [math]displaystyle{ fcolon Mto R }[/math] число [math]displaystyle{ X f }[/math] и обладающий следующими свойствами:

аддитивность: [math]displaystyle{ X(f+h)=Xf+Xh, }[/math]
правило Лейбница: [math]displaystyle{ X(fh)=(Xf)cdot h(p)+f(p)cdot(Xh). }[/math]

Множество всех таких операторов в точке [math]displaystyle{ p }[/math] имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

[math]displaystyle{ (X+Y)f=Xf+Yf; }[/math]

[math]displaystyle{ (kcdot X)f=kcdot(Xf), forall k in R }[/math].

Совокупность всех касательных векторов в точке [math]displaystyle{ p }[/math] образует векторное пространство, которое называется касательным пространством
в точке [math]displaystyle{ p }[/math].
Совокупность всех касательных векторов во всех точках многообразия образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ.
Пусть в Rⁿ задан гладкий путь [math]displaystyle{ mathbf{f}colon[0,1]rightarrowmathbb{R}^n }[/math]:

[math]displaystyle{ mathbf{f}(t) = f_1(t)mathbf{e}_1 + f_2(t)mathbf{e}_2 + dots + f_n(t)mathbf{e}_n }[/math].

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь [math]displaystyle{ mathbf{l}(t) }[/math], который его касается в момент времени t₀:

[math]displaystyle{ mathbf{l}(t) = mathbf{f}(t_0) + (t-t_0)left({partial f_1 over partial t}(t_0) mathbf{e}_1 + {partial f_2 over partial t}(t_0)mathbf{e}_2 + dots + {partial f_n over partial t}(t_0)mathbf{e}_nright) }[/math].

Касание двух путей [math]displaystyle{ mathbf{f}_1(t) }[/math] и [math]displaystyle{ mathbf{f}_2(t) }[/math] означает, что [math]displaystyle{ mathbf{f}_1(t)-mathbf{f}_2(t)=o(t-t_0) }[/math]; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности.
Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор к подмногообразию

Касательный вектор в точке [math]displaystyle{ p }[/math] гладкого подмногообразия [math]displaystyle{ M }[/math] евклидова пространства — вектор скорости в точке [math]displaystyle{ p }[/math] некоторой кривой в [math]displaystyle{ M }[/math].

Иначе говоря, касательный вектор в точке [math]displaystyle{ p }[/math] подмногообразия, локально заданного параметрически

[math]displaystyle{ rcolonR^mto R^n }[/math] с [math]displaystyle{ p=r(0) }[/math],

есть произвольная линейная комбинация частных производных [math]displaystyle{ frac{partial r}{partial x_i}(0) }[/math].

Замечания

Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости [math]displaystyle{ C^1 }[/math].
Согласно теореме Уитни о вложении, любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в [math]displaystyle{ R^{2n} }[/math]. Поэтому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать независимость определения от вложения.

Литература

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
Зорич В. А. Математический анализ, Т. 1,2. — М.: Наука, 1981.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

Источник

Motivation[edit]

Calculus[edit]

Example[edit]

Contravariance[edit]

Definition[edit]

Properties[edit]

Tangent vector on manifolds[edit]

See also[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

Касательный вектор к кривой

Общее определение

Касательный вектор как класс эквивалентности путей

Касательный вектор к подмногообразию

Замечания

Литература

Не пропустите также: