Как найти минимум функции с модулем

Из общих соображений ясно, что наименьшее значение достигается, причём можно утверждать, что при этом хотя бы одно выражение под знаком модуля обращается в ноль. Действительно, в окрестности любой точки, не удовлетворяющей этому условию, все модули раскрываются однозначно, и функция принимает вид $%ax+by+c$% для каких-то коэффициентов. Чтобы был экстремум в точке, необходимо $%a=b=0$%, то есть функция равна константе. Тогда она равна той же константе в точках границы области, на которую разбивают плоскость три прямые $%2x-y-1=0$%, $%x+y=0$%, $%y=0$%.

Теперь можно таким же способом доказать, что наименьшее значение достигается в одной из вершин треугольника. Действительно, когда мы находимся на одной из прямых, значение $%y$% выражается через $%x$%, а $%x$% может принимать произвольные значения. Тогда функция становится суммой модулей (двух) линейных функций от $%x$%. График такой функции кусочно-линеен, и наименьшее значение достигается в точке излома графика, где хотя бы один из модулей обратился в ноль. Отсюда следует, что в точке наименьшего значения должны обратиться в ноль хотя бы два модуля (слагаемые исходной суммы).

Остаётся разобрать три простых случая. При $%x=y=0$% функция принимает значение $%1$%; при $%y=0$%, $%x=frac12$% значение равно $%frac12$%. Наконец, при $%2x-y-1=x+y=0$% получается $%x=frac13$% и $%y=-frac13$%, и наименьшим значением функции оказывается $%frac13$%.

Separate the function in two pieces, $xleq0$ and $xgeq0$.

First, let’s compute the maximum:

For $xleq0$, $|x|=-x$ and $|x-1|=1-x$, so

$$f(x)=frac{1}{1-x}+frac{1}{1+1-x}=frac{1}{1-x}+frac{1}{2-x}.$$

Its second derivative is

$$f»(x)=2left(frac{1}{(1-x)^3}+frac{1}{(2-x)^3}right)>0.$$

It is strictly positive in all $xin[-1,0]$, so it is convex, so the maximum over the interval $[-1,0]$ must be on one of the boundaries.

Same for the interval $xin[0,1]$:

$$f(x)=frac{1}{1+x}+frac{1}{1+1-x}=frac{1}{1+x}+frac{1}{2-x},$$

$$f»(x)=2left(frac{1}{(1+x)^3}+frac{1}{(2-x)^3}right)>0.$$

Again, it is convex, so the maximum over this interval must be on the boundaries.

Now we need to evaluate only three points which are candidate to being the maximum: -1, 0 and 1.

$$f(-1) = frac{1}{2}+frac{1}{3} = 0.8333,$$
$$f(0) = frac{1}{1}+frac{1}{2}=1.5,$$
$$f(1) = frac{1}{2}+frac{1}{1} = 1.5.$$

So it has two maxima over this interval, corresponding to the points $x=0$ and $x=1$.

Now, let’s compute the minimum:

Over $[-1,0]$, the first derivative is

$$f'(x)=frac{1}{(1-x)^2}+frac{1}{(2-x)^2}>0.$$

Since it is positive, the function is strictly increasing, so the minimum over this interval must be on $x=-1$.

Over $[0,1]$, the derivative is

$$f'(x)=-frac{1}{(1+x)^2}+frac{1}{(2-x)^2}.$$

We solve for $f'(x)=0$ to find the local minimum (remember that the function is convex over this interval) and find $x=frac{1}{2}$.

So we have two candidates to evaluate as minimum, one for each interval:
$$f(-1)=0.8333,$$
$$fleft(frac{1}{2}right)=frac{1}{1+frac{1}{2}}+frac{1}{1+frac{1}{2}}=1.3333.$$

So the minimum is at $x=-1$.

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

при

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если  то  Если , то 

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

. Поскольку если

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Мы нашли, что

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

если Тогда

 При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что  для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

Ответ: 6

Доброго времени суток всем моим уважаемым читателям!

В этой статье мы попробуем научиться определять максимальное и минимальное значения различных функций, простых и посложнее, находить точки экстремумов, определять, является ли экстремум минимумом или максимумом функции, и даже отличать перегиб функции от экстремума.

Действовать мы будем так:

1. Определим производную функции.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы определить, имеет ли функция экстремумы (если полученное уравнение имеет корни). Определим, принадлежат ли данные экстремумы заданному промежутку.

3. Если функция имеет экстремум на заданном промежутке, определим, максимум ли это или минимум.

4. Если функция не имеет экстремума (нет корней у уравнения, полученного путем приравнивания производной к нулю), определяем знак производной. Это покажет нам, является ли функция возрастающей  или убывающей. Далее действуем по условию задачи: если функция возрастает, то максимальное значение справа, а минимальное — слева. Если убывает — то наоборот. Решение задач поможет нам все разложить по полочкам, и с помощью картинок мы постараемся не оставить непонятных мест в решении подобных задач.

Задача 1. Необходимо определить наибольшее значение функции:

Действуем по алгоритму: сначала определяем производную. Здесь мы имеем сумму функций, поэтому определяем производную от каждой в отдельности и складываем, после чего приравняем производную к нулю:

Решаем полученное уравнение. Если корни будут — значит, возможно, экстремумы есть (точка, где производная равна нулю, может быть и не экстремумом, а точкой перегиба).

Видим — корень есть:

В этой точке наша функция имеет экстремум. Важно, что эта точка принадлежит заданному интервалу. Выясним, максимум это или минимум.Для этого нужно определить знак производной в окрестности этой точки, то есть справа и слева от нее. Например, здесь можно взять точку — она будет располагаться слева, и точку  — она будет справа. Тогда: 

Понятно, что функция имеет наибольшее значение в точке максимума.Найдем это значение так: подставим найденную точку экстремума в уравнение функции:

Ответ: наибольшее значение функции на данном интервале равно 10.

2.Найти наименьшее значение функции на заданном интервале:

Точно так же, как и в первый раз, берем производную и приравниваем к нулю:

Уже видно, что это уравнение будет иметь корни:

В точке  функция имеет экстремум. Максимум это или минимум? Найдем значение производной справа и слева от точки . Снова возьмем точку — она будет располагаться слева, и точку  — она будет справа. Тогда:

 Наименьшее значение функция принимает в точке минимума, найдем его:

Ответ: наименьшее значение функции на данном интервале равно 1.

Решим следующую задачу:

3. Определить наибольшее значение функции на отрезке:

Сначала, как всегда, производная:

Это как раз случай, когда экстремумов у функции на данном интервале нет: у уравнения выше нет корней. Это означает, что функция монотонная: либо убывает, либо возрастает. Мы можем определить это по знаку производной: если производная положительна — функция возрастает, если отрицательна — убывает. Зачем нам знать, убывает или возрастает функция? Дело в том, что если функция возрастает, то ее значение будет всегда больше на правом конце интервала, а если убывает — на левом.

У нас, какой бы угол мы ни взяли, косинус его не превышает 1, поэтому производная  положительна, а значит, функция растет. Таким образом, своего наибольшего значения она достигнет в точке 0:

Ответ: наибольшее значение функции на данном интервале — 3.

4. Определить наименьшее значение функции на отрезке:

Определим производную и приравняем к нулю:

Уже видно, что функция монотонная (нет корней у получившегося уравнения):

Так как производная отрицательна, то делаем вывод, что функция убывает. Тогда ее наименьшее значение — на правом конце отрезка, то есть в 0:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке — 19.

5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Берем производную, приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение:

Казалось бы — уравнение имеет корни, значит, функция будет иметь экстремум на данном отрезке (второй корень данному отрезку не принадлежит, поэтому не рассмотрен). Определим, максимум это или минимум. Значение 1 для косинуса — максимальное, то есть, какую точку ни возьми около нуля — значение косинуса — абсциссы — будет меньше, чем в точке ноль. Однако! Производная в точке ноль знака не меняет! Она положительна в окрестности нуля, и значит, функция возрастает как до нуля, так и после. Значит, функция в точке ноль имеет не экстремум, а перегиб.

Поэтому, чтобы определить наименьшее значение, надо брать левый конец отрезка и считать значение функции в этой точке. По счастливой случайности, это точка ноль. Однако, это могла бы быть и другая точка, отличная от нуля, и тогда можно было бы ошибиться, посчитав точку ноль экстремумом и определив значение функции в ней. Итак, значение функции:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке — 8.

6. Найдите точку максимума функции:

Алгоритм выполнения таких заданий тот же самый. Первым делом — производная. Здесь имеем произведение двух функций, поэтому брать производную будем по правилу взятия производной от произведения функций:

Далее приравняем полученное выражение к нулю. Понятно, что экспонента всегда неотрицательна, в какую степень ни возведи, поэтому корень «спрятан» во втором сомножителе:

Убедимся, что данный экстремум — максимум. Действительно, в этой точке производная знак меняет, и меняет с положительного на отрицательный, то есть до этой точки функция возрастает, а после — убывает.

Таким образом, найденная нами точка — максимум. Ответ: точка  х=-7.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Нам предстоит, как обычно, найти производную данной функции, а это функция сложная: под знаком логарифма выражение в степени (причем степень — четная! Если выносить ее за знак логарифма, то нужно ставить знак модуля, чтобы не сузить область определения функции). Поэтому, чтобы не раскрывать модуль, можем воспользоваться правилом взятия производной от сложной функции:

Полученное выражение приравняем  к нулю:

Отметим, что в точке (-3) производная не определена. Тем не менее в этой точке производная поменяет знак. Точка (-2) — минимум функции, так как в ней производная меняет знак с отрицательного на положительный. Значит, в этой точке у функции минимальное значение. Найдем его:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке — 8.

8. Найдите точку максимума функции:

Определяем производную сложной функции. Найденную производную приравняем к нулю:

Имеем две точки экстремумов. Одна из них — максимум, другая — минимум.

Максимум функция имеет в точке 8.

 Ответ: точка  х=8.

9. Найдите точку минимума функции:

Определяем производную произведения, кроме того, экспонента является сложной функцией (здесь производная степени, в которую возведена экспонента, равна 1). Найденную производную приравняем к нулю:

Точкой минимума функции является точка 11. В этом можно убедиться: производная в ней меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: точка  х=11.

10. Найдите точки минимума и максимума функции:

Определяем производную сложной функции. Найденную производную приравняем к нулю:

Производная этой функции меняет знак с отрицательного на положительный в точке 2 (минимум), и с положительного на отрицательный — в точке 17 (максимум).

11. Найти наименьшее значение функции на отрезке:

Обратим внимание на то, что выражение, стоящее под знаком логарифма, больше нуля. Тогда , . Отрезок, на котором мы исследуем функцию и определяем знаки производной, удовлетворяет области определения функции.

Найдем производную и приравняем к нулю:

В точке 2 производная знак меняет, значит, это экстремум. Знак она меняет с отрицательного на положительный, поэтому данная точка — точка минимума. В ней функция принимает наименьшее значение:

Ответ: наименьшее значение функции на данном отрезке — 8.

12. Найти наименьшее значение функции на отрезке:

Найдем производную и приравняем к нулю:

Можем отметить, что область определения функции — положительные значения х (так как  выражение под знаком логарифма больше ноля), и что производная в точке 0 не определена.Получим квадратное уравнение, у которого сумма коэффициентов равна 0 (a+b+c=0). В таком уравнении один корень равен 1, а второй  c/a:

Заданному отрезку принадлежит лишь одна точка — 1. Производная здесь меняет знак с отрицательного на положительный, и значит, это минимум. Определим значение функции в этой точке:

13. Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

Заметим, что функция не определена в точке 0.

Берем производную дроби:

Приравниваем производную к нулю и отыскиваем корни:

Один из корней нас не интересует, так как промежутку не принадлежит, а во второй точке производная меняет знак с отрицательного на положительный.То есть функция имеет минимум в данной точке. Определим ее минимальное значение:

Надеюсь, эта статья и, главное, приведенные примеры помогут вам справиться с заданием B15. Необходимо только помнить правила взятия производной, и особенно от сложных функций.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью