Радиус и образующая конуса
Свойства
Поскольку радиус конуса характеризует размер его основания, то зная его, можно найти диаметр, длину окружности и площадь круга, лежащего в основании. Диаметр представляет собой удвоенный радиус, длина окружности – удвоенный радиус, умноженный на число π, а площадь круга – квадрат радиуса, умноженный на число π. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2
Зная радиус и образующую конуса, можно уже найти его высоту, угол между образующей и основанием, угол раствора конуса. Высота конуса через радиус и образующую ищется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, оттуда же можно вычислить и угол β через тригонометрические отношения сторон. Угол α можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя образующими и диаметром, отняв из 180 градусов два угла β. (рис.40.1, 40.2) h=√(l^2-r^2 ) cosβ=r/l α=180°-2β
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую или произведению числа π на радиус и образующую. Чтобы найти площадь полной поверхности, зная радиус и образующую конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности произведение числа π на квадрат радиуса, что является площадью основания конуса. S_(б.п.)=πrl S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)
Объем конуса, также как и объем пирамиды рассчитывается как одна треть основания, умноженная на высоту. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3
Радиус сферы, вписанной в конус, вычисляется как произведение высоты на радиус конуса, деленное на сумму радиуса и образующей. Радиус сферы, описанной вокруг конуса, представляет собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2 ))/(l+r) R=l^2/2h
Как найти образующую конуса обычного и усеченного. Формулы
Пространственные фигуры подробно рассматриваются в старших классах общеобразовательных школ в курсе стереометрии. Данная статья содержит ответ на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого и образующую соответствующей усеченной фигуры.
Фигура конус
Чтобы понять, как найти образующую конуса, следует дать представление об этой фигуре. Круглым прямым конусом называют фигуру вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рисунок ниже демонстрирует процесс вращения.
Вам будет интересно: Развивающая функция обучения: цель, основные принципы
Полученная пространственная фигура имеет следующие характеристики:
Заметим, что высота фигуры пересекает круглое основание в его центре. Это является достаточным условием, чтобы считать конус прямым.
Образующая конуса
Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:
Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:
Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.
Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.
Фигура конус усеченный
Он также является фигурой вращения, только вместо прямоугольного треугольника следует вращать прямоугольную трапецию. На рисунке ниже показан усеченный конус.
Здесь синие стрелки показывают прямоугольную трапецию. Длина вертикальной стрелки является высотой h фигуры, длины двух других синих стрелок — это радиусы оснований конуса. В отличие от цилиндра, основания усеченного конуса имеют разную площадь. Обозначим их радиусы r1 и r2. Четвертая наклонная к основанию сторона трапеции является образующей или генератрисой. Как и для обычного конуса, для усеченного все генератрисы равны друг другу и образуют боковую поверхность фигуры.
Заметим, что усеченный конус получил такое название потому, что его можно получить не только вращением трапеции, но и с помощью отсечения плоскостью верхней части круглого прямого конуса.
Генератриса усеченной фигуры
Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r1-r2 (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:
Соответственно, если дан острый угол φ1 между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:
Если же известен тупой угол φ2 между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:
Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ1, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.
Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Конус, вписанный в шар
Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.
Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.
При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.
Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).
Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).
Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).
Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.
Рассмотрим конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB=l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB=r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.
Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS=α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF=l/2.
При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников
В прямоугольном треугольнике SOB ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора
В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.
Если продлить SO до пересечения с окружностью, получим прямоугольный треугольник SBM (∠SBM=90º как вписанный угол, опирающийся на диаметр SM). В нем BO- высота, проведенная к гипотенузе. По свойствам прямоугольного треугольника
http://1ku.ru/obrazovanie/45666-kak-najti-obrazujushhuju-konusa-obychnogo-i-usechennogo-formuly/
$$L=2cosalpha;R=Lsinalpha=2cosalpha sinalpha;S_p(alpha)=pi R(R+L)=4pi cos^2alpha sinalpha(sinalpha+1)=$$$$=sinalpha+sin^2alpha-sin^3alpha-sin^4alpha; sinalpha in[0;frac{pi}{2}].$$
Пусть $%sinalpha=t,$% тогда $%S_p(t)=t+t^2-t^3-t^4; tin[0;1];S_p(0)=S_p(1)=0.$%
$$S_p^{‘}(t)=1+2t-3t^2-4t^3=-(t+1)(4t^2-t-1)=0Rightarrow4t^2-t-1=0Rightarrow t=frac{1+sqrt{17}}{8};$$$$sinalpha=frac{1+sqrt{17}}{8};cosalpha=sqrt{1-Big(frac{1+sqrt{17}}{8}Big)^2}=frac{sqrt{46-2sqrt{17}}}{8}.$$ При этом значении угла $%alpha$% будем иметь наибольшее значение площади полной поверхности.
Далее найдем образующую конуса и радиус: $%L=frac{sqrt{46-2sqrt{17}}}{4}; R=frac{sqrt{46-2sqrt{17}}}{4}cdot frac{1+sqrt{17}}{8}$%.
Как найти образующую конуса обычного и усеченного. Формулы
Пространственные фигуры подробно рассматриваются в старших классах общеобразовательных школ в курсе стереометрии. Данная статья содержит ответ на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого и образующую соответствующей усеченной фигуры.
Фигура конус
Чтобы понять, как найти образующую конуса, следует дать представление об этой фигуре. Круглым прямым конусом называют фигуру вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рисунок ниже демонстрирует процесс вращения.
Вам будет интересно:Развивающая функция обучения: цель, основные принципы
Полученная пространственная фигура имеет следующие характеристики:
Заметим, что высота фигуры пересекает круглое основание в его центре. Это является достаточным условием, чтобы считать конус прямым.
Образующая конуса
Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:
g = √(r2 + h2)
Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:
g = h/sin(φ);
g = r/cos(φ)
Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.
Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.
Фигура конус усеченный
Он также является фигурой вращения, только вместо прямоугольного треугольника следует вращать прямоугольную трапецию. На рисунке ниже показан усеченный конус.
Здесь синие стрелки показывают прямоугольную трапецию. Длина вертикальной стрелки является высотой h фигуры, длины двух других синих стрелок — это радиусы оснований конуса. В отличие от цилиндра, основания усеченного конуса имеют разную площадь. Обозначим их радиусы r1 и r2. Четвертая наклонная к основанию сторона трапеции является образующей или генератрисой. Как и для обычного конуса, для усеченного все генератрисы равны друг другу и образуют боковую поверхность фигуры.
Заметим, что усеченный конус получил такое название потому, что его можно получить не только вращением трапеции, но и с помощью отсечения плоскостью верхней части круглого прямого конуса.
Генератриса усеченной фигуры
Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r1-r2 (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:
g = √((r1 — r2)2 + h2)
Соответственно, если дан острый угол φ1 между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:
g = h/sin(φ1);
g = (r1 — r2)/cos(φ1)
Если же известен тупой угол φ2 между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:
g = h/sin(φ2);
g = (r2 — r1)/cos(φ2)
Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ1, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.
Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.
Автор:
06-12-2018 23:50
Жду ваши вопросы и мнения в комментариях
В данной статье рассмотрим четыре задачи по стереометрии. Дана комбинация тел – конус и шар. Во всех заданиях речь идёт о конусе, который вписан в шар. Отмечу, что в условии взаимное расположение данных тел озвучено может быть по разному, например: «Конус вписан в шар» или «Около конуса описана сфера».
Суть одна – если сказать простым (нематематическим) языком, то конус находится «внутри» сферы, она содержит окружность его основания и вершину. Посмотрите на эскиз:
При решении необходимо знать формулы объёмов шара и конуса.
Объём шара:
Объём конуса:
*Эти формулы необходимо знать!
Площадь основания конуса является кругом, она равна:
Рассмотрим частный случай! Если высота конуса будет равна радиусу его основания, то формула объёма конуса будет иметь вид:
Эскиз:
Понятно, что центральным сечением такого конуса будет являться прямоугольный равнобедренный треугольник, причём высота проведённая из прямого угла разбивает его также на два прямоугольных равнобедренных треугольника:
Вспомним понятие образующей, оно часто используется в задачах с конусами, будет и в заданиях ниже.
Образующая конуса – это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой его основания. На предыдущем эскизе она обозначена буквой l.
Напрашивается простой вывод: образующих у конуса имеется бесконечное количество и все они равны.
На блоге, кстати, уже есть пара статей с шарами, можете посмотреть их «Задачи с шарами. Это просто!» и «Цилиндр описан около шара. Три задачи».
Теперь рассмотрим задачи:
245351. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.
Так как сказано, что радиус основания конуса равен радиусу шара, то становится понятно, что основание конуса совпадает с плоскостью центрального сечения шара.
Построим эскиз данной комбинации для наглядности (это осевое сечение):
Сказано, что высота конуса равна радиусу его основания (и, разумеется, радиусу шара). Запишем формулы объёмов шара и конуса:
Так как объём шара известен (он равен 28), можем вычислить радиус. Вернее, нам понадобится не сам радиус, а его куб:
Таким образом, объём конуса будет равен:
*Можно было обойтись без вычислений. Посмотрите, если сопоставить две формулы:
то видно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса.
Значит объём конуса будет равен 28/4 = 7.
То есть, задача решается практически устно.
Ответ: 7
245352. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
Задача обратная предыдущей, рисунок тот же.
Формулы:
Из формул понятно, что объём шара в 4 раза больше объёма конуса:
Таким образом, искомый объём равен 24.
Ответ: 24
316555. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 
. Найдите радиус сферы.
Здесь условие звучит по-другому, но тела расположены относительно друг друга абсолютно также, как и в предыдущих задачах – конус вписан в сферу, основание конуса совпадает с центральным сечением сферы.
Эскиз тот же, отметим радиус, высоту равную радиусу и образующую:
Задача сводится к использованию одной формулы. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По теореме Пифагора:
Радиус сферы равен семи.
Ответ: 7
316556. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 
. Найдите образующую конуса.
Эта задача обратная предыдущей, эскиз:
Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым), х – это образующая. По теореме Пифагора:
Образующая конуса равна 56.
Ответ: 56
На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Поскольку радиус конуса характеризует размер его основания, то зная его, можно найти диаметр, длину окружности и площадь круга, лежащего в основании. Диаметр представляет собой удвоенный радиус, длина окружности – удвоенный радиус, умноженный на число π, а площадь круга – квадрат радиуса, умноженный на число π.
d=2r
P=2πr
S_(осн.)=πr^2
Зная радиус и образующую конуса, можно уже найти его высоту, угол между образующей и основанием, угол раствора конуса. Высота конуса через радиус и образующую ищется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, оттуда же можно вычислить и угол β через тригонометрические отношения сторон. Угол α можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя образующими и диаметром, отняв из 180 градусов два угла β. (рис.40.1, 40.2)
h=√(l^2-r^2 )
cosβ=r/l
α=180°-2β
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую или произведению числа π на радиус и образующую. Чтобы найти площадь полной поверхности, зная радиус и образующую конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности произведение числа π на квадрат радиуса, что является площадью основания конуса.
S_(б.п.)=πrl
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)
Объем конуса, также как и объем пирамиды рассчитывается как одна треть основания, умноженная на высоту.
V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3
Радиус сферы, вписанной в конус, вычисляется как произведение высоты на радиус конуса, деленное на сумму радиуса и образующей. Радиус сферы, описанной вокруг конуса, представляет собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4)
r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2 ))/(l+r)
R=l^2/2h