Как найти области уровней

Определение
.
Пусть имеется п
переменных величин, и каждому набору
их значений (х
х
,
х
2
,…,
х
п
)
из некоторого множества
X

соответствует одно вполне определенное
значение переменной вели­чины
z
.
Тогда говорят, что задана функция
нескольких переменных
z
=
f
(х
х
,
х
2
,…,
х
п
)
.

Переменные х
х
,
х
2
,…,
х
п

называются независимыми
переменными
или
аргументами,
z

— зависимой
переменной,
а символ
f

означа­ет закон
соответствия.
Множество
X

называется областью
оп­ределения функции.
Очевидно,
это подмножество n-мерного
пространства.

Функцию двух переменных
обозначают z=f(x, у)
.
Тогда ее область определения X есть
подмножество ко­ординатной плоскости
Оху
.

Окрестностью точки

называется
круг, содержа­щий точку

(см.
рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный
аналог интерва­ла на прямой.

При изучении функций
нескольких переменных используется
математи­ческий аппарат: любой функции
z
=
f
(x
,
у)
можно по­ставить
в соответствие пару функций одной
переменной: при фиксированном значении
х=х
0

функцию z
=

и при фиксированном
значении у=у
0
функцию z
=
f
(x
,
у
0
).

Графиком функции двух
переменных
z
=

называется множе­ство
точек трехмерного пространства (х, у,
z), аппликата z

кото­рых связана с абсциссой х

и ординатой у

функциональным соот­ношением z
=
.

Для построения графика
функции z=f(x, у)

полезно рассмат­ривать функции одной
переменной z
=
f
(x
,
у
0
)
и z
=
,
пред­ставляющие сечения

графика z
=
f
(x
,
у)
плоскостями,
парал­лельными координатным плоскостям
Oxz
и
Oyz
,
т.е. плоскостями у=

у
0

и х=х
0
.

Пример 1. Построить график
функции

.

Решение. Сечения поверхности

=
плоскостями,
параллельными координатным плос­костямOyz

и Oxz
,
пред­ставляют параболы (на­пример,
при х = 0


,
при у = 1
и
т.д.). В се­чении поверхности кординатной
плоско­стьюОху
,
т.е. плоско­стью z=0
,
получается окружность

График
функции представляет поверх­ность,
называемую па­раболоидом (см. рис. 2)

Определение
.
Линией уровня

функции двух переменных z=f{x,
у)
называется множество
точек на плоскости, таких, что во всех
этих точках значение функции одно и то
же и равно С. Число С в этом случае
называется уровнем.

На рис.3 изображены линии
уровня, соответствую­щие значениям
С=1 и С=2. Как видно, линия уровня
состо­ит из двух непересекающихся
кривых. Линия– самопере­секающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо
известны и привычны. Например,
паралле­ли и меридианы на глобусе —
это линии уровня функций широты и
долготы. Синоптики публикуют карты с
изображе­нием изотерм — линий уровня
температуры.

Пример 2. Построить линии
уровня функции

.

Решение. Линия уровня z
=
C

это кривая на плоскости
Оху,
задаваемая
уравнением х
2

+ у
2

— 2у
= С
или х
2

+ (у —
I) 2
= С+1. Это уравнение окружности с центром
в точке (0; 1) и радиусом

(рис.
4).

Точка (0; 1) — это вырожденная
линия уровня, соответст­вующая
минимальному значению функции z
=-1
и достигаю­щемуся
в точке (0; 1). Линии уровня — концентрические
ок­ружности, радиус которых увеличивается
с ростом z
=
C
,
при­чем расстояния
между линиями с одинаковым шагом уровня
уменьшаются по мере удаления от центра.
Линии уровня по­зволяют представить
график данной функции, который был ранее
построен на рис. 2.

Частные производные

Дадим аргументу х
приращение ∆х,
аргументу у
—
приращение ∆у.
Тогда функция z

получит наращенное
значение f(х+∆х,
у+∆у).
Величина
∆
z
=
f
(x
+∆
x
,
y
+∆
y
)-
f
{
x
,
у)
называется полным
приращени­ем функции
в
точке (х; у).
Если
задать только приращение аргу­мента
x

или только приращение
аргумента у,
то
полученные при­ращения функции
соответственно
иназываютсячастными.

Полное приращение функции,
вообще говоря, не равно сумме частных,
т.е.

Пример 15.6.
Найти
частные и полное приращения функции
z
=
xy
.

Решение. ;;.

Получили, что

Определение.
Частной
производной функции несколь­ких
переменных

по
одной из этих переменных называется
предел отношения соответст­вующего
частного приращения функции к приращению
рас­сматриваемой независимой переменной
при стремлении последнего к нулю (если
этот предел существует).

Обозначается частная
производная так:

или
,
или
.

Для нахождения производной


надо
считать постоянной переменную у, а для
нахождения


—переменную х.
При
этом сохраняются известные правила
дифференцирова­ния.

Пример.
Найти
частные производные функции:

a)
z
=
x

ln
y
+

.

Решение: Чтобы найти частную
производную по х,
считаем у
постоянной величиной.
Таким образом,

.
Аналогично, дифференцируя
по у,
считаем
х
постоянной
величиной, т.е
.

Дифференциал функции

Определение.
Дифференциалом
функции

называется
сумма про­изведений частных производных
этой функции на приращения соот­ветствующих
независимых переменных,
т.е.

dz
=
.
(1)

Учитывая, что для функций
f(х,
у)=х,
g
(x
,
у)=у
согласно (1)
df
=
dx
=∆
x
;
dg
=
dy
=∆
y

формулу дифференциала
(1) можно запи­сать в виде dz
=
z
»
x

dx
+
z
»
y

dy

(2)
или

Определение.
Функция
z
=
f
(x
,
у) называется
дифференцируемой

в точке (х, у), если
ее полное приращение может быть
представлено в виде
(3),

где
dz

— дифференциал
функции,
–
,бесконечно малые при
.

Достаточное
условие
дифферен­цируемости функции двух
переменных.

Теорема.
Если
частные производные функции
z
»
v

(x
,
у) существу­ют в окрестности точки
(х, у) и непрерывны в самой точке (х, у),
то функция
z
=
f
{
x
,
у) дифференцируема в этой точке.

∙
проходит через одну точку на плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости.

Пример построения прямой на плоскости (Рис. 3.12):
Рис. 3.12 Задача: построить на плоскости АВС прямую, заданную
		фронтальной проекцией

3.4
Главные линии плоскости

Для решения многих задач начертательной геометрии используют линии частного положения – линии уровня
.

Линии уровня
, это линии на плоскости, параллельные ПП. Линия, параллельная горизонтальной ПП –горизонтал
ь, Фронтальной –фронталь
, Профильной ПП –профильная лин
ия.

Так как линии уровня параллельны своим плоскостям проекций, на других ПП их проекции будут параллельны осям координат. Например, фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х
12
.

Примеры построения линий уровня: ∙ Горизонталь h
(Рис. 3.13);

h
11
1

Рис. 3.13 Горизонталь на плоскости

Если плоскость задана следами, линии уровня h
иf
будут параллельны следам на своих плоскостях проекции: горизонтали горизонтальным следам, фронтали фронтальным следам и т.д. (Рис. 3.14). По сути, след плоскости является линией уровня, бесконечно близкой плоскости проекции.

			f 1≡ h 2

Рис. 3.14 Линии уровня плоскости, заданной следами

3.5
Точка на плоскости

Точка лежит на плоскости, если она принадлежит любой прямой на этой плоскости. Таким образом, для построения точи на плоскости необходимо сначала построить вспомогательную прямую на плоскости такую, чтобы она проходила через заданную проекцию искомой точки и, затем, найти точку на построенной вспомогательной линии вдоль линии связи.

Примеры построения точки на плоскости (Рис. 3.15):

		D1 — ?
	D1 — ?

Рис. 3.15 Точка на плоскости

Построение точки на плоскости, заданной следами.

Если плоскость задан следами, в качестве линий, принадлежащих плоскости, с помощью которых проверяется принадлежность точки плоскости, используются линии уровня, которые легко строить, проводя параллельно заданным следам (Рис. 3.16). При этом следует помнить, что проекция точки, принадлежащей следу плоскости, на другой плоскости проекций окажется на оси, разделяющей плоскости проекций (см. (.)1
).

				f 1≡ h 2

Рис. 3.16 Использование линий уровня для построения очки на плоскости, заданной следами

Тема 4 Взаимное положение геометрических фигур: прямая и плоскость, две плоскости.

Прямая и плоскость, а также две плоскости могут быть:

∙
параллельны друг другу,

∙
пересекаться,

∙
перпендикулярны друг другу.

4.1
Параллельные фигуры

4.1.1
Прямая, параллельная плоскости

Пример 1 (Рис. 4.1). Есть плоскость Σ(a
Ç
b).

Задана (.)A
и фронтальная проекцияl
2
прямой. Провести через(.)A
прямую, параллельную плоскостиΣ

A
2l
2

Рис. 4.1 Построение прямой, параллельной плоскости

Пример 2. Через (.)А
провести горизонталь, параллельную плоскости

Σ(ABC)
(Рис. 4.2).

Рис. 4.2 Горизонталь, параллельная плоскости

4.1.2
Взаимно параллельные плоскости

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (Рис. 4.3).

				a // d
					ý Þ a // d
			a 2// d 2þ
				b // c			Þ b// c
				b 2// c 2þ
			пл .Q (a Ç b ) //пл .D (с //в )

Рис. 4.3 Взаимно параллельные плоскости

В качестве пересекающихся линий могут быть выбраны линии
частного положения. Отсюда:
Если одноименные следы двух плоскостей параллельны. То
параллельны сами плоскости.
				пл .S (f Ç h ) //пл .T (f «Ç h «)
			h ′
Рис. 4.4 Параллельные плоскости,
	заданные следами
Пример 4.3: Через (.)А провести плоскостьΘ параллельно плоскости
Γ , заданной двумя параллельными прямыми (Рис. 4.5).
	Рис. 4.5 Параллельные плоскости

Техника построения:

1.
На плоскости
Г,
используя прямуюа
выбирается произвольная вспомогательная точка1
.

2.
Через (.)
1
проводятся две произвольные прямыеl
иk
так, чтобы они пересекли другую прямую, задающую плоскость – линиюb
.

3.
Через заданную точку
А
проводят две прямыеm
иn
, параллельные соответственно вспомогательным прямымl
иk
. Эти две

пересекающиеся прямые l
иk
зададут искомую плоскостьQ
, параллельную заданной плоскостиГ
.

Пример 4.4: Через (.)А провести

плоскость

параллельно

фронтально-проектирующей плоскостиΣ (m ||n ) (Рис. 4.6).

≡ l 2

Рис. 4.6 Параллельные плоскости

Техника построения:

1.
На фронтальной ПП через фронтальную проекцию
А
2
заданной точкиА
проводится прямаяА
2
С
2
||m
2
≡
n
2
. Эта прямая будет фронтальным следом искомой плоскостиD
. Плоскость, параллельная фронтально-проектирующей плоскости должна быть сама фронтально-проектирующей плоскостью!

2.
На горизонтальной ПП выбираются произвольно две точки
В
1
и

С1
.

3.
Фронтальные проекции
В
2
иС
2
точекВ
иС
ищутся вдоль линий связи на построенном следе искомой плоскостиD
.

NB
! Несмотря на то, что точкиВ
иС
были выбраны на горизонтальной ПП произвольно, плоскость, задаваемая точкамиАВС
будет параллельной заданной фронтально-проектирующей плоскости потому, что на фронтальной ПП точкиАВС
располагаются на одной линии, параллельной фронтальному следу заданной плоскостиΣ
.

4.2
Пересечение прямой и плоскости. Точка пересечения

Рассмотрим частный случай, когда необходимо найти (.)K
пересечения прямой общего положенияl
и горизонтальнопроектирующей плоскостиΣ
.

Пример 4.9: Построить точку пересечения прямой l
c горизонтальнопроектирующей плоскостьюΣ
(Рис. 4.7):

Рис. 4.7 Пересечение прямой с проектирующей плоскостью

Построение весьма простое. Так как проектирующая плоскость Σ
обладает собирательным свойством, точка ее пересечения с линиейl

находится как точка пересечения горизонтального следа Σ
1
плоскости и горизонтальной проекцииl
1
линии. Фронтальная проекция точки пересечение найдена вдоль линии связи.

Для построения точки пересечения произвольной прямой с плоскостью общего положения в качестве вспомогательного элемента следует использовать вспомогательные проектирующие плоскости.

Пример 4.10: Построить точку пересечения прямой m
с плоскостью

(a
Ç
b)
(Рис. 4.8).

å ^ П 2 ; å º m

å Ç D(aÇb) => l

l1
11

Рис. 4.8 Пересечения прямой с плоскостью

Для построения использована вспомогательная фронтальнопроектирующая плоскость Σ
, проходящая через линиюm
.

Линия l
пересечения плоскостейΣ
Ç
лежит в одной плоскости с прямойm
, так как вспомогательная плоскость специально была проведена через прямуюm
. Следовательно, находясь в одной плоскости, прямыеl
иm
, если они пересекутся, дадут точку, которая будет искомой точкой пересечения заданных прямойm
и плоскости

Если прямые l
иm
окажутся параллельными, это будет означать, что заданные прямаяm
и плоскость – параллельны.

	Пересечение двух плоскостей.
Для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно
найти две любые точки этой линии, либо одну точку и направление
линии пересечения.
Если ищется линия пересечения двух плоскостей, одна из которых
проектирующая, линия пересечения определяется простейшими
построениями.
Пример 4.5: Построить линию пересечения плоскости	Заданной
двумя прямыми l ||m и горизонтальной плоскостью уровняΣ (Рис.
			S 2≡ S 2
	Рис. 4.9 Пересечение плоскостей

NB
! Линия пересечения принадлежит горизонтальной плоскости уровняΣ
, поэтому является горизонталью.

Простота построения линии пересечения плоскостей общего положения с плоскостями частного положения дает удобный инструмент построения линии пересечения двух плоскостей общего положения.

Рис. 4.10 Вспомогательные секущие плоскости

Таким инструментом являются вспомогательные секущие плоскости частного положения, например, плоскости уровня (Рис. 4.10).

Для построения линии пересечения плоскостей Φ
иΘ
использованы две горизонтальные плоскостиГ»
иГ»»
. Точки пересеченияM
иN

пар линий a»

S
«X
lX
m

Рис. 4.11 Построение линии пересечения плоскостей

Для построения использованы горизонтальные плоскости Σ»
иΣ»».

Пример 4.7: Построить линию пересечения плоскости Φ(ABC)
6

5
1X
6
1

Рис. 4.12 Построение линии пересечения плоскостей

Для построения используются вспомогательные фронтально проектирующие плоскости »
и»»
, которые на фронтальной ПП проходят по фронтальным проекциям параллельных прямыхl
иm
, задающих плоскостьТ
. Вспомогательная плоскость»
пересекает заданную плоскостьΦ(ABC)
по линии12
. Горизонтальная проекция этой прямой пересекает горизонтальную проекцию прямойl
в точкеЕ
1
. Эта точка ищется на фронтальной ПП вдоль линии связи. ТочкаЕ
является общей для плоскостиΦ(ABC)
иΤ(l
||m
). Таким образом, эта точка является одной из точек линии пересечения плоскостейΦ(ABC)
иΤ(l
||m
). Также найдена точкаF
пересечения плоскости»»
с прямойm
. ТочкаF
также является точкой линии пересечения плоскостейΦ(ABC)
иΤ(l
||m
). Соединение полученных точекЕ
и

h»1
M
1
h
1

Рис. 4.13 Построение линии пересечения плоскостей

Точки линии пересечения, это (.)M
пересечения горизонтальных следовh
иh»
заданных плоскостей и (.)N
пересечения фронтальных следовf
иf»
. Соединение этих точек на соответствующих плоскостях проекций дает проекции линии пересечения заданных плоскостей.

Если каждой точке X = (х 1 , х 2 , …х n) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных
z = f(х 1 , х 2 , …х n) = f (X).

При этом переменные х 1 , х 2 , …х n называют независимыми переменными
или аргументами
функции, z — зависимой переменной
, а символ f обозначает закон соответствия
. Множество {X} называют областью определения
функции (это некое подмножество n-мерного пространства).

Например, функция z = 1/(х 1 х 2) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х 1 и х 2 , а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых х 1 = 0 и х 2 = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х 1 = 2, х 2 = 5, получим
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).

Функция вида z = а 1 х 1 + а 2 х 2 + … + а n х n + b, где а 1 , а 2 ,…, а n , b — по стоянные числа, называют линейной
. Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х 1 , х 2 , …х n . Все остальные функции называют нелинейными
.

Например, функция z = 1/(х 1 х 2) – нелинейная, а функция z =
= х 1 + 7х 2 — 5 – линейная.

Любой функции z = f (X) = f(х 1 , х 2 , …х n) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной.

Например, функции трех переменных z = 1/(х 1 х 2 х 3) можно поставить в соответствие три функции одной переменной. Если зафиксировать х 2 = а и х 3 = b то функция примет вид z = 1/(аbх 1); если зафиксировать х 1 = а и х 3 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 2); если зафиксировать х 1 = а и х 2 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 3). В данном случае все три функции имеют одинаковый вид. Это не всегда так. Например, если для функции двух переменных зафиксировать х 2 = а, то она примет вид z = 5х 1 а, т.е. степенной функции, а если зафиксировать х 1 = а, то она примет вид , т.е. показательной функции.

Графиком
функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением
z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке 5.3).

Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Другие примеры трехмерных графиков рекомендуется изучить самостоятельно по учебнику Кремера (стр. 405-406).

Если переменных больше двух (n переменных), то график
функции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата х n+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью
(для линейной функции – гиперплоскостью
), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно).

Рисунок 5.3 – График функции двух переменных в трехмерном пространстве

Поверхностью уровня
функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем
.

Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням).

Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня
.

Например, рассмотрим z = 1/(х 1 х 2). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х 1 х 2) = 10. Тогда х 2 = 1/(10х 1), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке 5.4 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х 2 = 1/(5х 1) (на рисунке 5.4 показана пунктиром).

Рисунок 5.4 — Линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2)

Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х 1 + х 2 . Возьмем С = 2, т.е. 2х 1 + х 2 = 2. Тогда х 2 = 2 — 2х 1 , т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке 5.5 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х 2 = 4 — 2х 1 (на рисунке 5.5 показана пунктиром). Линия уровня для 2х 1 + х 2 = 3 показана на рисунке 5.5 точечной линией.

Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой.

Рисунок 5.5 — Линии уровня функции z = 2х 1 + х 2

Определение функции нескольких переменных

Рассматривая функции одной переменной, мы указывали, что при изучении многих явления приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.

Пример 1.

Площадь S
прямоугольника со сторонами, длины которых равны х
и у
, выражается формулой S
= ху
. Каждой паре значений х
и у
соответствует определенное значение площади S
; S
есть функция двух переменных.

Пример 2.

Объем V
прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х
, у
, z
, выражается формулой V
=
xyz
. Здесь V
есть функция трех переменных х
, у
, z
.

Пример 3.

Дальность R
полета снаряды, выпущенного с начальной скоростью v
0 из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом , выражается формулой
(если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесьg
– ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений v
0 и  эта формула дает определенное значение R
, т.е. R
является функцией двух переменных v
0 и .

Пример 4.


. Здесьи
есть функция четырех переменных х
, у
, z
, t
.

Определение 1.
Если каждой паре (х
, у
) значений двух независимых друг от друга переменных величин х
и у
из некоторой области их изменения D
, соответствует определенное значение величины z
, то мы говорим, что z
есть функция двух независимых переменных х
и у
, определенная в области D
.

Символически функция двух переменных обозначается так:

z
=
f
(x
, y
), z
= F
(x
, y
) и т.д.

Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически – с помощью формулы, как это сделано в рассмотренных выше примерах. На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных. Так, для первого примера можно составить следующую таблицу:

S
= ху

В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям х
и у
, проставлено соответствующее значение функции S
. Если функциональная зависимость z
=
f
(x
, y
) получается в результате измерений величины z
при экспериментальном изучении какого-либо явления, то сразу получается таблица, определяющая z
как функцию двух переменных. В этом случае функция задается только таблицей.

Как и в случае одной независимой переменной, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях х
и у
.

Определение 2.
Совокупность пар (х
, у
) значений х
и у
, при которых определяется функция z
=
f
(x
, y
), называется областью определения
или областью существования
этой функции.

Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений х
и у
мы будем изображать точкой М
(х
, у
) в плоскости Оху
, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой части плоскости
, ограниченные линиями
. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей
области. Точки области, не лежащие на границе, будем называть внутренними
точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой
или незамкнутой
. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой
. Область называется ограниченной, если существует такая постоянная С
, что расстояние любой точки М
области от начала координат О
меньше С
, т.е. |OM
| < С
.

Пример 5.

Определить естественную область определения функции

z
= 2х
– у
.

Аналитическое выражение 2х
– у
имеет смысл при любых значениях х
и у
. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху
.

Пример 6.


.

Для того чтобы z
имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.е. х
и у
должны удовлетворять неравенству 1 – х
2 – у
2  0, или х
2 + у
2  1.

Все точки М
(х
, у
), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.

Пример 7.


.

Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство х
+ у
> 0, или у
>  х
.

Это значит, что областью определения функции z
является половина плоскости, расположенная над прямой у
=  х
, не включая самой прямой.

Пример 8.

Площадь треугольника S
представляет собой функцию основания х
и высоты у
: S
=
xy
/2.

Областью определения этой функции является область х
 0, у
 0 (так как основание треугольника и его высота не могут быть ни отрицательны, ни нулем). Заметим, что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения, с помощью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения ху/
2 является, очевидно, вся плоскость Оху
.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных.

Определение 3.
Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных х
, у
, z
, …, u
, t
соответствует определенное значение переменной w
, то будем называть w
функцией независимых переменных
х
, у
, z
, …, u
, t
и писать w
=
F
(х
, у
, z
, …, u
, t
) или w
=
f
(х
, у
, z
, …, u
, t
) и т.п.

Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных.

Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел (х
, у
, z
). Заметим тут же, что каждая тройка чисел задает некоторую точку М
(х
, у
, z
) в пространстве Оху
z
. Следовательно, областью определения функции трех переменных является некоторая совокупность точек пространства.

Аналогично этому можно говорить об области определения функции четырех переменных u
=
f
(x
, y
, z
, t
) как о некоторой совокупности четверок чисел (x
, y
, z
, t
). Однако область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.

В примере 2 приведена функция трех переменных, определенная при всех значениях х
, у
, z
.

В примере 4 приведена функция четырех переменных.

Пример 9.

.

Здесь w
– функция четырех переменных х
, у
, z
, и
, определенная при значениях переменных, удовлетворяющих соотношению:

Понятие функции нескольких переменных

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 1.
Пусть каждой точке М
из множества точек {М
} евклидова пространства E
m
по какому-либо закону ста­вится в соответствие некоторое число и
из числового множес­тва U.
Тогда будем говорить, что на множестве {М
} задана функция и =
f(M).
При этом множества {М
} и U
называют­ся соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).

Как известно, функция одной переменной у
= f
(x
) изобра­жается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {М
п
} функции z = f(x, y)
представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху
(рис. 8.1). Координата z
называется аппликатой,
и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E
3
.
Аналогичным образом функция от т
пере­менных

определенная на множестве {М
} евклидова пространства Е
m
,
представляет собой гиперповерхность в евклидовом простран­стве Е
m+1
.

Некоторые виды функций нескольких переменных

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

Е
3
.
Областью определения этой функции является все множест­во точек плоскости Оху.
Область значений этой функции — промежуток X;
private double[,] Y;
private double[,] Z;
// Список изолиний
public List Lines { get; set; }
///

/// Подготовка
///

///

Массив уровней
///

Координаты X области
///

Координаты Y области
///

Сеточная функция
public LinesOfLevels(double _levels, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z)
{
Lines = new List

(_levels.Count());
foreach (double l in _levels)
{
Lines.Add(new LineLevel(l));
}
X = _x;
Y = _y;
Z = _z;
J = X.GetLength(0);
K = X.GetLength(1);
}
///
/// Расчет изолиний.
///
public void Calculate()
{
for (int j = 0; j < J — 1; j++)
for (int k = 0; k < K — 1; k++)
{
Ceil ir = new Ceil(j, k, X, Y, Z);
for (int l = 0; l < Lines.Count(); l++)
ir.AddIntoLineLevel(Lines[l]);
}
}
}
///
/// Одна изолиния
///
public class LineLevel
{
// Список точек изолинии в виде пар точек
// принадлежащих одной четырехугольной ячеейке
public ListPairs { get; set; }
// Уровень изолинии
public double Level { get; set; }
public LineLevel(double _level)
{
Level = _level;
Pairs = new List();
}
}
///
/// Пара точек изолинии, принадлежащая одной ячейке
///
public class PairOfPoints
{
public ListPoints { get; set; }
public PairOfPoints() { Points = new List(); }
}
///
/// Угол ячейки.
/// Индексы для определения одного угла четырехугольной ячейки
///
internal struct Dot
{
internal int j { get; set; }
internal int k { get; set; }
internal Dot(int _j, int _k) { j = _j; k = _k; }
}
///
/// Четырехугольная ячейка сетки. Определяет текущую ячейку.
/// Рассчитывает отрезки изолиний в ячейке
///
internal class Ceil
{
// Углы ячейки
private Dot d = new Dot;
// Координатные точки углов
private Point r = new Point;
// Массивы координат всей области
private double[,] X;
private double[,] Y;
// Массив сеточной функции
private double[,] Z;
///
/// Определение ячейки
/// Определяется левым нижним углом. Циклы перебора индексов должны быть на 1 меньше размерностей J,K массивов
///
/// j — индекс левого нижнего угла
/// k — индекс левого нижнего угла
/// Массив X
/// Массив Y
/// Массив сеточной функции Z
internal Ceil(int _j, int _k, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z)
{
d = new Dot(_j, _k);
d = new Dot(_j + 1, _k);
d = new Dot(_j + 1, _k + 1);
d = new Dot(_j, _k + 1);
X = _x;
Y = _y;
Z = _z;
r = dotPoint(d);
r = dotPoint(d);
r = dotPoint(d);
r = dotPoint(d);
}
///
/// Определение координатной точки Point угла
///
/// Угол, заданный стуктурой Dot
///
private Point dotPoint(Dot _d) { return new Point(X[_d.j, _d.k], Y[_d.j, _d.k]); }
///
/// Определение функции в заданном углу
///
/// Угол, заданный стуктурой Dot
///
private double dotZ(Dot _d) { return Z[_d.j, _d.k]; }
///
/// Определение пары точек, через которые проходит линия уровня
/// Точки на границах ячейки определяются линейной интераоляцией.
///
/// Значение уровня функции
///
private PairOfPoints ByLevel(double _l)
{
PairOfPoints p = new PairOfPoints();
// Ребро 0
if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l))
{
double t = (_l — dotZ(d)) / (dotZ(d) — dotZ(d));
double x = r.X * t + r.X * (1 — t);
double y = r.Y * t + r.Y * (1 — t);
p.Points.Add(new Point(x, y));
}
// Ребро 1
if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l))
{
double t = (_l — dotZ(d)) / (dotZ(d) — dotZ(d));
double x = r.X * t + r.X * (1 — t);
double y = r.Y * t + r.Y * (1 — t);
p.Points.Add(new Point(x, y));
if (p.Points.Count == 2) return p;
}
// Ребро 2
if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l))
{
double t = (_l — dotZ(d)) / (dotZ(d) — dotZ(d));
double x = r.X * t + r.X * (1 — t);
double y = r.Y * t + r.Y * (1 — t);
p.Points.Add(new Point(x, y));
if (p.Points.Count == 2) return p;
}
// Ребро 3
if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l))
{
double t = (_l — dotZ(d)) / (dotZ(d) — dotZ(d));
double x = r.X * t + r.X * (1 — t);
double y = r.Y * t + r.Y * (1 — t);
p.Points.Add(new Point(x, y));
}
return p;
}
///
/// Добавление пары точек в линию уравня
///
/// Линия уровня
internal void AddIntoLineLevel(LineLevel _lL)
{
PairOfPoints lp = ByLevel(_lL.Level);
if (lp.Points.Count > 0) _lL.Pairs.Add(lp);
}
}
}

Для демонстрации работы класса предлагается небольшое тестовое приложение WPF, которое строит линии уровня для функции вида: z = x^2 + y^2 на сетке 10 на 10.

Файл MainWindow.xaml:

И файл кода MainWindow.xaml.cs:

Using System.Linq;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Shapes;
namespace WpfLinesLevels
{
///

/// Логика взаимодействия для MainWindow.xaml
///
public partial class MainWindow: Window
{
private double Xmax;
private double Xmin;
private double Ymax;
private double Ymin;
private double xSt;
private double ySt;
public MainWindow()
{
InitializeComponent();
// Определение уровней, которые будут отображаться
double levels = { 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 };
double[,] X = new double;
double[,] Y = new double;
double[,] Z = new double;
// Переменные для пересчета физических координат в экранные
Xmax = 10;
Xmin = 0;
Ymax = 10;
Ymin = 0;
xSt = 525 / (Xmax — Xmin);
ySt = 525 / (Ymax — Ymin);
// Определение массивов координат и функции
for (int k = 0; k < 10; k++)
for (int j = 0; j < 10; j++)
{
X = j;
Y = k;
Z = j * j + k * k;
}
// Создание изолиний
LinesOfLevels lol = new LinesOfLevels(levels, X, Y, Z);
// Их расчет
lol.Calculate();
// Построение
DrowLevelLine(lol, X, Y);
}
///
/// Метод построения изолиний
///
/// Расчитанный объект с изолиниями
/// массив X координат
/// массив Y координат
private void DrowLevelLine(LinesOfLevels lL, double[,] x, double[,] y)
{
Canvas can = new Canvas();
foreach (LineLevel l in lL.Lines)
{
foreach (PairOfPoints pp in l.Pairs)
{
if (pp.Points.Count() == 2)
{
Line pl = new Line();
pl.Stroke = new SolidColorBrush(Colors.BlueViolet);
pl.X1 = xCalc(pp.Points.X);
pl.X2 = xCalc(pp.Points.X);
pl.Y1 = yCalc(pp.Points.Y);
pl.Y2 = yCalc(pp.Points.Y);
can.Children.Add(pl);
}
}
}
can.Margin = new Thickness(10, 10, 10, 10);
can.VerticalAlignment = VerticalAlignment.Stretch;
can.HorizontalAlignment = HorizontalAlignment.Stretch;
grid1.Children.Add(can);
}
///
/// Пересчет физической координаты X в экранную
///
/// Физическая кордината X
/// Экранная координата X
private double xCalc(double _x)
{
return xSt * (_x — Xmin);
}
///
/// Пересчет физической координаты Y в экранную
///
/// Физическая кордината Y
/// Экранная координата Y
private double yCalc(double _y)
{
return ySt * (Ymax — _y);
}
}
}

Результат работы тестового примера представлен на рисунке.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть: z — переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D — область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Другими словами:

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg» width=»215″ height=»32 src=»>

П р и м е р 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg» width=»157″ height=»29 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg» align=»left» width=»110″ height=»89″>

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3.
Найти и изобразить область определения функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg» width=»86″ height=»32 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg» width=»147″ height=»30 src=»>

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg» width=»106″ height=»23 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg» width=»159″ height=»23 src=»>

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif» width=»88″ height=»29″> и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif» width=»184 height=60″ height=»60″>– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif» width=»43″ height=»24 src=»>– окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием

между двумя произвольными точками
и (евклидова) пространства называется число

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif» width=»153 height=24″ height=»24″> называется открытым кругом

радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется —
ε — окрестностью

точки А.

3адание

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х -> х0, у -> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) — А| < ε , как только

|x — x0| < δ и |у – у0| < δ.

Этот факт обозначается так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg» width=»160″ height=»39 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif» width=»20″ height=»25 src=»>. Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

П р и м е р 1.
Найти .

Решение.
Пусть стремление к предельной точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif» width=»55 height=24″ height=»24″>. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif» width=»72 height=48″ height=»48″> зависит от .

П р и м е р 2.
Найти .

Решение.
По любой прямой предел один и тот же:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif» width=»57″ height=»29″>. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif» width=»64″ height=»21″>, (остальное – по аналогии).

О п р е д е л е н и е.
Число называют пределом
функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif» width=»124″ height=»48″>.gif» width=»236″ height=»48 src=»>;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif» width=»247″ height=»60 src=»>,

где предельная точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif» width=»85″ height=»24 src=»> с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х
и у
.

О п р е д е л е н и е 1.
Говорят, что функция непрерывна в точке, если:

1) ;

2) , т. е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме..gif» width=»89″ height=»25 src=»>.gif» width=»85 height=24″ height=»24″>непрерывна в точке, если выполняется равенство

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif» width=»16″ height=»20 src=»>.gif» width=»15 height=16″ height=»16″> придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif» width=»35″ height=»25 src=»> является функцией одной переменной . Аналогично,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif» width=»85″ height=»24″> называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif» width=»101″ height=»36″>).

Теорема.
Если функция
определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

П р и м е р.
Докажем, что функция

непрерывна в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif» width=»15 height=16″ height=»16″>.gif» width=»57″ height=»24″> в точке , соответствующее приращению http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif» width=»15″ height=»16 src=»>:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif» width=»99″ height=»36 src=»>, а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif» width=»15″ height=»20″>, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg» width=»351″ height=»48 src=»>

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg» width=»389″ height=»55 src=»>

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif» width=»60″ height=»28 src=»>.

Решение
. Имеем:

,

П р и м е р 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg» width=»411″ height=»51 src=»>

П р и м е р 3.
Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg» width=»477″ height=»58 src=»>

Пример 4.
Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg» width=»321″ height=»54 src=»>

5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных

Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам х(x;y) и f»у{x;y) сущест­вуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и не­прерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного при­ращения функции двух переменных

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif» width=»364″ height=»57 src=»>

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif» width=»154″ height=»39 src=»>

Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции:

Выражение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg» width=»192″ height=»57 src=»>

С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif» width=»57″ height=»24 src=»> дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.

П р и м е р.
Найдем частные производные функции http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif» width=»253″ height=»57 src=»>.

Полученные формулы теряют смысл в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif» width=»147″ height=»33 src=»> не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif» width=»25″ height=»48″> в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке .

Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

Теорема 1.
Необходимое условие дифференцируемости.

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .

Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 2.
Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой http://pandia.ru/text/78/481/images/image130.gif» width=»101 height=29″ height=»29″>

Пример 2.
Вычислить 3,021,97

3адание

Вычислить приближенно при помощи дифференциа­ла:

5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.

Случай 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.

Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Поставим задачу вычислить http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif» width=»23″ height=»44 src=»>.

Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и

v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif» width=»293″ height=»43 src=»>

Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif» width=»147″ height=»44 src=»> (*)

П р и м е р.

Z=ln(u2+v), u=ex+y
²
,
v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif» width=»81″ height=»41 src=»>.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif» width=»97″ height=»44 src=»>.gif» width=»45″ height=»44 src=»>.

Тогда по формуле (*) получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif» width=»219″ height=»44 src=»>.

Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.

Случай 2.

Функции х и у непрерывные функции.

Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не незави­симые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную http://pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif» width=»235″ height=»44 src=»>

Разделим обе части этого равенства на Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif» width=»145″ height=»44 src=»> (**)

Случай 3.

Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от неза­висимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.

Принимая во внима­ние, что http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif» width=»120″ height=»44 src=»> (***)

Производная x(x, у)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif» width=»27″ height=»27 src=»>, y=sin x.

Находим частные производные

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif» width=»72″ height=»48 src=»>.gif» width=»383″ height=»48 src=»>

Доказанное правило дифференцирования сложных функций при­меняется для нахождения производной, неявной функции.

Производная от функции, заданной неявно.

Положим, что уравнение

определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную

у’ = φ’(x)_

Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).

Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим

F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif» width=»64″ height=»41 src=»>

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif» width=»20″ height=»24″> справедливо как для одной, так и для другой функции.

5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Подставим выражения для http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif» width=»23″ height=»41 src=»> определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала

Gif» width=»33″ height=»19 src=»>.gif» width=»33″ height=»19 src=»>.gif» width=»140″ height=»44 src=»>

Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif» width=»139″ height=»41 src=»>

Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.

Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.

П р и м е р.

Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции

z=u2v3, u=x2·sin y
, v=x3·ey.

Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем

dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =

2uv3·(2x·siny
·dx+x2·cosy
·dy)+3u2v2·(3×2·ey·dx+x3·ey·dy).

Это выражение можно переписать так

dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3×2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=

Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg» width=»409″ height=»46 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif» width=»60″ height=»41 src=»>. Эта

функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg» width=»229″ height=»47 src=»>

суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1)..jpg» width=»36″ height=»15″>. Действительно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg» width=»363″ height=»29 src=»>

Полагая t=1, находим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg» width=»95″ height=»22 src=»>

Частные производные http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg» width=»77″ height=»30 src=»>), вообще го-

воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных про­изводных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:

есть производная n — го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n — р раз по у.

Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.

П
р
и
м
е
р 1.
Вычислить частные производные второго порядка от функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg» width=»600″ height=»87 src=»>

П р и м е р 2.
Вычислить и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg» width=»520″ height=»97 src=»>

П р и м е р 3.
Вычислить , если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg» width=»129″ height=»36 src=»>

x, f»y, f»xy и f»yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg» width=»50 height=28″ height=»28″>.jpg» width=»523″ height=»128 src=»>

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg» width=»130″ height=»30 src=»>

Решение.

Смешанные производные равны.

5.10. Дифференциалы высших порядков функции
n
переменных
.

Полный дифференциал du
функции от нескольких переменных есть в свою очередь функ­ция тех же переменных, и мы можем определить полный дифферен­циал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифферен­циал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.

Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух пере­менных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg» width=»463″ height=»186 src=»>

Вычисляя точно так же d3u, мы получим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg» width=»347″ height=»61 src=»> (*)-

причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg» width=»22″ height=»21 src=»>.gif» width=»22″ height=»27″> с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При перехо­де от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит пол­ное приращение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg» width=»133 height=27″ height=»27″> стремящемся к нулю (см. рис.).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg» width=»324″ height=»54 src=»>

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif» width=»76″ height=»41 src=»>, а потому получаем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif» width=»24″ height=»41 src=»> при Δs->0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg» width=»227″ height=»51 src=»> (*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р.
Найти производную функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg» width=»287″ height=»56 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg» width=»227″ height=»59 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif» width=»253 height=62″ height=»62″>

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

5.
12
.
Градиент

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg» width=»205″ height=»56 src=»>

т. е..jpg» width=»89″ height=»33 src=»>

в точке М(3;4).

Р е ш е н и е.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg» width=»213″ height=»56 src=»>

Уровни поддержки и сопротивления — это ценовые области на графике, на которых цена когда-либо меняла свое направление. Данное место всегда привлекает трейдеров, потому что возле уровней очевидны места для постановки стоп-лоссов и входов в сделку. Также возле уровней всегда находятся лимитные ордера крупных покупателей или продавцов.

Можно сказать, что уровень — это ценовая область на рынке, на которой трейдеры считают цену завышенной или заниженной в зависимости от текущей динамики рынка. Поэтому всегда важно обращать внимание на ключевые уровни, на которых поддержка и сопротивление поменялись ролями или произошел сильный отскок цены.

Умение правильно рисовать уровни поддержки и сопротивления является одним из базовых навыков, которым должен обладать каждый трейдер. Уровни также являются основой для торговых стратегий и правильного соотношения риска к прибыли.

Почему формируются уровни поддержки и сопротивления?

Чтобы понять, почему формируются уровни, мы должны обратиться к кривой спроса и предложения.

Обратите внимание, как на кривой предложения количество единиц для продажи увеличивается с ростом цены. Чтобы выразить это в терминах трейдинга — чем выше цена, тем больше трейдеров хотят продать свои позиции.

Кривая спроса, с другой стороны, полностью противоположна. По мере увеличения цены количество единиц на продажу уменьшается. Трейдеры менее охотно совершают покупки по более высоким ценам.

Мы можем обозначить уровни поддержки и сопротивления как место на рынке, на котором трейдеры более охотно покупают или продают в зависимости от текущих рыночных условий. Это создает зону столкновения покупателей и продавцов, которая часто заставляет рынок изменить свое направление.

Что из себя представляют уровни?

Уровень поддержки — область на графике с потенциальной силой покупателей.

Уровень сопротивления — область на графике с потенциальной силой продавцов.

Когда цена пробивает уровень поддержки, поддержка становится сопротивлением.

И наоборот, если цена пробивает уровень сопротивления, сопротивление становится поддержкой.

На более высоких таймфреймах уровни поддержки и сопротивления обретают большую силу.

Важно обращать на характер движения цены от уровня:

• Если цена сразу же развернулась от уровня в противоположный тренд, значит данный уровень можно считать значительным.
• Если цена несколько раз тестирует определенную область, делая небольшой откат, скорее всего, данный уровень будет впоследствии пробит.

Свинг-зоны — это места возврата цены к предыдущему откату в нисходящем или восходящем тренде. Если тренд не очень сильный, цена обычно имеет свойство возвращаться к границе предыдущей коррекции, чтобы затем продолжить свое движение.

Как проводить уровни на графике?

Уровни поддержки и сопротивления – это не линии на графике, а области или зоны. Не нужно стараться их рисовать точно по теням или телам свечей.

Стремитесь к достижению максимально возможного количества касаний цены уровней. Обычно это потребует от вас перемещения уровня вверх и вниз, пока вы не найдете место, где рынок будет касаться данного уровня максимальное количество раз.

Не нужно далеко отматывать график, чтобы отметить все важные уровни. Чаще всего трейдеры смотрят только на текущий экран монитора. Поэтому 100-150 свечей будет достаточно. Большинство уровней, которые вам понадобятся, будут основаны на движение цены в течение последних шести месяцев.

Сосредоточьтесь на ключевых уровнях, которые сразу видны. Не рисуйте слишком много уровней на графике. Старайтесь оставлять только главные и отбрасывать второстепенные. Если вы обнаружите, что тратите слишком много энергии на поиск уровней, вероятно, вы рисуете больше уровней, чем вам действительно нужно.

Обращайте внимание на подтверждение ценой уровней

Умение правильно проводить уровни поддержки и сопротивления графиках напрямую связано с вашим успехом в трейдинге. Попытка торговать без уровней — это все равно что пытаться вести машину с закрытыми глазами. Это всего лишь вопрос времени, прежде чем вы попадете в аварию.

Любое движение цены на уровне сигнализирует об увеличении спроса или предложения. Цена наглядно отражается в паттернах прайс экшен, которые информируют нас о вероятности удержания уровня. Возьмем для примера пин бар:

Пин бар на уровне говорит нам, что данный ключевой уровень поддержки пользуется большим спросом. Это прекрасный пример подтверждения уровня сигналом прайс экшен.

Рассмотрим следующий пример:

Обратите внимание на фигуру треугольник, за которой следуют три уровня поддержки. Следует отметить, что данные уровни были нарисованы до момента пробоя треугольника. Определение ключевых уровней поддержки и сопротивления всегда должно быть для вас главной задачей, когда вы открываете новый график.

Далее мы видим медвежье движение цены, которое предоставило нам сигнал к открытию короткой позиции:

Цена подтвердила ключевой уровень поддержки, с которого началось формирование треугольника. Это отличное место для постановки тейк-профита при торговле на пробой.

График ниже показывает, как цена реагирует на ключевые уровни:

То, что вы видите выше, является сердцем и душой торговли по прайс экшен. Для успеха в трейдинге недостаточно просто находить пин бары или внутренние бары. Важно читать действие цены на ключевых уровнях.

Поэтому недостаточно просто провести уровень. Рынок должен подтвердить уровни, которые вы отметили. Иначе вы будете торговать то, что хотите видеть, а не то что на самом деле происходит на рынке. Конечно, рынок не всегда будет тестировать ваши уровни. И это нормально. Не бойтесь постоянно корректировать свои уровни. Рынок — отличный учитель, и он всегда готов показать вам, насколько точны ваши уровни.

Недостаточно просто увидеть сигнал на покупку или продажу. Мы должны использовать подсказки, которые дает нам рынок, чтобы получить статистическое преимущество и защитить свой капитал. Эти подсказки мы получаем через наблюдение за тем, как рынок реагирует на проведенные нами уровни поддержки и сопротивления.

Как избежать ошибок в построении уровней?

У каждого трейдера существует свой метод для рисования уровней поддержки и сопротивления. Однако не всегда уровни проводятся точно. Часть этих проблем связана с неправильным пониманием уровней, так как нет ничего более субъективного в техническом анализе, чем рисование уровней поддержки и сопротивления.

Иногда требуются годы, чтобы натренировать свой взгляд на определение истинных уровней поддержки и сопротивления, которые являются основой любой прибыльной торговой стратегии. Но это нормально. Ваша цель должна состоять не в том, чтобы с первого раза провести идеальные уровни. Вы должны стараться отмечать уровни наилучшим образом, оставаясь при этом непредубежденным в своем анализе. Всегда допускайте возможность ошибиться. Никогда не стоит быть слишком убежденным в своей правоте.

Вот пример, где я совершил ошибку насчет ключевого уровня поддержки. Первоначально я использовал уровень, проведенный через минимумы цены.

Неудивительно, почему я провел этот уровень: цена неоднократно тестировала отмеченную область в качестве поддержки. Однако несколько недель спустя цена решила повторно протестировать уровень 1.5465 в качестве сопротивления. Когда закрылась свеча тестирования, я понял, что данный уровень необходимо откорректировать.

Рынок закрылся выше зоны 1.5465. Однако вместо того, чтобы на следующий день рассматривать данный уровень в качестве области сопротивления, он закрылся на 17 пунктов ниже.

Хотя данное поведение цены было объяснить как ложный пробой, непоследовательное движение цены стало для меня достаточной причиной, чтобы поставить под сомнение обоснованность данного уровня. Таким образом, я начал его перемещать, чтобы увидеть, действительно ли рынок пытается мне что-то сказать.

Уровень 1.5475 показался мне более подходящим, учитывая ценовое движение в течение последних нескольких месяцев. Хотя разница составила всего 10 пунктов, я почувствовал себя намного комфортней, использовав новый уровень.

Одна из самых опасных ошибок — это ваша излишняя уверенность в надежности проведенных уровней. Вы всегда должны обращать внимание на последние действия рынка, которые либо подтверждают, либо опровергают текущие уровни. Рынок динамичен, он постоянно меняется. Это особенно актуально для рынка форекс, поскольку он открыт 24 часа в сутки.

Рисование уровней поддержки и сопротивления всегда субъективно. Если у вас отмечены наиболее точные уровни, вы с большей вероятностью окажетесь правы в своем прогнозе. Определение точек входа в рынок, постановка стоп-лоссов и целей по взятию прибыли также являются субъективными, однако эти вещи в значительной степени зависят от проведенных уровней.

Уверенность — это ключевой фактор для того, чтобы быть успешным трейдером, но когда уверенность превращается в упрямство, у вас могут возникнуть серьезные проблемы. Будьте гибкими, а не упрямыми. Старайтесь отмечать уровни наиболее точно, всегда учитывая движение цены. Вы можете ошибиться на 5 или даже 50 пунктов, но рынок всегда сообщит вам об этом, если вы будете оставаться открытым к его сигналам.

Не стоит слишком увлекаться перестановкой уровней. Иногда начинающие трейдеры пытаются двигать уровни для того, чтобы найти подходящий для торговли сигнал прайс экшен. К примеру, они сдвигают уровень к пин бару, чтобы открыть по нему сделку.

На графике ниже показано, как уровень поддержки был перемещен к хвосту пин-бара, однако этот уровень совсем не отражает прежние максимумы свечей. Как и ожидалось, бычий пин-бар не оправдывает себя.

Хвост пин бара подсказывает нам, где находится уровень спроса или предложения на рынке. Но этот тип сигнала действителен только в том случае, если он возникает на ключевом уровне поддержки либо сопротивления.

Уровни поддержки и сопротивления и таймфреймы

Попытаемся разобраться во взаимосвязи между ключевыми уровнями и таймфреймами.

Возможно, вы заметили, что уровни не всегда хорошо воспроизводятся на нескольких таймфреймах. Например, уровень может хорошо выглядеть на дневном графике, но на четырехчасовом графике уровень уже оказывается пробитым.

Обратите внимание, как хорошо соблюдается этот уровень на дневном графике. Все тела свечей в выделенных областях находятся выше или ниже ключевого уровня без перекрытия.

Теперь давайте посмотрим на тот же самый уровень на четырехчасовом таймфрейме:

Четырехчасовой график выше показывает повторное тестирование этого ключевого уровня в качестве новой поддержки. Обратите внимание, что тело свечи закрылось ниже уровня.

На первый взгляд, это похоже на пробой уровня, который может привести к падению цены. Но это не так. Почему? Потому что рынок заинтересован в поддержке этого уровня только на дневном таймфрейме, а не на четырехчасовом.

Сравним эти два таймфрейма бок о бок. Уровень представляет одинаковую цену на обоих графиках:

Тот факт, что на более низком таймфрейе случился ложный пробой говорит нам о том, что рынок заинтересован в удержании данного уровня только на дневном графике. Это означает, что мы должны торговать по данному уровню не ниже дневного таймфрейма.

Построение уровней поддержки и сопротивления на дневных графиках

Поговорим про построение уровней поддержки и сопротивления на дневных графиках. Если вы считаете, что в этом нет ничего принципиально нового, и все уровни на всех временных интервалах устанавливаются одинаково, то вы глубоко заблуждаетесь.

Если вы достаточно давно торгуете по прайс экшен, то вы уже знаете, что дневные свечи несут в себе куда больший объём информации, чем свечи на Н1. Если мы будем принимать каждую свечу как историю сражения быков и медведей, то общая картина будет лучше видна на большем периоде, так как мы видим, где началась атака тех или иных сил.

Свечу на Н1 можно сравнить с маленькой крепостью, захват которой не может нам показать силы атакующих и защищающихся. А свеча на D1 является областным городом, захват которого может сыграть решающую роль в общем исходе войны.

Если мы примем тот факт, что дневные свечи действительно несут в себе больше информации, то для нас должен быть важен каждый шип, так как его кончик является точкой перевеса тех или иных сил.

На графике отмечено два уровня, синяя пунктирная линия — это уровень по ценам закрытия и открытия, а красная пунктирная линия — это уровень по шипу.

Синяя линия нещадно пробивалась во все стороны, рынок не уважал её, так как она говорит нам лишь о том месте, куда удалось добраться медведям. Посмотрите на уровень от шипа. Как мы можем видеть, рынок сделал от него существенный отскок вверх, после чего пробил его, скорректировался к нему и двинулся вниз. Всё потому, что шип является точкой перевеса сил, ведь именно в этой точке быки начали атаковать медведей, а это говорит нам о том, что в этом месте очень много покупателей.

Но всё же есть некоторые момент, которые стоит учитывать при построении уровней:

Рынок должен иметь чёткое направление

Цена не может находиться в консолидации, или в небольшом диапазоне, так как это не позволит определить второй пункт.

Локальный максимум или минимум

Именно эта точка должна являться локальным максимумом или минимумом. Другими словами, если у нас есть большой выделяющийся шип, то мы должны подождать закрытия следующей свечи. Если другая свеча перекроет шип, то мы будем считать уровень неудавшимся.

В первом примере предыдущая свеча перекрывает шип, что не позволяет нам правильно выставить уровень. Во втором примере, следующая свеча перекрыла шип, что указывает нам на слабость медведей.

Рынок постоянно движется и при этом он останавливается на перерывы. Именно эти моменты остановки мы и будем использовать для выявления наилучших уровней поддержки и сопротивления, так как нам важна последняя информация о расположении сил быков и медведей.

Отмеченные места являются точками остановки цены, но как мы можем заметить, не все они указывали бы нам на хорошее месторасположение сильного и качественного уровня. Поэтому, необходимо ввести своеобразный фильтр, который помог бы нам выбирать только лучшие места.

Последние события + проверка историей = хороший уровень.

Красным цветом отмечены те точки, где цена делала недавние остановки. Эти места и являются последними событиями рынка. Далее мы проводим уровни по этим точкам, и ищем от них отскоки. Если они есть, и цена редко пробивала эту зону, то мы выявим качественный уровень. Если у нас нет никаких отскоков цены от уровня, то лучше проигнорировать эту точку, и ждать её подтверждения в будущем.

Почему последние события настолько важны?

Дело в том, что рынок постоянно находится в движении из-за того, что быки и медведи поочерёдно берут над ним контроль, а те точки, где случаются эти развороты цены, могут давать нам информацию о месте расположения тех или иных сил.

Цена может остановиться по двум причинам, первая всем известна — рынок встретил сильное сопротивления.

Вторая причина заключается в том, что атакующая сторона просто закрыла свои ордера по тейк-профиту, что создало перевес сил и рынок двинулся в обратную сторону. Другими словами, не было никакого сильного сопротивления, просто участников атаки стало меньше. Осталось лишь сделать логическое заключение — если рынок остановился в определённом месте из-за закрытия сделок по тейк-профиту, то мы не можем считать эту точку основой для построения уровней поддержки и сопротивления.

А как узнать, что именно в этом месте закрывались ордера по тейк-профиту?

Вспоминаем нашу формулу: последние события + проверка историей = хороший уровень.

Как использовать уровни поддержки и сопротивления в трейдинге?

Уровень — это место для возможного входа в сделку. Если на уровне появился дополнительный подтверждающий сигнал, можно задуматься об открытии позиции. По уровням ставятся стоп-лоссы и определяются возможные цели для фиксации прибыли.

В книгах по техническому анализу и в интернете часто можно прочесть, что чем чаще цена тестирует уровень, тем он сильнее. Но это грубая ошибка. На самом деле, чем больше цена касается уровня, тем он становится слабее.

Представим, что у нас есть уровень поддержки. Цена отскакивает от этого уровня, потому что на рынке присутствуют покупатели. Если цена часто возвращается к уровню — это означает, что приказы на покупку постепенно исполняются. А когда они будут целиком исполнены, кто тогда будет покупать? Поэтому когда покупателей совсем не останется, цена пробивает уровень.

Также очень важно наблюдать за размерами свечей, на которых цена приближалась к уровню. Если свечи были большими, цена скорее всего отскочит от уровня. Если свечи были маленькими и постепенно подтягивались к уровню, образуя фигуру треугольник, скорее всего, случится пробой уровня.

Важно не забывать, что уровни поддержки и сопротивления — это прежде всего зоны, а не точные линии на графике. Иначе вы можете столкнуться с двумя проблемами в вашем трейдинге: цена не доходит до уровня и заходит за него.

Когда рынок приближается к уровню достаточно близко, но не задевает его, вы можете пропустить сделку, потому что вы ожидали появления торгового сетапа точно на выбранном вами уровне.

В ситуации, когда цена заходит за уровень, вы думаете, что случился пробой уровня и пытаетесь торговать пробой. Но это часто оказывается ложным пробоем.

Как решить эти две проблемы? Очень просто. Всегда относитесь к поддержке и сопротивлению как к зонам на вашем графике, а не точным линиям.

Существуют две группы трейдеров:

• Трейдеры, которые бояться упустить сделку.
• Трейдеры, которые хотят войти в рынок по максимально выгодной цене.

Трейдеры, которые боятся упустить сделку, входят в рынок в тот момент, когда цена приближается к уровню. И если таких трейдеров будет много, рынок поменяет свое направление именно в этом месте.

С другой стороны, есть трейдеры, которые хотят получить максимально выгодную цену, поэтому они размещают свои ордеры на небольшом расстоянии от уровня. Если таких трейдеров станет большинство, а трейдеров, боящихся упустить сделку меньшинство, цена пробьет уровень и только затем изменит свое направление.

Вы никогда не можете знать, какая группа трейдеров будет преобладать в данное время на рынке. Поэтому не забывайте, что уровни поддержки и сопротивления — это именно области на графике.

Как выставлять стоп-лосс при торговле от уровней?

Никогда не ставьте свои стопы точно на уровнях или на небольшом расстоянии от них. Потому что маркет-мейкеры всегда будут охотиться за вашими стопами.

Как можно избежать подобных ситуаций?

Во-первых, вы можете использовать индикатор ATR и выставить стоп на расстоянии ATR от уровня, прибавив сюда размер спреда. Во-вторых, вы можете выходить из сделки только в случае, если цена уверенно закроется за уровнем.

Чаще всего настоящее движение на рынке начинается только после того, как маркет-мейкеры наберут максимум ликвидности за счет сбора стоп-лоссов большинства трейдеров.

Не открывайте своих позиций, когда цена находится между уровнями

Серьезная ошибка многих трейдеров заключается в том, что они входят в рынок в момент, когда цена находится далеко от уровня. Такие входы требуют гораздо большего стоп-лосса, и следовательно, соотношение риска к прибыли оказывается неоптимальным.

Но если вы позволите цене приблизиться к уровню, тогда ваш стоп-лосс не будет таким большим.

Как узнать, что случится пробой уровня?

Как мы уже знаем, поддержка — это область с потенциальным давлением покупателей. Следовательно, при приближении цены к уровню поддержки, она должна развернуться в противоположный тренд. Но что если этого не происходит, и цена начинает консолидироваться на уровне поддержки?

Это признак слабости, поскольку быки не могут решительно протолкнуть цену наверх. Или же на рынке присутствует сильное давление продавцов. В любом случае, данная ситуация не выглядит оптимистично для быков, и поддержка, вероятно, не сможет устоять.

Торговая стратегия для торговли по уровням

Уровни поддержки и сопротивления привлекают к себе много внимания со стороны многих трейдеров. Кто-то из них будет торговать пробой, а кто-то разворот. Поэтому неизбежно какая-то часть трейдеров потеряет свои деньги.

Отметьте области поддержки и сопротивления на графике:

Подождите, пока цена достигнет уровня направленным движением:

Ожидайте отката цены от уровня:

Входите на следующей свече после отката, выставив стоп-лосс за свечой, которая пробила уровень:

Забирайте прибыль на ближайшем уровне:

Вы должны понимать, что данная торговая стратегия не является граалем, который постоянно будет себя отрабатывать. У вас будут прибыльные и убыточные сделки. И единственное, что удержит вас от потери своего депозита — это правильное управление рисками.

Уровни поддержки и сопротивления: особенности и нюансы

Проведем небольшой тест по вашему пониманию уровней поддержки и сопротивления:

• Чем чаще тестируется поддержка и сопротивление в течение короткого периода времени, тем сильнее они становятся. (Верно / Неверно)
• Вы должны установить свой стоп-лосс ниже поддержки и выше сопротивления, чтобы он не был задет ценой. (Верно / Неверно)
• Вы должны открывать позиции рядом с поддержкой, потому что она предлагает благоприятное соотношение риска к прибыли для ваших сделок. (Верно / Неверно)

Давайте теперь разберем эти вопросы более подробно.

Чем чаще тестируются поддержка и сопротивление в течение короткого периода, тем слабее они становятся

В большинстве статей по трейдингу вы прочтете, что чем чаще тестируются поддержка и сопротивление, тем сильнее они становятся. Но это неправда, потому что чем большее количество раз тестируются поддержка и сопротивление, особенно в течение короткого периода времени, тем слабее они становятся. И вот почему.

Поддержка существует, потому что существует потенциальное давление покупателей вокруг определенного уровня цен. Этим давлением покупателей могут быть институциональные инвесторы, розничные трейдеры, умные деньги и т. д. Так что же происходит, когда цена тестирует определенный уровень несколько раз? Постепенно все ордера исполняются.

В конце концов, когда все эти ордера будут исполнены, покупать уже будет некому, и вот тогда поддержка ломается. Это означает, что чем чаще тестируются поддержка и сопротивление особенно в течение короткого периода, тем слабее они становятся. Почему я пишу про короткий период? Потому что вряд ли новые ордера будут появляться настолько быстро.

Многолетний максимум является значительным уровнем, на который следует обратить внимание

Вот несколько причин, почему так происходит.

Трейдеры в убыточных позициях надеются выйти в безубыток

Многолетние максимумы представляют собой крайний оптимизм на рынках, поскольку большинство трейдеров и инвесторов получают прибыль. Но, как вы знаете, цена не может расти вечно. В конце концов, она должна остановиться или полностью изменить свое направление. Когда это происходит, многие трейдеры закрывают свои длинные позиции.

Однако не все трейдеры будут делать то же самое. Некоторые будут продолжать оставаться в рынке, надеясь, что цена может пробиться выше, что принесет им еще большую прибыль.

Но когда рынок упадет еще ниже, они пожалеют, что не продали раньше, поскольку теперь они несут убытки. Они надеются, что рынок сможет повторно протестировать максимумы, чтобы они могли выйти из своих сделок в безубыток.

Медвежьи трейдеры хотят шортят рынок

Для медвежьих трейдеров многолетние максимумы дают возможность шортить рынок по «высокой цене», потому что они могут использовать максимумы для установки своего стоп-лосса. Поэтому, когда цена приближается к многолетним максимумам, интерес со стороны медвежьих трейдеров возрастет.

Импульсные трейдеры входят в рынок на пробой

Импульсные трейдеры покупают на пробой, когда цена поднимается выше определенного уровня. Это могут быть пробои диапазона, свинг-зоны, уровни сопротивления и т. д.

Если цена выйдет за пределы многолетних максимумов, это привлечет внимание трейдеров на разных таймфреймах.

Это происходит потому, что независимо от того, являетесь ли вы дейтрейдером, свинг-трейдером, долгосрочным трейдером многолетние максимумы будут видны на вашем таймфрейме и графиках независимо от того, настроены ли вы на повышение или понижение рынка.

Если вы настроены по медвежьи, то можете использовать его, чтобы выставить стоп-лосс выше максимума. Если вы настроены по-бычьи, то вы можете покупать на пробое и ставить стопы ниже предыдущих многолетних максимумов.

Поддержка и сопротивление — это области на вашем графике, а не линии

Поделюсь с вами своей историей. В мои первые дни трейдинга я привык думать, что мои уровни поддержки и сопротивления являются лучшими, и рынок будет уважать их до каждого пункта. Но мне не потребовалось много времени, чтобы понять, что мои уровни поддержки и сопротивления продолжают нарушаться, и я считал, что происходит их пробой.

Поэтому я торговал пробой. Она часто цена быстро совершала разворот в противоположном направлении, и мои позици закрывались по стопам. Я смотрел на графики и спрашивал себя: «Что, черт возьми, пошло не так?» И вот тогда у меня произошло озарение. Я понял, что поддержка и сопротивление — это не линии, а области на моем графике. Вот почему …

Обычно на рынке есть две группы трейдеров:

Трейдеры со страхом пропустить позицию открывают в свои сделки, когда цена приближается к уровню поддержки. И если будет достаточно давления покупателей, рынок в этом месте развернется.

С другой стороны, некоторые трейдеры хотят получить наилучшую цену, поэтому они размещают ордера на минимумах поддержки. И если это сделает достаточно трейдеров, рынок развернется около минимумов поддержки.

Однако вы никогда не знаете, какая группа трейдеров будет контролировать ситуацию в данный момент. Таким образом, поддержка и сопротивление — это области на вашем графике, а не линии.

Уровни поддержки и сопротивления представляют собой значимую область на ваших графиках

Вы можете быть удивлены: «Какая разница между ценой и стоимостью?»

Цена — это то, что вы платите, ценность — это то, что вы получаете. Если вы идете в супермаркет и покупаете 1 яблоко за 1 доллар, это цена, которую вы платите. И ценность, которую вы получаете, — это яблоко, которое вы можете съесть немедленно, не выращивая яблони и не собирая фрукты самостоятельно.

Другими словами, цена, которую вы платите, должна быть «дешевле», чем стоимость, которую вы получаете, иначе транзакция не будет иметь смысла. Какое это имеет отношение к трейдингу?

Ну, вы можете открывать свои сделки на любом случайном уровне цен на графике, но это не значит, что вы получите прибыль. Точно так же, как то, что вы не получаете большую ценность, когда платите 50 долларов за яблоко.

Как мне найти значимые области? Это не обязательно могут быть уровни поддержки и сопротивления. Часто это области, где потенциальное давление покупателей может подтолкнуть цену вверх, например, к уровню поддержки.

Также не гарантируется, что поддержка будет удерживаться, но если это произойдет, то вскоре произойдет возврат цены вверх и она вернется к «справедливой стоимости».

Вы также можете использовать линии тренда, скользящие средние и т. д.

Когда цена ломает поддержку, она может стать сопротивлением

Есть две причины для этого.

Убыточные трейдеры надеются выйти в безубыток

Поддержка — это область, в которую может вмешаться потенциальное давление покупателей и толкнуть цену вверх. Однако поддержка не может быть постоянной.

Когда она ломается, трейдеры, у которых есть длинные длинные позиции, будут сидеть в минусе. Умные трейдеры будут сокращать свои убытки и двигаться дальше. Но упрямые трейдеры будут удерживать свои потери и надеяться, что цена вернется к своей цене входа, чтобы они могли выйти в безубыток.

Эта группа упрямых трейдеров создает давление на продажу по своей цене входа, когда они выходят из своих позиций, и, если таких трейдеров будет достаточно, поддержка становится сопротивлением.

Трейдеры, торгующие по правилам

Трейдеры, знакомые с классическим техническим анализом, будут искать уровни на продажу в области поддержки, поскольку это то, чему учат большинство учебников. И если вы получаете достаточно таких трейдеров, это оказывает давление на продажи в предыдущей области поддержки, которая теперь может стать сопротивлением.

Торговля возле поддержки и сопротивления предлагает благоприятное соотношение риска к прибыли

Посмотрите на следующий график:

Как видите, цена находится далеко от уровня поддержки. Это означает, что если вы хотите установить качественный стоп-лосс, он должен опуститься ниже уровня поддержки и находится далеко от вашей цены входа.

Далее, если вы посмотрите на график, вы заметите, что цена приближается к максимуму, где, вероятно, появится давление продавцов. Таким образом, если вы используете данный уровень в качестве целевой прибыли, вы можете определить свое потенциальное соотношение риска к прибыли, которое будет меньше 1 к 1.

Поэтому гораздо лучше открывать позиции на уровнях:

Как видите, цена сейчас намного ближе к поддержке. Используя тот же стоп-лосс и целевую прибыль, что и в предыдущем примере, ваше соотношение риска к прибыли было значительно улучшено.

Как избежать выноса стопов?

Представьте, что вы управляете хедж-фондом и хотите купить 1 миллион акций компании ABC. Вы знаете, что поддержка находится на уровне 100 долларов, а ABC в настоящее время торгуется на 110 долларов. Теперь, если бы вы купили акции ABC прямо сейчас, вы, вероятно, подтолкнули бы цену выше и сформировали бы позицию по средней цене 115 долларов, то есть на 5 долларов выше текущей цены.

Что мы можем сделать? Поскольку мы знаем, что 100 долларов — это область поддержки, скорее всего, под ней будет размещен кластер стоп-лоссов (от трейдеров, у которых открыты длинные позиции по акциям ABC). Таким образом, если бы вы могли подтолкнуть цену вниз, чтобы эти стопы сработали, на рынке появилось бы множество ордеров на продажу (поскольку покупатели станут закрывать убыточные позиции).

С учетом давления продавцов вы можете купить 1 миллион акций ABC у этих трейдеров, что даст вам лучшую среднюю цену.

Посмотрите на графики, и вы часто увидите, как рынок преодолевает минимумы поддержки, только чтобы впоследствии торговаться значительно выше.

Как можно избежаь данной ситуации? Установите ваш стоп-лосс на расстоянии от поддержки, чтобы дать ему некоторый буфер, чтобы ваш стоп-лосс не был выбит настолько просто. Для этого:

• Найдите уровень поддержки.
• Найдите текущее значение среднего истинного диапазона (ATR) и вычтите 1 ATR из поддержки.

Идея состоит в том, чтобы определить волатильность текущего рынка, а затем вычесть ее из минимумов поддержки. Таким образом, вы предоставляете своему стоп-лоссу буфер, основанный на текущей волатильности.

Как правильно рисовать уровни поддержки?

Вот мои 3 рекомендации напоследок:

• Уменьшите таймфрейм своих графиков, чтобы вы могли видеть большую картину.
• Нарисуйте наиболее очевидные уровни, которые, как правило, имеют самые сильные отскоки цены.
• Отрегулируйте свои уровни, чтобы получить максимальное количество касаний.

Найти уравнение и построить линии функций

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

• Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
• Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
• Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
• Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
• Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
• Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
• Наклонные асимптоты графика функции: Да
• Четность и нечетность функции: Да

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Функции нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть: z — переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D — область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

Аналогичным образом определяются функции многих переменных

П р и м е р 1. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на параболе у = х2, см. рисунок.

П р и м е р 2. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоско­сти, в которой абсцисса и ордината ка­ждой точки имеют одинаковые знаки, т. е. это часть плоскости, лежащая в пер­вом и третьем координатных углах, см. рисунок.

К числу функций нескольких переменных относятся производственные функции.

Производственными функциями называют функ­ции, представляющие зависимости величин объемов вы­пускаемой продукции от переменных величин затрат ре­сурсов.

Производственные функции применяются не только в микроэкономических, но и в макроэкономических рас­четах.

Простейшая производственная функция — функция зависимости объема произведенной работы V от объемов трудовых ресурсов R и вложенного в производство капи­тала К

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

является пространственным графиком, функции двух переменных.

Это некоторая поверхность.

Равенство z = f(x; у) называется уравнением этой по­верхности.

Функция двух переменных имеет наглядную геомет­рическую интерпретацию. Для функции числа перемен­ных n > 2 аналогом поверхности является гиперповерх­ность (n + 1) — мерного пространства, не имеющая геомет­рической интерпретации.

Линией уровня функции двух переменных z = f(x; у) называется линия f(x; у) = С (С = const) на плоскости хОу, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение С.

Линия уровня представляет собой сечение поверхности графика функции двух переменных z = f(x; у) плоскостью z = С.

Поверхностью уровня функции трех переменных

u = f(x; у; z) называется поверхность в R3 (трехмерном про­странстве), в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение f(x;y;z) = C (С = const).

П р и м е р. Найти и построить линии уровня функции

Решение.

Линии уровня z = С данной функции имеют уравнения

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

П р и м е р. Построить график функции и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется — ε — окрестностью точки А.

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х —> х0, у —> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) — А| 0 — постоянное число.

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных f(x;y) = f(M) при стремлении точки М к точке М0, если для любого ε >0 можно найти такое число г >0, что как только расстояние |М0М| 0.

Предел отношения при Δs—>0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

Переходя к этому пределу, получим

(*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

в точке М(1;0) в направлении, составляющем с Ох угол в 30°.

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

Связь между производной функции по направлению и градиентом этой функции осуществляется соотношени­ем

т. е. производная функции z = f(x;y) в данном направле­нии равна проекции градиента функции на направле­ние дифференцирования.

Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня данной функ­ции.

Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.

Линии и поверхности уровня

Содержание:

Линии и поверхности уровня

Понятие линии и поверхности уровня:

Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.

Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.

Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.

Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .

Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),

В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).

Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .

Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.

Поверхности второго порядка

Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a₁₁ x 2 + 2a₁₂ xy + a₂₂ y 2 + 2a₁₃ xz + 2a₂₃ yz + a₃₃ z 2 + 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0.

В зависимости от значений коэффициентов получают различные поверхности второго порядка.

Например:
1) — конус;

2) — полусфера;

Рис. 4.

3) — эллиптический параболоид;

Рис. 5.

4) — гиперболический параболоид;

рис.6

5) — трехосный эллипсоид.

Рис. 7.

Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C₁, y = C₂, z = C₃. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.

Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C₁ (C₁ ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C₁ (уравнение окружности). Положим y = C₂ , тогда — уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на единиц вверх по оси Oz. Положим x = C₃ , получим уравнение
Получили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на единиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.

Гиперповерхности уровня

Пусть задана функция от n переменных u = f (x₁, x₂, . x_n) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x₁, x₂, . x_n) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Если u = C, то уравнение является уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Построение линий уровня. Построить линии уровня функции

Определение
.
Пусть имеется п
переменных величин, и каждому набору
их значений (х
х
,
х
2
,…,
х
п
)
из некоторого множества
X

соответствует одно вполне определенное
значение переменной вели­чины
z
.
Тогда говорят, что задана функция
нескольких переменных
z
=
f
(х
х
,
х
2
,…,
х
п
)
.

Переменные х
х
,
х
2
,…,
х
п

называются независимыми
переменными
или
аргументами,
z

— зависимой
переменной,
а символ
f

означа­ет закон
соответствия.
Множество
X

называется областью
оп­ределения функции.
Очевидно,
это подмножество n-мерного
пространства.

Функцию двух переменных
обозначают z=f(x, у)
.
Тогда ее область определения X есть
подмножество ко­ординатной плоскости
Оху
.

Окрестностью точки

называется
круг, содержа­щий точку

(см.
рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный
аналог интерва­ла на прямой.

При изучении функций
нескольких переменных используется
математи­ческий аппарат: любой функции
z
=
f
(x
,
у)
можно по­ставить
в соответствие пару функций одной
переменной: при фиксированном значении
х=х
0

функцию z
=

и при фиксированном
значении у=у
0
функцию z
=
f
(x
,
у
0
).

Графиком функции двух
переменных
z
=

называется множе­ство
точек трехмерного пространства (х, у,
z), аппликата z

кото­рых связана с абсциссой х

и ординатой у

функциональным соот­ношением z
=
.

Для построения графика
функции z=f(x, у)

полезно рассмат­ривать функции одной
переменной z
=
f
(x
,
у
0
)
и z
=
,
пред­ставляющие сечения

графика z
=
f
(x
,
у)
плоскостями,
парал­лельными координатным плоскостям
Oxz
и
Oyz
,
т.е. плоскостями у=

у
0

и х=х
0
.

Пример 1. Построить график
функции

.

Решение. Сечения поверхности

=
плоскостями,
параллельными координатным плос­костямOyz

и Oxz
,
пред­ставляют параболы (на­пример,
при х = 0


,
при у = 1
и
т.д.). В се­чении поверхности кординатной
плоско­стьюОху
,
т.е. плоско­стью z=0
,
получается окружность

График
функции представляет поверх­ность,
называемую па­раболоидом (см. рис. 2)

Определение
.
Линией уровня

функции двух переменных z=f{x,
у)
называется множество
точек на плоскости, таких, что во всех
этих точках значение функции одно и то
же и равно С. Число С в этом случае
называется уровнем.

На рис.3 изображены линии
уровня, соответствую­щие значениям
С=1 и С=2. Как видно, линия уровня
состо­ит из двух непересекающихся
кривых. Линия– самопере­секающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо
известны и привычны. Например,
паралле­ли и меридианы на глобусе —
это линии уровня функций широты и
долготы. Синоптики публикуют карты с
изображе­нием изотерм — линий уровня
температуры.

Пример 2. Построить линии
уровня функции

.

Решение. Линия уровня z
=
C

это кривая на плоскости
Оху,
задаваемая
уравнением х
2

+ у
2

— 2у
= С
или х
2

+ (у —
I) 2
= С+1. Это уравнение окружности с центром
в точке (0; 1) и радиусом

(рис.
4).

Точка (0; 1) — это вырожденная
линия уровня, соответст­вующая
минимальному значению функции z
=-1
и достигаю­щемуся
в точке (0; 1). Линии уровня — концентрические
ок­ружности, радиус которых увеличивается
с ростом z
=
C
,
при­чем расстояния
между линиями с одинаковым шагом уровня
уменьшаются по мере удаления от центра.
Линии уровня по­зволяют представить
график данной функции, который был ранее
построен на рис. 2.

Частные производные

Дадим аргументу х
приращение ∆х,
аргументу у
—
приращение ∆у.
Тогда функция z

получит наращенное
значение f(х+∆х,
у+∆у).
Величина
∆
z
=
f
(x
+∆
x
,
y
+∆
y
)-
f
{
x
,
у)
называется полным
приращени­ем функции
в
точке (х; у).
Если
задать только приращение аргу­мента
x

или только приращение
аргумента у,
то
полученные при­ращения функции
соответственно
иназываютсячастными.

Полное приращение функции,
вообще говоря, не равно сумме частных,
т.е.

Пример 15.6.
Найти
частные и полное приращения функции
z
=
xy
.

Решение. ;;.

Получили, что

Определение.
Частной
производной функции несколь­ких
переменных

по
одной из этих переменных называется
предел отношения соответст­вующего
частного приращения функции к приращению
рас­сматриваемой независимой переменной
при стремлении последнего к нулю (если
этот предел существует).

Обозначается частная
производная так:

или
,
или
.

Для нахождения производной


надо
считать постоянной переменную у, а для
нахождения


—переменную х.
При
этом сохраняются известные правила
дифференцирова­ния.

Пример.
Найти
частные производные функции:

a)
z
=
x

ln
y
+

.

Решение: Чтобы найти частную
производную по х,
считаем у
постоянной величиной.
Таким образом,

.
Аналогично, дифференцируя
по у,
считаем
х
постоянной
величиной, т.е
.

Дифференциал функции

Определение.
Дифференциалом
функции

называется
сумма про­изведений частных производных
этой функции на приращения соот­ветствующих
независимых переменных,
т.е.

dz
=
.
(1)

Учитывая, что для функций
f(х,
у)=х,
g
(x
,
у)=у
согласно (1)
df
=
dx
=∆
x
;
dg
=
dy
=∆
y

формулу дифференциала
(1) можно запи­сать в виде dz
=
z
»
x

dx
+
z
»
y

dy

(2)
или

Определение.
Функция
z
=
f
(x
,
у) называется
дифференцируемой

в точке (х, у), если
ее полное приращение может быть
представлено в виде
(3),

где
dz

— дифференциал
функции,
–
,бесконечно малые при
.

Достаточное
условие
дифферен­цируемости функции двух
переменных.

Теорема.
Если
частные производные функции
z
»
v

(x
,
у) существу­ют в окрестности точки
(х, у) и непрерывны в самой точке (х, у),
то функция
z
=
f
{
x
,
у) дифференцируема в этой точке.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть: z — переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D — область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Другими словами:

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg» width=»215″ height=»32 src=»>

П р и м е р 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg» width=»157″ height=»29 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg» align=»left» width=»110″ height=»89″>

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3.
Найти и изобразить область определения функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg» width=»86″ height=»32 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg» width=»147″ height=»30 src=»>

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg» width=»106″ height=»23 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg» width=»159″ height=»23 src=»>

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif» width=»88″ height=»29″> и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif» width=»184 height=60″ height=»60″>– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif» width=»43″ height=»24 src=»>– окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием

между двумя произвольными точками
и (евклидова) пространства называется число

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif» width=»153 height=24″ height=»24″> называется открытым кругом

радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется —
ε — окрестностью

точки А.

3адание

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х -> х0, у -> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) — А| < ε , как только

|x — x0| < δ и |у – у0| < δ.

Этот факт обозначается так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg» width=»160″ height=»39 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif» width=»20″ height=»25 src=»>. Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

П р и м е р 1.
Найти .

Решение.
Пусть стремление к предельной точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif» width=»55 height=24″ height=»24″>. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif» width=»72 height=48″ height=»48″> зависит от .

П р и м е р 2.
Найти .

Решение.
По любой прямой предел один и тот же:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif» width=»57″ height=»29″>. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif» width=»64″ height=»21″>, (остальное – по аналогии).

О п р е д е л е н и е.
Число называют пределом
функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif» width=»124″ height=»48″>.gif» width=»236″ height=»48 src=»>;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif» width=»247″ height=»60 src=»>,

где предельная точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif» width=»85″ height=»24 src=»> с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х
и у
.

О п р е д е л е н и е 1.
Говорят, что функция непрерывна в точке, если:

1) ;

2) , т. е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме..gif» width=»89″ height=»25 src=»>.gif» width=»85 height=24″ height=»24″>непрерывна в точке, если выполняется равенство

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif» width=»16″ height=»20 src=»>.gif» width=»15 height=16″ height=»16″> придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif» width=»35″ height=»25 src=»> является функцией одной переменной . Аналогично,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif» width=»85″ height=»24″> называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif» width=»101″ height=»36″>).

Теорема.
Если функция
определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

П р и м е р.
Докажем, что функция

непрерывна в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif» width=»15 height=16″ height=»16″>.gif» width=»57″ height=»24″> в точке , соответствующее приращению http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif» width=»15″ height=»16 src=»>:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif» width=»99″ height=»36 src=»>, а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif» width=»15″ height=»20″>, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg» width=»351″ height=»48 src=»>

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg» width=»389″ height=»55 src=»>

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif» width=»60″ height=»28 src=»>.

Решение
. Имеем:

,

П р и м е р 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg» width=»411″ height=»51 src=»>

П р и м е р 3.
Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg» width=»477″ height=»58 src=»>

Пример 4.
Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg» width=»321″ height=»54 src=»>

5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных

Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам х(x;y) и f»у{x;y) сущест­вуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и не­прерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного при­ращения функции двух переменных

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif» width=»364″ height=»57 src=»>

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif» width=»154″ height=»39 src=»>

Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции:

Выражение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg» width=»192″ height=»57 src=»>

С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif» width=»57″ height=»24 src=»> дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.

П р и м е р.
Найдем частные производные функции http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif» width=»253″ height=»57 src=»>.

Полученные формулы теряют смысл в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif» width=»147″ height=»33 src=»> не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif» width=»25″ height=»48″> в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке .

Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

Теорема 1.
Необходимое условие дифференцируемости.

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .

Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 2.
Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой http://pandia.ru/text/78/481/images/image130.gif» width=»101 height=29″ height=»29″>

Пример 2.
Вычислить 3,021,97

3адание

Вычислить приближенно при помощи дифференциа­ла:

5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.

Случай 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.

Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Поставим задачу вычислить http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif» width=»23″ height=»44 src=»>.

Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и

v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif» width=»293″ height=»43 src=»>

Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif» width=»147″ height=»44 src=»> (*)

П р и м е р.

Z=ln(u2+v), u=ex+y
²
,
v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif» width=»81″ height=»41 src=»>.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif» width=»97″ height=»44 src=»>.gif» width=»45″ height=»44 src=»>.

Тогда по формуле (*) получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif» width=»219″ height=»44 src=»>.

Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.

Случай 2.

Функции х и у непрерывные функции.

Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не незави­симые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную http://pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif» width=»235″ height=»44 src=»>

Разделим обе части этого равенства на Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif» width=»145″ height=»44 src=»> (**)

Случай 3.

Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от неза­висимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.

Принимая во внима­ние, что http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif» width=»120″ height=»44 src=»> (***)

Производная x(x, у)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif» width=»27″ height=»27 src=»>, y=sin x.

Находим частные производные

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif» width=»72″ height=»48 src=»>.gif» width=»383″ height=»48 src=»>

Доказанное правило дифференцирования сложных функций при­меняется для нахождения производной, неявной функции.

Производная от функции, заданной неявно.

Положим, что уравнение

определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную

у’ = φ’(x)_

Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).

Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим

F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif» width=»64″ height=»41 src=»>

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif» width=»20″ height=»24″> справедливо как для одной, так и для другой функции.

5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Подставим выражения для http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif» width=»23″ height=»41 src=»> определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала

Gif» width=»33″ height=»19 src=»>.gif» width=»33″ height=»19 src=»>.gif» width=»140″ height=»44 src=»>

Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif» width=»139″ height=»41 src=»>

Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.

Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.

П р и м е р.

Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции

z=u2v3, u=x2·sin y
, v=x3·ey.

Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем

dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =

2uv3·(2x·siny
·dx+x2·cosy
·dy)+3u2v2·(3×2·ey·dx+x3·ey·dy).

Это выражение можно переписать так

dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3×2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=

Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg» width=»409″ height=»46 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif» width=»60″ height=»41 src=»>. Эта

функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg» width=»229″ height=»47 src=»>

суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1)..jpg» width=»36″ height=»15″>. Действительно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg» width=»363″ height=»29 src=»>

Полагая t=1, находим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg» width=»95″ height=»22 src=»>

Частные производные http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg» width=»77″ height=»30 src=»>), вообще го-

воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных про­изводных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:

есть производная n — го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n — р раз по у.

Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.

П
р
и
м
е
р 1.
Вычислить частные производные второго порядка от функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg» width=»600″ height=»87 src=»>

П р и м е р 2.
Вычислить и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg» width=»520″ height=»97 src=»>

П р и м е р 3.
Вычислить , если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg» width=»129″ height=»36 src=»>

x, f»y, f»xy и f»yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg» width=»50 height=28″ height=»28″>.jpg» width=»523″ height=»128 src=»>

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg» width=»130″ height=»30 src=»>

Решение.

Смешанные производные равны.

5.10. Дифференциалы высших порядков функции
n
переменных
.

Полный дифференциал du
функции от нескольких переменных есть в свою очередь функ­ция тех же переменных, и мы можем определить полный дифферен­циал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифферен­циал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.

Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух пере­менных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg» width=»463″ height=»186 src=»>

Вычисляя точно так же d3u, мы получим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg» width=»347″ height=»61 src=»> (*)-

причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg» width=»22″ height=»21 src=»>.gif» width=»22″ height=»27″> с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При перехо­де от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит пол­ное приращение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg» width=»133 height=27″ height=»27″> стремящемся к нулю (см. рис.).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg» width=»324″ height=»54 src=»>

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif» width=»76″ height=»41 src=»>, а потому получаем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif» width=»24″ height=»41 src=»> при Δs->0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg» width=»227″ height=»51 src=»> (*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р.
Найти производную функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg» width=»287″ height=»56 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg» width=»227″ height=»59 src=»>

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif» width=»253 height=62″ height=»62″>

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

5.
12
.
Градиент

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg» width=»205″ height=»56 src=»>

т. е..jpg» width=»89″ height=»33 src=»>

в точке М(3;4).

Р е ш е н и е.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg» width=»213″ height=»56 src=»>

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО МАТАНАЛИЗУ

Функции
нескольких переменных. Геометрическое
изображение функции двух переменных.
Линии и поверхности уровня. Предел и
непрерывность функции нескольких
переменных, их свойства. Частные
производные, их свойства и геометрический
смысл.

Определение
1.1.
Переменная
z

(с областью
изменения Z
)
называется
функцией
двух независимых переменных

х,у

в множестве М
,
если каждой паре (х,у
)
из множества М
z

из Z
.

Определение 1.2.
Множество
М
,
в котором заданы переменные х,у,

называется областью
определения функции
,
а сами х,у

– ее аргументами
.

Обозначения: z

=
f
(x
,
y
),
z

=
z
(x
,
y
).

Примеры.

Замечание.

Так как пару чисел (х,у
)
можно считать координатами некоторой
точки на плоскости, будем впоследствии
использовать термин «точка» для пары
аргументов функции двух переменных, а
также для упорядоченного набора чисел

,
являющихся аргументами функции нескольких
переменных.

Определение 1.3.

.

Переменная z

(с областью
изменения Z
)
называется
функцией
нескольких независимых переменных


в множествеМ
,
если каждому набору чисел

из
множестваМ

по некоторому правилу или закону ставится
в соответствие одно определенное
значение z

из Z
.
Понятия
аргументов и области определения
вводятся так же, как для функции двух
переменных.

Обозначения: z

=
f

,z

=
z

.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию

z

=
f
(x
,
y
)
,
(1.1)

определенную в
некоторой области М

на плоскости Оху
.
Тогда множество точек трехмерного
пространства с координатами (x
,
y
,
z
)
,
где
,
является графиком функции двух переменных.
Поскольку уравнение (1.1) определяет
некоторую поверхность в трехмерном
пространстве, она и будет геометрическим
изображением рассматриваемой функции.

z
= f(x,y)

M

y

Замечание
.
Для функции трех и более переменных
будем пользоваться термином «поверхность
в n
-мерном
пространстве», хотя изобразить подобную
поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух
переменных, заданной уравнением (1.1),
можно рассмотреть множество точек (х,у)

плоскости Оху
,
для которых z

принимает
одно и то же постоянное значение, то
есть z

= const.
Эти точки образуют на плоскости линию,
называемую линией
уровня
.

Пример.

Найдем линии уровня
для поверхности z

=
4 – x
²
— y
².
Их уравнения имеют вид x
²
+ y
²
= 4 – c

(c
=const)
– уравнения концентрических окружностей
с центром в начале координат и с радиусами

.
Например, прис
=0
получаем окружность x
²
+ y
²
= 4 .

Для функции трех
переменных u

=
u

(x
,
y
,
z
)
уравнение
u

(x
,
y
,
z
)
=
c

определяет поверхность в трехмерном
пространстве, которую называют
поверхностью
уровня
.

Пример.

Для функции u

=
3x

+ 5y

– 7z

–12 поверхностями уровня будет семейство
параллельных плоскостей, задаваемых
уравнениями

3x

+ 5y

– 7z

–12 + с

= 0.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие
δ-окрестности

точки М
0
(х
0

, у
0
)

на плоскости Оху

как круга радиуса δ с центром в данной
точке. Аналогично можно определить
δ-окрестность в трехмерном пространстве
как шар радиуса δ с центром в точке М
0
(х
0
, у
0

,
z
0
)
.
Для n
-мерного
пространства будем называть δ-окрестностью
точки М
0
множество точек М
с координатами

,
удовлетворяющими условию

где

— координаты точкиМ
0 .
Иногда это множество называют «шаром»
в n
-мерном
пространстве.

Определение 1.4.

Число А называется пределом

функции нескольких переменных f

в
точкеМ
0 ,
если


такое, что |
f
(M
)
–
A
|
< ε для любой точки М

из δ-окрестности М
0 .

Обозначения:

.

Необходимо
учитывать, что при этом точка М

может приближаться к М
0 ,
условно говоря, по любой траектории
внутри δ-окрестности точки М
0 .
Поэтому следует отличать предел функции
нескольких переменных в общем смысле
от так называемых повторных
пределов
,
получаемых последовательными предельными
переходами по каждому аргументу в
отдельности.

Примеры.

Замечание
.
Можно доказать, что из существования
предела в данной точке в обычном смысле
и существования в этой точке пределов
по отдельным аргументам следует
существование и равенство повторных
пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5.
Функция f

называетсянепрерывной

в точке М
0
,
если
(1.2)

Если ввести
обозначения

То условие (1.2) можно переписать в форме

(1.3)

Определение 1.6.
Внутренняя
точка М
0

области
определения функции z

=
f

(M
)

называется точкой
разрыва

функции, если в этой точке не выполняются
условия (1.2), (1.3).

Замечание.

Множество точек разрыва может образовывать
на плоскости или в пространстве линии
или поверхности
разрыва
.

При обработке данных в предметных областях, связанных с научной деятельностью, часто возникает необходимость в построении и визуализации функции двух независимых переменных. Типичным примером является необходимость визуального представления результатов решения двумерных дифференциальных уравнений в частных производных, получаемых в виде так называемых сеточных функций.

Значения функции определены в углах четырехугольной ячейки. В каждой ячейке проверяется прохождение рассчитываемой линии уровня через ее грани и, при условии, что линия проходит через ячейку, вычисляются координаты пересечения линии уровня с гранями. Внутри ячейки линия проводится прямолинейным отрезком.

Исходный текст снабжен подробными комментариями.

Файл LinesLevels.cs:

Using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Windows;
namespace WpfLinesLevels
{
public class LinesOfLevels
{
private int J, K;
private double[,] X;
private double[,] Y;
private double[,] Z;
// Список изолиний
public List Lines { get; set; }
///

/// Подготовка
///

///

Массив уровней
///

Координаты X области
///

Координаты Y области
///

Сеточная функция
public LinesOfLevels(double _levels, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z)
{
Lines = new List

(_levels.Count());
foreach (double l in _levels)
{
Lines.Add(new LineLevel(l));
}
X = _x;
Y = _y;
Z = _z;
J = X.GetLength(0);
K = X.GetLength(1);
}
///
/// Расчет изолиний.
///
public void Calculate()
{
for (int j = 0; j < J — 1; j++)
for (int k = 0; k < K — 1; k++)
{
Ceil ir = new Ceil(j, k, X, Y, Z);
for (int l = 0; l < Lines.Count(); l++)
ir.AddIntoLineLevel(Lines[l]);
}
}
}
///
/// Одна изолиния
///
public class LineLevel
{
// Список точек изолинии в виде пар точек
// принадлежащих одной четырехугольной ячеейке
public ListPairs { get; set; }
// Уровень изолинии
public double Level { get; set; }
public LineLevel(double _level)
{
Level = _level;
Pairs = new List();
}
}
///
/// Пара точек изолинии, принадлежащая одной ячейке
///
public class PairOfPoints
{
public ListPoints { get; set; }
public PairOfPoints() { Points = new List(); }
}
///
/// Угол ячейки.
/// Индексы для определения одного угла четырехугольной ячейки
///
internal struct Dot
{
internal int j { get; set; }
internal int k { get; set; }
internal Dot(int _j, int _k) { j = _j; k = _k; }
}
///
/// Четырехугольная ячейка сетки. Определяет текущую ячейку.
/// Рассчитывает отрезки изолиний в ячейке
///
internal class Ceil
{
// Углы ячейки
private Dot d = new Dot;
// Координатные точки углов
private Point r = new Point;
// Массивы координат всей области
private double[,] X;
private double[,] Y;
// Массив сеточной функции
private double[,] Z;
///
/// Определение ячейки
/// Определяется левым нижним углом. Циклы перебора индексов должны быть на 1 меньше размерностей J,K массивов
///
/// j — индекс левого нижнего угла
/// k — индекс левого нижнего угла
/// Массив X
/// Массив Y
/// Массив сеточной функции Z
internal Ceil(int _j, int _k, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z)
{
d = new Dot(_j, _k);
d = new Dot(_j + 1, _k);
d = new Dot(_j + 1, _k + 1);
d = new Dot(_j, _k + 1);
X = _x;
Y = _y;
Z = _z;
r = dotPoint(d);
r = dotPoint(d);
r = dotPoint(d);
r = dotPoint(d);
}
///
/// Определение координатной точки Point угла
///
/// Угол, заданный стуктурой Dot
///
private Point dotPoint(Dot _d) { return new Point(X[_d.j, _d.k], Y[_d.j, _d.k]); }
///
/// Определение функции в заданном углу
///
/// Угол, заданный стуктурой Dot
///
private double dotZ(Dot _d) { return Z[_d.j, _d.k]; }
///
/// Определение пары точек, через которые проходит линия уровня
/// Точки на границах ячейки определяются линейной интераоляцией.
///
/// Значение уровня функции
///
private PairOfPoints ByLevel(double _l)
{
PairOfPoints p = new PairOfPoints();
// Ребро 0
if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l))
{
double t = (_l — dotZ(d)) / (dotZ(d) — dotZ(d));
double x = r.X * t + r.X * (1 — t);
double y = r.Y * t + r.Y * (1 — t);
p.Points.Add(new Point(x, y));
}
// Ребро 1
if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l))
{
double t = (_l — dotZ(d)) / (dotZ(d) — dotZ(d));
double x = r.X * t + r.X * (1 — t);
double y = r.Y * t + r.Y * (1 — t);
p.Points.Add(new Point(x, y));
if (p.Points.Count == 2) return p;
}
// Ребро 2
if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l))
{
double t = (_l — dotZ(d)) / (dotZ(d) — dotZ(d));
double x = r.X * t + r.X * (1 — t);
double y = r.Y * t + r.Y * (1 — t);
p.Points.Add(new Point(x, y));
if (p.Points.Count == 2) return p;
}
// Ребро 3
if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d) < _l) || (dotZ(d) > _l && dotZ(d) <= _l))
{
double t = (_l — dotZ(d)) / (dotZ(d) — dotZ(d));
double x = r.X * t + r.X * (1 — t);
double y = r.Y * t + r.Y * (1 — t);
p.Points.Add(new Point(x, y));
}
return p;
}
///
/// Добавление пары точек в линию уравня
///
/// Линия уровня
internal void AddIntoLineLevel(LineLevel _lL)
{
PairOfPoints lp = ByLevel(_lL.Level);
if (lp.Points.Count > 0) _lL.Pairs.Add(lp);
}
}
}

Для демонстрации работы класса предлагается небольшое тестовое приложение WPF, которое строит линии уровня для функции вида: z = x^2 + y^2 на сетке 10 на 10.

Файл MainWindow.xaml:

И файл кода MainWindow.xaml.cs:

Using System.Linq;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Shapes;
namespace WpfLinesLevels
{
///

/// Логика взаимодействия для MainWindow.xaml
///
public partial class MainWindow: Window
{
private double Xmax;
private double Xmin;
private double Ymax;
private double Ymin;
private double xSt;
private double ySt;
public MainWindow()
{
InitializeComponent();
// Определение уровней, которые будут отображаться
double levels = { 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 };
double[,] X = new double;
double[,] Y = new double;
double[,] Z = new double;
// Переменные для пересчета физических координат в экранные
Xmax = 10;
Xmin = 0;
Ymax = 10;
Ymin = 0;
xSt = 525 / (Xmax — Xmin);
ySt = 525 / (Ymax — Ymin);
// Определение массивов координат и функции
for (int k = 0; k < 10; k++)
for (int j = 0; j < 10; j++)
{
X = j;
Y = k;
Z = j * j + k * k;
}
// Создание изолиний
LinesOfLevels lol = new LinesOfLevels(levels, X, Y, Z);
// Их расчет
lol.Calculate();
// Построение
DrowLevelLine(lol, X, Y);
}
///
/// Метод построения изолиний
///
/// Расчитанный объект с изолиниями
/// массив X координат
/// массив Y координат
private void DrowLevelLine(LinesOfLevels lL, double[,] x, double[,] y)
{
Canvas can = new Canvas();
foreach (LineLevel l in lL.Lines)
{
foreach (PairOfPoints pp in l.Pairs)
{
if (pp.Points.Count() == 2)
{
Line pl = new Line();
pl.Stroke = new SolidColorBrush(Colors.BlueViolet);
pl.X1 = xCalc(pp.Points.X);
pl.X2 = xCalc(pp.Points.X);
pl.Y1 = yCalc(pp.Points.Y);
pl.Y2 = yCalc(pp.Points.Y);
can.Children.Add(pl);
}
}
}
can.Margin = new Thickness(10, 10, 10, 10);
can.VerticalAlignment = VerticalAlignment.Stretch;
can.HorizontalAlignment = HorizontalAlignment.Stretch;
grid1.Children.Add(can);
}
///
/// Пересчет физической координаты X в экранную
///
/// Физическая кордината X
/// Экранная координата X
private double xCalc(double _x)
{
return xSt * (_x — Xmin);
}
///
/// Пересчет физической координаты Y в экранную
///
/// Физическая кордината Y
/// Экранная координата Y
private double yCalc(double _y)
{
return ySt * (Ymax — _y);
}
}
}

Результат работы тестового примера представлен на рисунке.

До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция
зависит от единственного аргумента
. Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных
, где – аргументы
или независимые переменные
. Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных
.

Функцией двух переменных
называется закон
, по которому каждой паре значений независимых переменных
(аргументов) из области определения
соответствует значение зависимой переменной (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом:

Либо , или же другой стандартной буквой:

Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости
, то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.

Геометрический смысл функции двух переменных
очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью
, но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии
– это плоскость
. Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:

Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения
.

Областью определения функции двух переменных
называется множество всех
пар , для которых существует значение .

Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть
. Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой
точки существует значение .

Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:

Как двух переменных?

Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения
мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!

Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:

Пример 1

Найти область определения функции

Решение
: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Ответ
: вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой

Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание
и/или чертёж
.

Если бы по условию требовалось
выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром
провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит
в область определения.

Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.

Пример 2

Найти область определения функции

Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Ответ
: полуплоскость

Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной
линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость
. Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит
в область определения.

Внимание!
Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства
– без него придётся очень туго!

Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти область определения функции

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем разминаться:

Пример 4

И изобразить её на чертеже

Решение
: легко понять, что такая формулировка задачи требует
выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств
.

Сначала чертим линию
, которую задаёт соответствующее равенство
. Уравнение определяет окружность
с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две
части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое
, то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром
.

Теперь берём произвольную
точку плоскости, не принадлежащую
окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :

Получено неверное неравенство
, таким образом, точка не удовлетворяет
неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:

Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг
с центром в начале координат, радиуса .

Ответ
: внешняя часть круга

Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция представляет собой следующую поверхность
:

На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над
плоскостью (ближний и дальний от нас октанты)
, местами – под
плоскостью (левый и правый относительно нас октанты)
. Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения
. Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет»)
, о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.

Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка
наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс
, гиперболу
или параболу
.

Идём на повышение:

Пример 6

Найти область определения функции

Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .

С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства
: чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое
, то сама прямая также будет являться решением.

Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.

Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:

Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены
сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.

Ответ
: область определения:

К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.

Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства
. Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.

Пример 7

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:

Пример 8

Найти область определения функции

Решение
: используя формулу разности квадратов
, разложим подкоренное выражение на множители: .

Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба
множителя неотрицательны: ИЛИ
когда оба
неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств
и ОБЪЕДИНИТЬ
полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)

Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь
верхний «уголок». Штрихуем.

Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь
правый «уголок» не является решением системы .

Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.

И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь
нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.

В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!

Ответ
: область определения представляет собой объединение
решений систем .

Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.

А это ваш орешек:

Пример 9

Найти область определения функции

Хороший студент всегда скучает по логарифмам:

Пример 10

Найти область определения функции

Решение
: аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .

Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .

Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду
. В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.

Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом и его соседями:

Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:

мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе приведение высшей математики…

Ответ
:

Следующий логарифм ваш:

Пример 11

Найти область определения функции

В ходе решения придётся построить параболу
, которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства
и предыдущих примерах этого урока.

Решение, чертёж и ответ в конце урока.

Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:

Пример 12

Найти область определения функции

Решение
: аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:

Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной
могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств
:

Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:

Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.

Ответ
: область определения представляет собой решение системы

Пример 13

Найти область определения функции

В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.

На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё
трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой
точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу
. Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид
, «внутренность» параболического цилиндра
и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук)
, и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.

Линии уровня

Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой
: чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.

Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня
? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения
проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость
.

Определение
: линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .

Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:

Пример 14

Найти и построить несколько линий уровня графика функции

Решение
: исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:

Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна)
. Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).

Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.

Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :

Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку
.

Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности)
:

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса
.

Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость
, и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!

Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность (подставляем
в уравнение поверхности)
:

Таким образом, для высоты
линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса
.

И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для
:

– окружность с центром в точке радиуса 3
.

Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:

Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность
представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)

Ответ
: линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида

Примечание

: при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)

Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты
. Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:

На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.

Перед многими трейдерами стоит вопрос, как определить какие уровни поддержки и сопротивления являются основными, а значит более важные, а какие просто локальные максимумы и минимумы. Известно, что к примеру сетап Price action или пробой ключевого уровня имеют гораздо больше значение, чем действие цены у обычных, локальных уровней.

В этой статье Ланс Бегс рассмотрел два способа. Он обращает внимание, что они не имеют ничего сходного с определением качества уровней. Это просто пример, как лучше определять структуру рынка, к примеру Форекс.

Графики должны быть достаточно понятны. Для примера рассмотрим пару EUR/USD, таймфрейм 4Н. Очень важно определять ключевые уровни на больших таймфреймах от четырехчасовиков и выше, а лучше на дневных и недельных графиках.

Итак, какие уровни на графике выше можно рассматривать как ключевые?

Первый метод — ищем уровни на старших таймфреймах.

Ланс Бегс, как и другие профессиональные трейдеры, предпочитает смотреть на старший таймфрейм. Локальные минимумы и максимумы на нем будут рассмотрены как ключевые поддержки и сопротивления на торговом таймфрейме.

Далее, эти уровни с дневного таймфрейма перенесем на 4H — и получим такие уровни, которые показаны на картинке ниже:

Второй, альтернативный метод построения ключевых уровней.

Если вы предпочитаете оставаться оставаться на торговом таймфрейме, то для построения уровней ищите локальные максимумы, формирующие фигуру «голова-плечи» и локальные минимумы, образующие перевернутую «голову-плечи».

На графике ниже, уровень В рассматривается как ключевое сопротивление, так как является локальным максимумом как слева, так и справа.

Часто бывает, как и в этом примере, что оба способа дадут одинаковый результат: