Как найти объем параллелепипеда с гранью ромба

 Обозначим вершины параллелепипеда АВСDD1FА1В1С1. Формула объема параллелепипеда V=S•H, где Ѕ — площадь грани, лежащей в основании, Н — высота, т.е. расстояние между  параллельными (горизонтальными) гранями.

Ѕ(ромба)=d•d1/2=BD•AC/2=6•8/2=24 см² Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей. Из соотношения катетов  3:4, эти треугольники – так называемые египетские, ⇒ гипотенузы этих треугольников —стороны ромба– равны 5 см.

По условию все грани параллелепипеда — равные ромбы, ⇒ боковое ребро составляет с соседними сторонами основания равные углы. ∠А1АК=∠А1АМ.  Площади равных граней равны, а их высоты – равные перпендикуляры.⇒ А1К=А1М. Из формулы площади параллелограмма h=S:a=24/5 см. По т.Пифагора АК=√(AA1²-A1К²)=√(5²-(24/5)²)=7/5 см.

  Треугольники АКА1 и АМА1 равны по  катетам и общей гипотенузе АА1  Проекции равных наклонных А1К и А1М  равны. ⇒  НК=НМ. Отсюда прямоугольные ∆ АКН=∆ АМН, их острые углы равны. Поэтому основание высоты А1Н параллелепипеда лежит на биссектрисе угла ВАD, т.е. на диагонали ромба.  Прямоугольные ∆ АКН ~∆ АВО по общему острому углу при А.  Из подобия следует отношение АН:АВ=АК:АО ⇒АН:5=(7/5):4  ⇒ АН=7/4.  т.Пифагора А1Н=(√(AA1²-АН*)=√((400-49):4))=√(9•39/16). АН=0,75√39. V(параллелеп)=24• 0,75√39=18√39 или ≈ 112,41 см³

Гранью параллелепипеда является ромб

Дата: 2022-06-08

461

Категория: Стерео Куб Парал-ед

Метка: ЕГЭ-№2

27104. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 градусов. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 градусов и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Покажем на эскизе заданные размеры:Объем параллелепипеда равен произведению  площади основания на высоту:

Где   S – площадь основания параллелепипеда

h – высота параллелепипеда

Площадь ромба (основание параллелепипеда) с острым углом в 60° равна двум площадям равносторонних треугольников:

*Использовали  формулу: площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла межу ними.

Высоту можем найти из прямоугольного треугольника, в котором нам известна гипотенуза равная двум и острый угол 60°. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:Вычислим объем:Ответ: 1,5

Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.

Ok

Все грани параллелепипеда — равные ромбы

Категория: ГЕОМЕТРИЯ. 11 КЛАСС

Добрый день, решение ниже

Вычислим высоту параллелепипеда. 
Боковое ребро ВВ₁ составляет со смежными  сторонами  основания  равные углы; обозначим ∟Β₁ΒΑ = ∟B₁BC= α .
Проведем В₁М ┴ BA и B₁N ┴ ВС. ∆Β₁ΒΜ = ΔΒ₁ΒΝ (по  гипотенузе  и  острому  углу).  Тогда,  В₁М  = Β₁Ν.
Проведем В₁О ┴ плоскости ABCD, отрезки ON и ОМ. ON  = ОМ  (как  проекции равных  отрезков). Точка  О равноудалена от сторон ромба ВС и ВА, то есть она лежит на биссектрисе угла АВС, а в ромбе биссектрисой угла служит  диагональ  ромба,  значит,  точка О лежит на диагонали ромба DB. В₁О — высота параллелепипеда.

По свойству диагоналей ромба ∟ASB = 90° и B₁S = 3, A₁S = 4. Следовательно, сторона ромба 

Из прямоугольного треугольника ΔB₁OB: