Как найти объем многогранника если известна площадь

Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы

Стереометрия на ЕГЭ. Вычисление объемов и площадей поверхности

Стереометрия на ЕГЭ по математике присутствует и в 1 части, и во второй. Чтобы решать задачи, для начала надо выучить формулы. Все они есть в наших таблицах:

  • Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности
  • Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем — величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь — величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.
Многогранник
Объемные тела — это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины», «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма», правильная призма», «правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма — прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной.
А правильная пирамида — такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Перейдем к практике.

Рисунок к задаче 1

1. Одна из распространенных задач в части 1 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем: 75-4=71.

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется? :-)

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна 110. А как повлияет на него вырезанная «полочка»?

Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна 5 cdot 5=25.


А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна 25! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна 110. Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: 110.

2. Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

Рисунок к задаче 2S=2 cdot 12+ 2 cdot 15 + 2 cdot 20 - 2=92. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной 1 — на верхней и нижней гранях.

Ответ: 92.

Рисунок к задаче 33. А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое — надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Ответ: 96.

Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

Рисунок к задаче 3
4.  Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна 4, высота равна 1, объем равен 4.

Ответ: 4.

Рисунок к задаче 45. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите V.

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть 4. Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна 10. Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: 100.

Ответ: 100.

Рисунок к задаче 5
6. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: 8.

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

Рисунок к задаче 67. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в 4 раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в 4 раза уменьшится высота.
Ответ: 3.

8. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи, на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен pi R^2h.

Высота Радиус Объем
Первая кружка h R pi R^2h
Вторая кружка genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h 2R picdot left( 2R right)^2cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h

Считаем объем второй кружки. Он равен picdot left( 2R right)^2cdot genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}h=2 pi R^2h. Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

Рисунок к задаче 8Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

9. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в 4 раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен 8.

И еще одна классическая задача. Никаких формул!

10. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз, поскольку 3^2=9.
Ответ: 9.

Рисунок к задаче 10Следующий тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

11. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите V.

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом 60 градусов, а 60^{circ} — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на pi, записываем ответ: 937,5.

Продолжение:   другие типы задач по стереометрии. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ!

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Стереометрия на Профильном ЕГЭ по математике, 1 часть, основные типы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Площади и объемы многогранников

Что такое многогранник

Простейшей геометрической фигурой является прямая. Ею называется линия, которая имеет свое продолжение вправо и влево. Если эту прямую ограничить с двух сторон, получится отрезок. Для определения его величины достаточно одного измерения — длины. Прямая, ограниченная с одной стороны, имеет свое название. Это отрезок.

луч

Источник: rusinfo.info

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В пределах одной плоскости, кроме прямой, которую можно измерить одной величиной, существуют геометрические фигуры, измеряемые длиной и шириной. Это многоугольники.

много

Источник: sun9-19.userapi.com

Они могут иметь различное количество углов и характеризуются таким понятием как площадь.

Фигура, которая располагается в нескольких плоскостях, характеризуется пространственными величинами или трехмерным измерением. К таким фигурам относят многогранники.

Многогранник — геометрическая фигура, имеющая замкнутую поверхность, которую можно представить совокупностью многоугольников.

Для полной характеристики многогранника необходимо назвать следующие свойства:

  • стороны обязательно являются смежными с одной соседней стороной;
  • при необходимости можно, начав движение от одного из многоугольников, достигнуть любого другого, используя принцип смежности;
  • площадь поверхности многогранника равна сумме площадей многоугольников, ограничивающих фигуру.

При этом каждый многоугольник — это грань, сторона — ребро, а вершина — вершина многогранника.

 Многогранник, как геометрическое тело, может быть представлен несколькими параллелепипедами, которые соединены по одной из граней. В таком случае их площадь будет равна сумме площадей свободных сторон и одной стороны, по которой произошло соединение. Объем такого тела будет равен сумме объемов каждого из параллелепипедов.

куб

Источник: examer.ru

Многогранники бывают:

  • выпуклыми (каждая из точек фигуры находится по одну сторону от плоскости);
  • невыпуклыми (не все точки располагаются по одну сторону плоскости).

Проще говоря, выпуклый многогранник можно поставить на одну из сторон, и он будет на ней «уверенно стоять». С невыпуклым такого действия совершить нельзя.

Примечание 1

Важно помнить, что многогранник — это не только поверхность, состоящая из нескольких многоугольников. Это еще и тот внутренний объем, который ограничивает данная поверхность. Именно поэтому в стереометрии отделяют два понятия: площадь многогранника и его объем.

Как найти площадь: формулы

В зависимости от того, какой фигурой представлен многогранник, выбирают формулу для расчета площади его поверхности. Рассмотрим примеры.

1. Дана призма (многогранник, у которого в параллельных плоскостях расположены два многоугольника, являющихся гранями. Прочие грани представлены параллелограммами).

призма

Источник: osiktakan.ru

Найти площадь данной фигуры можно следующим образом:

фрмула

Источник: osiktakan.ru

2. Дан параллелепипед (один из вариантов призмы, все шесть граней которой являются параллелограммами).

параллел

Источник: osiktakan.ru

В этом случае S=2(ab+bc+ac)

3.Дана пирамида (вид многогранника с основанием в виде n-угольника и боковыми гранями по форме треугольниками. Обязательное условие: все треугольники имеют одну общую вершину, у которой есть свое название — вершина пирамиды).

пирамида

Источник: osiktakan.ru

Площадь пирамиды можно найти по формуле:

формула2

Источник: osiktakan.ru

Примечание 2

Особый случай, когда у пирамиды нет вершины. Такая фигура носит название усеченной. Ее можно себе представить, если мысленно параллельно основанию провести сечение (см. рисунок).

нет

Источник: osiktakan.ru

 Sбок усеченной пирамиды находят по формуле:

формула3

Источник: osiktakan.ru

В стереометрии существует понятие правильного многогранника. Его вводят для фигур, у которых:

  • все грани представлены правильными многоугольниками;
  • число граней у всех углов идентично;
  • ребра являются равными отрезками;
  • величины плоских углов идентичны.

Перечисленным требованиям отвечают 5 видов многогранников, представленных в таблице:

  Наименование фигуры Пример
1 Правильный четырехгранник Правильный тетраэдр
2 Правильный шестигранник Куб
3 Правильный восьмигранник Правильный октаэдр
4 Правильный двенадцатигранник Правильный додекаэдр
5 Правильный двадцатигранник Правильный икосаэдр

Определить площадь правильных многогранников также несложно, зная следующие формулы (нумерация согласно строке таблицы):

1. S=a2√3

2. S=6a2

3. S=2a2√3

4. формула4

Источник: osiktakan.ru

5. S=5a2√3

Использовать данный формулы нужно в задачах, требующих определить площадь поверхности многогранника, без учета его внутреннего объема.

Объем многогранника: формулы

Объем многогранника, в отличие от площади его поверхности, не может быть определен только касательно поверхности. Ведь он представляет собой все внутреннее пространство, которое ограничивается имеющейся поверхностью. На практике говорят, что объем является величиной, с помощью которой описывают размер трехмерных фигур. Эти фигуры так и называют: объемные (тела). У объемной фигуры имеется не только длина и ширина, но и высота – параметр, измеряемый в третьей плоскости.

Решить задачи по определению объема многогранника также можно с использованием формул.

Рассмотрим следующий рисунок:

рисунок

Источник: interneturok.ru

Объем такого тела определяется по формуле:

V=a*b*c

Поскольку по рисунку видно, что a*b=S, а c является высотой (h), то формулу можно записать в виде: V=S*h

Рассмотренный вариант касается прямоугольного параллелепипеда. Если же произвольный параллелепипед имеет наклонные вертикальные грани, то данная формула также верна, однако проведенная высота отличается от бокового ребра, и, возможно, лежит внутри либо вне самого тела:

2

Источник: interneturok.ru

Формула определения объема через площадь и высоту подходит и для такого трехмерного тела, как призма (причем как для прямой, так и наклонной):

3

Источник: interneturok.ru

В быту часто происходит образование новых многогранников в процессе обрезания кусков от старых и приставления их к уже имеющимся. Как же вычислить объем такого геометрического тела? В геометрии используется принцип Кавальери. Суть его в следующем. Площади прямоугольника и параллелограмма равны потому что они в своей структуре имеют отрезки одинакового размера. Проще говоря, если представить рассечение обеих фигур плоскостями, параллельными основанию, величина отрезка слева всегда будет равна величине отрезка справа. Если третья фигура имеет такое же строение, по ее площадь будет такой же.

4

Источник: interneturok.ru

Объем многогранника, который может быть разделен на два и более многогранников, может определяться суммой их объемов.

найдите

Источник: image2.slideserve.com

Для систематизации формул, применяемых для определения объемов многогранников, рассмотрим таблицу:

  Наименование фигуры Формула объема
1 Параллелепипед непрямоугольный, призма V=S*h
  Параллелепипед прямоугольный V=a*b*c
2 Куб V=a3
3 Пирамида S=1/3(Sh)

На практике определить объем трехмерного тела можно и без формулы. Например, найти объем призмы можно, если умножить площадь ее основания на высоту фигуры. При этом вариант, когда в основании призмы лежит треугольник, предполагает, что нужно найти его площадь. Если основание квадрат, на первом этапе — нахождение площади квадрата. Величину высоты определяем, опуская перпендикуляр к основанию.

Примеры решения задач

Задача 1

Треугольник ABC — основание пирамиды DABC. При этом AC=AB=13см, BC=10см. AD=9см, это перпендикуляр к основанию. Найти S боковой поверхности.

задача1

Источник: ege-study.ru

Искомая величина равна сумме площадей боковых граней этой пирамиды. 

Из вершин A и D проведем перпендикуляры к стороне BC. Тогда высота треугольника DBC — DK. 

Треугольник ABC является равнобедренным, поскольку AB=AC. Тогда высота AK, которую провели по направлению основания BC, совпадает с медианой. Соответственно BK=KC=5см.

решение

Источник: ege-study.ru

Ответ: 192 см3

Задача 2

Имеется выпуклый многогранник. У него 8 граней, в т.ч. 4 пятиугольника и 4 четырехугольника. Определить, сколько у данного тела ребер и вершин. Определим сумму всех граней: 4*4+4*5=36

Поскольку смежные ребра посчитаны дважды, найденное количество необходимо разделить на два: 36/2=18

В+Г-Р=2

В+12-30=2

В+12-2=30

В+10=30

В=20

Ответ: вершин — 20, ребер — 30.

Задача 3

Если переплавить три куба из латуни, у которых ребра равны соответственно 3, 4, 5см, в один куб, какая величина ребра получится у нового куба?

Решение.

решение2

Источник: famiredo.ru

Источник

1

2

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 7.

3

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

4

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 7.

5

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 3.

6

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 7.

7

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 4.

8

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 3.

9

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 4.

10

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 6.

11

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7.

12

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 9.

13

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.

14

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 6.

15

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 4.

16

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

17

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6.

18

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

19

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 9.

20

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 4.

21

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 3.

22

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 6.

23

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

24

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 9.

25

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

26

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8.

27

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 6.

28

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

29

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 6.

30

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

31

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 4.

32

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8.

33

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

34

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 6.

35

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 6.

36

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

37

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

38

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6.

39

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 6.

40

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 6.

41

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

42

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 9.

43

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 4.

44

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

45

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

46

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 3.

47

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 6.

48

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 2.

49

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6.

50

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 6.

51

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 4.

52

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 6.

53

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 2.

54

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

55

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 9.

56

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 4.

57

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 3.

58

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 2.

59

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

60

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 5.

61

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

62

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 5.

63

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 8.

64

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

65

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 5.

66

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8.

67

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

68

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 5.

69

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.

70

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

71

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 3.

72

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

73

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

74

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 8.

75

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8.

76

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 8.

77

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 9.

78

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 3.

79

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

80

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 9.

81

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6.

82

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 3.

83

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 9.

84

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 3.

85

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 5.

86

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

87

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 4.

88

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

89

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

90

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 3.

91

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

92

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 3.

93

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

94

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.

95

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 3.

96

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 3.

97

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

98

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 6.

99

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 7.

100

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7.

101

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

102

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 3.

103

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 3.

104

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

105

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 9.

106

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 3.

107

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 3.

108

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 4.

109

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.

110

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 5.

111

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

112

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 9.

113

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

114

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

115

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, B_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6.

116

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A_1, B_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

117

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A_1, C_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 6.

Источник

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

  • Призма $V=S_{осн}·h$
  • Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
  • Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
  • Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

  • Первый способ.
  1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
  2. Найти объем параллелепипеда.
  3. Найти объем лишней части фигуры.
  4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Пример:

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:

$V=10·9·4=360$

2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:

Его длина равна $9-4=5$

Ширина равна $4$

Высота равна $7$

$V=7·4·5=140$

3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

$V=360-140=220$

Ответ: $220$

  • Второй способ
  1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
  2. Найти объем каждого параллелепипеда.
  3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

Пример:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

$S_1=6·6=36$

$S_2=2·4=8$

$S_осн=36+8=44$

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$

Ответ: $424$

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Источник

Как найти объем, зная площадь

Объем геометрической фигуры — один из ее параметров, количественно характеризующий пространство, которое эта фигура занимает. У объемных фигур есть и другой параметр — площадь поверхности. Эти два показателя связаны между собой определенными соотношениями, что позволяет, в частности? рассчитать объем правильных фигур, зная площадь их поверхности.

Как найти объем, зная площадь

Инструкция

Площадь поверхности сферы (S) может быть выражена как учетверенное произведение числа Пи на возведенный в квадрат радиус (R): S = 4*π*R². Объем (V) шара, ограниченного этой сферой, тоже может быть выражен через радиус — он прямо пропорционален произведению учетверенного числа Пи на радиус, возведенный в куб, и обратно пропорционален тройке: V = 4*π*R³/3. Используйте эти два выражения, чтобы получить формулу расчета объема, связав их через радиус — выразите радиус из первого равенства (R = ½*√(S/π)) и подставьте его во второе тождество: V = 4*π*(½*√(S/π))³/3 = ⅙*π*(√(S/π))³.

Аналогичную пару выражений можно составить для площади поверхности (S) и объема (V) куба, связав их через длину ребра (a) этого многогранника. Объем равен третьей степени длины ребра (√ = a³), а площадь поверхности — увеличенной в шесть раз второй степени этого же параметра фигуры (V = 6*a²). Выразите длину ребра через площадь поверхности (a = ³√V) и подставьте в формулу расчета объема: V = 6*(³√V)².

Объем сферы (V) можно вычислить и по площади не полной поверхности, а лишь отдельного сегмента (s), высота которого (h) тоже известна. Площадь такого участка поверхности должна быть равна произведению удвоенного числа Пи на радиус сферы (R) и высоту сегмента: s = 2*π*R*h. Найдите из этого равенства радиус (R = s/(2*π*h)) и подставьте в формулу, связывающую объем с радиусом (V = 4*π*R³/3). В результате упрощения формулы у вас должно получиться такое выражение: V = 4*π*(s/(2*π*h))³/3 = 4*π*s³/(8*π³*h³)/3 = s³/(6*π²*h³).

Для вычисления объема куба (V) по площади одной его грани (s) никаких дополнительных параметров знать не требуется. Длину ребра (a) правильного гексаэдра можно найти извлечением квадратного корня из площади грани (a = √s). Подставьте это выражение в формулу, связывающую объем с размером ребра куба (V = a³): V = (√s)³.

Источники:

  • объем сферы через площадь

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти человека по электронному адресу gmail
  • Как исправить кривые кубики пресса
  • Как найти часть круга 3 класс
  • Как найти экстремумы фнп
  • Как найти максимально число в текстовом файле

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии