Как найти модуль пересечения

Как решать уравнения с модулем: основные правила

30 декабря 2016

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.

Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Немного теории

Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $left| -5 right|=5$. Или $left| -129,5 right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $left| 5 right|=5$; $left| 129,5 right|=129,5$ и т.д.

Получается любопытная вещь: разные числа могут иметь один тот же модуль. Например: $left| -5 right|=left| 5 right|=5$; $left| -129,5 right|=left| 129,5 right|=129,5$. Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: эти числа противоположны. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:

[left| -a right|=left| a right|]

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

[left| a right|=left{ begin{align}& a,quad age 0, \& -a,quad a lt 0. \end{align} right.]

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=left| x right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

Из этой картинки сразу видно, что $left| -m right|=left| m right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

[left| x right|=3]

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

[left| 3 right|=3]

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $left| -3 right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $left| x right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $fleft( x right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

[left| fleft( x right) right|=a]

Ну и как такое решать? Напомню: $fleft( x right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

[left| 2x+1 right|=5]

или:

[left| 10x-5 right|=-65]

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$left| 2x+1 right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $left| 2x+1 right|=-left( 2x+1 right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

[left| 2x+1 right|=5Rightarrow 2x+1=5]

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

[2x+1=5Rightarrow 2x=4Rightarrow x=2]

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

[left{ begin{align}& left| 2x+1 right|=5 \& 2x+1 lt 0 \end{align} right.Rightarrow -2x-1=5Rightarrow 2x+1=-5]

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

[2x+1=-5Rightarrow 2x=-6Rightarrow x=-3]

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $left| x right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $left| fleft( x right) right|=a$, причём $age 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

[left| fleft( x right) right|=aRightarrow fleft( x right)=pm a]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

[left| 5x+4 right|=10Rightarrow 5x+4=pm 10]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

[begin{align}& 5x+4=10Rightarrow 5x=6Rightarrow x=frac{6}{5}=1,2; \& 5x+4=-10Rightarrow 5x=-14Rightarrow x=-frac{14}{5}=-2,8. \end{align}]

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

[left| 7-5x right|=13]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

[begin{align}& 7-5x=13Rightarrow -5x=6Rightarrow x=-frac{6}{5}=-1,2; \& 7-5x=-13Rightarrow -5x=-20Rightarrow x=4. \end{align}]

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

[left| 3x-2 right|=2x]

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $fleft( x right)$ и $gleft( x right)$ :

[left| fleft( x right) right|=gleft( x right)Rightarrow left{ begin{align}& fleft( x right)=pm gleft( x right), \& gleft( x right)ge 0. \end{align} right.]

Применительно к нашему уравнению получим:

[left| 3x-2 right|=2xRightarrow left{ begin{align}& 3x-2=pm 2x, \& 2xge 0. \end{align} right.]

Ну, с требованием $2xge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

[begin{align}& 3x-2=2xRightarrow 3x-2x=2Rightarrow x=2; \& 3x-2=-2xRightarrow 5x=2Rightarrow x=frac{2}{5}. \end{align}]

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2xge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x=2$ и $x={2}/{5};$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

[left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x right|=x-{{x}^{3}}]

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

[left| fleft( x right) right|=gleft( x right)]

И решается оно точно так же:

[left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x right|=x-{{x}^{3}}Rightarrow left{ begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=pm left( x-{{x}^{3}} right), \& x-{{x}^{3}}ge 0. \end{align} right.]

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}]

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:

[begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}; \& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0; \end{align}]

Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

[{{x}^{2}}left( 2x-3 right)=0Rightarrow left[ begin{align}& {{x}^{2}}=0 \& 2x-3=0 \end{align} right.]

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{3}{2}=1,5.]

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

[begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-left( x-{{x}^{3}} right); \& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-x+{{x}^{3}}; \& -3{{x}^{2}}+2x=0; \& xleft( -3x+2 right)=0. \end{align}]

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

[left[ begin{align}& x=0 \& -3x+2=0 \end{align} right.]

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{2}{3}.]

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3};$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

[x-{{x}^{3}}ge 0]

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

[begin{align}& x=0Rightarrow x-{{x}^{3}}=0-0=0ge 0; \& x=1,5Rightarrow x-{{x}^{3}}=1,5-{{1,5}^{3}} lt 0; \& x=frac{2}{3}Rightarrow x-{{x}^{3}}=frac{2}{3}-frac{8}{27}=frac{10}{27}ge 0; \end{align}]

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{2}{3}.]

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $left| fleft( x right) right|=gleft( x right)$ или даже более простому $left| fleft( x right) right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

[left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|]

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

[left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|Rightarrow fleft( x right)=pm gleft( x right)]

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

[left| 2x+3 right|=left| 2x-7 right|]

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

[left| 2x+3 right|=left| 2x-7 right|Rightarrow 2x+3=pm left( 2x-7 right)]

Рассмотрим отдельно каждый случай:

[begin{align}& 2x+3=2x-7Rightarrow 3=-7Rightarrow emptyset ; \& 2x+3=-left( 2x-7 right)Rightarrow 2x+3=-2x+7. \end{align}]

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

[2x+3=-2x+7Rightarrow 4x=4Rightarrow x=1]

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

[left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|]

Опять у нас уравнение вида $left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

[{{x}^{2}}-3x+2=pm left( x-1 right)]

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

[x-1=pm left( {{x}^{2}}-3x+2 right)]

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:

[left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|Rightarrow left| {{x}^{2}}-3x+2 right|=left| x-1 right|]

Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)

В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:

[begin{align}& {{x}^{2}}-3x+2=x-1Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0; \& {{x}^{2}}-3x+2=-left( x-1 right)Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0. \end{align}]

Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:

[{{x}^{2}}-2x+1={{left( x-1 right)}^{2}}]

Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:

[{{x}_{1}}=3;quad {{x}_{2}}=1.]

Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)

Важное замечание. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:

[begin{align}& left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|; \& left| x-1 right|=left| left( x-1 right)left( x-2 right) right|. \end{align}]

Одно из свойств модуля: $left| acdot b right|=left| a right|cdot left| b right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:

[left| x-1 right|=left| x-1 right|cdot left| x-2 right|]

Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:

[begin{align}& left| x-1 right|=left| x-1 right|cdot left| x-2 right|; \& left| x-1 right|-left| x-1 right|cdot left| x-2 right|=0; \& left| x-1 right|cdot left( 1-left| x-2 right| right)=0. \end{align}]

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

[left[ begin{align}& left| x-1 right|=0, \& left| x-2 right|=1. \end{align} right.]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Итак, уравнение:

[left| x-{{x}^{3}} right|+left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0]

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:

[begin{align}& 5+7=12 gt 0; \& 0,004+0,0001=0,0041 gt 0; \& 5+0=5 gt 0. \end{align}]

Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:

[left| x-{{x}^{3}} right|+left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0Rightarrow left{ begin{align}& left| x-{{x}^{3}} right|=0, \& left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0. \end{align} right.]

А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:

[x-{{x}^{3}}=0Rightarrow xleft( 1-{{x}^{2}} right)=0Rightarrow left[ begin{align}& x=0 \& x=pm 1 \end{align} right.]

[{{x}^{2}}+x-2=0Rightarrow left( x+2 right)left( x-1 right)=0Rightarrow left[ begin{align}& x=-2 \& x=1 \end{align} right.]

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.

Метод расщепления

Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:

[left| 3x-5 right|=5-3x]

В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $left| fleft( x right) right|=gleft( x right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:

[left| a right|=left{ begin{align}& a,quad age 0, \& -a,quad a lt 0. \end{align} right.]

Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.

Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:

[3x-5 gt 0Rightarrow left| 3x-5 right|=3x-5]

Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:

[3x-5=5-3xRightarrow 6x=10Rightarrow x=frac{5}{3}]

Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=frac{5}{3}$ в это условие и проверим:

[x=frac{5}{3}Rightarrow 3x-5=3cdot frac{5}{3}-5=5-5=0]

Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(

Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 lt 0$:

[3x-5 lt 0Rightarrow left| 3x-5 right|=5-3x]

Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:

[5-3x=5-3x]

Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!

А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:

[3x-5 lt 0Rightarrow 3x lt 5Rightarrow x lt frac{5}{3}]

Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:

[xin left( -infty ;frac{5}{3} right)]

Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):

[3x-5=0Rightarrow left| 3x-5 right|=0]

Но тогда исходное уравнение $left| 3x-5 right|=5-3x$ перепишется следующим образом:

[0=3x-5Rightarrow 3x=5Rightarrow x=frac{5}{3}]

Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)

Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:

Итого окончательный ответ: $xin left( -infty ;frac{5}{3} right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:

1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:

Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:

1. Самый левый: $x lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
2. Центральный: $1le x lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
3. Самый правый: $xge 5$ — пятёрка входит только сюда!

Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.

На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.

На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)

Смотрите также:

1. Простейшие уравнения с модулем
2. Уравнение с двумя модулями
3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
4. Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
5. Как решать биквадратное уравнение
6. B4: счетчики на электричество

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение


Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

• ||3x-3|-2|=5-2x;
• ||5x-3|-3|=3x-1;
• ||2x-7|-4|=x-2;
• ||5x-4|-8|=x+4;
• ||2x-2|-3|=1;
• ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

• Решение уравнений с модулями
• Модуль в модуле. Графический метод
• Уравнения с модулями. Графический метод
• Решение неравенств с модулями

Содержание:

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Объяснение и обоснование:

Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства, содержащие знак модуля, могут быть также решены с использованием специальных соотношений (табл. 15).

В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример №441

Решите уравнение

I способ (по определению модуля)

Решение:

► 1) Если

(1)

то получаем уравнение

Тогда что удовлетворяет и условию (1).

2) Если

(2)

то получаем уравнение

Тогда что удовлетворяет и условию (2).

Ответ:

Комментарий:

Чтобы раскрыть знак модуля по определению, рассмотрим два случая:

По определению модулем положительного (неотрицательного) числа является само это число, а модулем отрицательного числа является противоположное ему число. Поэтому при а при

В каждом случае решаем полученное уравнение и выясняем, удовлетворяет ли каждый из найденных корней тому условию, при котором мы его находили.

II способ (использование геометрического смысла модуля)

Решение:

► или

или

или

Ответ:

Комментарий:

С геометрической точки зрения — это расстояние от точки 0 до точки По условию уравнения оно равно 6, но расстояние 6 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 6), так и влево (получаем число -6). Таким образом, равенство возможно тогда и только тогда, когда или

Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции и будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

(1)

(2)

Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции ), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции ). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций и то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы). Чтобы продолжить решение неравенств и методом интервалов, необходимо найти нули функций и то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир). Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

В каждом из полученных промежутков знаки функций и не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы). Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств, содержащих знак модуля, проводится аналогично.

Примеры решения задач:

Пример №442

Решите уравнение

Решение:

► 1. ОДЗ:

2. Нули подмодульных функций:

3. Нули 0 и 2 разбивают ОДЗ на четыре промежутка, в которых подмодульные Рис. 67 функции имеют знаки, показанные на рисунке 67.

4. Находим решения данного уравнения в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций одинаковы на промежутках I и III, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и III: Учитывая знаки подмодульных функций на этих промежутках и определение модуля, получаем, что в этих промежутках данное уравнение равносильно уравнению Отсюда или В рассмотренные промежутки полученные значения не входят, таким образом, в этих промежутках корней нет.

Промежуток II: (Следует обратить внимание на то, чтобы не пропустить значение которое принадлежит ОДЗ.) В этом

промежутке получаем уравнение Отсюда — корень, поскольку принадлежит этому промежутку.

Промежуток IV: (И в этом промежутке необходимо не

забыть значение ) Получаем уравнение Отсюда

— корень, поскольку принадлежит этому промежутку. Объединяя все решения, которые мы получили в каждом промежутке, имеем решение данного уравнения на всей ОДЗ.

Ответ: На рисунке 67 в каждом из промежутков первый знак — это знак функции

а второй — знак функции При выполнении рисунка удобно сначала

отметить на числовой прямой ОДЗ, а потом нули подмодульных функций на ОДЗ.

Проиллюстрируем также получение и использование специальных соотношений, приведенных в таблице 15.

Обоснуем, например, соотношение 5:

Запишем заданное равенство в виде и проанализируем его, опираясь на известные из 6 класса правила действий над числами с одинаковыми и с разными знаками. Чтобы сложить два числа и мы сложили их модули, таким образом, эти числа имеют одинаковые знаки. Если бы эти числа были оба отрицательными, то и их сумма была бы тоже отрицательна, но Тогда получаем, что числа и — оба неотрицательные. Наоборот, если то выполняется Таким образом, действительно уравнение равносильно системе неравенств

Пример №443

Решите уравнение

Решение:

► Поскольку то данное уравнение имеет вид но это равенство может выполняться тогда и только тогда, когда числа и — оба неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Таким образом,

Ответ:

Комментарий:

Если обозначить и то и данное уравнение имеет вид а по соотношению 5 такое уравнение равносильно системе

Заметим, что данное уравнение можно решать и по общей схеме, но тогда решение будет более громоздким.

При решении неравенств, содержащих знак модуля, рассуждения, связанные с раскрытием знаков модулей, полностью аналогичны рассуждениям, которые использовались при решении уравнений, содержащих знак модуля.

Пример №444

Решите неравенство

Решение:

► Учитывая геометрический смысл модуля, получаем, что заданное неравенство равносильно неравенству

(1)

Тогда таким образом,

Ответ:

Комментарий:

Неравенство вида (где удобно решать, используя геометрический смысл модуля.

Поскольку заданное неравенство — это неравенство вида а модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, изображающей данное число, до точки 0, то заданному неравенству удовлетворяют все точки, находящиеся в промежутке Таким образом, Если возникают затруднения с решением двойного неравенства (1), то его заменяют на равносильную систему

Пример №445

Решите неравенство (1)

Решение:

► 1. ОДЗ: Тогда то есть таким образом: или

2. Нули подмодульных функций: — не принадлежит ОДЗ) и

3. Нуль 2 разбивает ОДЗ на четыре промежутка, на которых подмодульные функции имеют знаки, показанные на рисунке 68 (на каждом из промежутков первый знак — это знак функции а второй — знак функции

4. Находим решения заданного неравенства в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций являются одинаковыми на промежутках I и II, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и II: Учитывая знаки подмодульных функций в этих промежутках и определение модуля, получаем, что при заданное неравенство равносильно неравенству Тогда то есть Отсюда

В промежутки, которые мы рассмотрели, входят все значения таким образом, в этом случае решением будет

Промежуток III: На этом промежутке получаем неравенство то есть Но при этом значении из промежутка III последнее неравенство обращается в неверное неравенство Таким образом, в промежутке III неравенство (1) решений не имеет.

Промежуток IV: В этом промежутке получаем неравенство то есть Как видим, при любом из IV промежутка неравенство (1) обращается в верное числовое неравенство

Таким образом, решением неравенства (1) в IV промежутке

есть любое число из этого промежутка

Объединяя все решения, полученные в каждом из промежутков, имеем решение данного неравенства на всей ОДЗ: или

Ответ:

Укажем, что для решения некоторых неравенств, содержащих знак модуля, удобно применять также специальные соотношения, приведенные в таблице 15.

Пример №446

Решите неравенство

Решение:

► Поскольку и функция монотонно возрастает на множестве неотрицательных чисел, то все разности модулей в неравенстве можно заменить на разности их квадратов (то есть воспользоваться соотношением 4: Получаем неравенство, равносильное заданному

Раскладывая на множители все разности квадратов, имеем:

Далее методом интервалов получаем или (рис. 70).

Ответ: или

Общая схема, предложенная в таблице 15, может быть использована не только при решении уравнений или неравенств, содержащих знак модуля, но и при преобразовании выражений, содержащих знак модуля.

Например, для построения графика функции удобно сначала по общей схеме раскрыть знаки модулей, а уже потом строить график функции

Оформление решения подобного примера может быть таким.

Пример №447

Постройте график функции

► 1. Область определения функции: все

2. Нули подмодульных функций: и

3. Отмечаем нули на области определения и разбиваем область определения на промежутки (на рисунке 71 также указаны знаки подмодульных функций в каждом из промежутков).

4. Тогда

Таким образом,

Строим график этой функции (рис. 72).

Уравнения и неравенства с параметрами

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Если в запись уравнения или неравенства, кроме переменной и числовых коэффициентов, входят также буквенные коэффициенты — параметры, то при решении таких уравнений можно пользоваться следующим ориентиром.

Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, то решения необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

На этапе поиска плана решения уравнения или неравенства с параметрами или в ходе решения часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Чтобы на таких схемах (или в записях громоздких решений) не потерять какой-то ответ, целесообразно помещать окончательные ответы в прямоугольные рамки. Записывая окончательный ответ, следует учитывать, что ответ должен быть записан для всех возможных значений параметра.

Пример №448

Решите неравенство с переменной

Комментарий:

Заданное неравенство является линейным относительно переменной поэтому используем известный алгоритм решения линейного неравенства:

1) переносим члены с переменной в одну сторону, а без — в другую:

2) выносим в левой части за скобки общий множитель (то есть приводим неравенство к виду ):

Для решения последнего неравенства мы хотели бы разделить обе его части на Но если обе части неравенства разделить на положительное число, то знак неравенства не изменится, а если на отрицательное, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Кроме того, следует учесть, что на нуль делить нельзя. Следовательно, начиная с этого момента нужно рассмотреть три случая:

Приведенные выше рассуждения можно наглядно записать так:

Решение:

►

Ответ: 1) при 2) при

3) при — любое число.

При решении более сложных уравнений или неравенств следует помнить, что уравнения и неравенства с параметрами чаще всего решают с помощью равносильных преобразований, а все равносильные преобразования уравнений или неравенств выполняют на области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения или неравенства (то есть на общей области определения для всех функций, которые входят в запись уравнения или неравенства). Поэтому, прежде чем записать ответ, нужно обязательно учесть ОДЗ заданного уравнения или неравенства.

Пример №449

Решите уравнение где — переменная.

Комментарий:

Заданные дробные выражения существуют тогда и только тогда, когда знаменатели заданных дробей не равны нулю, следовательно, ОДЗ уравнения:

Умножим обе части заданного уравнения на выражение — общий знаменатель дробей — и получим целое уравнение, которое при условии (то есть на ОДЗ заданного уравнения) равносильно заданному: Из этого уравнения получаем то есть Тогда

Для того чтобы найти значение переменной , хотелось бы разделить обе части последнего уравнения на но при пришлось бы делить на 0, что невозможно. Следовательно, начиная с этого момента нужно рассмотреть два случая.

Решение в соответствии с приведенными выше рассуждениями можно наглядно записать в виде схемы.

Решение:

► ОДЗ:

Выясним, при каких значениях найденные корни не входят в ОДЗ уравнения, то есть при каких значениях получаем тогда — решений нет. Следовательно, при всех значениях корень не равен 3.

тогда Следовательно, при имеем — посторонний корень (не входит в ОДЗ), то есть при заданное уравнение не имеет корней.

Ответ: 1) при и корней нет; 2) при

Пример №450

Решите уравнение относительно переменной л: — а х

Комментарий:

Будем выполнять равносильные преобразования заданного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ (знаменатели дробей не равны нулю). Если теперь обе части уравнения умножить на произведение выражений, которые стоят в знаменателях дробей (и которое не равно нулю на ОДЗ уравнения), то получим уравнение равносильное заданному (на ОДЗ заданного). Но последнее уравнение будет квадратным только при потому для его решения следует рассмотреть два случая ( и ).

Если то для исследования полученного квадратного уравнения нужно рассмотреть еще три случая: — ив каждом из них проверить, входят найденные корни в ОДЗ или нет. При удобно использовать, что значение корня соответствующего квадратного уравнения совпадает с абсциссой вершины параболы

то есть Рассматривая случай следует помнить также предыдущее ограничение:

Поскольку корни уравнения (1) записываются достаточно громоздкими формулами (см. решение), то вместо подстановки полученных корней в ограничение ОДЗ можно подставить «запрещенные» значения в уравнение (1) и выяснить, при каких значениях параметра а мы получим те значения , которые не входят в ОДЗ, а затем проверить полученные значения параметра.

Решение:

► ОДЗ: На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям:

(1)

1. Если то из уравнения (1) получаем — не входит в ОДЗ, следовательно, при корней нет.

2. Если то уравнение (1) — квадратное. Его дискриминант Рассмотрим три случая:

1) то есть Тогда уравнение (1) имеет одно

значение корня: . Если то корень уравнения (1)

входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения. Если то корень уравнения (1) тоже входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения.

2) то есть следовательно, или

Тогда уравнение (1) не имеет корней.

3) то есть следовательно, но

Тогда уравнение (1) имеет два корня:

(2)

Выясним, при каких значениях а найденные корни не входят в ОДЗ, то есть при каких значениях получаем и Подставляя в уравнение (1) , получаем но при заданное уравнение не имеет корней.

Подставляя в уравнение (1) получаем то есть Тогда (заданное уравнение не имеет корней), или Проверим эти значения

При ОДЗ записывается так: Из формулы корней (2) имеем (входит в ОДЗ) и (не входит в ОДЗ). Следовательно, при заданное уравнение имеет только один корень: При ОДЗ записывается так: а из формулы корней (2) получим: (входит в ОДЗ) и (не входит в ОДЗ). Следовательно, при заданное уравнение имеет только один корень:

Таким образом, формулу корней (2) можно использовать, если , только при и

Ответ: 1) если то

2) если то

3) если то 4) если то 5) если то

6) если или то корней нет

Замечание. Чтобы облегчить запись ответа в этом и аналогичных примерах, можно пользоваться таким приемом. Перед записью ответа в сложных или громоздких случаях изобразим ось параметра (а) и отметим на ней все особые значения параметра, которые появились в процессе решения. Под осью параметра (левее от нее) выпишем все полученные решения (кроме решения «корней нет») и напротив каждого ответа отметим, при каких значениях параметра этот ответ можно использовать (рис. 73). После этого ответ записывают для каждого из особых значений параметра и для каждого из полученных промежутков оси параметра. В частности, перед записью ответа в рассмотренном примере, на черновике удобно изобразить такую схему (рис. 73).

Исследовательские задачи с параметрами

Некоторые исследовательские задачи с параметрами удается решить по такой схеме: 1) решить заданное уравнение или неравенство; 2) исследовать полученное решение.

Пример №451

Найдите все значения при которых уравнение  имеет единственный корень.

Решение:

► ОДЗ: На ОДЗ получаем равносильное уравнение

Тогда или Получаем или Учтем ОДЗ. Для этого выясним, когда при при Тогда при получаем: — посторонний корень; — единственный корень.

При получаем: посторонний корень; —

единственный корень. Также заданное уравнение будет иметь единственный корень, если то есть при (тогда и ).

Ответ:

Комментарий:

Поскольку дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то на ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнению Дальше учитываем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (а второй имеет смысл).

После этого выясним, при каких значениях найденные корни не входят в ОДЗ, то есть приравниваем корни к -7 и находим соответствующие значения . При найденных значениях один из двух полученных корней будет посторонним (), и уравнение будет иметь единственный корень (одно значение корня). Кроме того, заданное уравнение будет иметь единственный корень еще и в том случае, когда два полученных корня ( и ) будут совпадать (и, конечно, будут входить в ОДЗ).

Исследование количества решении уравнении и их систем

При решении некоторых задач с параметрами можно пользоваться таким ориентиром: если в задаче с параметрами речь идет о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Наиболее простым соответствующее исследование является в том случае, когда заданное уравнение можно преобразовать к виду поскольку график функции — это прямая, параллельная оси (которая пересекает ось в точке ). Отметим, что, заменяя заданное уравнение на уравнение нужно следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное, а следовательно, и количество корней у них будет одинаковым. Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение достаточно определить, сколько точек пересечения имеет график функции с прямой при различных значениях параметра (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №452

Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра ?

Решение:

► Построим графики функций

Анализируя взаимное размещение полученных графиков, получаем ответ:

1) при уравнение корней не имеет;

2) при уравнение имеет 3 корня;

3) при уравнение имеет 6 корней;

4) при уравнение имеет 4 корня;

5) при уравнение имеет 2 корня.

Комментарий:

Поскольку в этом задании речь идет о количестве решений уравнения, то для анализа заданной ситуации попробуем использовать графическую иллюстрацию решения.

1. Строим график функции (учитывая, что построение может происходить, например, по таким этапам:

2) Строим график функции

3) Анализируем взаимное размещение полученных графиков и записываем ответ (количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции с прямой ).

Отметим, что значительное количество исследовательских заданий не удается решить путем непосредственных вычислений (или такие вычисления являются очень громоздкими). Поэтому часто приходится сначала обосновывать какое-то свойство заданного уравнения или неравенства, а затем, пользуясь этим свойством, уже давать ответ на вопрос задачи.

Например, принимая во внимание четность функций, которые входят в запись заданного уравнения, можно использовать такой ориентир.

Если в уравнении функция является четной или нечетной, то вместе с каждым корнем а мы можем указать еще один корень этого уравнения

Пример №453

Найдите все значения параметра при которых уравнение  (1) имеет единственный корень.

Решение:

► Функция является четной Если — корень уравнения (1), то тоже является корнем этого уравнения. Потому единственный корень у заданного уравнения может быть только тогда, когда то есть Следовательно, единственным корнем заданного уравнения может быть только Если то из уравнения (1) получаем тогда или При уравнения (1) превращается в уравнение Тогда Получаем (тогда то есть ) или (тогда то есть ). Следовательно, при уравнение (1) имеет три корня и условие задачи не выполняется. При уравнение (1) превращается в уравнение Тогда Поскольку то получаем Тогда то есть — единственный корень. Следовательно, удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Комментарий:

Замечаем, что в левой части заданного уравнения стоит четная функция, и используем ориентир, приведенный выше. Действительно, если — корень уравнения то — правильное числовое равенство. Учитывая четность функции имеем Следовательно, — тоже корень уравнения Единственный корень у этого уравнения может быть только тогда, когда корни и совпадают. Тогда

Выясним, существуют ли такие значения параметра при которых является корнем уравнения (1). (Это значение и )

Поскольку значение и мы получили из условия, что — корень уравнения (1), то необходимо проверить, на самом ли деле при этих значениях а заданное уравнение будет иметь единственный корень. При решении полученных уравнений целесообразно использовать, что

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена относительно заданных чисел и

Решение некоторых исследовательских задач с параметрами можно свести к использованию необходимых и достаточных условий расположения корней квадратного трехчлена. Основные из этих условий приведены в таблице 16 (в таблице использованы традиционные обозначения:

Объяснение и обоснование:

Для обоснования указанных условий достаточно воспользоваться тем, что график функции — сплошная (неразрывная) линия. Если такая функция на концах какого-то промежутка принимает значения с разными знаками (то есть соответствующие точки графика находятся в разных полуплоскостях относительно оси ), то внутри этого промежутка есть по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю (рис. 74).

Например, для того чтобы два различных корня квадратного трехчлена при были расположены по разные стороны от заданного числа , достаточно зафиксировать только одно условие: (рис. 75).

Действительно, график квадратичной функции при — парабола, ветки которой направлены вверх. Тогда в случае, когда аргумент стремится к или к (это обозначают обычно так: или функция стремится к следовательно, при или при

Если выполняется условие то с изменением значения аргумента от до квадратичная функция изменяет свой знак с «-» на « + », таким образом, имеет по крайней мере один корень

Точно так же с изменением значения аргумента от до квадратичная функция изменяет свой знак с « + » на «-», следовательно, имеет по крайней мере один корень Но квадратный трехчлен не может иметь более двух корней, значит, при условие необходимое и достаточное для того, чтобы два различных корня квадратного трехчлена были расположены по разные стороны от заданного числа

Аналогичные рассуждения при показывают, что для выполнения этого требования необходимо и достаточно, чтобы Эти два условия можно объединить в одно:

Соответствующее свойство будет обосновано более строго в 11 классе при рассмотрении так называемых непрерывных функций.

Действительно, или Следовательно,

квадратный трехчлен имеет два различных корня, которые расположены по разные стороны от заданного числа тогда и только тогда, когда выполняется условие

Аналогично можно обосновать и другие условия, приведенные в таблице 16.

Заметим, что приведенные условия не обязательно запоминать: для их записи можно пользоваться графиком квадратичной функции (изображенным для нужного расположения корней) и таким ориентиром.

Для того чтобы корни квадратного трехчлена были расположены заданным образом относительно данных чисел и необходимо и достаточно выполнения системы условий, которая включает:

1) знак коэффициента при старшем члене;

2) знаки значений и

3) знак дискриминанта

4) положение абсциссы вершины параболы относительно данных чисел и

Отметим, что для случаев, в которых хотя бы одно из данных чисел расположено между корнями квадратного трехчлена (см. вторую, пятую, шестую и седьмую строки табл. 16), достаточно выполнения первых двух условий этого ориентира, а для других случаев приходится рассматривать все четыре условия. Заметим также, что, записывая каждое из указанных условий, следует выяснить, будет ли выполняться требование задачи в том случае, когда в этом условии будет записан знак нестрогого неравенства.

Пример №454

Найдите все значения параметра для которых уравнение имеет один корень больше двух, а второй — меньше единицы.

Комментарий:

Поскольку заданное уравнение имеет два различных корня, то оно квадратное (то есть ). Тогда и, чтобы получить ответ на вопрос задачи, достаточно решить совокупность из или Но такой путь решения достаточно громоздкий.

Попробуем воспользоваться условиями расположения корней квадратного трехчлена. Для этого можно непосредственно использовать соответствующие условия, зафиксированные в таблице 16, или получить их с помощью предложенного ориентира. В частности, обозначим и изобразим график квадратичной функции (параболу) в таких положениях, которые удовлетворяют условию задачи (рис. 76, а и б).

Для того чтобы корни квадратного трехчлена располагались по разные стороны от чисел 1 и 2, необходимо и достаточно выполнения совокупности условий или Замечаем, что в этих системах знаки и а также и противоположны, поэтому полученную совокупность систем можно заменить одной равносильной системой которая и позволяет получить план решения задачи.

Решение:

► Поскольку заданное уравнение имеет два различных корня, то оно является квадратным (то есть ). Обозначим Как известно, корни квадратного трехчлена будут располагаться по разные стороны от данных чисел 1 и 2 тогда и только тогда, когда выполняется система условий:

Получаем систему

Решаем неравенства (1) и (2) и находим общее решение системы (рис. 77).

Ответ: заданное уравнение имеет один корень больше двух, а второй — меньше единицы при

Сведения из истории:

Напомним, что алгебра — раздел математики, посвященный изучению буквенных выражений и уравнений. Долгое время алгебра была частью науки о числе — арифметики. Значительное количество задач, возникающих в процессе практической деятельности человека, решают одинаковыми способами. Используя вместо чисел буквы, математики научились решать такие задачи в общем виде. Так и образовалась математическая наука — алгебра.

Исторически зачатки алгебры были известны вавилонянам, египтянам и грекам задолго до нашей эры. Сохранился египетский папирус Ахмеса (XVII в. до н. э.) с решением алгебраических задач. Ученые Вавилона (более 4000 лет назад) умели находить приближенное значение квадратного корня из любого натурального числа, а также решать квадратные уравнения. Это было связано с решением задач на нахождение площадей земельных участков и с развитием астрономии. Однако у вавилонян еще не было понятия отрицательного числа, и поэтому корень квадратного уравнения мог быть только положительным.

Диофант, греческий математик, живший в III в. в Александрии, написал трактат «Арифметика», в котором он уже решал линейные и другие уравнения. В Средние века особенно активно алгебра развивалась в арабских странах и Средней Азии.

Задачи, связанные с квадратными уравнениями, можно найти и в трудах индийских математиков V в. Квадратные уравнения классифицировал в трактате «Алгебра» аль-Хорезми. Он же привел и способы их решения.

В течение многих веков развитие алгебры сильно тормозилось, потому что математикам долго не удавалось ввести в свои исследования удобные обозначения. Поэтому изложение математических работ выглядело громоздко. Только начиная с XVI в. постепенно в математику начали вводить современные обозначения. Символы и т. п. впервые применил французский ученый Рене Декарт (1596-1650). Символ для произвольного числа предложил английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727).

Благодаря исследованиям французского математика Франсуа Виета (1540-1603) уравнения второй степени, третьей и четвертой степеней впервые стали рассматривать в буквенных обозначениях. Он ввел буквенные обозначения для неизвестных величин и коэффициентов уравнений. Особенно ценил открытые им формулы, названные впоследствии формулами Виета. Однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в XVII в., после работ Г. Декарта, И. Ньютона и других математиков, решение квадратных и других уравнений приобрело современный вид.

Идея зависимости величин тоже берет начало от древнегреческой науки. Но греки рассматривали лишь величины, которые имеют «геометрическую» природу, и не ставили вопрос об общем изучении разных зависимостей. Графическое изображение зависимостей между величинами широко использовали Г. Галилей (1564-1642), П. Ферма (1601-1665) и Г. Декарт, который ввел понятие переменной величины. Развитие механики и техники привело к необходимости введения общего понятия функции, что сделал немецкий философ и математик Г. Лейбниц (1646-1716). Большие классы функций изучал в ходе своих исследований И. Ньютон.

В 1718 г. ученик Лейбница, И. Бернулли (1667-1748), дал определение функции, лишенное геометрических образов. Следующий шаг в развитии понятия функции сделал его ученик, член Петербуржской академии наук Л. Ейлер (1707-1783).

После работ ряда математиков (Ж. Фурье (1768-1830), М. И. Лобачевский, П. Дирихле и др.) было дано следующее определение: «Переменная величина называется функцией переменной величины если каждому значению величины отвечает единственное значение величины ». П. Дирихле (1805-1859)

На современном этапе к словам «каждому значению величины л:» добавляют «принадлежащему некоторому множеству», а вместо переменных величин говорят об элементах этих множеств. Такой подход позволяет рассматривать с единой точки зрения как числовые функции, так и, например, геометрические преобразования и т. п.

Несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали была открыта в V в. до н. э. в Древней Греции. Это открытие показало, что для измерения геометрических величин недостаточно рациональных чисел. Поэтому греческие математики отказались от обозначения геометрических величин числами и стали развивать геометрическую алгебру (поэтому и сейчас говорят «квадрат числа», «куб числа» и т. п.).

Греческий математик Евдокс (IV в. до н. э.) разработал теорию отношений геометрических величин, которая заменяла для древнегреческих математиков современную теорию действительных чисел. В основе теории Евдокса лежит идея о бесконечной делимости отрезков и других фигур.

Р. Декарт ввел произвольно выбранный единичный отрезок, что позволило ему выразить все действия над числами через действия над отрезками. В сущности, он уже работал с положительными действительными числами. Лишь во второй половине XIX в. теория действительных чисел была приведена к теории натуральных чисел.

О понятии действительного числа

Первые представления о числах формировались постепенно под влиянием практики. С давних времен числа применялись в ходе счета и измерения величин.

Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» всегда выражается или натуральным числом, или числом «нуль». Следовательно, множество

всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета.

Иначе с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комнаты — 16,45 квадратных метра и т. п.

Исторически положительные действительные числа появились как отношение длин отрезков. С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало понятным, что отношение длин отрезков не всегда можно выразить не только натуральным, но и рациональным числом. Чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, необходимо было ввести новые числа — иррациональные.

Все практические измерения величин имеют только приближенный характер. Их результат с необходимой точностью можно выразить с помощью рациональных дробей или конечных десятичных дробей.

Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до 1 см, мы выясним, что ее длина приближенно равна м. Измеряя с точностью до 1 мм, получим, что эта длина приближенно равна м.

Однако в математике часто уклоняются от приближенного характера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такими дробями являются числа

Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда можно выразить числом, представленным в виде бесконечной десятичной дроби.

Полная теория действительных чисел достаточно сложна и не входит в программу средней школы. Она обычно рассматривается в курсах математического анализа. Однако с одним из способов ее построения мы ознакомимся в общих чертах.

1. Пусть:

а) каждому действительному числу соответствует (как его запись) бесконечная десятичная дробь:

б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.

Но при этом естественно считать десятичную дробь, оканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, только другой записью числа, представленного десятичной дробью, оканчивающей бесконечной последовательностью нулей:

Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получим взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей. Число — это целая часть положительного числа а — дробная часть числа Число называют десятичным приближением с точностью до с недостатком, а число называют десятичным приближением с точностью до с избытком для числа

Если число отрицательно, то есть то считают, что

и

2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число меньше числа когда по меньшей мере для одного выполняется неравенство где и — десятичные приближения с точностью до с недостатком для чисел и (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.)

3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей).

Суммой двух действительных чисел и (обозначается ) называют такое действительное число , что для любого выполняются неравенства

В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и оно единственное.

Аналогично произведением двух неотрицательных чисел и называют такое число (обозначают ), что при любом выполняются неравенства

Такое число существует, и оно единственное.

Напомним, что примеры выполнения таким образом определенных действий сложения и умножения действительных чисел было рассмотрено в курсе алгебры 8 класса.

Воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел и уже определено, полагают, что для действительных чисел разных знаков а для чисел одинаковых знаков — (как обычно, модулем каждого из чисел и называют число ).

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью чисел и называется такое число , что

Деление определяется как действие, обратное умножению: частным называется такое число что

4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные выше, сохраняют основные свойства, присущие им во множестве рациональных чисел.

Теория действительного числа была построена сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831-1916), К. Вейерштрассом (1815-1897) и Г. Кантором (1845-1918).

На этой странице вы узнаете

• Как перевернуть график модуля?
• Одной ногой тут, другой там: к какому промежутку относить граничные точки?
• Может ли решением квадратного неравенства быть любое число, если дискриминант меньше 0? 

Модуль числа — это великая математическая мудрость, которая показывает дружбу и соперничество противоположных знаков: минуса и плюса. О том, что держит число в рамках, узнаем в статье.  

Модуль 

Мы легко можем найти расстояние от точки до точки, достаточно просто измерить его линейкой. Но можно ли найти расстояние от 0 до любого числа? 

Представим, что наш дом находится посередине между школой и магазином. И до школы, и до магазина 500 метров, но они стоят по разные стороны от дома. 

Расположим их на координатной прямой. Поскольку и школа, и магазин располагаются на одинаковом расстоянии, то от дома до них мы будем идти 500 метров. Но на координатной прямой до школы мы пройдем −500 метров, поскольку движемся против направления оси, а до магазина 500 метров. 

Будет ли являться полученный результат противоречием? Нет, поскольку когда мы ищем расстояние, нам неважно направление движения и знак. В математике существует специальное определение — это модуль, или абсолютная величина. 

Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. 

Поскольку на координатной прямой мы можем отложить расстояние в две стороны, то такое расстояние можно найти и с отрицательными точками, и с положительными. Расстояние измеряет длину отрезка, то есть оно всегда будет положительно. 

Можно сказать, что от любого числа модуль берет только цифры, а на знаки не обращает внимания. Например, |−8| = 8 и |8| = 8. 

Может возникнуть вопрос: куда исчезает минус? Чтобы избавиться от минуса, достаточно умножить число на −1: (-8) * (-1) = 8. Значит, модуль просто умножает число на -1. 

Отсюда получается, что модулем числа а называют выражение:

Возьмем два случая: a = 8 и a = -8. Для первого получаем |8| = 8, а для второго |-8| = -(-8) = 8, то есть определение выполняется. 

Можно ли взять модуль функции? Да. Модулем произвольной функции называют выражение:

Свойства модуля

Модуль, как и все понятия в математике, обладает своими свойствами. 

Свойство 1. |a| >= 0. 

Как мы уже говорили, модуль всегда будет положительным числом, поскольку он не обращает внимания на знак числа. 

Свойство 2. |a| = |-a|. 

Это свойство также подтверждает рассуждения выше. Модули противоположных чисел, то есть чисел с разными знаками, равны. 

Свойство 3. |a| >= a. 

Если число а будет положительным, например, 5, то неравенство |5| >= 5 (rightarrow) 5 >= 5  выполняется, поскольку знак неравенства нестрогий. 

Если число а будет отрицательным, например, -5, то неравенство |-5| >= -5 (rightarrow) 5 >= -5  выполняется, поскольку положительное число всегда больше отрицательного. 

Свойство 4. |a * b| = |a| * |b|. 

Пусть a = 5, b = -2, тогда |5 * (-2) | = |-10| = 10, и |5| * |-2| = 5 * 2 = 10, то есть выражения равны между собой. 

Свойство 5. (|frac{a}{b}| = frac{|a|}{|b|}). 

Рассуждения такие же, как и в предыдущем свойстве. Пусть a = 10, b = -5, тогда (|frac{10}{(-5)}| = |-2| = 2 и frac{|10|}{|-5|} = frac{10}{5} = 2). 

Свойство 6. |a + b| <= |a| + |b|.

Почему появилось неравенство, а не уравнение, как в предыдущих двух свойствах? Разберем два примера. 

Пусть a = 1, b = 2, тогда |1 + 2| = |3| = 3 и |1| + |2| = 1 + 2 = 3 — неравенство выполняется, поскольку знак нестрогий.

Но если a = -1, b = 2, тогда |-1 +2| = |1| = 1 и |-1| + |2| = 1 + 2 = 3, откуда получаем 1 < 3. 

Свойство 7. (sqrt{a^2} = |a|). 

Докажем это свойство. Пусть (sqrt{a^2} = x), тогда x₀, поскольку квадратный «Корень» не может быть отрицательным. Возведем полученное уравнение в квадрат: a² = x² 
a² — x² = 0
(a — x)(a + x) = 0

Из уравнения x = a,  из-за ограничений на x получаем a >= 0.

И x = -a,  из-за ограничений на x получаем a < 0. 

То есть получается выражение модуля. 

Свойство 8. |a|² = a².

Поскольку и модуль, и квадрат числа дают положительный результат, модуль в квадрате можно заменить просто квадратом числа. 

График модуля

Как изобразить функцию с модулем? Для начала разберемся, что делает модуль с графиком функции. 

Рассмотрим функцию y = x — это прямая. При этом у может быть и положительным, и отрицательным. 

Занесем х под знак модуля: y = |x|. Теперь у может быть только положительным. Что происходит с частью графика, которая лежит ниже оси х? Она зеркально отражается. В итоге мы получаем галочку: 

Модуль отражает любой график относительно оси х. 

Что будет, если перед х будет стоять коэффициент? Построим графики: 

Галочка будет сужаться и расширяться. Причем чем больше коэффициент перед х, тем ýже будет галочка. 

Попробуем добавить слагаемое к подмодульному выражению. 

График модуля будет двигаться вдоль оси х. Причем:

• если мы прибавляем число, то график сдвигается влево;
• если мы вычитаем число, то график сдвигается вправо. 

Добавим число к модулю, а не подмодульному выражению:

График будет двигаться вдоль оси у. 

Уравнения с модулем

1. Возьмем уравнение вида |f(x)| = a. Поскольку модуль не может быть отрицательным, то и а  не может быть отрицательным. Получаем следующий переход:

Пример 1. Решите уравнение |4x + 5| = 7. 

Решение. В уравнении f(x) = 4x + 5, a = 7. Воспользуемся переходом:

Из первого уравнения x = 0,5, а из второго уравнения x = -3. 

Ответ: 0,5: -3. 

2. В уравнениях и неравенствах можно встретить два разных модуля. Как быть в этом случае? 

Пример 2. Решите уравнение |x — 2| — |x + 2| = 4x — 5.

Решение. Найдем, в каких точках модули будут равны 0. Для этого подмодульное выражение также должно быть равно 0:

x — 2 = 0 (rightarrow) x = 2
x + 2 = 0 (rightarrow) x = -2

Нарисуем числовую прямую с этими точками: 

У нас получилось три промежутка: 

• (-(infty);-2)
• [-2;2)
• [2;+(infty))

Обратим внимание, какие знаки имеет первый модуль на промежутках: x — 2 > 0 при x > 2. Следовательно, на первых двух промежутках модуль будет отрицательным, а на третьем положительным. Расставим его знаки красным цветом. 

Проанализируем второй модуль: x + 2 > 0 (rightarrow) x>-2. Получается, подмодульное выражение будет положительно на втором и третьем промежутке, и отрицательным на первом промежутке. Расставим его знаки синим цветом. 

Теперь мы можем рассмотреть уравнение на всех трех промежутках. Однако для этого обязательно ввести ограничения: полученные точки должны принадлежать только этому промежутку, поскольку на следующем модули будут раскрываться уже по-другому. 

2. Рассмотрим первый промежуток: x<-2. Оба модуля раскрываются с отрицательным знаком, и мы получаем следующее уравнение:

-(x — 2) — (-(x + 2)) = 4x — 5
-x + 2 + x + 2 = 4x — 5
4 = 4x — 5
4x = 9
x = 2,25

Точка не удовлетворяет ограничению, поскольку не лежит в промежутке (-(infty);-2):

Рассмотрим второй промежуток: [-2;2). Первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом:

-(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
-x + 2 — x — 2 = 4x — 5
-2x = 4x — 5
6x = 5
(x = frac{5}{6})

Эта точка лежит в заданном промежутке и является решением уравнения. 

Рассмотрим третий промежуток [2;+(infty)). Оба модуля раскрываются со знаком плюс, мы получаем уравнение:

(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
x — 2 — x — 2 = 4x — 5
-4 = 4x — 5
4x = 1

x = 0,25 — эта точка не лежит в промежутке, то есть не является решением уравнения. 

Решением уравнения будет только (x = frac{5}{6}). 

Ответ: (frac{5}{6})

3. Уравнения вида |f(x)| = g(x)

Поскольку вместо функций могут стоять любые выражения, раскрыть модуль можно двумя способами. Выбор одного из них зависит от того, какая функция проще: f(x) или g(x). 

Как можно раскрыть модуль?

• Можно раскрыть его в зависимости от знаков подмодульного выражения: если подмодульное выражение отрицательное, то модуль раскрывается с минусом, если положительное, то с плюсом. 
• Можно возвести уравнение в квадрат. Но здесь необходимо ввести ограничения на g(x) — поскольку функция равна модулю, она не может быть отрицательной. 

Для удобства можно пользоваться следующей схемой: 

Пример 3. Решите уравнение |8 — x| = x² — 5x + 11.

Решение. Заметим, что подмодульное выражение значительно проще функции справа, в этом случае удобнее будет раскрыть модуль. Получаем совокупность двух систем: 

Рассмотрим первую систему.

8 — x >= 0 (rightarrow) x <= 8

Решим уравнение:

8 — x = x² — 5x + 11
x² — 4x + 3 = 0
D = 16 — 12 = 4
(x_1 = frac{4 + 2}{2} = 3)
(x_2 = frac{4 — 2}{2} = 1)

Оба корня уравнения удовлетворяют условию x <= 8, значит, решением системы будут 1 и 3. 

Рассмотрим вторую систему. 

8 — x < 0 (rightarrow) x > 8

Решим уравнение: 

8 — x = -x² + 5x — 11
x² — 6x + 19 = 0
D = 36 — 76 = -40 — при отрицательном дискриминанте решения уравнений нет. 

Решением всего уравнения будут x = 1 и x = 3. 

Ответ: 1, 3

4. Разберем еще один тип уравнений, когда модуль равен модулю. Неужели придется рассматривать целых 4 случая раскрытия модуля? Нет, достаточно будет возвести в квадрат обе части уравнения. Таким образом, мы получаем следующий переход: 

Пример 4. Решите уравнение |x — 2| = |2x + 8|.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся свойством 8.

(x — 2)² = (2x + ²
(x — 2)² — (2x + ² = 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

((x — 2) — (2x + 8))((x — 2) + (2x + = 0

Если произведение множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Тогда:

x — 2 — (2x + = 0 (rightarrow) x — 2 = 2x + 8
x — 2 + (2x + = 0 (rightarrow) x — 2 = -(2x +

Получаем совокупность: 

Решим первое уравнение совокупности:

x — 2 = 2x + 8
x = -10

Решим второе уравнение совокупности:

x — 2 = -2x — 8
3x = -6
x = -2

Решением уравнения будут x = -10 и x = -2

Ответ: -2, -10

Неравенства с модулем

Разобравшись, как решаются уравнения с модулем, можно приступать к неравенствам. 

Пример 5. Решите неравенство x² — |3x — 7| + 7 >= 0. 

Решение. Найдем, при каких значениях х модуль равен 0. Получаем 3x = 7 (rightarrow) (x = frac{7}{3}). 

Определим, с какими знаками модуль будет раскрываться на каждом промежутке. 

Осталось рассмотреть неравенство на двух промежутках. 

1. (x leq frac{7}{3}), тогда
x² — (-(3x — 7)) + 7 >= 0
x² + 3x — 7 + 7 >= 0
x² + 3x >= 0
x(x + 3) >= 0

Решим это неравенство «Методом интервалов». Сразу учтем ограничение (x leq frac{7}{3}). 

Получаем, что решением неравенства на заданном промежутке будет (x in (-infty; -3] U[0; frac{7}{3}]). 

2. (x > frac{7}{3}), тогда 
x² — 3x + 7 + 7 >= 0
x² — 3x + 14 >= 0
x² — 3x + 14 = 0
D = 9 — 56 = -47 — корней на заданном отрезке не будет. 

Однако не стоит забывать про ограничение (x > frac{7}{3}). Накладывая его, получаем решение ((frac{7}{3}; + infty)). 

Осталось только объединить полученные на промежутках решения: 

Получаем, что (x in (-infty;- 3] U [0; +infty)).

Ответ: (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

Рассмотрим неравенства вида |f(x)| > a и |f(x)| < a, где а — некоторое число и a >= 0. Модуль можно раскрыть двумя способами и получить два неравенства. Но будет это совокупность или система?

Это зависит от знака. Разберем случай |f(x)| > a. Заметим, что строгость знака может быть любой. Тогда модуль раскрывается как: 

f(x) > a и -f(x) > a (rightarrow) f(x) < -a. 

Отметим эти промежутки на числовой прямой:

В ответе должны оказаться оба промежутка — их нужно объединить. В этом случае модуль раскрывается в совокупности. 

Рассмотрим случай |f(x)| < a, здесь строгость знака также может быть любой. Раскроем модуль: f(x) < 0 и -f(x) < a (rightarrow) f(x) > -a. На числовой прямой это будет выглядеть следующим образом: 

В в ответе должен оказаться промежуток от —а до а. Следовательно, необходимо воспользоваться системой, чтобы “отсечь” лишние промежутки. 

Можно ли обойтись в этом случае без раскрытия модуля? Да, но необходимо возвести неравенство в квадрат. 

|f(x)| ⋁ a | (uparrow) 2 — вместо ⋁ может стоять любой знак неравенства. 
f²(x) ⋁ a²
f²(x) — a² ⋁ 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

(f(x) — a)(f(x) + a) ⋁ 0

Однако стоит помнить, что обе части неравенства можно возвести в квадрат только в том случае, если они неотрицательны. То есть обязательно должно выполняться условие a0. 

Мы получили равносильный переход. Но существуют ли равносильные переходы, если вместо числа а стоит другая функция или даже модуль? Да. Они выводятся таким же способом, как и переход для неравенства с числом. Получаем еще два равносильных перехода:

• |f(x)| ⋁ g(x) (rightarrow) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0  

g(x) обязательно должно быть неотрицательным, чтобы можно было возвести неравенства в квадрат. 

• |f(x)| ⋁ |g(x)| (rightarrow) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Разберем на примере, как можно использовать равносильный переход. Для этого возьмем то же неравенство, что и в примере 5, но решим его по-другому. 

Пример 6. Решите неравенство x² — |3x — 7| + 7 >= 0. 

Решение. Перенесем модуль в другую часть неравенства:

|3x — 7| <= x² + 7. Модуль всегда неотрицателен. Правая часть неравенства неотрицательна, поскольку число в квадрате всегда положительно. 

Повторим действия, чтобы прийти к равносильному переходу:

(3x — 7)² <= (x²+7)²
(3x-7)² — (x² + 7)² <= 0
(3x — 7 — (x² + 7))(3x — 7 + x² + 7) <= 0
(3x — 7 — x² — 7)(3x + x²) <= 0
(-x² + 3x — 14) * x(3 + x) <= 0
-(x² — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0
(x² — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0

Рассмотрим первую скобку:

x² — 3x + 14 = 0

D = 9 — 56 = -47 — корней нет. Выражение всегда будет положительно, то есть на него можно разделить все неравенство. Получаем:

x(3 + x) <= 0

Тогда (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

Ответ: (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

При решении можно сразу использовать равносильный переход, не расписывая его. 

Итак, неравенства с модулем можно решить двумя способами: раскрывать модуль и воспользоваться равносильным переходом. Выбор способа зависит от личных предпочтений и удобства решения.

Фактчек

• Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. Модуль обозначается двумя вертикальными черточками: |a| = a и |-a| = a. 
• Модулем числа называют выражение: 

• График модуля представляет собой “галочку”, которая лежит выше оси х. Модуль отражает график любой функции зеркально оси х так, что значения у всегда больше 0. 
• Модуль можно раскрыть двумя способами. Этим свойством можно пользоваться при решении уравнений с модулем. 
• При решении неравенств с модулем можно раскрывать его, либо воспользоваться равносильным переходом, если в неравенстве выполняются все условия для него. 

Проверь себя

Задание 1. 
Чему равно выражение |-16 * 2|?

1. 32
2. −32
3. −16
4. 16

Задание 2. 
Какой график имеет функция y = |x|?

1. Парабола
2. Гипербола
3. Прямая
4. Галочка

Задание 3. 
Решите уравнение |x| = -3. 

1. 3
2. −3
3. Решений нет
4. 3 и −3 

Задание 4. 
Решите уравнение |x + 2| = 15. 

1. −13
2. 17
3. 13 и -17
4. Решений нет 

Задание 5.
Какой равносильный переход можно использовать для неравенства вида |f(x) |⋁ |g(x)|?

1. f(x) ⋁ g(x)
2. f(x) ⋀ g(x)
3. f²(x) — 2 * f(x) * g(x) + g²(x) ⋁ 0
4. (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0 

Ответы: 1. — 1 2. — 4 3. — 3 4. — 3 5. — 4