Как найти наибольшее значение силы

Метод максимума и минимума

Излагаются некоторые математические и физические способы нахождения минимума и максимума функций физических величин.

Часто приходится решать задачи, в которых необходимо определить наибольшее (наименьшее) значение величины из всех возможных. Метод решения таких задач получил название «min» «max». Его основы следуют, например, из принципа Ферма, экстремума энергии.

Однако в некоторых задачах удается обойти сложности дифференциального исчисления, особенно если функция физической величины – квадратичная или тригонометрическая. Иногда удается воспользоваться известными алгебраическими неравенствами, например Коши. Случается, что само условие физической задачи накладывает ограничения на ответ. Часто в решении помогают графики. Покажем это на примерах.

Задача 1. Нагруженные сани массой $m$ движутся равномерно по горизонтальной поверхности под действием силы $F$. Коэффициент трения $mu$. Найти значение минимальной силы и угол между силой и горизонталью.

Из второго закона Ньютона следует:

$F = frac{mu mg}{mu sinalpha + cosalpha}$.

Минимальное значение силы $F_{min}$ возможно при максимальном значении знаменателя. Обозначим $tgvarphi = mu$.

Заметим, что

$sinvarphi = frac{mu}{sqrt{1 + mu^2}}; cosvarphi = frac{1}{sqrt{1 + mu^2}}$.

Поэтому

$F = frac{mu mg}{sqrt{1 + mu^2}cdot cos(alpha — varphi)}$.

Максимальное значение

$cos(alpha — varphi) = 1$,

откуда $alpha = arctg mu$.

$F_{min} = frac{mu mg}{sqrt{1 + mu^2}}$.

Задача 2. К висящей очень тонкой пружине жесткостью $k$ подвешен шарик. Вначале пружина не растянута. Затем шарик отпускают. Какой наибольшей скорости достигнет шарик при своем движении? Масса шарика $m$.

Рассмотрим один из способов решения.

Из закона сохранения энергии

$frac{mv^2}{2} = mgx — frac{kx^2}{2}$.

Получаем квадратичную функцию $v^2$ от $x$:

$v^2 = 2gx — frac{k}{m}x^2$.

На рисунке представлен график зависимости

$v^2 = v^2(x)$.

Подставив $x = frac{mg}{k}$, найдем

$v_{max} = gsqrt{frac{m}{k}}$.

Задача 3. Однородный тяжелый канат, подвешенный за один конец, не рвется, если длина каната не превышает значение $l_0$. Пусть тот же канат соскальзывает под действием силы тяжести из горизонтально расположенной трубки с загнутым вниз концом. При какой наибольшей длине канат соскользнет, не порвавшись? Трение отсутствует.

Пусть $l$ – длина каната. Запишем уравнение второго закона Ньютона для частей каната длиной $x$ и $l — x$ (рис.)

$rho Sxg – T = rho Sxa$,

$T = rho S(l — x)a$.

Здесь $S$ – площадь поперечного сечения каната, $rho$ – его плотность.

Разделив одно уравнение на другое, получим

$rho Sgx^2 — rho Sglx + Tl = 0$. (1)

Из производной этого выражения

$2rho Sgx — rho Sgl = 0$,

найдем $x = frac{l}{2}$.

Учитывая, что $T = rho Sgl_0$, из (1) определим $l = 4l_0$.

Задача 4. При каком значении $R$ мощность во внешней цепи максимальна (рис.)?

Определим мощность во внешней цепи

$P = I^2R = frac{mathscr{E^2}}{(R + r)^2}R$.

Максимум этого выражения достигается при минимуме обратного:

$frac{1}{P} = frac{(R + r)^2}{mathscr{E^2}}frac{1}{R} = frac{2}{mathscr{E^2}}r + frac{1}{mathscr{E^2}}(R + frac{r^2}{R})$.

Очевидно, что $frac{1}{P}$ минимально при минимуме $R + frac{r^2}{R}$.

Воспользуемся неравенством Коши.

$frac{a + b}{2} geq sqrt{ab}$

или

$R + frac{r^2}{R} geq 2sqrt{Rcdot frac{r^2}{R}}$,

поэтому

$R + frac{r^2}{R} = 2r$,

откуда $R = r$.

Примечание: решите задачу методом ДИ.

Задача 5. Найти максимальное напряжение на конденсаторе и максимальный ток в цепи (рис.).

Из закона сохранения энергии:

$frac{LI^2}{2} + frac{CU^2}{2} = qmathscr{E} = CUmathscr{E}$,

Следовательно,

$U_{max} = U (I = 0), U_{max} = 2mathscr{E}$

Максимальный ток найдем аналогично максимальной скорости (смотри пример 2).

$I_{max} = mathscr{E}sqrt{frac{C}{L}}$ (рис.)

Задача 6. Две собирающие тонкие линзы с фокусными расстояниями $F_1$ и $F_2$ расположены друг за другом на расстоянии $L$ так, что их главные оптические оси совпадают. Перед первой линзой на расстоянии $d_1$ расположен предмет. Эта система дает прямое увеличенное изображение предмета. При каких $L$ это возможно?

Для того, чтобы изображение было прямым, необходимо, чтобы

$L – f_1 > F_2$,

где f₁ – расстояние между первой линзой изображением предмета в ней.

Отсюда

$L > F_2 + frac{F_1d_1}{d_1 – F_1}$.

Второе ограничение на $L$ накладывается условием (увеличением):

$F = frac{F_1}{d_1 – F_1}cdot frac{F_2}{L – f_1 – F_2} > 1$.

Откуда

$L < frac{d_1(f_1 + F_2) – f_1F_1}{d_1 – F_1}$.

И, окончательно

$frac{F_1d_1}{d_1 – F_1} < L < frac{d_1(f_1 + F_2) – f_1F_1}{d_1 – F_1}$.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 7. Точки $1$ и $2$ движутся по осям $x$ и $y$ к началу координат. В момент $t = 0$ точка $1$ находится на расстоянии $S_1 = 10$ см, а точка $2$ на расстоянии $S_2 = 5$ см от начала координат. Первая точка движется со скоростью $v_1 = 2$ см/с, а вторая $v_2 = 4$ см/с. Каково наименьшее расстояние между ними в процессе движения?

Задача 8. Имеется множество наклонных плоскостей с одинаковыми основаниями, равными $b$, но с разными высотами. При какой высоте $h$ время соскальзывания тела по наклонной плоскости без трения будет минимальным?

Задача 9. Тонкая положительная линза имеет фокусное расстояние $F$ и дает действительное изображение предмета. Каково минимальное расстояние между предметом и его изображением?

Задача 10. На горизонтальной плоскости находится цилиндр диаметром D = 20 см. Какую минимальную скорость необходимо сообщить телу, находящемуся на горизонтальной плоскости, чтобы перебросить через цилиндр?

$v_{min} = sqrt{2gR(1 + sqrt{2})} approx 2,175$ м/с