Как найти нулевой уровень потенциальной энергии

1.
Энергией тело обладает не только тогда,
когда оно перемещается в пространстве,
но и тогда, когда оно взаимодействует
с другими телами. Силы взаимодействия,
в принципе, могут вызывать перемещение,
и тогда оно оказывается способным
отдать свое движение другим телам, —
иными словами, совершить работу. Но пока
тело «неподвижно», его движение (энергия)
внешне никак не проявляется, оно
существует «скрыто», «втуне», поэтому
можно говорить лишь о потенциальных
возможностях этого
тела передать свою энергию другим телам.

Энергию,
которой обладает тело вследствие того,
что оно взаимодействует с другими
телами, и зависящую от взаимного
расположения тел и их частей, как мы
говорили, называют потенциальной.

Потенциальной
энергией обладает, например, тело,
поднятое над Землей, сжатая или растянутая
пружина, заряженное тело, находящееся
в электростатическом поле, и т.д. Следует,
однако, подчеркнуть, что не всякое
состояние и не всякое взаимодействие
можно характеризовать потенциальной
энергией. Состояние взаимодействующих
тел можно характеризовать потенциальной
энергией, если между ними действуют
силы, величина и направление которых
зависят только от относительного
расположения
тел (от координат) и не зависит от величины
и направления скорости, иными словами,
если эти силы не
зависят
от времени
и не являются следствием движения. Мы
убедим-ся в последующем, что таковыми
являются, например, силы тяготения
(тяжести), упругие силы, силы
электростатического взаимодействия
зарядов.

2.
Найдем работу, которую совершает сила
тяжести, действующая на некоторое тело
при его перемещении по произвольному
пути из точки 1, находящейся на высоте
над поверхностью Земли, в точку 2,
находящуюся на высоте(рис.23). Перемещение может осуществляться
как угодно – с постоянной или переменной
скоростью – это не скажется на величине
работы, совершаемой силой тяжести.
Элементарная работа, совершаемая силой
тяжести на бесконечно малом перемещении,
равна

(18.1)

Полная
работа =.

Так
как величина и направление силы тяжести
в любой точке траектории остаются
неизменными (что справедливо в случае,
когда масштабы перемещения значительно
меньше радиуса Земли:
<<,<<),
то ее можно вынести из-под знака интеграла:

=.

Произведение
есть проекция вектора перемещенияна направление.
Эта проекцияотрицательна
(так как направление оси
и направление вектораобразуюттупой
угол).

=.

Таким образом,

=.
(18.2)

Работа,
совершаемая силой тяжести при изменении
высоты тела над
поверхностью Земли, зависит только от
начального и конечного положений
тела относительно Земли и не зависит
от формы пути, по которому происходило
перемещение из начальной точки 1 в
конечную точку 2. Это значит, что если
бы движение происходило по другой
траектории, например, по траектории,
изображенной на рис.23 пунктиром, то
работа силы тяжести все равно была бы
равна разности
.

3.
Силы, работа
которых не
зависит от формы пути,
называются консервативными.

Силы,
работа которых
зависит от формы пути, называются
неконсервативными.

Сила
тяжести является, следовательно,
консервативной силой.

Каждое
из слагаемых выражения (18.2) должно быть
представлено в виде
.

Величина
являетсяфункцией
состояния
взаимодействующих тел (тела массы
и Земли). Она является таковой потому,
что ее изменение не зависит от промежуточных
состояний, от пути перехода тела из
начального положения в конечное.

Следовательно,
величину
мы вправе назвать потенциальной энергией
поднятого над Землей тела:

=. (18.3)

4.
Численное значение потенциальной
энергии может быть определено лишь с
точностью до некоторой произвольной
постоянной
.
Величина этой константы зависит от
начала отсчета координат (в нашем случае
от начала отсчета высот)
и от выбора так называемогонулевого
уровня потенциальной энергии.

Выбор
нулевого уровня
потенциальной энергии – это выбор точки
или уровня (поверхности), где потенциальная
энергия тела условно полагается равной
нулю.

Выбор
начала отсчета координат произволен.
Столь же произволен и выбор нулевого
уровня потенциальной энергии. В принципе,
его можно выбирать где угодно. Однако,
практически этот уровень стремятся
выбрать так, чтобы константа
обратилась внуль.

Условимся
в случае поднятого над Землей тела
высоты отсчитывать от поверхности
Земли, а потенциальную энергию тела
считать равной нулю, когда оно лежит на
этой поверхности, т.е. на высоте
=0.
Подставив в (18.3)=0
и=0,
найдем, что=0.

При
таком выборе нулевого уровня потенциальная
энергия тела, поднятого на высоту
,
равна

=.
(18.4)

(формула
верна для
<<,
где— радиус Земли).

Неопределенность
численного значения потенциальной
энергии не имеет принципиального
значения, поскольку мы всегда имеем
дело не с самой энергией, а с ее изменениями.
При нахождении разности энергий
произвольная постоянная исключается.

5.
Потенциальная энергия может иметь как
положительное,
так и отрицательное
численное
значение.

Потенциальная
энергия тела отрицательна,
если при его перемещении из данной точки
на нулевой уровень консервативные силы,
действующие на него, совершают
отрицательную
работу.
Рис.24 поясняет это.

6.
Говоря об энергии – и кинетической, и
потенциальной, следует иметь в виду,
что энергия всегда характеризует
систему,
состоящую, по крайней мере, из двух тел,
ибо лишено смысла говорить о движении
или взаимодействии данного тела, если
не указано другое тело, относительно
которого данное тело движется или с
которым оно взаимодействует.

7.
Итак, мы можем записать окончательно:

=. (18.5)

Работа,
совершаемая силой тяжести при изменении
относительного расположения тела и
Земли, равна убыли потенциальной энергии
этой системы.

Если
сила тяжести совершает
положительную
работу (>0),
то потенциальная энергия телауменьшается
(<).
В этом случае

говорят,
что тело совершает работу за счет
убыли потенциальнойэнергии.

8.
При изменении высоты тела над поверхностью
Земли на бесконечно малую величину:(18.6)

Мы
рассмотрели потенциальную энергию,
зависящую от взаимного расположения
различных макроскопических
тел.

9.
Рассмотрим теперь потенциальную энергию,
зависящую от взаимного расположения
частей одного и того же тела.

В качестве такого
тела рассмотрим упругую пружину.

Опыт
показывает: для того, чтобы сжать (или
растянуть) пружину, необходимо приложить
внешнюю силу. Эта внешняя сила в процессе
деформации пружины совершает работу.
В результате потенциальная энергия
пружины увеличивается.

Освобожденная
от внешнего воздействия, пружина
восстанавливает свою форму. При этом
потенциальная энергия, запасенная
пружиной в процессе деформации,
превращается в другие виды энергии.
Мерой энергии, превратившейся в другие
виды, является величина работы, совершенной
упругой силой. Вычислим работу, которую
совершает упругая сила, при изменении
удлинения (деформации) пружины от
величины
до величины(>).
Вычислим сначала работу на бесконечно
малом перемещении(так как упругая сила – величина
переменная)

,

где
— проекция упругой силы на ось.

По закону Гука

=.

Следовательно,
(18.7)

Полная
работа при изменении длины пружины на
конечную величину
равна:

. (18.8)

Полученная
работа вновь не зависит от того, как
произошло изменение длины пружины.
Упругая сила,
так же как сила тяжести,
консервативна,
а разность
есть разность двух значений (начального
и конечного) потенциальной энергии
пружины:

=, (18.9)

где

и.

—
константа, зависящая от выбора состояния
пружины, при котором ее потенциальную
энергию можно считать равной нулю.
Обычно считают равной нулю потенциальную
энергию недеформированной пружины (=
0). Тогда=
0 и, следовательно,

.
(18.10)

Мы
рассмотрели потенциальную энергию
одного из видов деформации – линейного
растяжения или сжатия.
Заметим, что формулы потенциальной
энергии других видов упругой деформации
(кручения, сдвига, изгиба и т.д.) будут
иметь точно такой же вид, если под
понимать коэффициент жесткости тела
по отношению к конкретному виду
деформации, а под— меру этой деформации (например, угол
закручивания, стрелу прогиба и т.д.).

11.
Вид формул, выражающих потенциальную
энергию взаимодействия, обусловленного
другими консервативными силами, зависит
от природы
этих сил и
характера
их зависимости от координат
(с некоторыми из этих формул мы в
последующем ознакомимся).

12.
Тело одновременно может обладать и
кинетической, и потенциальной энергией.
Следовательно, в общем случае полная
механическая энергия тела складывается
из кинетической и потенциальной энергии:

.
(18.11)

13.
Энергия, так же как и работа, в системе
СИ измеряется в
джоулях.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Итак, мы уже с вами знаем, что любое состояние тела (или
системы тел) характеризуется его координатами и скоростью. И если изменяется
хотя бы одна из этих величин, то говорят, что изменилось механическое состояние
тела. Количественно механическое состояние системы и её изменение характеризуется
механической энергией. Напомним, что механическая энергия — это физическая
величина, являющаяся функцией состояния системы и характеризующая её
способность совершать работу.

Так же мы с вами говорили о том, что в механике принято
выделять два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетической энергией обладает любое движущееся тело. А её
изменение равно работе равнодействующей всех сил, действующих на него. При
этом не важно, какие силы действуют на тело: сила упругости, сила трения или
сила тяжести. Теорема о кинетической энергии справедлива всегда.

Потенциальная энергия — это энергия, обусловленная взаимным
расположением тел или частей тела друг относительно друга и характером сил
взаимодействия между ними.

Её изменение тоже равно работе. Однако эта работа будет
зависть от того, какие силы действуют на тело.

Итак, пусть у нас есть материальная точка массой т,
которая под действием силы тяжести перемещается с высоты h₁
до высоты h₂. При этом будем считать,
что данные высоты намного меньше радиуса Земли, чтобы действующая на
материальную точку сила тяжести была постоянной.

Тогда работа, совершаемая этой силой при перемещении тела с
одного уровня на другой, будет равна произведению модуля вектора силы тяжести
на модуль вектора перемещения точки и на косинус угла между этими двумя
векторами.

A
= mg|Δr|cosα.

В нашем примере направление вектора перемещения и вектора
силы тяжести совпадают. Следовательно, угол между этими двумя ве́кторами
равен нулю. А косинус нуля градусов — это единица. Что касается перемещения
точки, то из рисунка видно, что его модуль равен разности высот «Аш один» и «Аш
два» (h₁ и h₂).
Значит, работа силы тяжести положительна и равна произведению модуля силы
тяжести и разности высот:

A = mg(h₁ – h₂) = mgh₁
– mgh₂.

Теперь давайте с вами найдём работу силы тяжести при подъёме
материальной точки с высоты h₁ до
высоты h₂ над поверхностью Земли.

Запишем формулу для работы силы тяжести в общем виде:

A
= mg|Δr|cosα.

Модуль перемещения, как и в предыдущем случае, равен разности
в конечном и начальном положениях точки:

Δr = h₂ – h_1.

Но теперь векторы силы тяжести и перемещения направлены в
противоположные стороны. Значит, угол между этими двумя векторами составляет
180^о. А сos180^o
= –1. Перепишем формулу для работы с учётом наших рассуждений:

A
= mgh₁ – mgh₂.

Как видим, мы с вами получили точно такое же выражение для
работы силы тяжести, что и в предыдущем случае.

И давайте ещё раз определим работу силы тяжести, но для
случая, когда тело переходит с одной высоты на другую не по вертикали.

Обозначив угол между направлением вектора силы и вектора
перемещения через α, запишем формулу для работы силы тяжести в общем виде:

A
= mg|Δr|cosα.

Для определения перемещения точки воспользуемся получившимся
прямоугольником треугольником ΔMKN, в
котором гипотенуза — это искомое перемещение, а один из острых углов — это наш
угол между вектором силы и вектором перемещения. Тогда очевидно, что произведение
модуля вектора перемещения на косинус угла альфа равно длине прилежащего к углу
катета МК:

MK
= |Δr|cosα.

С другой же стороны

MK
= h₁ –h₂.

Тогда получается, что работа силы тяжести вновь определяется
той же формулой, что и в предыдущих двух случаях:

A
= mgh₁ – mgh₂.

Отсюда следует главный вывод о том, что работа силы
тяжести не зависит от того, по какой траектории движется материальная точка и
всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и
конечном положениях точки.

Тогда становится очевидным, что в случае движения точки по
замкнутой траектории работа силы тяжести будет равна нулю, так как начальное и
конечное положения точки совпадают.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки
приложения силы и которые на замкнутой траектории равны нулю, называются
потенциальными или консервативными силами. Значит, сила тяжести — это
консервативная сила.

Теперь давайте найдём формулу для работы, совершаемой силой
упругости. Для этого рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины и
прикреплённого к ней шарика, через который проде́т тонкий металлический
стержень, по которому шарик может свободно скользить практически без трения. Так
как действующая на шар сила тяжести уравновешивается силой нормальной реакции
стержня, то вся система находится в состоянии равновесия.

Направим координатную ось ОХ параллельно стержню, а за
начало отсчёта примем центр тяжести шара в положении равновесия. Теперь отведём
шар от положения равновесия на некоторое расстояние. Пружина при этом растянется
и в ней возникнет сила упругости, модуль которой будет определяться на
основании закона Гука:

F₁
= kx₁.

Если мы теперь отпустим шарик, то он за счёт совершения
работы силой упругости придёт в движение. Предположим, что шар переместился
так, что его координата стала равной x₂,
а модуль силы упругости — F₂ = kx₂. Тогда модуль перемещения шарика будет
равен разности между его начальной и конечной координатой:

|Δr|
= x₁ – x₂.

Так как сила упругости является переменной силой, то для
нахождения совершённой ею работы воспользуемся графиком зависимости модуля силы
упругости от координаты шара.

Как нам уже известно, работа силы численно равна площади под
графиком силы. В нашем случае это площадь трапеции, основаниями которой
являются силы упругости пружины в начальном и конечном состояниях, а высота —
это перемещение тела:

Из полученной нами формулы следует, что работа силы упругости
пружины зависит только от координат её конца в начальном и конечном состояниях.
То есть она не зависит от формы траектории. Тогда становится очевидным,
что если начальное и конечное состояния пружины совпадают, то работа силы
упругости будет равна нулю. Следовательно, сила упругости, как и сила
тяжести, является потенциальной (или консервативной) силой.

На прошлом уроке мы с вами ввели понятие потенциальной
энергии, которая определяется взаимным расположением тел или частей тела друг
относительно друга.

Введя понятие потенциальной энергии, мы с вами получаем
возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение
потенциальной энергии. Напомним, что под изменением величины понимают разность
между её конечным и начальным значениями:

ΔЕ_п
= Е_п2 – Е_п1.

Тогда для работы силы тяжести и силы упругости можно записать,
что изменение потенциальной энергии материальной точки равно работе
консервативной силы, взятой с обратным знаком:

А = Е_п1
– Е_п2 = –(Е_п2 – Е_п1) = –
ΔЕ_п.

Таким образом, работа консервативных сил определяет не саму
потенциальную энергию точки, а её изменение. И лишь это изменение в механике
имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы,
в котором её потенциальная энергия считается равной нулю. Этому состоянию
соответствует нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии. Его выбор
диктуется условиями конкретной задачи.

Для примера решим с вами такую задачу. Бревно цилиндрической
формы массой 400 кг, длиной 4 м и диаметром основания 50 см лежит на земле.
Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы это бревно поставить в
вертикальное положение? Ускорение свободного падения примем равным 10 м/с².

Потенциальная энергия

Подробности

Обновлено 13.08.2018 12:22

Просмотров: 512

«Физика — 10 класс»

Вспомните, какая связь существует между работой силы тяжести и потенциальной энергией.
Почему работа силы упругости определяется её средним значением?

Согласно теореме об изменении кинетической энергии работа силы, действующей на тело, равна изменению его кинетической энергии:

Если же силы взаимодействия между телами являются консервативными, то, используя явные выражения для сил, мы показали (см. § 43), что работу таких сил можно также представить в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от взаимного расположения тел (или частей одного тела):

Здесь высоты h₁ и h₂ определяют взаимное расположение тела и поверхности Земли, а удлинения х₁ и х₂ — взаимное расположение частей тела, например витков деформированной пружины.

Из формул (5.18) и (5.19) следует, что

Величину, равную произведению массы m тела на ускорение свободного падения g и на высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести и обозначают Е_п:

Е_п = mgh.         (5.20)

Величину, равную половине произведения коэффициента упругости k тела на квадрат удлинения или сжатия х, называют потенциальной энергией упруго деформированного тела:

Введя понятие потенциальной энергии, мы получаем возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение потенциальной энергии.
Под изменением величины понимают разность между её конечным и начальным значениями, поэтому Е_п = Е_п2 — Е_п1.

Следовательно, оба уравнения (5.19) можно записать так:

А = Е_п1 — Е_п2 = -(Е_п2 — Е_п1) = -ΔЕ_п,         (5.22)

откуда ΔЕ_п = -А.

Изменение потенциальной энергии тела равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком.

Например, при падении камня на Землю его потенциальная энергия убывает (ΔЕ_п < 0), но сила тяжести совершает положительную работу (А > 0).
Следовательно, А и ΔЕ_п имеют противоположные знаки в соответствии с формулой (5.22).

Нулевой уровень потенциальной энергии.

Согласно уравнению (5.22) работа консервативных сил определяет не саму потенциальную энергию, а её изменение.

Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то только изменение энергии в механике имеет физический смысл.
Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы, в котором её потенциальная энергия считается равной нулю.
Этому состоянию соответствует нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии.

Ни одно явление в природе или технике не определяется значением самой потенциальной энергии.
Важна лишь разность значений потенциальной энергии в конечном и начальном состояниях системы тел.

Выбор нулевого уровня производится по-разному и диктуется условиями данной задачи.
Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энергией выбирают состояние системы с минимальным значением энергии.
Тогда потенциальная энергия всегда положительна или равна нулю.

Итак, потенциальная энергия системы «тело — Земля» — величина, зависящая от положения тела относительно Земли, равная работе консервативной силы при перемещении тела из точки, где оно находится, в точку, соответствующую нулевому уровню потенциальной энергии системы.

У пружины потенциальная энергия минимальна в отсутствие деформации, а у системы «камень — Земля» — когда камень лежит на поверхности Земли. Поэтому в первом случае а во втором случае Е_п = mgh.

Но к данным выражениям можно добавить любую постоянную величину С.
При этом изменение потенциальной энергии, определяемое работой консервативной силы, останется прежним.

Изолированная система тел стремится к состоянию, в котором её потенциапьная энергия минимальна.

Если не удерживать тело, то оно падает на землю (h = 0); если отпустить растянутую или сжатую пружину, то она вернётся в недеформированное состояние (х = 0).

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Законы сохранения в механике — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Импульс материальной точки —
Закон сохранения импульса —
Реактивное движение. Успехи в освоении космоса —
Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса» —
Механическая работа и мощность силы —
Энергия. Кинетическая энергия —
Примеры решения задач по теме «Кинетическая энергия и её изменение» —
Работа силы тяжести. Консервативные силы —
Работа силы упругости. Консервативные силы —
Потенциальная энергия —
Закон сохранения энергии в механике —
Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения —
Примеры решения задач по теме «Закон сохранения механической энергии» —
Основное уравнение динамики вращательного движения —
Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия абсолютно твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси —
Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела»