Как найти лорену в - AutoPluse.ru - решение различных проблем

Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Ранее рассматривалась задача разложения функции в степенной ряд $sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n$ , при этом функция предполагалась аналитической в точке z_0 , а ряд сходящимся в круге |z-z_0|<R,~ 0<Rleqslantinfty .

Другим частным случаем функциональных рядов, наряду со степенными, является ряд $sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n$ ряд по целым степеням разности (z-z_0) . Такой ряд сходится в кольце r<|z-z_0|<R,~ r geqslant0,~ Rleqslantinfty и его сумма — функция аналитическая внутри этого кольца.

Можно рассматривать задачу разложения функции, аналитической в кольце r<|z-z_0|<R . Имеет место теорема, аналогичная теореме 3.3.

Теорема Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням

Теорема 3.5 (Лорана). Функция f(z) , аналитическая в кольце, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство

$f(z)=sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n.$

(3.24)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

$c_n= frac{1}{2pi i} ointlimits_{gamma} frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz,quad n=0,pm1,pm2,ldots,$

(3.25)

где gamma — произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z_0 ; в частности, gamma — окружность |z-z_0|=rho,~ r<rho<R .

Имеют место следующие определения.

1. Ряд $sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n$ коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25), называется рядом Лорана функции f(z) .

Заметим, что формула (3.16) получается из формулы (3.25) при ngeqslant0 , но для коэффициентов ряда Лорана не имеет места формула вида (3.17), так как функция в точке z_0 может быть не определена.

2. Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями — $sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n$ называется правильной частью ряда Лорана; члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана: $sum_{n=-infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n$ или $sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}$ .

3. При r=0 получаем частный случай кольца — вырожденное кольцо 0<|z-z_0|<R . Это — круг с выколотым центром. Точка z_0 — особая точка функции, и разложение в этом случае называется разложением функции в окрестности особой точки.

4. При R=infty область |z-z_0|>r есть внешность круга. В частном случае при z_0=0 — внешность круга |z|>r . Разложение в этом случае называется разложением в окрестности бесконечно удаленной точки и имеет вид

$f(z)= sum_{n=-infty}^{infty}c_nz^n= sum_{n=0}^{infty} c_nz^n+ sum_{n=-infty}^{-1}c_nz^n,$

(3.26)

или, что то же,

$f(z)= sum_{n=0}^{infty} c_nz^n+ sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{z^n},.$

(3.27)

Здесь совокупность неотрицательных степеней $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ образует главную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; совокупность отрицательных $sum_{n=-infty}^{-1}c_nz^n$ — правильную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 3.30. Исследовать возможность разложения функции $f(z)= sqrt{frac{z}{(z+1)(z-2)}}$ в ряды Тейлора и Лорана.

Решение

Функцию $f(z)= sqrt{frac{z}{(z+1)(z-2)}}$ нельзя разложить в ряд по степеням ни в окрестности точки z_0=0 (ряд Тейлора), ни в окрестности точки z_0=infty (ряд Лорана), так как эти точки являются точками ветвления функции и в их окрестностях невозможно выделение однозначных ветвей.

Невозможны также разложения этой функции в ряды по степеням (z+1) и (z-2) , поскольку точки z=-1 и z=2 — также точки ветвления. Разложения по степеням (z-z_0) , где z_0ne0,~z_0ne-1,~ z_0ne2 , возможны.

Функция же $f(z)= frac{z}{(z+1)(z-2)}$ раскладывается по степеням и в ряд Тейлора в круге |z|<1 и в ряд Лорана в области |z|>2 (окрестность бесконечно удаленной точки), а также в кольце 1<|z|<2 . Возможны разложения и по степеням (z+1) и (z-2) в кольцевых областях, а также в окрестностях особых точек z=-1,~ z=2 .

Так как ряды по целым степеням обладают свойствами степенных рядов (см. утверждение 3.2), то, учитывая теорию и практику решения задачи разложения функции в степенной ряд (см. утверждения 3.3 и 3.4), можно сформулировать следующее утверждение.

Утверждение 3.6

1. Функция, аналитическая в кольце r<|z-z_0|<R,~ rgeqslant0,~ Rleqslantinfty , разлагается в этом кольце в ряд Лорана (3.24), коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25).

2. Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов — неравенство Коши:

$|c_n|leqslant frac{M}{rho^n},quad n=0,pm1,pm2,ldots$

(3.28)

где $M=max_{zingamma}|f(z)|,~rho$ — радиус окружности (частный случай контура gamma ), по которой производится интегрирование в (3.25).

3. На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) — его суммы.

4. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z_0~(r=0) и окрестности бесконечно удаленной точки (z_0=0,~ R=infty) .

5. Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд Тейлора, используются основные разложения и действия над рядами.

6. При разложении рациональных дробей, как и в случае рядов Тейлора, выдерется целая часть неправильной дроби, а правильная записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:

– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге |z-z_0|<R , разложение элементарной дроби записывается в виде

$frac{1}{a-(z-z_0)}= frac{frac{1}{a}}{1-frac{z-z_0}{a}}= sum_{n=0}^{infty} frac{(z-z_0)^n}{a^{n+2}}= sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n,quad |z-z_0|<|a|,quad ane0;$

– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга |z-z_0|>r , изложение элементарной дроби записывается в виде

$frac{1}{a-(z-z_0)}= frac{-frac{1}{z-z_0}}{1-frac{a}{z-z_0}}= -sum_{n=0}^{infty} frac{a^n}{(z-z_0)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{c_n}{(z-z_0)^n},,quad left|frac{a}{z-z_0}right|<1~ Leftrightarrow~ |z-z_0|>|a|.$

Примеры разложения функций в ряд Лорана

Пример 3.31. Разложить функцию $f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3}$ в ряд Лорана по степеням .

Решение

Функция является аналитической всюду, кроме точек z_1=-1 и z_2=3 , в частности: в круге |z|<1 , в кольце 1<|z|<3 и в окрестности бесконечно удаленной точки |z|>3 (рис. 3.4).

В круге |z|<1 функция раскладывается в ряд Тейлора (см. пример 3.21). Получим разложения в двух других областях.

Рассмотрим разложение в кольце. Дробь правильная, ее разложение на элементарные дроби получено в примере (3.21):

$f(z)= frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3},.$

Чтобы получить разложение в кольце, первое слагаемое раскладываем в области |z|>1 , т.е. записываем главную часть ряда, второе — в круге |z|<3 — правильная часть. Получаем разложения:

$begin{gathered}frac{1}{z+1}= frac{1 slash z}{1+1 slash z}= frac{1 slash z}{1-(-1 slash z)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{z^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{z^n},quad left|-frac{1}{z}right|= frac{1}{|z|}<1~ Leftrightarrow~ |z|>1;\[2pt] frac{1}{z-3}= frac{-1 slash 3}{1-z slash 3}= -sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{3^{n+1}},quad |z|<3. end{gathered}$

Записываем окончательный результат:

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{4cdot z^n}-sum_{n=0}^{infty} frac{5cdot z^n}{4cdot 3^{n+1}},quad 1<|z|<3.$

Здесь первое слагаемое — главная часть, а второе — правильная часть ряда Лорана в кольце 1<|z|<3 .

Чтобы получить разложение в области |z|>3 — окрестности бесконечно удаленной точки, нужно и второе слагаемое разложить по отрицательным степеням:

$frac{1}{z-3}= frac{1}{z}cdot frac{1}{1-frac{3}{z}}= sum_{n=0}^{infty} frac{3^n}{z^{n+1}},~~ left|frac{3}{z}right|<1$ или $frac{1}{z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{3^{n-1}}{z^n},~~ |z|>3.$ .

В результате получаем разложение в окрестности бесконечно удаленной точки:

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{4z^n}+ frac{5}{4} sum_{n=1}^{infty} frac{3^{n-1}}{z^n}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},,quad |z|>3.$

Заметим, что главная часть ряда отсутствует, так как в разложении присутствуют только члены с отрицательными степенями.

Круг и кольцо на комплексной плоскости

Пример 3.32. Разложить функцию $f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3}$ в ряд Лорана: а) по степеням (z-2) ; б) по степеням (z-1) .

Решение

а) Особыми точками функции являются точки z_1=-1 и z_2=3 , причем вторая — ближайшая к центру разложения, т.е. к z_0=2 (рис. 3.5,а); расстояние между z_0=2 и z_2=3 равно единице, поэтому в круге |z-2|<1 функция раскладывается в ряд Тейлора. Расстояние от z_0=2 до другой особой точки z_1=-1 равно трем, и в кольце 1<|z-2|<3 данная функция является аналитической и раскладывается в ряд Лорана. Аналитической она является и в области |z-2|>3 и раскладывается в ней также в ряд Лорана по степеням (z-2) . Оба разложения получаем, как в предыдущем примере, причем замену z-2=t можно сделать в исходной дроби, а можно не вводить обозначения (см. пример 3.21). Запишем разложения в каждой из двух областей, учитывая представление функции в виде суммы элементарных дробей (см. примеры 3.21 и 3.31):

$f(z)= frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3},.$

Разложение в кольце 1<|z-2|<3,colon

$begin{aligned}frac{1}{z+1}&= frac{1}{z-2+3}= frac{1}{3! left(1+frac{z-2}{3}right)}= frac{1}{3! left(1-left(-frac{z-2}{3}right)right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(z-2)^n}{3^{n+1}},quad |z-2|<3;\[2pt] frac{1}{z-3}&= frac{1}{z-2-1}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1-frac{1}{z-2}}= sum_{n=0}^{infty} frac{1}{(z-2)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(z-2)^n},,quad |z-2|>1.end{aligned}$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4cdot3^{n+1}}(z-2)^n+ sum_{n=1}^{infty} frac{5}{4(z-2)^n},~1<|z-2|<3$ .

Разложение в области |z-2|>3,colon

$begin{aligned}frac{1}{z+1}&= frac{1}{z-2+3}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1+ frac{3}{z-2}}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1-left(-frac{3}{z-2}right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n3^n}{(z-2)^{n+1}}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n-1}3^{n-1}}{(z-2)^n},~~ |z-2|>3;\[2pt] frac{1}{z-3}&= sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(z-2)^n},quad |z-2|>1. end{aligned}$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^n3^{n-1}}{4}+ frac{5}{4}right)!cdot frac{1}{(z-2)^n},,~ |z-2|>3.$ .

б) Задача решается так же, как и в предыдущем пункте. Различие заключается в том, что в данном случае обе особые точки расположены на одном расстоянии от центра — точки z_0=1 . Поэтому разложения по степеням (z-1) могут быть получены в круге |z-1|<2 и в вырожденном кольце — в области |z-1|>2 (рис. 3.5,б). Разложение в круге | |z-1|<2 — ряд Тейлора — получено в примере 3.21. Запишем разложение в области |z-1|>2colon

$begin{aligned}frac{1}{z+2}&= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1+frac{1}{z-1}}= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1-left(-frac{1}{z-1}right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{(z-1)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^n},,quad |z-1|>1;\[2pt] frac{1}{z-3}&= frac{1}{z-1-2}= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1-frac{2}{z-1}}= sum_{n=0}^{infty} frac{2^n}{(z-1)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{2^{n-1}}{(z-1)^n},,quad |z-1|>2. end{aligned}$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^n}{4}+ 5cdot2^{n-3}right)! frac{1}{(z-1)^n},,quad |z-1|>2.$ .

Пример 3.33. Записать разложения функции $f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3}$ в окрестностях особых точек.

Решение

Особыми точками дроби являются z_1=infty,~ z_2=-1,~ z_3=3 . Решим задачу для каждой особой точки z_0 .

Разложение в окрестности бесконечно удаленной точки (z_0=infty) получено в примере 3.31:

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},,quad |z|>3.$

Заметим, что в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с положительными степенями .

Запишем разложение в окрестности точки z_0=-1 . Расстояние до другой особой точки z=3 равно четырем, поэтому окрестность точки z_0=-1 — проколотая окрестность, которая записывается в виде 0<|z+1|<4 (рис. 3.6).

Пересечение окружностей на комплексной плоскости

В разложении $frac{z+2}{z^2-2z-3}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}$ исходной дроби на элементарные первое слагаемое записано по степеням (z+1) (уже разложено). Это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного члена: здесь все c_k=0 , кроме $c_{-1}=-frac{1}{4}$ , и разложение имеет место в области |z+1|>0 . Второе слагаемое раскладываем в окрестности z_0=-1 и, так как для него эта точка не является особой, получим ряд Тейлора в круге |z+1|<4 . Для исходной дроби это будет правильная часть ряда Лорана:

$frac{1}{z-3}= frac{1}{z+1-4}= frac{-1}{4! left(1-frac{z+1}{4}right)}= -sum_{n=0}^{infty} frac{(z+1)^n}{4^{n+1}},,quad left|frac{z+1}{4}right|<1~ Leftrightarrow~ |z+1|<4.$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{-1}{4}cdot frac{1}{z+1}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^{n}}{4^{n+2}},~ 0<|z+1|<4$ .

Для точки z_0=3 задача решается аналогично (рис. 3.6):

$frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}-frac{1}{4}cdot frac{1}{(z-3)+4}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}-frac{1}{4} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(z-3)^n}{4^{n+1}},.$

Получаем ответ: $frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$ — разложение функции в окрестности особой точки z_0=3 . Заметим, что в полученных разложениях в окрестности каждой особой точки главная часть содержит только одно слагаемое.

Пример 3.34. Исследовать разложения функции $f(z)=frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ по степеням (z-z_0) . Записать разложения в окрестностях особых точек.

Решение

Функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z-z_0) . окрестности любой конечной точки z_0ne-1,~z_0ne3 ; окрестностью будет круг |z-z_0|<r , где $r=minbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr}$ — наименьшее из расстояний от точки z_0 до особых точек (рис. 3.7,а).

В ряд Лорана по степеням (z-z_0) функция может быть разложена в кольце r<|z-z_0|<R , где $r=minbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr},$ $R=maxbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr}$ и $operatorname{Re}z_0ne1$ , а также во внешности круга, т.е. в области |z-z_0|>R (рис. 3.7,а). Если $operatorname{Re}z_0=1$ , то разложение будет иметь место только в вырожденном кольце вида , так как в этом случае точка го одинаково удалена от обеих особых точек и r=R (рис. 3.7,б).

Расстояния от точек до особых точек на комплексной плоскости

Особенностью примера является наличие в знаменателе множителя (z+1)^2 , поэтому в разложении дроби на элементарные присутствует дробь $frac{1}{(z+1)^2}$ , а именно имеет место равенство

$frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdot frac{1}{(z+1)^2}+ frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3},.$

Для разложения дроби $frac{1}{(z+1)^2}$ по степеням (z-z_0),~z_0ne-2 используется правило дифференцирования рядов (см. пример 3.22).

Запишем разложение функции в окрестности z_0 — особой точки.

В случае z_0=-1 в разложении дроби на элементарные две первые дроби представляют собой слагаемые требуемого вида (уже разложены): $frac{1}{z+1}=(z+1)^{-1},~ frac{1}{(z+ 1)^2}=(z+1)^{-2}$ . Эти разложения справедливы во всей плоскости с выколотой точкой z_0=-1 , т.е. в области |z+1|>0 .

От третьего слагаемого получаем правильную часть ряда Лорана:

$frac{1}{z-3}=-sum_{n=0}^{infty} frac{(z+1)^n}{4^{n+1}},,quad |z+1|<4.$

Окончательный ответ: $frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdot frac{1}{(z+1)^2}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^n}{4^{n+3}},~0<|z+1|<4$ .

В главной части разложения присутствуют два члена, при этом $c_{-1}=-frac{5}{16},~ c_{-2}=-frac{1}{4}$ .

В случае разложения в окрестности z_0=3 главная часть разложения содержит одно слагаемое $frac{5}{16}frac{1}{z-3}$ ; правильная получается от разложения дробей $frac{1}{z+1}$ и $frac{1}{(z+1)^2}$ по степеням (z-3) .

Найдем эти разложения:

$begin{gathered}frac{1}{z+1}= frac{1}{(z-3)+4}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(z-3)^n,quad |z-3|<4;\[2pt] frac{1}{(z+1)^2}=-left(frac{1}{z+1}right)'=-sum_{n=0}^{infty}! left(frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(z-3)^nright)'= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}n}{4^{n+1}}(z-3)^{n-1}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(n+1)}{4^{n+2}}(z-3)^n,quad |z-3|<4.end{gathered}$

Записываем ответ: $frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,quad 0<|z-3|<4.$

Пример 3.35. Разложить функцию $z^3e^{frac{1}{z}}$ в окрестностях точек z_0=0 и z_0=infty .

Решение

Оба разложения — разложения по степеням и получаются из основного разложения, а именно

$z^3e^{frac{1}{z}}= z^3! left(1+frac{1}{z}+ frac{1}{2!z^2}+ ldots+ frac{1}{n!z^n}+ ldotsright)!,$

или

$z^3e^{frac{1}{z}}=z^3+z^2+frac{1}{2!}z+frac{1}{3!}+frac{1}{4!z}+ ldots+ frac{1}{n!z^{n-3}}+ldots,quad |z|>0.$

Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей. Так, в случае точки z_0=0 правильная часть содержит конечное число слагаемых — четыре и ответ записывается в виде

$z^3e^{frac{1}{z}}= z^3+z^2+frac{1}{2}z+frac{1}{6}+ sum_{n=-infty}^{-1} frac{z^n}{(3-n)!},quad |z|>0.$

В случае z_0=infty конечное число слагаемых образует главную часть и ответ записывается в виде

$z^3e^{frac{1}{z}}= z^3+z^2+frac{1}{2}z+ sum_{n=-infty}^{0} frac{z^n}{(3-n)!},quad |z|>0.$

Пример 3.36. Разложить по степеням функции: а) $frac{1-cos z}{z^2}$ ; б) $frac{sin z}{z}$ . С помощью полученных разложений найти $limlimits_{zto0}f(z)$ .

Решение

Применяем основные разложения для cos z и sin z и записываем ряды для заданных функций:

а)

$begin{aligned}frac{1-cos z}{z^2}&= frac{1}{z^2}! left(1-sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} right)= frac{1}{z^2}! left(1-1-sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} right)= frac{1}{z^2} sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n}}{(2n)!}=\ &= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-2}}{(2n)!}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n+2)!},,quad |z|>0.end{aligned}$

Таким образом, получаем результат: $frac{1-cos z}{z^2}= frac{1}{2}-frac{z^2}{4!}+ frac{z^4}{6!}-ldots$ .

Справа записан степенной ряд, сходящийся всюду, его сумма при zne0 равна $frac{1-cos z}{z^2}$ , а при z=0 , очевидно, равна $frac{1}{2}$ .

Получаем $limlimits_{zto0} frac{1-cos z}{z^2} = frac{1}{2}$ или $2limlimits_{} frac{1-cos z}{z^2}=1$ . Результат можно записать в виде асимптотической формулы:

$1-cos zsim frac{1}{2},z^2,quad zto0.$

б) $frac{sin z}{z}= frac{1}{z} sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!}= sum_{n=0}^{infty} frac{z^{2n}(-1)^n}{(2n+1)!},~~|z|>0$ .

Получен результат: $frac{sin z}{z}=1-frac{z^2}{3!}+ldots$ . Отсюда $limlimits_{zto0}frac{sin z}{z}=1$ . Результат, как и в случае «а», можно записать в виде асимптотической формулы: sin zsim z,~zto0 .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

«FUCK FUCK FUCK WRONG IMAGE AND I DIED UNTIL 1 AM»
— a typical death message by Lorena V

Lorena V
Lorena V’s avatar
Also known as	Unknown
Born	?
Gender	Female
Species	Human
Status	Deceased
Current home	Unknown
Roles/occupations	Unknown
Related people	Liliuokalani (mother), Other siblings (see Lorena)

Lorena Morena V (mostly referred to as Lorena V) is a notable antagonist and one of the more prominent Lorenas. She is the fifth child in the Lorena family, after Lorena IV but before Lorena VI.

Due to Lorena V’s actions of Rooney‘s death in April 14, the overthrow of the Random Channels 3 government a month later, and then throwing around fifteen past overlords into a void to permanently kill them, including Noelle herself, she is generally considered the worst Lorena. In addition, she has a massive history of posting illegal photos and trying to cover it up as the «wrong image.» All in all, she is considered much worse than Lorena IV, and even worse than Lorena II, the latter causing Noelle’s initial death.

History[]

Conception[]

Lorena V was originally conceived as «similar to Lillie, but a Lorena and not a whore.» She is very similar to Lorenas in terms of appearance and personality. Her motive of posting the wrong image was largely inspired by Lillie and Mario of the time, albeit more so by the former, as she also posted inflation images that caused her to die for a certain time period. This behavior was notably picked up by Lorena II and IV.

Life[]

Initial execution[]

On April 14, 2021, Lorena V was investigated by the FBI due to Rooney’s death. She was later discovered to be the mastermind of the murder, where Lorena VIII and her unnamed friend were also involved. She was shot by all FBI agents, the RC3 overlords killed her, and thus she was permanently dead and will never be revived again.

Lorena V’s legacy lives on as she has many impersonators trying to pretend to be her, especially those who were already impersonators of ALisa.

Revival and second execution[]

On May 3, 2021, she was revived, along with Lorena’s ghost and Lorena IV, due to Lorde. As proven, Lorenas IV and V have not changed in the slightest, acting the same way they did before.

Even more so, on May 14, 2021, Lorena V carried out a coup that threw Cynthia’s spot, killed her, until Aria took her spot with the help of Serena. She threw many of past overlords into a void so that they could never come back, but was caught being the one killing them all and was executed in a brutal fashion.

Personality[]

She is very similar to Karen in personality, where they both have a similar typing style while acting similar overall. While she may be rude or disrespectful, she may also get paranoid very frequently, especially after posting and image that would get her killed.

Источник

Лорена — полностью автономная спутница, которая не требует для своей работы каких-либо других модов. Изначальный уровень девушки — 30, а максимальный — 120. Она может стать вашей женой.

Девушка отлично владеет магией разрушение, восстановления и превращения, а так же носит легкую броню.

Где найти Лорену?

В таверне «Замерзший очаг»

Установка: Поместите папку Data в папку с игрой

/ / Скачать с MEGA

Источник

Всего в Far Cry 6 можно найти 7 локаций «Детей Лоренцо». Чтобы завершить «Семена любви», необходимо найти всех детей Лоренцо. По умолчанию они не отмечены на игровой карте, вместо этого игра дает вам несколько фотографий в качестве подсказок. С точными местоположениями, показанными ниже, вы можете направиться прямо к ним, игнорируя подсказки на фотографиях, которые дает вам игра. Все они находятся в районе Эль-Эсте на фиксированных позициях и могут быть посещены в любое время суток. На самом деле они уже не дети, а взрослые. Вы можете находить их в любом порядке.

Все дети Лоренцо также отмечены на нашей интерактивной карте Far Cry 6.

Содержание:

Ребенок Лоренцо #1

Ребенок Лоренцо #2

Ребенок Лоренцо #3

Ребенок Лоренцо #4

Ребенок Лоренцо #5

Ребенок Лоренцо #6

Ребенок Лоренцо #7

Ребенок Лоренцо #1 ↑
На кладбище следуйте по дорожке, чтобы найти Фелипе Лоренцо.

Ребенок Лоренцо #2 ↑
В маленьком городке Санто-Доминго Тьяго Лоренцо заперт наверху в здании и взывает о помощи. Вы должны забраться на здание напротив него и выстрелить в замок двери через окно. Затем вы можете войти и развязать его.

Ребенок Лоренцо #3 ↑
На ферме нужно взаимодействовать с белыми цветами, а затем следовать за иллюзией леди, после того, как следовать всем иллюзиям, Риэль Лоренцо появится там, где был белый цветок (тогда вы получите желтый маркер цели).

Ребенок Лоренцо #4 ↑
На ферме Пердомо возьмите ключ от небольшой хижины с соломенной крышей, затем используйте ключ на здании рядом с ним, чтобы найти Хуана Лоренцо внутри.

Ребенок Лоренцо #5 ↑
В Барриге победите врагов, стоящих возле дома у воды, затем войдите в дом, чтобы найти Камило Лоренцо.

Ребенок Лоренцо #6 ↑
На ферме Флорес погладьте собаку и следуйте за ней к её владельцам через реку, которая принадлежит Лоренцо Мариселе.

Ребенок Лоренцо #7 ↑
На севере города Консепсьон найдите девушку, которая рисует голубое сердце на крышах домов. Это Ксиомара Лоренцо.

Это все 7 локаций детей Лоренцо в Far Cry 6. После нахождения последнего побочный квест «Семена любви» завершится немедленно.

Источник

Кольцо
сходимости ряда Лорана.

Определение.Рядом Лорана называется степенной ряд
вида(суммирование ведется и по положительным,
и по отрицательным степеням), здесьz₀– фиксированная точка комплексной
плоскости.

Второе слагаемоеназываетсяправильной (регулярной)
частьюряда Лорана, первое—главной частьюряда Лорана.

Очевидно, областью
сходимости ряда Лорана будет пересечение
областей сходимости его регулярной и
главной части.

Из теоремы
Абеля следует, что регулярная часть
сходится в круге и является в нем
аналитической функцией.C^(|z—z₀|<R₁).

Сделаем замену
1/(z—z₀)=;
главная часть ряда Лорана принимает
вид.
По теореме Абеля такой ряд сходится при,
что соответствует внешности круга.

При R₂<R₁существует общая область сходимости
—круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁.Свойства
степенного ряда, следующие из теоремы
Абеля :

1.
C^(R₂<|z—z₀|<R₁).

Внутри кругового
кольца сходимости ряд Лорана можно
почленно дифференцировать и интегрировать
любое число раз, при этом полученные
ряды также аналитичны в том же кольце.
R₁определяется через {c_n},n=0,1,2…,:R₁=1/L₁, L₁=или L₁=, а R₂— через {c_-n}, n=1,2…,:
R₂=,
или R₂=.

4. Коэффициенты
ряда Лорана c_nчерез значения
суммы ряда в точкеz₀ не
определяются! В точке z₀сумма ряда Лорана не определена!

Пимеры:

Теорема
о разложении функции комплексной
переменной, аналитической в круговом
кольце в ряд Лорана.

Теорема(теорема Лорана) Еслиf(z)C^(R₂<|z—z₀|<R₁),
то она однозначно разложима в этом
кольце в ряд Лоранаf(z)=.

Доказательство.
Фиксируем произвольную точкуzвнутри кольца:(R₂<|z-z₀|<R₁)
и построим окружностиC₁:|-z₀|=R’₁иC₂: |-z₀|=R‘₂, с центром в точкеz₀и радиусамиR’₁иR’₂:R₂<R’₂<|z-z₀|<R’₁<R₁.

По формуле
Коши для многосвязной областив
силу аналитичностиf(z),справедливо

f(z)==f₁(z)+f₂(z)

На окружности C₁:|-z₀|=R’₁выполняется неравенство.
Поэтому, дробь 1/(-z)
можно представить в виде

Проведя
почленное интегрирование, что возможно
в силу равномерной сходимости ряда по
переменной наC₁

где введено
обозначение

,n>0.

На окружности
C₂:|-z₀|=R‘₂выполняется неравенство.
Поэтому, дробь
1/(-z)
можно представить в виде

В результате почленного
интегрирования этого ряда получим:

где введено
обозначение

Изменив направление
интегрирования, получим:

,n>0

Подынтегральные
функции в выражениях для c_nиc_-nявляются
аналитическими в круговом кольцеR₂<|z-z₀|<R_1..
Поэтому в силутеоремы Кошизначения соответствующих интегралов
не изменится при произвольной деформации
контуров интегрирования в области
аналитичности подынтегральных функций.
Это позволяет записать общее выражение

,n=0,1,2,…

где C—
произвольный замкнутый контур, лежащий
в кольцеR₂<|z-z₀|<R₁и содержащий точкуz₀внутри. Дляf(z)окончательно можно
записать:

f(z)=.

Т.к. z —
произвольная точка внутри кольцаR₂<|z-z₀|<R₁ряд
сходится кf(z)всюду внутри
данного кольца, причем в замкнутом
кольцеR₂<R’₂|z-z₀|R’₁<R₁ряд сходится кf(z)равномерно.

Докажем
единственность разложения в ряд Лорана.
Предположим, что имеет место другое
разложение f(z)=
, где хотя бы один коэффициентc’_nc_n.
Тогда всюду внутри кольцаR₂<|z-z₀|<R₁имеет место равенство:
=

Проведем
окружность C_R , радиусаR: R ₂<R<R₁, с центром в точкеz₀. Тогда
ряды
и
сходятся
наC_R равномерно.

Умножим оба
ряда на (z-z₀)^—^m-1, гдеm— произвольное целое число и
проинтегрируем почленно по окружностиC_R.

Рассмотрим
.

Т.о. для mc’_m=c_m.

Примеры.
Разложить в ряд Лорана с центром в

Ряд
Лорана в окрестности бесконечно
удаленной точки.

Определение.Степенной ряд вида,
сходящийся во круговом кольценазываетсярядом Лорана в окрестности бесконечно
удаленной точки.

Внимание.Главной частьюряда Лорана в
окрестностиназывается,
арегулярной (все наоборот).

Чтобы разложить
функцию f(z)в ряд Лорана в окрестностинужно выполнить замену переменнойи провести разложение функциив ряд Лорана с центром в точке.
Выполнив обратную замену переменной,
получим искомый ряд Лорана в окрестности.

Пример.

Разложить в
ряд Лорана с центром
.

Ряд Лорана содержит только регулярную
часть.§24. Изолированные особые точки
однозначной аналитической функции.

Особые точки.

Определение.Точкаz₀называетсяизолированной особой
точкойфункцииf(z),еслиf(z)однозначная иf(z)C^(0<|z-z₀|<(z₀)),
а точкаz₀являетсяособой
точкойфункцииf(z).

Другими словами, точка z₀называетсяизолированной особой
точкойфункцииf(z),еслитакая
окрестность точкиz₀, в которой
нет других особых точек функцииf(z).В самой особой точкеz₀функцияf(z)может быть не определена.
Функциюf(z)в окрестности точкиz₀можно разложить в ряд Лорана, сходящийся
в кольце
0<|z-z₀|<(z₀).
Поведение функцииf(z)в окрестности
точкиz₀определяется главной
частью ряда Лорана,
т.к. регулярная часть ряда Лорана,
очевидно, является непрерывной в
окрестности точкиz₀и равнаc₀в ней.

Классификация изолированных особых
точек

Возможны три случая:

Название особой точки		Коэффициенты ряда Лорана	Главная часть ряда Лорана
Устранимая особая точка	 конечный предел	,n>0	отсутствует
Полюс порядка m	, но 	,n>m	Содержит не более mчленов
Существенно особая точка	не существует	 N>0n>N:	Содержит бесконечно много членов

Проиллюстрируем их:

1) Определение.Если главная часть ряда Лорана с центром
разложения в особой точкеравна 0, тоназываетсяустранимой особой точкой.

Для n>0c_-n=0главная часть ряда Лорана=0;

Тогда
.

Если функция
не определена в точке z₀, то ее можно доопределить по непрерывности,
положивf(z₀)=c₀.

Теорема
24.1Еслиf(z)C^(0<|z-z₀|<(z₀))
и |f(z)|<M при 0<|z-z₀|<(z₀),
тоz₀— устранимая особая точка.

Функция
ограничена по модулю в окрестности
устранимой особой точки.

Доказательство.Разложимf(z)в ряд Лорана и рассмотрим
выражение для коэффициентов главной
части.

,n>0

В качестве
контура интегрирования выберем круг
с центром в точке z₀и радиуса

С_:
|-z₀|=.
Тогда, сделав замену-z₀=eⁱ^,
d=ieⁱ^dи
учтя, что |eⁱⁿ^|=1,
получим оценку: |c_-n|<Mⁿ^-10
при0.
Т.к. значенияc_-nне
зависят от, тоc_-n=0.

Замечание.В
окрестности устранимой особой точки
верно представление,
гдеи.

2) Определение.
Если главная часть ряда Лорана функцииf(z)в окрестности ее изолированной
особой точкиz₀содержит
конечное число членов:

дляпричем

то z₀—
называетсяполюсом порядка m.

В окрестности
полюса верно представление

;

и(z₀)0.

Из такого
представления функции f(z)вблизи
полюса порядка m видно, чтоf(z)неограниченно возрастает приzz₀.
Верна и обратная теорема.

Теорема
24.2 Еслиf(z)C^(0<|z-z₀|<(z₀)),z₀— изолированная особая
точкаf(z)и(независимо от способа стремленияzкz₀), тоz₀—
полюсf(z).

Доказательство.
=> дляA>0: 0<|z—z₀|<, |f(z)|>A;
Рассмотримg(z)=1/f(z);g(z)C^(0<|z-z₀|<);
|g(z)|<1/A=M => z₀– нуль для
функцииg(z) g(z)=(z-z₀)^m(z),m>0 ,(z₀)0,и(z₀)0

Замечание.Точкаz₀, являющаяся нулем
порядкаmдля функцииg(z),является
полюсом того же порядка для функции
f(z)=1/g(z)!

3) Определение.Точкаz₀называетсясущественно
особойточкой функцииf(z),если
главная часть ряда Лорана функцииf(z)в окрестности ее изолированной особой
точкиz₀содержит бесконечно
много членов.

Бесконечное
число коэффициентов c_-n0.

Поведение аналитической
функции в окрестности существенно
особой точки описывается следующей
теоремой.

Теорема
Сохоцкого-ВейерштрассаДлякомплексного
числа B и>0, в-окрестности
существенно особой точкиz₀z₁:
|z₁—z₀|<и |f(z₁)-B|<.

Доказательство
. (От противного)

Пусть такие₀и₀:
дляz 0<|z-z₀|<₀;
|f(z)-B|>₀.
Рассмотримg(z)=1/[f(z)-B]. В указанной
окрестности |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/₀=Mg(z)– ограниченна
по модулю. Т.о. z₀— устранимая
особая точка g(z) (по Теореме 24.1)g(z)=(z-z₀)^m(z),m0 ,(z₀)0.
Т.о. f(z)=B+1/[(z-z₀)^m(z)]=B+(z-z₀)^-m(z);(z₀)0z₀— либо
полюсf(z) m>0, либо устранимая точка
приm=0. Получили противоречие.


Замечание
1. {_n}0
=>{z⁽ⁿ⁾₁}z₀.
{f(z⁽ⁿ⁾₁)}Bв окрестности
существенно особой точки можно выбрать
{z⁽ⁿ⁾₁}z₀такую, что {f(z⁽ⁿ⁾₁)} сходится
кнаперед заданному
числу B.

Пример
.f(z)=e^1/zточкаz=0
— существенно особая.

Важное
замечаниеВ окрестноститочки
ветвления инеизолированной
особой точки вообще нельзя раскладывать
в ряд Лорана!

Еще раз
о бесконечно удаленной точке.

Определение.Точкаz=является
изолированной особой точкой функцииf(z)еслиR>0:f(z)не имеет особых точек при R<|z|<.

Т.к. f(z)C^(
R<|z|<), топри R<|z|<.

Возможны три случая:

Название особой точки		Коэффициенты ряда Лорана	Главная часть ряда Лорана
Устранимая особая точка	 конечный предел	,n>0	отсутствует
Полюс порядка m	, но 	,n>m	Содержит не более mчленов
Существенно особая точка	не существует	 N>0n>N:	Содержит бесконечно много членов

Полезно помнить, что преобразование
переводит точкув,
характер же особой точки при таком
преобразовании не меняется.

Примеры:Классифицировать особые точки, включая
z=

z=0 полюс 1-го порядка,z=i—
полюс третьего порядка, z=устранимая особая точка.
z=0 существенно особая точка,
z=устранимая особая
точка.
z_k=kполюса 1-го порядка, z=точка сгущения полюсов – неизолированная
особая точка.
z_k=kполюса 2-го порядкаk0,
z=0 – устранимая особая точка, z=точка сгущения полюсов – неизолированная
особая точка.