Как найти корень 2корень3

Корень в математике

Операция извлечения корня из числа, является обратной операцией к операции возведения в степень.

Обозначение: корень обозначается при помощи символа, который называется знаком корня. Число a, которое находится под корнем называется подкоренным выражением, а число n, расположенное слева от символа корня, называется – степенью корня.

Степень корня – должна быть выражена натуральным числом (1, 2, 3, 4, 5…), т.е. не может быть отрицательной, нулем или дробным числом.

По сути, как уже было сказано выше извлечь корень из числа а означает возведение числа a
в дробную степень, числителем которой выступает степень числа a, а знаменателем – степень корня.

Следует заметить, что если степень корня равна 2, то число два как правило не пишут, а такой корень называется – квадратным.

Приведем примеры:

Приведем примеры извлечения корня:

Исходя из вышенаписанных примеров можно сделать вывод, что когда мы хотим извлечь корень, к примеру 2-й степени, то нам необходимо найти такое число, что при возведении во 2-ю степень мы получим подкоренное выражение. То есть под корнем всегда находится число, уже возведенное в степень равную степени корня!

Четная и нечетная степень корня

Корень нечетной степени

При извлечении корня нечетной степени из положительного числа будем всегда получать положительное число, например:

При извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа будем всегда получать отрицательное число, например

В данном примере можно легко увидеть почему при извлечении корня нечетной степени из отрицательного числа всегда будет получаться отрицательно число. Как известно чтобы возвести число в степень необходимо его умножить само на себя в количестве показателя степени : если (-6) умножить на (-6) получится положительное число 36 (мы знаем, что при умножении двух отрицательных чисел будет получаться положительное число), затем если умножить число 36 на (-6) получим -216, так как при умножении отрицательного числа на положительное всегда будет получаться отрицательное число.

Корень четной степени

При извлечении корня четной степени из положительного числа всегда будет получать два значения с противоположенными знаками. Это связанно с тем, что если представить, к примеру функцию квадратного корня y= √x и посмотреть на ее график, то мы увидим, что каждому значению xсоответствует два значения корня, одно положительное, а другое отрицательное.

Для понимания данного факта, нет необходимости строить график, рассмотрим на примере извлечение квадратного корня из числа 4:

Квадратный корень из 4 равен 2. Проверим 2 ⋅ 2 = 4 и -2 ⋅(-2) = 4.

Приведем еще пример с четной степенью корня для положительного числа.

Корень степени 4 за числа 81 равен 3. Проверим 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 и -3 ⋅ (-3) ⋅ (-3) ⋅ (-3) = 81

Теперь рассмотрим ситуацию, когда под корнем четной степени стоит отрицательное число.

Допустим, мы хотим извлечь квадратный корень из отрицательного числа, например, √-4 теперь подумаем есть ли вообще такое число, которое при возведении в квадрат давало бы -4? Ответ – нет! Любое число при возведении в четную степень всегда будет положительным. Поэтому корня чётной степени из любого отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число.

Тем не менее извлечь корень четной степени всё-таки можно, но результатом будет всегда комплексное число, например:

Арифметический и алгебраический корни

Для упрощения записи корня четной степени из положительного числа, в калькуляторах, школьных учебниках и т.д. было введено понятие арифметического корня, значение которого, представляется всегда положительным числом. Алгебраический корень в свою очередь для корня четной степени из положительного числа является полным ответом и содержит как положительные, так и отрицательные значения.

Арифметический корень – упрощенная запись корня четной степени из положительного числа, всегда положительный. Например:

Алгебраический корень – полная запись корня четной степени из положительного числа. Например:

Как упростить корень

Для того, чтобы упростить любой корень, необходимо разложить подкоренное выражение на простые множители
(для разложения числа на простые множители можно воспользоваться
калькулятором разложения числа на простые множители)
и вынести за знак корня тот множитель, который повторяется равное степени корня число раз. Например:

Как мы уже разобрали извлечь корень из числа а означает возведение числа a в дробную степень, числителем которой выступает степень числа a, а знаменателем – степень корня, поэтому следуя данному правилу мы легко выносим множители из под корня. Распишем предыдущие два примера еще раз:

Источник

Оглавление:

📝 Как это работает?
🤔 Частые вопросы и ответы
📋 Похожие материалы
📢 Поделиться и комментировать

Что такое корень числа?

Корень n-й степени из числа x — это такое число r, которое в степени n равняется x. Или другими словами: rⁿ= x.

Эта запись с математическим корнем из числа х в n-ой степени имеет собственное название в каждом символе:

n — здесь является степенью или показателем корня, n всегда является натуральным числом, таким, как — 1, 2, 3 и так далее.
х — здесь является выражением или подкоренным числом. Выражается, как вещественное или любое комплексное число.
√ — здесь является символом корня или знаком, имеющим еще другое название — радикал.

Например:

Такое выражение читается, как корень третьей степени от числа 8. Это корень равняется двум. Число 3 здесь является степенью корня, а число 8 – подкоренным числом.

В математике нахождение корня называется «извлечение корня».

Причём важно разделять понятия арифметического и алгебраического корня.

Арифметический или алгебраический (общий)

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного вещественного числа a — это неотрицательное число b, для которого bⁿ=a. Обозначается арифметический корень знаком радикала (про который мы уже сказали выше).

Арифметический корень второй степени из числа a (√a) — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b² = a. К примеру, корнями второй степени из числа 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

Таким образом, арифметический корень, в отличие от корня общего вида (или алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно и неотрицательно.

Далее мы будем говорить именно про арифметические корни.

Наиболее часто используемые корни — это корни второй степени и корни третьей степени. Они даже имеют собственные названия:

Квадратный корень
Кубический корень

Квадратный корень

Квадратный корень – это корень со степенью два. Чаще всего, в значении радикала степень «два» не прописывается, а просто используется символ √.

Арифметический квадратный корень всегда является положительным числом, и кроме того подкоренное значение также всегда положительно.

Почему все происходит именно так, нам расскажет простой пример с решением:

Ищем квадратный корень из -16.
Логично предположить в ответе — 4.
Но если проверить таким образом: 4*4 = 16 — то нет, не сходится.
Если — 4, то -4 * -4 = 16, нужно отметить, что минус на минус всегда в итоге дает плюс.

Ни одно число при возведении его в квадрат не дает отрицательного результата.

Вывод: все числа, которые стоят под знаком корня, всегда должны быть положительными.

Кубический корень

Кубический корень – это такое число, которое для получения подроренного числа нужно умножить само на себя три раза.

К примеру, кубический корень из 64 будет равен «4».

Решение будет выглядеть так: 4х4х4 = 64.

Как появились математические корни?

Впервые задачи, в которых извлекался квадратный корень, обнаружили у вавилонских математиков. Именно в них применялись теоремы Пифагора для того, чтобы определить треугольник с прямыми углами по двум другим известным сторонам.

Также в них находили стороны квадрата с заданной площадью и решали квадратные уравнения.

Для извлечения квадратного корня древние математики разработали специальный численный метод. Для квадратного корня из «a» они рассчитывали натуральные числа n в меньшую сторону из ближайшего к корню. Если выражение «a = n² + r» представить в таком виде, то можно получить

И далее шел уточняющий процесс, который соответствовал методу Ньютона:

Как произошла символика значений? У корня очень сложная и долгая история. Его извлекали еще древние греки и подходили к этому очень ответственно: они находили стороны квадрата по его площади. Математики средневековья сокращали корень от «radix» и обозначали его Rx.

В современном понятии черта над подкоренным выражением сначала отсутствовала, но в 1637 году ее ввел Декарт вместо скобок. Сейчас она так и осталась со знаком корня.

Рене Декарт (1596–1650) — французский математик и философ. Декарт является одним из основателей философии Нового времени и аналитической геометрии, а ещё он – одна из ключевых фигур научной революции.

Главные свойства корней

Корень нечетной степени, состоящий из положительного числа — есть положительное число, определенное однозначно.

Корень нечетной степени, состоящий из отрицательного числа — есть отрицательное число, определенное однозначно.

Корень чётной степени, состоящий из положительного числа, имеет 2 значения со знаками противоположности, но равными по модулю.

Корень чётной степени, состоящий из отрицательного числа в области вещественных чисел, не существует, так как при возведении любого вещественного числа в степень с четными показателями в результате получится неотрицательное число.

Ниже показано, как извлекать данные корни в множестве комплексных чисел, когда значениями корня будут n комплексных чисел.

Корень любой натуральной степени из нуля — ноль.

Алгоритм нахождения корня n-степени

Корень n-ой степени ⁿ√A действительного положительного числа А есть действительное положительное решение уравнений xⁿ = A.

Как найти быстро сходящийся алгоритм корня в n-ой степени? Для этого нужно:

1. Вычислить начальное предположение x₀

2. Определить

3. Далее повторять пункт № 2 до момента, пока необходимая точность не будет достигнута.

Для нахождения квадратного корня итерационной формулы Герона служит частный случай, с подстановкой выглядит так:

n = 2 в шаг 2: x_k₊₁ = (x_k + A/x_k) / 2

Имеется несколько вариантов данного алгоритма. Один — как касательный метод Ньютона для нахождения нулей функций f(x). Сходится такой метод достаточно быстро, несмотря на то что является итерационным.

У этого метода скорость сходимости является квадратичной. Это указывает на то, что числа с верными разрядами в ответе будут удваиваться с каждой итерацией — другими словами, будет увеличиваться точность нахождения ответа с 1-го до 64-х разрядов, и будет требоваться только шесть итераций. Но следует помнить и о машинной точности.

Из всего этого можно сделать заключение, что в компьютерах данный алгоритм используется, как самый быстрый метод нахождения корней в квадрате.

Что касается больших значений n, то алгоритм здесь будет менее эффективным, поскольку потребует на каждом шагу таких вычислений:

Но такое вычисление выполняется при помощи алгоритма быстрого возведения в степень.

❓Вопросы и ответы

А также обратите внимание на ответы на некоторые часто задаваемые вопросы.

Для чего на практике надо найти корень?

Если в науке что-то существует — то это обязательно для чего-то нужно, даже если нет обычного понимания для чего. Квадратный корень используется повсюду, но в основном там, где имеется какая-нибудь геометрия.

К примеру, компьютерная графика. Для значительного достижения и улучшения в свое время применялись специальные алгоритмы быстрого обратного квадратного корня в играх. Сегодня без квадратных корней невозможно поиграть в такие игры, как «танчики», Скайрим, Киберпанк.

Можно ли корень записать в виде степени?

Да, корень от x в степени n – это x в степени 1/n.

Как связаны между собой степень в виде десятичной дроби и корни?

Переход от степени с выражениями и дробными показателями в основании выполняется на области всех допустимых значений в основании степени при исходных выражениях.

К примеру:

представляется, как квадратный корень

А запись

выражается для всех x, y, z, как

Как пользоваться калькулятором корней?

Для того, чтобы вычислить квадратный корень с пошаговым объяснением, достаточно воспользоваться калькулятором на этом сайте ecalc.ru.

Наш сайт позволяет быстро и точно вычислить корень из числа онлайн. И не нужно высчитывать все самостоятельно в уме, искать готовые решения задач или проверять ответы.

Нужно просто вписать все необходимые данные. Если нужно просто найти корень, следует указать число под √. Если понадобится, то ввести степень. Обычно вычисляется корень во второй степени, но здесь ее можно и не указывать.

Извлечь корень онлайн

Поддержать сайт

←Вернуться в «Калькуляторы онлайн»

Здесь будет решение…

Инструкции к калькулятору

Введите число и степень корня и нажмите «Извлечь корень».

Важно!

Калькулятор расчета корней онлайн может служить лишь для проверки ваших вычислений.

Научиться находить квадратный, кубический или корень любой другой степени можно самостоятельно в уроке
квадратный корень.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

4 мая 2023 в 14:54

Диана Чайкина
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Диана Чайкина
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0,8√225 − 1 :2√196

0
Спасибо thanks
Ответить

Источник

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
выполнить математическое действие с дробными степенями.

Число знаков после запятой:

√

Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

Например:

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.

Применим правило

Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.

Ответ.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.	Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4. Значит между 2 и 4.
Оцениваем значение	Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76~7.
Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так: — целую часть справа налево; — число после запятой слева направо.	Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Допускается, что вначале остается непарное число.
Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел). Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа. У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =
Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7. А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_. Примечание: числа должны быть одинаковыми.
Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня. Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.
Вычтите полученное справа произведение из числа слева. Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.
Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую. Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.
Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Алгоритм действий

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

4. Нажмите кнопку «Решить».

Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.

Источник

Калькулятор корней

Правила ввода

В поле степени можно вводить только натуральные числа 1,2,3,4 и.т.д.

В поле числа можно вводить положительные и отрицательные десятичные дроби(0.25, 0.5), обыкновенные дроби(1/2, 5/9), смешанные числа(1 2/8, 5 7/8 — целая часть отделяется пробелом)

Теория

Корнем n-ой степени из числа a называется такое число b n-ая степень которого равна a.

[LARGEsqrt[n]{a} = b, b^n=a ]

Если степень корня чётное натуральное число то a > 0.

Если степень нечётное натуральное число то a любое.

Свойства корня

[LARGEsqrt[n]{ab} = sqrt[n]{a} times sqrt[n]{b}]

[LARGEsqrt[n]{frac{a}{b}} = frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}]

[LARGEsqrt[n]{sqrt[k]{a}} = sqrt[nk]{a}]

[LARGEsqrt[n]{a^k} = (sqrt[n]{a})^k]

Чётная и нечётная степень корня

Корень чётной степени из положительного числа

При извлечении корня чётной степени из положительного числа всегда будет 2 числа

(LARGEsqrt[2]{4} = pm 2,) (LARGE{(pm 2)}^2 = 4)

(LARGEsqrt[4]{81} = pm 3,) (LARGE{(pm 3)}^4 = 81)

Корень чётной степени из отрицательного числа

Корня чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел. Нет такого числа при возведении которого в чётную степень получалось бы отрицательное число.

Корень нечётной степени из положительного числа

При извлечении корня нечётной степени из положительного числа всегда будет положительное число

[LARGEsqrt[3]{8} = 2]

[LARGEsqrt[3]{27} = 3]

Корень нечётной степени из отрицательного числа

При извлечении корня нечётной степени из отрицательного числа всегда будет отрицательное число

[LARGEsqrt[3]{-8} = 2]

[LARGEsqrt[3]{-27} = 3]

Похожие калькуляторы

Источник

Корень в математике

Четная и нечетная степень корня

Арифметический и алгебраический корни

Как упростить корень

Что такое корень числа?

Арифметический или алгебраический (общий)

Квадратный корень

Кубический корень

Как появились математические корни?

Главные свойства корней

Алгоритм нахождения корня n-степени

❓Вопросы и ответы

Для чего на практике надо найти корень?

Можно ли корень записать в виде степени?

Как пользоваться калькулятором корней?

Похожие калькуляторы

Есть что добавить?

Извлечь корень онлайн

Здесь будет решение…

Инструкции к калькулятору

Ваши комментарии

Что такое квадратный корень

Проводим расчеты вручную

Калькулятор корней

Теория

Свойства корня

Чётная и нечётная степень корня

Не пропустите также: