Как найти область определения функции ctg x

Функция

y=ctgx

 определена при

x≠πn,n∈ℤ

, является нечётной и периодической с периодом

π

.

График функции (y=ctgx) строится аналогично графику функции (y=tgx) и также называется тангенсоидой 

Обычно рассматривают главную ветвь графика функции (y=ctgx) на промежутке от (x=0) до (x=)

π

.

ctgx.png

1. Область определения — множество всех действительных чисел

x≠πn,n∈ℤ

.

2. Множество значений — множество

 всех действительных чисел.

3. Функция

y=ctgx

 периодическая с периодом

π

.

4. Функция

y=ctgx

 нечётная.

5. Функция

y=ctgx

 принимает:

— значение (0) при

x=π2+πn,n∈ℤ;

— положительные значения на интервалах

πn;π2+πn,n∈ℤ;

— отрицательные значения на интервалах

−π2+πn;πn,n∈ℤ.

6. Функция

y=ctgx

 убывает на интервалах

πn;π+πn,n∈ℤ.

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Содержание:

Определение функции y=tg x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример:

Определите, принадлежит ли графику функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения точка:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) Подставим в формулу Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значение аргумента Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения и найдем соответствующее значение функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Полученное значение функции равно ординате точки Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значит, точка Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принадлежит графику функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

б) При Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получим Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Точка Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения не принадлежит графику функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

в) При Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получим Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения — не существует. Точка Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения не принадлежит графику функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Определение функции y=ctg x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения соответствует значение Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения называется функцией Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример:

Верно ли, что график функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения проходит через точку:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) Подставим в формулу Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значение аргумента Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения и найдем соответствующее значение функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Полученное значение функции равно ординате точки Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значит, график функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения проходит через точку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Верно.

б) При Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получим Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияне проходит через точку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Неверно.

в) При Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получим Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения не существует. График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения не проходит через точку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Неверно.

Свойства функций y=tg x и y=ctg x

Рассмотрим свойства этих функций:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияФункции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияФункции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияФункции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решенияФункции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

График функции y=tg x

График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения изображен на рисунке 88. Он называется тангенсоидой.

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

График функции y=ctg x

График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения изображен на рисунке 89. Этот график может быть получен путем преобразования графика функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Найдите область определения функции:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) Так как область определения функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения это все действительные числа, кроме чисел вида Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения то Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, кроме чисел вида Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

б) Областью определения функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения является множество всех действительных чисел, кроме чисел вида Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Область определения данной функции — это все действительные числа, кроме чисел вида Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №2

Найдите множество значений функции:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) Так как множество значений функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения это множество всех действительных чисел, то и Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

б) Так как множество значений функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения это множество всех действительных чисел, то и Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №3

Используя свойство периодичности функций Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения найдите:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

Так как число Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения является наименьшим положительным периодом функций Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения и Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Тогда:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №4

Используя свойство нечетности функций Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения найдите:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

Так как функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения являются нечетными, то Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Тогда:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №5

Определите знак произведения Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

Так как Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения т. е. угол 2 радиана принадлежит промежутку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения на котором функция Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принимает отрицательные значения, значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Угол 4,5 радиана принадлежит промежутку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения на котором функция Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принимает положительные значения, значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Угол 7 радиан принадлежит промежутку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения на котором функция Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принимает положительные значения, т. е. Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения Значит, Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №6

Что больше: Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

Поскольку углы Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения принадлежат промежутку Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения на котором функция Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения убывает и Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения то Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Пример №7

Постройте график функции:

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

Решение:

а) График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получаем сдвигом графика функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения вдоль оси абсцисс на Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения вправо (рис. 90).

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

б) График функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения получаем сдвигом графика функции Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решениявдоль оси ординат на 1 единицу вверх (рис. 91).

Функции y=tg x и y=ctg x - их свойства, графики и примеры решения

  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
  • Тригонометрические уравнения
  • Тригонометрические неравенства
  • Формулы приведения
  • Определение тангенса и котангенса произвольного угла
  • Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
  • Функция y=sin x и её свойства и график
  • Функция y=cos x и её свойства и график

  1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
  2. Свойства функции y=ctgx
  3. Примеры

п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на горизонтальной касательной, проведенной через точку (0;1), отображаются значения котангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется котангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=ctgx на этом отрезке.

Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривые продолжатся влево.

В результате получаем график y=ctgx для для всех x из области допустимых значений.
Тангенцоида

График котангенса называют «тагненцоидой», термин «котангенцоида» не используют.
Часть графика c (0lt xltpi) называют главной ветвью графика котангенса.

п.2. Свойства функции y=ctgx

1. Область определения (xnepi k) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых (sinx=0).

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений (yinmathbb{R})

3. Функция нечётная $$ ctg(-x)=-ctgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ ctg(x+pi k)=ctgx $$

5. Функция стремится к (-infty) при приближении слева к точкам (x=pi k).
Приближение к точке a слева записывается как (xrightarrow a-0) $$ lim_{xrightarrow pi k-0} ctgx=-infty $$ Функция стремится к (+infty) при приближении справа к точкам (x=pi k).
Приближение к точке a справа записывается как (xrightarrow a+0) $$ lim_{xrightarrow pi k+0} ctgx=+infty $$ Нули функции (y_{0}=0) достигаются в точках (x_0=fracpi2+pi k)

6. Функция убывает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках (x=pi k), через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами ((pi k; pi+pi k)) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=ctgx на заданном промежутке:
Пример 1
a) (left[frac{2pi}{3}; piright)) $$ y_{min}=lim_{xrightarrowpi-0}ctgx=-infty, y_{max}=ctgleft(frac{2pi}{3}right)=-frac{1}{sqrt{3}} $$ б) (left(0; frac{pi}{4}right]) $$ y_{min}=ctgleft(frac{pi}{4}right)=1, y_{max}=lim_{xrightarrow +0}ctgx=+infty $$ в) (left[frac{7pi}{6}; frac{7pi}{4}right]) $$ y_{min}=ctgleft(frac{7pi}{4}right)=-1, y_{max}=ctgleft(frac{7pi}{6}right)=sqrt{3} $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) (ctgx=-sqrt{3})
Бесконечное множество решений: (x=frac{5pi}{6}+pi k, kinmathbb{Z})

б) (ctgleft(x+fracpi2right)=0)
(x+fracpi2=fracpi2+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=pi k, kinmathbb{Z})

в) (ctg(2x)=1)
(2x=fracpi4+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac{pi}{8}+frac{pi k}{2}, kinmathbb{Z})

г) (ctgleft(frac{x}{3}-1right)=-1)
(frac{x}{3}-1=-frac{pi}{4}+pi k)
(frac{x}{3}=1-frac{pi}{4}+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=3-frac{3pi}{4}+3pi k, kinmathbb{Z})

Пример 3. Постройте графики функций: a) (y(x)=x^2-2tgxcdot ctgx)

Пример 3a Произведение (tgxcdot ctgx=1). При этом ограничивается область определения функции (y(x)), т.к. (tgx) и (ctgx) имеют разрывы.
Точки разрыва отмечены на числовой окружности: (xnefrac{pi k}{2}).

Получаем: $$ begin{cases} x^2-2\ xnefrac{pi k}{2}, kinmathbb{Z} end{cases} $$ Строим график параболы и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.
Пример 3a

б) (y(x)=sin^2(tgx)+cos^2(tgx)-x)

Пример 3б Сумма (sin^2(tgx)+cos^2(tgx)=1). При этом ограничивается область определения функции (y(x)), т.к. (tgx) имеeт разрывы.
Точки разрыва отмечены на числовой окружности: (xnefrac{pi}{2}+pi k).

Получаем: $$ begin{cases} 1-x\ xnefrac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z} end{cases} $$ Строим график прямой и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.
Пример 3б

Рейтинг пользователей

    Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

    Урок №5. Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

    • Изучение и объяснение свойств функций y=tgx и y=ctgx с помощью графика;
    • Определение свойств и положения графика тригонометрических функций вида y=|tg(k|x|+b)| y=|ctg(k|x|+b|;
    • Объяснение зависимости свойств и положения графика функции вида y=|tg(k|x|+b)| и y=|ctg(k|x|+b| от значения коэффициентов k,b.

    Глоссарий по теме

    Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

    Тангенсоида –график функции у = tgx; плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла).

    Основная литература:

    Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

    Дополнительная литература:

    Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

    Открытые электронные ресурсы:

    Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].–Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

    Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Актуализация знаний

    Вычислите:

    1. ;

    2.

    Ответ:

    Объяснение нового материала

    Изучение свойств функции y=tgx начнем с построения графика. Обратимся к единичной окружности:

    рис.1 Тригонометрический круг

    Переносим основные значения углов на координатную плоскость. По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат – значения тангенса угла.

    рис.2 График y=tgx на промежутке

    Как любая тригонометрическая функции, функция тангенса периодическая, делая параллельный перенос получаем:

    рис.3 График y=tgx

    Заметим, что график симметричен относительно начала координат, следовательно функция тангенса нечётная. Используя построенный нами график, выведем основные свойства y=tgx:

    1. Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида

    2. Функция периодическая с периодом , т.к.

    3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

    4. Функция возрастает на всём интервале;

    5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

    6.

    7. Функция принимает:

    Для построения графика можно придерживаться алгоритму рассмотренному при построении графика , однако (формула приведения). Т.е. смещая тангенсоиду на единиц влево и делаем симметрию относительно оси Ох за счёт коэффициента –1, получаем:

    рис.3 График y=сtgx

    Основные свойства y=сtgx:

    1. Область определения функции y = сtgx все действительные числа, кроме чисел вида

    2. Функция периодическая с периодом ;

    3. Функция нечётная. График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

    4. Функция убывает на всём интервале;

    5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

    6. .

    Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

    Пример 1.

    Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

    Построим графики функций и (рис. 6)

    Рис. 4 – графики функций и .

    Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения .

    Ответ:

    Пример 2. Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

    рис.5 графики функций и

    Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения .

    Ответ:

    1) Область определения: D (ctg x) = R / {Пи n (n припнадлежит Z) }.

    2) Множество значений: E (ctg x) = R.

    3) Четность, нечетность: функция нечетная.

    4) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T=Пи.

    5) Нули функции: ctg x = 0 при x = Пи / 2 + Пи n, n принадлежит Z.

    6) Промежутки знакопостоянства;

    ctg x > 0 при x принадлежащем (Пи n, Пи / 2 + Пи n), n принадлежит Z

    ctg x < 0 при x принадлежащем (- Пи / 2 + Пи n, Пи n), n принадлежит Z;.;

    7) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

    8) Экстремумы: нет.

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:

    Не пропустите также:

  • Как составить профессиональный план по климову
  • Без наука как рука без составить предложение
  • Картинка на мониторе вверх ногами как исправить
  • Как можно найти еду в лесу
  • Ox80070422 как исправить

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии