Как найти количество теплоты поглощаемое газом

 Связь между
молярной (C_m)
и удельной (с) теплоемкостями газа

C_m=cM,
где М
— молярная
масса газа.

 Молярные
теплоемкости*
при
постоянном объеме и постоянном давлении
соответственно равны

C_v=iR/2;
C_p=(i+2)R/2

где i
— число
степеней свободы; R
— молярная
газовая постоян­ная.

 Удельные
теплоемкости при постоянной объеме и
постоянном давлении соответственно
равны

,

.

 Уравнение Майера

Cр—С_v=R.

 Показатель
адиабаты

,
или
,
или.

 Внутренняя
энергия идеального газа

U=N<>
или U=vC_vT,

где <>—средняя
кинетическая энергия молекулы;
N—число
молекул газа;
v
— количество
вещества.

 Работа, связанная
с изменением объема газа, в общем случае
вычисляется по формуле

,

где V₁
— начальный
объем газа; V₂
— его
конечный объем.

Работа газа:

а) при изобарном
процессе (p=const)

A=p(V₂
—
V₁);

б) при изотермическом
процессе (T=const)

;

*
Здесь и далее
в целях упрощения записи в индексах
обозначений молярной теплоемкости при
постоянном давлении и постоянном объеме
букву «m»
будем опускать.

в) при адиабатном
процессе

,
или
,

где T₁
— начальная
температура газа; T₂
— его
конечная темпера­тура.

 Уравнение Пуассона
(уравнение газового состояния при
адиа­батном процессе)

.

 Связь между
начальным и конечным значениями
параметров состояний газа при адиабатном
процессе:

.

 Первое начало
термодинамики в общем случае записывается
в виде

Q=U+A,

где Q
– количество теплоты, сообщённое газу;
U—изменение
его внутренней энергии; А
—
работа, совершаемая газом против внешних
сил.

Первое начало
термодинамики:

а) при изобарном
процессе

б) при изохорном
процессе (A=0)

;

в) при изотермическом
процессе (U=0)

,

г) при адиабатном
процессе (Q=0)

.

 Термический
коэффициент полезного действия (КПД)
цикла
в
общем случае

,

где Q₁—количество
теплоты, полученное рабочим телом
(газом) от нагревателя; Q₂—количество
теплоты, переданное рабочим телом
охладителю.

КПД цикла Карно

,
или

,

где T₁
— температура
нагревателя; T₂
— температура
охладителя.

 Изменение энтропии

где A
и B
— пределы
интегрирования, соответствующие
начально­му и конечному состояниям
системы. Так как процесс равновесный,
то
интегрирование проводится по любому
пути.

 Формула Больцмана

S=klnW,

где
S — энтропия
системы;
W
—
термодинамическая вероятность ее
состояния; k
—
постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Пример
1. Вычислить
удельные теплоемкости неона и водорода
при постоянных объеме (с_v)
и давлении (c_p),
принимая эти газы за идеальные.

Решение.
Удельные теплоемкости идеальных газов
выра­жаются формулами

; (1)

. (2)

Для неона (одноатомный
газ) i₁=3,
M₁=2010^-з
кг/моль.

Подставив в формулы
(1) и
(2) значения
i₁,
M₁
и R
и произведя вычисления, найдем:

с_v1=
624
Дж/(кгК);
с_p1=1,04
кДж/(кгК).

Для водорода
(двухатомный газ) i₂=5,
M₂=210^-3
кг/моль.

Вычисление по
формулам
(1) и
(2) дает
следующие значения удельных теплоемкостей
водорода:

с_v2=10,4
кДж/(кгK);
с_p2=14,6
кДж/(кгK).

Пример
2. Вычислить
удельные теплоемкости с_v
и с_p
смеси неона и водорода. Массовые доли
газов соответственно равны ₁=0,8
и ₂=0,2.
Значения удельных теплоемкостей газов
взять из примера
1.

Решение.
Удельную теплоемкость смеси при
постоянном объеме с_v
найдем из следующих рассуждений. Теплоту,
необходи­мую для нагревания смеси на
T,
выразим двумя соотношениями:

Q=с_v(m₁+m₂)T
(1)

где с_v
— удельная
теплоемкость смеси; m₁
— масса
неона; m₂
— масса
водорода, и

Q=(с_v1m₁+
с_v2m₂)T (2)

где с_v1
и с_v2
— удельные
теплоемкости неона и водорода
соответст­венно.

Приравняв правые
части выражений
(1) и
(2) и разделив
обе части полученного равенства на
T,
найдем

с_v(m₁+m₂)=
с_v1m₁+
с_v2m₂,

откуда

Отношения
₁=m₁/(m₁+m₂)
и ₁=m₂/(m₁+m₂)
выражают мас­совые доли соответственно
неона и водорода. С учетом этих обозна­чений
последняя формула, примет вид

с_v=с_v1₁+
с_v2₂.

Подставив в эту
формулу числовые значения величин,
найдем

с_v=2,58
кДж/(кгК).

Рассуждая
таким
же
образок, получим формулу для вычисления
удельной теплоёмкости смеси при
постоянном давлении:

c_p=с_p1₁+
с_p2₂

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

c_p=3,73
кДж/(кгК).

Пример
3. Определить
количество теплоты, поглощаемой
водоро­дом массой m=0,2
кг при нагревании его от температуры
t₁=0°С
до температуры t₂=100
°С при постоянном давлении. Найти также
изменение внутренней энергии газа и
совершаемую им работу.

Решение.
Количество теплоты Q,
поглощаемое газом при изобарном
нагревании, определяется по формуле

Q=mc_pT,
(1)

где m
— масса
нагреваемого газа; c_p
— его
удельная теплоемкость при постоянном
давлении; T
— изменение температуры газа.

Как известно,
.
Подставив это выражение c_p
в формулу
(1), получим

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

Q=291
кДж.

Внутренняя энергия
выражается формулой
,
сле­довательно, изменение внутренней
энергии

.

После подстановки
в эту формулу числовых значений величин
и вычислений получим U=208
кДж.

Работу расширения газа
определим по формуле, выражающей первое
начало термодинамики: Q=U+A,
откуда

A=Q — U.

Подставив значения
Q и U,
найдем

А
=83 кДж.

Пример
4. Кислород
занимает объем V₁=1
м³
и находится под давлением р₁=200
кПа. Газ нагрели сначала при по­стоянном
давлении до объема V₂=3
м²,
a
затем при постоянном объеме до давления
Рис
11.1 р₂=500
кПа. Построить график процесса и найти:
1) изменение
U
внутренней энер­гии газа; 2)
совершенную им работу A;
3) количество
теплоты
Q,
переданное
газу.

Решение.
Построим график процесса (рис.
11.1). На
графике точками
1, 2, 3
обозначены состояния газа, характеризуемые
пара­метрами (р₁,
V₁,
T₁),
(р₁,
V₂,
T₂),
(р₂,
V₂,
T₃).

1.
Изменение внутренней энергии газа при
переходе его из со­стояния
1 в состояние
3 выражается
формулой

U=c_vmT,

где c_v
— удельная
теплоемкость газа при постоянном объеме;
m
— масса
газа; T
— разность
температур, соответствующих конечному
3 и
начальному 1 состояниям, т. е. T=T₃—
T₁.
Так как

;

где М
— молярная
масса газа, то

.
(1)

Температуры T₁
и T₃
выразим из уравнения Менделеева
— Кла­пейрона
():

С учетом этого
равенство
(1) перепишем
в виде

U=(i/2)(p₂V₂—p₁V₁).

Подставим сюда
значения величин (учтем, что для кислорода,
как двухатомного газа, i=5)
и произведем вычисления:

U=3,25
МДж.

2.
Полная работа, совершаемая газом, равна
A=A₁+A₂,
где A₁
— работа
на участке
1—2; A₂
— работа
на участке
2—3,

На участке
1—2 давление
постоянно (p=const).
Работа в этом случае выражается формулой
A₁=p₁V=p₁(V₂—V₁).
На участке _2—3
объем газа не изменяется и, следовательно,
работа газа на этом участке равна нулю
(A₂=0).
Таким образом,

A=A₁=p₁(V₂—V₁).

Подставив в эту
формулу значения физических величин,
произ­ведем вычисления:

A=0,4
МДж

3.
Согласно первому началу термодинамики,
количество теплоты Q,
переданное газу, равно сумме ра­боты
A,
совершенной газом, и изме­нению U
внутренней энергии:

Q=A+U,
или
Q=3,65 МДж.

Пример
5. Идеальный
двухатом­ный газ, содержащий количество
ве­щества v=l
моль, находится под дав­лением p₁=250кПа
и занимает объем V₁==10
л. Сначала газ изохорно на­гревают до
температуры T₂=400
К. Далее, изотермически расширяя, до­водят
его до первоначального давле­ния.
После этого путем изобарного сжатия
возвращают газ в начальное состояние.
Определить термический КПД 
цикла.

Решение.
Для наглядности построим сначала график
цикла, который состоит из изохоры,
изотермы и изобары. В координатах р,
Vэтот
цикл имеет вид. представленный на рис.
11.2. Характерные
точки цикла обозначим
1, 2, 3.

Термический КПД
любого цикла определяется выражением

=(Q₁
– Q₂)/Q₁,
или =l
– Q₂/Q₁,
(1) где
Q₁
—
количество теплоты, полученное газом
за цикл от нагре­вателя; Q₂
— количество теплоты, отданное газом
за цикл охлади­телю.

Заметим, что разность
количеств теплоты Q₁
– Q₂
равна работе A,
совершаемой газом за цикл.
Эта
работа на графике в координа­тах р,
V (рис.
11.2)
изображается площадью цикла (площадь
цикла заштрихована).

Рабочее вещество
(газ) получает количество теплоты
Q₁
на двух участках: Q_1-2
на участке
1—2 (изохорный
процесс) и Q_2-3
на участке
2—3
(изотермический процесс). Таким образом,

Q₁=Q_1-2+Q_2-3.

Количество теплоты,
полученное газом при изохорном процессе,
равно

Q_1-2=C_vv(T₂
–
T₁),

где C_v
— молярная
теплоемкость газа при постоянном объеме;
v
— количестве вещества. Температуру T₁
начального состояния газа найдем,
воспользовавшись уравнением Клапейрона
— Менде­леева:

T₁=p₁V₁/(vR).

Подставив числовые
значения и произведя вычисления, получим

Количество теплоты,
полученное газом при изотермическом
про­цессе, равно

Q_2-3=vRT₂ln(V₂/V₁),

где V₂
—
объем, занимаемый газом при температуре
T₂
и давлении p₁
(точка
3 на графике).

На участке
3—1 газ
отдает количество теплоты Q₂,
равное

Q₂=Q_3-1=C_pv(T₂
–T₁),
где C_p
— молярная
теплоемкость газа при изобарном процессе.

Подставим найденные
значения
Q₁
и Q₂
в формулу
(1):

В полученном
выражении заменим отношение объемов
V₂/V₁,
со­гласно закону Гей-Люссака, отношением
температур (V₂/V₁=T₂/T₁)
и выразим C_v
и C_p
через число степеней свободы молекулы
[C_v=iR/2,
C_p=(i+2)R/2].
Тогда после сокращения на
v
и R/2
получим

.

Подставив значения
i,
T₁,
T₂
и R
и произведя вычисления, най­дем

Пример 6.
В цилиндре под поршнем находится водород
массой m=0,02
кг при температуре T₁=300K.
Водород начал расширяться адиабатно,
увеличив свой объем в пять раз, а затем
был сжат изо­термически, причем объем
газа уменьшился в пять раз. Найти
тем­пературу Т₂,
в конце адиабатного расширения и работу
А,
совершен­ную газом. Изобразить процесс
графически.

Решение.
Температуры и объемы газа, совершающего
адиа­батный процесс, связаны между
собой соотношением

,

где —
показатель адиабаты (для водорода как
двухатомного газа =1,4).

Отсюда получаем
выражение для конечной температуры T₂:

.

Подставляя числовые
значения заданных величин, находим

.

Прологарифмируем
обе части полученного выражения:

lgT₂=lg300+0,4(lgl
— lg5)=2,477+0,4( -0,699)=2,477—0,280=2,197.

Зная lgT₂,
по таблицам антилогарифмов находим
искомое зна­чение T₂:

T₂=157
К.

Работа A₁
газа при адиабатном расширении
определяется по формуле

.

Подставив сюда
числовые значения величин, после
вычисления получим

Работа A₂
газа при изотермическом сжатии выражается
форму­лой

A₂=RT₂(m/M)ln(V₂/V₁).

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

A₂=
-21 кДж.

Знак минус показывает,
что при сжатии газа работа совершена
внешними силами.

Общая работа,
совершенная газом при рассмотренных
процессах, А=A₁+A₂=29,8кДж
+ (-21 кДж)=8,8 кДж.

График процесса
приведен на рис.
11.3.

Пример
7. Нагреватель
тепловой машины, работающей по обра­тимому
циклу Карно, имеет температуру
t₁==200°С.
Определить температуру Т₂,
охладителя, если при получении от
нагревателя количества теплоты Q₁=
1 Дж машина
совершает работу A=0,4
Дж? Потери на трение и теплоотдачу не
учитывать.

Решение.Температуру охладителя найдем, использовав
выражение для термического КПД ма­шины,
работающей по циклу Карно,=(T₁—
T₂)/T₁.
Отсюда

T₂=
T₁(1-).

(1)

Термический КПД
тепловой машины выражает отношение
количества тепло­ты, которое превращено
в механичес­кою работу A,
к количеству теплоты Q₁,
которое получено рабочим телом тепло­вой
машины из внешней среды (от нагре­вателя),
т. е. =A/Q₁.
Подставив это выражение в формулу
(1), найдем

T₂=
T₁(1-A/Q).
(2)

Учтя, что T₁=473
К, после вычисления по формуле
(2) получим
T₂=284
К.

Пример
8. Найти
изменение S
энтропии при нагревании воды массой
m=100
г от температуры t₁=0°C
до температуры
t₂=100
°С и последующем превращении воды в пар
той же температуры.

Решение.
Найдем отдельно изменение энтропии S’
при нагревании воды и изменение энтропии
S»
при превращении ее в пар. Полное изменение
энтропии выразится суммой S’
и S».

Как известно,
изменение энтропии выражается общей
формулой

(1)

При бесконечно
малом изменении dT
температуры нагреваемого тела
затрачивается количество теплоты
dQ=mcdT,
где m
— масса
тела; с
— его
удельная теплоемкость. Подставив
выражение dQ
в равенство
(1), найдем
формулу для вычисления изменения
энтро­пии при нагревании воды:

.

Вынесем за знак
интеграла постоянные величины и
произведем интегрирование, тогда получим

S’=mcln(T₂/T₁).

После вычислений
найдем S’=132
Дж/К.

При вычислении по
формуле
(1) изменения
энтропии во время превращения воды в
пар той же температуры постоянная
температуpa
T
‘выносится
за знак интеграла. Вычислив интеграл,
найдем

(2)

где Q
—
количество теплоты, переданное при
превращении нагре­той воды в пар той
же температуры.

Подставив в равенство
(2) выражение
количества теплоты Q=m,
где 
— удельная
теплота парообразования, получим

(3)

Произведя вычисления
по формуле
(3), найдем

S»=605
Дж/К.

Полное изменение
энтропии при нагревании воды и последую­щем
превращении ее в пар S=S’+S»=737
Дж/К.

Пример
9. Определить
изменение S
энтропии при изотермиче­ском расширении
кислорода массой m=10
г от объема V₁=25
л до объема V₂=100
л.

Решение.
Так как процесс изотермический, то в
общем выражении энтропии

температуру выносят за знак интеграла.
Выполнив это, получим

(1)

Количество теплоты
Q, полученное
газом, найдем по первому началу
термодинамики: Q=U+A.
Для изотермического процесса U=0,
следовательно,

Q=A,
(2) а
работа А для этого процесса определяется
по формуле

A=(m/M)RT
ln(V₂/V₁).

(3)

С учетом
(2) и
(3) равенство
(1) примет
вид

S=(m/M)R
ln(V₂/V₁).
(4)

Подставив в
(4) числовые
значения и произведя вычисления, по­лучим

S=(1010^-3/(3210^-3))
8,31
ln(10010^-3/(2510^-3))
Дж/К=3,60
Дж/К.

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

По словию задачи p/V = const, или p = const × V, а это линейная зависимость типа y = kx.

Графиком будет луч, выходящий из начала координат и проходящий через точки с температурами T₁ и T₂, давлениями p₁ и p₂, объемами V₁ и V₂.

По первому закону термодинамики:
Q = ΔU + A.

Q = (3/2)νRΔT + (1/2)νRΔT = 2νRΔT.

Работа численно равна площади трапеции:

A = (1/2)(p₂ + p₁)(V₂ − V₁).

После раскрытия скообок и сокращения имеем:

A = (1/2)νRΔT.

Q = 2 × 0,5 × 8,31 × 250 = 2077,5 (Дж).

2017-05-27   

0,5 моль идеального одноатомного газа нагревают от температуры $T_{1} = 250 К$ до $T_{2} = 500 К$ так, что в процессе нагрева $p/V = const$. Определить молярную теплоемкость и рассчитать количество теплоты, поглощенное газом при нагревании.

Решение:

Рассмотрим график процесса в координатах $p, V$ и сравним его с изобарой, заключенной в тех же пределах температур (рис.). Поскольку состояния 2 и L лежат на одной изотерме ($T_{1} = T_{2}$), а газ идеальный, то изменения внутренней энергии в процессах 12 и 1L одинаковы:

$Delta U_{12} = Delta U_{1L} = Delta U_{p}$.

Работа, совершаемая газом в процессе 12, меньше, чем работа, совершаемая газом при изобарном нагреве. Графически работа $A_{12}$ численно равна площади, ограниченной графиком 12, осью абсцисс и ординатами $V = V_{1}$ и $V = V_{2}$. Работа $A_{1L}$ численно равна площади, ограниченной графиком 1L, осью абсцисс и ординатами $V = V_{1}$ и $V = V_{L}$.

Следовательно, количество теплоты, поглощенное газом в процессе 12, меньше, чем при изобарном процессе, поэтому и теплоемкость газа при этом процессе меньше, чем при изобарном, но больше, чем при изохорном процессе, так как газ совершает работу.

Молярная теплоемкость этого процесса может быть найдена непосредственно из первого начала термодинамики, записанного в дифференциальной форме:

$delta Q = dU + delta A = frac{i}{2} frac{m}{ mu} RdT + pdV$. (1)

С другой стороны, из определения молярной теплоемкости

$delta Q = frac{m}{ mu} CdT$, (2)

где $C$ — молярная теплоемкость заданного процесса.

Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получаем

$C = frac{i}{2}R + frac{m}{ mu} p frac{dV}{dT}$. (3)

Второе слагаемое может быть найдено из уравнения заданного процесса и уравнения состояния газа.

Подставим выражение давления, полученное из уравнения Клапейрона — Менделеева $p = mRT/( mu V)$, поочередно в (3) и в уравнение процесса $p/V = const$:

$C = frac{i}{2}R + R frac{T}{V} frac{dV}{dT}$, (4)

$V^{2} /T = const$. (5)

Чтобы найти $dV/dT$, продифференцируем выражение (5) по переменной $T$:

$frac{2V (dV/dT)T — V^{2}}{T^{2}} = 0$,

откуда

$frac{dV}{dT} = frac{1}{2} frac{V}{T}$. (6)

Подставим выражение (6) в (4):

$C = frac{i}{2} R + frac{R}{2} = frac{i+1}{2} R$.

Искомая молярная теплоемкость постоянна, причем $C_{V} < C < C{p}$. Рассматриваемый газ — одноатомный ($i = 3$). Тогда $C = 16,6 Дж/(моль cdot К)$.

Количество теплоты, поглощенное газом при нагревании,

$Q_{12} = int_{T_{1}}^{T_{2}} delta Q = frac{m}{ mu} C (T_{2} — T_{1}) = 2,1 кДж$.