Как найти обратную дробь делимому - AutoPluse.ru

Обратные дроби определение

Обратные дроби определение:

Взаимно обратные дроби – это такие две дроби, произведение которых равно единице.

Например, числа 2/5 и 5/2 – это взаимно обратные дроби.

Дробь обратная данной

Обратной мы можем называть дробь по отношению к другой дроби.

Пусть дана дробь. По отношению к ней мы можем указать дробь, обратную к данной.

Как найти обратную дробь?

Чтоб найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами числитель и знаменатель данной дроби.

Пример нахождения обратной дроби.

Дана дробь 2/3.

Для нахождения для неё обратной дроби меняем местами числитель и знаменатель:

3/2

Ответ: для дроби 2/3 обратная дробь 3/2.

Как найти обратную дробь десятичной?

Найдем обратную дробь для данной десятичной дроби.

Дана десятичная дробь 2,5.

Представим её в виде смешанного числа, т.е. в виде суммы целой и дробной части:

2,5 = 2 + 5/10

Смешанное число представим в виде неправильной дроби:

2 + 5/10 = 25/10

Меняем местами числитель и знаменатель:

10/25 = 0,4

Ответ: для десятичной дроби 2,5 обратная дробь 0,4.

Источник

22 августа 2015 в 14:14
Ответ для Мария Кузнецова

Петр Романов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Петр Романов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

Прочтем еще раз условие задачи.

Саша любит решать трудные задачи. Он рассказал, что
за 4 дня смог решить 23 задачи.
В каждый следующий день он решал больше задач, чем в предыдущий,
и в четвёртый день решил
вчетверо больше чем в первый. Сколько задач решил Саша в каждый из четырёх дней?

По традиции, подчеркнём в условии задачи все важные данные.

Данная задача решается методом перебора и анализа условия, а не уравнением.

То есть, учитывая условия задачи, мы подставляем различные значения и выясняем,
соответствуют ли они истине.

Выпишем условия задачи, на которые мы будем опираться при её решении.

Условия:

В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий
В четвёртый день решил вчетверо больше чем в первый.
За 4 дня он смог решить 23 задачи.

Начнём перебирать и проверять возможные варианты.

1 вариант

Пусть Саша решил в первый день 1 задачу.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

1 · 4 = 4 задачи.

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Самое большое количество задач было решено в 4 день. Но также не забудем:
«В каждый следующий день Саша решал больше задач, чем в предыдущий».

Значит, в 3 день Саша мог решить только 3 задачи. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.

18 − 3 = 15 задач.

15 задач — решено во 2 день. А это не соответствует второму условию задачи.

Значит наше предположение не верно.

2 вариант

Пусть Саша решил в первый день 2 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

2 · 4 = 8 задачи.

Значит, во 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Значит, в 3 день Саша мог решить только 7 задач. Найдём, сколько задач
Саша решил во 2 день.

13 − 7 = 6 задач.

6 задач — решено во 2 день.

Убедимся, что наше решение удовлетворяет всем условиям задачи.

В 1 день — 2 задачи
Во 2 день — 6 задач
В 3 день — 7 задач
В 4 день — 8 задач
2 + 6 + 7 + 8 = 23 задачи — решено за 4 дня.

Всё верно. Но завершать решение задачи ещё рано. Необходимо убедиться, что
других решений нет.

3 вариант

Пусть Саша решил в первый день 3 задачи.

Тогда по второму условию в 4 день он решил

3 · 4 = 12 задач.

Значит, в 2 и 3 день он решил:

Исходя из остальных условий задачи, узнаем количество задач,
решённых конкретно во 2 и 3 день.

Значит, во 2 день Саша мог решить, например, 4 задачи (больше на 1 задачу чем в первый день).
Найдём тогда, сколько задач Саша решил в 3 день.

7 — 4 = 3 задачи.

Но 3 задачи, решённые в 3 день, это меньше, чем 4 задачи, решённые во 2 день. Это нарушает первое
условие.

Дальнейшее увеличение решённых задач в 1 день (перебор других вариантов)
нарушает условия задачи.

Таким образом, мы нашли и доказали, что полученное решение
в варианте 2 является единственным.

Ответ:

В 1 день — 2 задачи
Во 2 день — 6 задач
В 3 день — 7 задач
В 4 день — 8 задач

Источник

Обратные дроби

Прежде чем рассмотреть деление алгебраических дробей, определим, что такое обратные дроби.

Первым в математике вводится понятие взаимно обратных чисел как чисел, произведение которых равно единице.

Взаимно обратные числа могут быть обыкновенными либо десятичными дробями. В этом случае обратные дроби — это дроби, произведение которых равно 1.

В алгебре понятие обратных чисел дополняется понятием взаимно обратных выражений.

Отсюда следует, что обратные дроби могут быть как числами, так и алгебраическими дробями.

Определение

Взаимно обратные дроби — это дроби, произведение которых равно единице.

Как и для обыкновенных дробей, найти алгебраическую дробь, обратную данной, можно двумя способами.

Способ первый — разделить единицу на данную дробь.

Способ второй (именно его используют на практике) — «перевернуть» данную дробь, то есть поменять местами её числитель и знаменатель.

В общем виде обратные алгебраические дроби можно записать так:

$[frac{A}{B}ufrac{B}{A}]$

(A и B — многочлены).

Для целого выражения A обратная дробь — это дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель — A:

$[A{rm{ u }}frac{1}{A}]$

Примеры взаимно обратных алгебраических дробей.

$[1)frac{{2{a^2}{b^5}}}{{{c^3}}}ufrac{{{c^3}}}{{2{a^2}{b^5}}};]$

$[2)frac{5}{{x - y}}ufrac{{x - y}}{5};]$

$[3)frac{{{a^2} - 9}}{{2a + 3}}ufrac{{2a + 3}}{{{a^2} - 9}};]$

$[4)3xy{rm{ u }}frac{1}{{3xy}};]$

$[5)({x^2} - {y^2}){rm{ u }}frac{1}{{{x^2} - {y^2}}}.]$

Источник

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Взаимно обратные числа

Определение 1

Числа $a$ и $b$ называются взаимно обратными, если результат их умножения равен $1$:

$a cdot b=1$.

Говорят: «число $a$ обратно числу $b$, число $b$ обратно числу $a$».

Пример 1

Например, взаимно обратными будут такие пары чисел:

$13$ и $frac{1}{13}$;

$frac{11}{17}$ и $frac{17}{11}$;

$1$ и $1$.

Несложно проверить, что произведение каждой из пар чисел равно $1$:

$13 cdot frac{1}{13}=frac{13 cdot 1}{13}=frac{1}{1}=1$;

$frac{11}{17} cdot frac{17}{11}=frac{11 cdot 17}{17 cdot 11}=frac{1}{1}=1$;

$1 cdot 1=1$.

Взаимно обратные числа существуют на множестве натуральных, целых, действительных и комплексных чисел.

В общем виде число, обратное данному числу $a$, записывают в виде дроби $frac{1}{a}$ или $a^{-1}$, т.к. по определению:

$a cdot frac{1}{a}=1$ и $a cdot a^{-1}=1$.

Число, обратное данному, легко найти для натурального числа или для обыкновенной дроби.

Нахождение числа, обратного обыкновенной дроби

Замечание 1

Для нахождения числа, обратного обыкновенной дроби $frac{a}{b}$, нужно поменять местами числитель и знаменатель данной дроби, т.е. получить дробь $frac{b}{a}$. Т.к. $frac{a}{b} cdot frac{b}{a}=1$, то по определению взаимно обратных чисел дроби$ frac{a}{b}$ и $frac{b}{a}$ – взаимно обратные числа.

Пример 2

Например, обратным числом для дроби $frac{11}{27}$ будет дробь $frac{27}{11}$.

Нахождение числа, обратного натуральному числу

Замечание 2

Для нахождения числа, обратного натуральному числу $n$, нужно представить данное натуральное число в виде дроби со знаменателем $1: n=frac{n}{1}$. Далее поменять местами числитель и знаменатель дроби и получить дробь, обратную данному натуральному числу:
числа $n=frac{n}{1}$ и $frac{1}{n}$ – взаимно обратные.

«Взаимно обратные числа, деление дробей» 👇

Пример 3

Например, натуральное число 9 имеет взаимно обратное число $frac{1}{9}$, а число $frac{1}{6}$ является обратным натуральному числу $6$.

Замечание 3

Число $1$ взаимно обратно самому себе.

Деление обыкновенных дробей

Замечание 4

Делением является действие, обратное умножению.

Замечание 5

Правило деления обыкновенных дробей:

Чтобы разделить обыкновенную дробь $frac{a}{b}$ на дробь $frac{c}{d}$ необходимо выполнить умножение делимого на число, обратное делителю:

$frac{a}{b}:frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c}$.

Говорят: «чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на перевернутую дробь».

Пример 4

Разделить дробь $frac{16}{3}$ на $frac{5}{7}$.

Решение.

Найдем число, обратное делителю $frac{5}{7}$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $frac{7}{5}$.

Согласно правилу деления обыкновенных дробей получим:

$frac{a}{b}:frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c}$;

$frac{16}{3}:frac{5}{7}=frac{16}{3} cdot frac{7}{5}=frac{16 cdot 7}{3 cdot 5}=frac{112}{15}$.

Ответ: $frac{16}{3}:frac{5}{7}=frac{112}{15}$.

Замечание 6

Если в результате деления дробей получается сократимая или неправильная дробь, необходимо привести ее к несократимому виду или выделить целую часть.

Пример 5

Разделить дробь $frac{22}{5}$ на $frac{11}{3}$.

Решение.

Найдем число, обратное делителю $frac{11}{3}$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $frac{3}{11}$.

Согласно правилу деления обыкновенных дробей, получим:

$frac{a}{b} div frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c}$;

$frac{22}{5} div frac{11}{3}=frac{22}{5} cdot frac{3}{11}=frac{22 cdot 3}{5 cdot 11}.$

Очевидно, что можно выполнить сокращение числителя и знаменателя на $11$:

$frac{22 cdot 3}{5 cdot 11}=frac{2 cdot 3}{5 cdot 1}=frac{6}{5}$.

Получили неправильную дробь, из которой необходимо выделить целую часть:

$frac{6}{5}=1 frac{1}{5}$.

Полная запись решения:

$frac{22}{5}:frac{11}{3}=frac{22}{5} cdot frac{3}{11}=frac{22 cdot 3}{5 cdot 11}=frac{2 cdot 3}{5 cdot 1}=frac{6}{5}=1 frac{1}{5}$.

Ответ: $frac{22}{5}:frac{11}{3}=1 frac{1}{5}$.

Деление дроби на число

Замечание 7

Правило деления дроби на число:

Для деления дроби $frac{a}{b}$ на число $n$ необходимо числитель оставить без изменений, а знаменатель умножить на $n$:

$frac{a}{b}:n=frac{a}{b cdot n}$.

Пример 6

Разделить дробь $frac{3}{7}$ на число $5$.

Решение.

Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:

$frac{a}{b}:n=frac{a}{b cdot n}$;

$frac{3}{7}:5=frac{3}{7 cdot 5}=frac{3}{35}$.

Ответ: $frac{3}{7}:5=frac{3}{35}$.

Замечание 8

Если в результате деления получается сократимая или неправильная дробь, необходимо привести ее к несократимому виду или выделить целую часть.

Пример 7

Разделить дробь $frac{52}{7}$ на число $13$.

Решение.

Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:

$frac{a}{b}:n=frac{a}{b cdot n}$;

$frac{52}{7}:13=frac{52}{7 cdot 13}$.

Выполним сокращение дроби, разложив ее числитель и знаменатель на простые множители:

$frac{52}{7 cdot 13}=frac{2 cdot 2 cdot 13}{7 cdot 13}=frac{4}{7}$.

Краткая запись решения:

$frac{52}{7}:13=frac{52}{7 cdot 13}=frac{4}{7}$.

Ответ: $frac{52}{7}:13=frac{4}{7}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Содержание:

Обратная дробь
Деление дробей
Деление смешанных дробей

Обратная дробь

Если у дроби $frac{a}{b}$ поменять местами
числитель и знаменатель,
то получится новая дробь $frac{b}{a}$ , которая называется обратной
дробью к дроби $frac{a}{b}$

Пример

Задание. Записать дробь, обратную к дроби а)
$frac{2}{3}$ ; б)
$frac{1}{2}$

Решение. Найдем обратные дроби по описанному выше правилу

а) Меняем числитель и знаменатель дроби
$frac{2}{3}$ местами, получаем обратную дробь
$frac{3}{2}$

б) Для нахождения обратной дроби числитель 1 пишем вместо знаменателя, который равен 2,
соответственно знаменатель пишем в числитель. В итоге всех преобразований получаем обратную дробь
$frac{2}{1}=2 : 1=2$

Ответ. К дроби $frac{2}{3}$ обратной является
$frac{3}{2}$, а к $frac{1}{2}$
— 2

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь-делимое оставить без изменений и умножить ее на дробь, обратную ко второй дроби-делителю:

$frac{a}{b} : frac{c}{d}=frac{a}{b} cdot frac{d}{c}=frac{a d}{b c}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти частное от деления дроби
$frac{2}{3}$ на дробь
$frac{4}{9}$

Решение. Заметим до начала деления, что дробью, обратной к дроби
$frac{4}{9}$ , является дробь
$frac{9}{4}$ . Тогда получаем:

Ответ. $frac{2}{3} : frac{4}{9}=frac{3}{2}$

Деление смешанных дробей

Чтобы поделить смешанные дроби, их надо записать в виде
неправильных дробей и затем делить по правилу деления
обыкновенных дробей.

Пример

Задание. Вычислить
$4 frac{2}{5} : 2 frac{3}{4}$

Решение. Выполним деление смешанных дробей по описанному выше правилу

$4 frac{2}{5} : 2 frac{3}{4}=frac{4 cdot 5+2}{5} : frac{2 cdot 4+3}{4}=frac{22}{5} : frac{11}{4}=$

Ответ. $4 frac{2}{5} : 2 frac{3}{4}=1 frac{3}{5}$

Читать следующую тему: нахождение дроби от числа и наоборот.

Источник

Обратные дроби определение

Дробь обратная данной

Как найти обратную дробь?

Как найти обратную дробь десятичной?

1 вариант

2 вариант

3 вариант

Взаимно обратные числа

Нахождение числа, обратного обыкновенной дроби

Нахождение числа, обратного натуральному числу

Деление обыкновенных дробей

Деление дроби на число

Обратная дробь

Деление дробей

Деление смешанных дробей

Не пропустите также: