Две частицы в вакууме летят навстречу друг другу со скоростями 0,7c. Найдите отношение относительной скорости частиц к скорости света в вакууме. Ответ запишите, округлив до сотых.
Спрятать решение
Решение.
Для того, чтобы узнать относительную скорость частиц, необходимо перейти в инерциальную систему, связанную с одной из частиц, и определить в этой подвижной системе скорость второй частицы. Частицы движутся вдоль одной прямой и в этом случае закон сложения скоростей в релятивистской механике запишется как
где u — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, u’ — скорость движения частицы в движущейся системе отсчета; υ — скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Правильно запишем проекции скоростей с учетом того, что частицы движутся навстречу друг другу со скоростями V = 0,7c
Выразим отсюда относительную скорость частиц
Таким образом, отношение относительной скорости частиц к скорости света в вакууме равна 0,94.
Ответ: 0,94.
Classically we would add the speeds to get $1.8c$, which is obviously not allowed. In relativity you simply use the relativistic velocity addition formula:
$$V = frac{u+v}{1+uv/c^2}$$
Where $u$ and $v$ are the velocities of the particles as seen from some reference frame, and $V$ is the velocity of one particle in the rest frame of the other, i.e., the relative velocity when we consider one of the particles to be stationary. Plugging in $u = v = 0.9c$, we get $V = frac{180}{181}c approx 0.9945c$.
Edit: As pointed out by Alfred Centauri, the above explanation is perhaps too simplistic. A more rigorous version would be the following:
Let’s take our particles to be moving in the $x$ direction, with particle 1 moving in the positive direction and particle 2 moving in the negative direction. As seen by particle 1, our velocity is $-0.9c$ (note the sign!). As seen by us (that is, the lab frame), particle 2 is moving with a velocity equal to $-0.9c$. The velocity addition formula tells us how to find the velocity of particle 2 with respect to particle 1. If $V$ is this velocity that we are trying to find, $u$ is our velocity with respect to particle 1 and $v$ is particle 2’s velocity with respect to us, then:
$$V = frac{u+v}{1+uv/c^2} approx -0.9945c$$
This time we get the correct sign, since, relative to particle 1, particle 2 is moving in the negative $x$ direction.
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
|
|
Относительная скорость релятивистских частиц
|
|
27/08/19 |
Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, верно ли, что если две частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями и сталкиваются через А относительную скорость их движения можно считать, используя релятивистский закон сложения скоростей? Но тогда получается, что в числителе выйдет 0, учитывая, что скорости равны и направлены противоположно
|
|
|
|
 |
09.07.2020, 00:39 
по лабораторным часам, то скорость их сближения равна 
, а скорость каждой частицы в отдельности тогда 
?
. Буду рад, если поможете разобраться.
|
Dan B-Yallay |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
||
11/12/05 |
А относительную скорость их движения можно считать, используя релятивистский закон сложения скоростей? Но тогда получается, что в числителе выйдет 0, учитывая, что скорости равны и направлены противоположно Которую из этих cкоростей Вы считаете переносной и почему?
|
||
|
|
|||
|
|
Pphantom |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
||
09/05/12 |
Первое правильно. Что касается относительной скорости — напишите детальную расшифровку обозначений в формуле (вместе с указанием, какие численные значения вы подставляете в каждую из величин, и не забыв про знаки).
|
||
|
|
|||
|
|
infomonium |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
|
27/08/19 |
Которую из этих cкоростей Вы считаете переносной и почему? Скорость одной из частиц. Я думаю так: относительно лабораторной СО одна частица движется со скоростью Что касается относительной скорости — напишите детальную расшифровку обозначений в формуле (вместе с указанием, какие численные значения вы подставляете в каждую из величин, и не забыв про знаки).
|
|
|
|
|
. Поскольку нам надо найти относительную скорость движения (одной частицы в СО, связанной с другой движущейся частицей), то переносной и будем считать скорость движения частицы (одной из двух).
— относительная скорость
— скорость движения частиц
, что неверно. Может в числителе надо складывать? (как раз относительная скорость не превысит 
) Но тогда я не понимаю почему такой выбор знаков..|
DimaM |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
||
28/12/12 |
Подставляю значения с учетом знаков (скорость второй частицы будет отрицательной): Какую скорость имеет ЛСО относительно первой частицы?
|
||
|
|
|||
|
|
Walker_XXI |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
||
01/06/15 |
учитывая, что скорости равны и направлены противоположно
Когда Вы перешли в СО, связанную с одной из частиц, её скорость стала равной 0. Лучше подумайте над скоростью лабораторной СО, как советовали выше. И в какую сторону она направлена.
|
||
|
|
|||
|
|
DimaM |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
||
28/12/12 |
Walker_XXI Что-то с цитированием — мне приписано не мое сообщение.
|
||
|
|
|||
|
|
infomonium |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
|
27/08/19 |
Какую скорость имеет ЛСО относительно первой частицы?
|
|
|
|
|
?|
Pphantom |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
||
09/05/12 |
Я же просил детальную . Может в числителе надо складывать? Да, в числителе нужно складывать. Но пока вы не займетесь выяснением, что в этой формуле как обозначено и почему, это можно будет только угадывать.
|
||
|
|
|||
|
|
realeugene |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
|
27/08/16 |
Может в числителе надо складывать? Нет, но в числителе нужно подставлять алгебраические величины их скоростей (проекции на прямую в одномерном случае), а не модули скоростей. Какие знаки у этих скоростей ваших частиц? И проекции и модули векторов обозначаются одинаковыми «невекторными» буквами, но смысл у них совершенно разный: модули всегда неотрицательные и их в общем случае складывать нельзя, а проекции всегда могут иметь знак и их складывать/вычитать можно. Если чуть более глубже, модуль вектора — это скаляр, а проекция на какую-то ось — нет. Так что, очень важно их не путать в подобных формулах. — 09.07.2020, 16:58 —
Сравните с учебником.
|
|
|
|
|
|
infomonium |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
|
27/08/19 |
Я же просил детальную. Попробую, учитывая поправки. Итак, я ищу скорость первой частицы относительно второй, обозначу ее Так что, очень важно их не путать в подобных формулах. Спасибо, вот и стараюсь понять, чтобы не путать.
|
|
|
|
|
. Для этого я свяжу систему отсчета со второй частицей. Скорость данной системы отсчета относительно ЛСО 
— это моя переносная скорость. Скорость первой частицы (относительно ЛСО) равна 
.
, в результате чего получаю: 
|
Pphantom |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
||
09/05/12 |
|||
|
|
|||
|
|
infomonium |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
|
27/08/19 |
Ну и правильно. А это относится к рассуждениям или к попытке попробовать?
|
|
|
|
|
|
Pphantom |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
||
09/05/12 |
А это относится к рассуждениям или к попытке попробовать? К тому, что вы писали в последнем сообщении. Если аккуратно учитывать то, какая скорость куда направлена (и, соответственно, какой знак имеет), проблем не возникает.
|
||
|
|
|||
|
|
infomonium |
Re: Относительная скорость релятивистских частиц
|
|
27/08/19 |
Если аккуратно учитывать то, какая скорость куда направлена (и, соответственно, какой знак имеет), проблем не возникает. Спасибо!
|
|
|
|
|
Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Чтобы получить точное представление о движении двух объектов относительно друг друга относительная скорость является важным. Поэтому в этой статье мы подробно поговорим об относительной скорости между двумя объектами.
Относительная скорость — это, по сути, скорость одного объекта по отношению к другому. Рассмотрим следующие два объекта, А и В, которые движутся с разными скоростями. Скорость объекта А по отношению к объекту В или наоборот называется относительной скоростью. Он также известен как скорость изменения относительного положения одного объекта по отношению к другому с течением времени.
Как найти относительную скорость двух тел?
🠊 Техника определения скорости объекта требует определения скорости изменения положения объекта по отношению к неподвижному окружающему объекту.
Когда объекты A и B находятся в относительном движении, их соответствующие скорости также будут в относительном движении. Чтобы получить относительную скорость объекта A по отношению к B, нужно математически придать равную и противоположную скорость B как объекту A, так и объекту B, чтобы привести объект B в состояние покоя.
В результате равнодействующая обеих скоростей (скорости объекта А и Б) дает нам относительную скорость объекта А относительно объекта Б.
Уравнения относительной скорости следующие:
Скорость объекта А относительно объекта В можно рассчитать следующим образом:
Vab V =a — Vb
Скорость объекта B относительно объекта A можно рассчитать следующим образом:
Vba V =b — Va
Из двух выражений мы можем вывести следующее:
Vab = — Vba
Однако обе величины равны математически и могут быть представлены как:
|Vab |= |Вba|
Какова относительная скорость между двумя телами, когда они движутся с одинаковой скоростью в одном направлении?
🠊 Когда два тела А и В движутся в одном направлении с одинаковой скоростью, угол между ними равен 0°.
Предположим, что два транспортных средства A и B движутся в одном направлении, т. е. параллельно друг другу, с одинаковой скоростью или скоростью (поскольку они движутся в одном направлении), т. е. Va V =b.
В результате скорость автомобиля А относительно автомобиля В равна:
Vab V =a — Vb = 0
Аналогичным образом, скорость транспортного средства B относительная к транспортному средству А:
Vba V =b — Va = 0
Это означает, что если два объекта двигаться в одном направлении с одинаковой скоростью или скорость, их относительная скорость становится равной нулю. Это демонстрирует, что другой может казаться покоящимся для одного объекта.
Построение графика положение-время для двух объектов, движущихся в одном направлении с одинаковой скоростью, приводит к прямым параллельным линиям, как показано на графике ниже.
Какова относительная скорость между двумя телами, когда они движутся с разными скоростями в одном направлении?
🠊 Если два транспортных средства, A и B, движутся в одном направлении с разными скоростями, в первую очередь следует рассмотреть два сценария:
(1) Начальные точки одинаковы (Va > Vb):
Если два транспортных средства движутся с разными скоростями в одном направлении с одной и той же начальной точкой и Va > Vb, человек в транспортном средстве B воспринимает транспортное средство A как удаляющееся от него со скоростью:
Vab V =a — Vb
Транспортное средство B движется назад к пассажиру в транспортном средстве A со скоростью:
Vba V =b — Va = -( Вa — Vb) = -Vab
В результате обе скорости имеют одинаковую величину, но противоположные знаки.
(2) Различные отправные точки:
Мы можем думать о двух сценариях здесь:
(i) Предположим, что транспортное средство A имеет более высокую скорость, чем транспортное средство B, т. е. Va > Vb, и следует за автомобилем B.
В этой ситуации транспортное средство A в конечном итоге догонит транспортное средство B, как показано на их графике положение-время.
Vab V =a — Vb ≠ 0
(ii) Рассмотрим ситуацию, когда Va > Vb и автомобиль А движется впереди автомобиля В.
В этом случае транспортное средство B никогда не сможет обогнать транспортное средство A.. Графики положения и времени обоих транспортных средств не будут пересекаться по мере их удаления друг от друга.
Vab V =a — Vb ≠ 0
Какова будет относительная скорость двух тел, когда они движутся в противоположных направлениях?
🠊 Угол, образованный двумя телами, движущимися в противоположных направлениях по прямой, называется 180°.
Рассмотрим два автомобиля А и В, движущихся в противоположных направлениях по прямой.
В результате скорость автомобиля А относительно автомобиля В равна:
Vab V =a -(- Вb) = Вa +Vb
Скорость транспортного средства B по отношению к A аналогична:
Vba V =b-(- Вa) = Вa +Vb
В результате можем написать:
Vab V =ba
Это указывает на то, что если два объекта движутся в противоположных направлениях по прямой линии, кажется, что каждый объект движется очень быстро по сравнению с другим.
Какова относительная скорость, когда два тела движутся под углом?
🠊 Рассмотрим пример относительной скорости, который возникает, когда два объекта, A и B, движутся под углом со скоростями Va и Vb.
&
Диагональ даст нам относительную скорость, если мы построим параллелограмм, как показано на рисунке. В результате величина диагонального вектора параллелограмма или относительная скорость с использованием закона косинусов составляет:
Но Cos(180°-𝛳) = -Cos𝛳
Когда два объекта движутся под углом, приведенное выше уравнение дает нам их относительную скорость. Мы также можем вывести случай того же направления и случай противоположного направления из этого уравнения, изменив значение угла на 0° и 180° соответственно.
Однако, как показано на изображении, если вектор относительной скорости Vab образует угол ꞵ со скоростью объекта A, то
Но Sin(180°-𝛳) = Sin𝛳
Или,
Важность относительной скорости:
Важность относительной скорости резюмируется ниже:
- Рассчитать скорость звезд и астероидов относительно Земли.
- Для измерения расстояния между любыми двумя объектами в пространстве.
- Чтобы запустить ракету.
- Для определения скорости любого объекта.
- Это помогает нам, когда объект движется через жидкость.
Проблемы, связанные с относительной скоростью:
1. Автомобиль, едущий по шоссе со скоростью 110 км/ч, проезжает мимо автобуса, идущего со скоростью 85 км/ч. Какова скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса?
Данный:
Скорость автомобиля Vc = 110 км/ч
Скорость автобуса Vb = 85 км/ч
Найти:
Относительная скорость автомобиля относительно автобуса Vcb знак равно
Решение:
Поскольку автомобиль и автобус едут в одном направлении, относительная скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса равна:
Vcb V =c — Vb = (110 -85)км/ч = 25 км/ч
Таким образом, скорость автомобиля с точки зрения пассажира автобуса составляет 25 км/ч.
2. Две машины, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 150 м/с и 200 м/с по прямой дороге. С какой скоростью они приближаются друг к другу?
Данный:
Скорость автомобиля 1 В1 = 150 м / с
Скорость автомобиля 2 В2 = 200 м / с
Найти:
Относительная скорость вагона 1 относительно вагона 2 V12 знак равно
Относительная скорость вагона 2 относительно вагона 1 V21 знак равно
Решение:
Так как оба автомобиля едут в противоположном направлении, относительная скорость:
V12 V =1 + V2 = (150 + 200) м/с = 350 м/с
Кроме того,
V21 V =1 + V2 = (150 + 200) м/с = 350 м/с
В результате два автомобиля движутся навстречу друг другу с относительной скоростью 350 м/с.
Резюме:
- Скорость одного объекта по отношению к другому объекту просто называется относительной скоростью этих двух объектов.
- Рассмотрим два объекта, которые движутся в одном направлении. В этой ситуации величина относительной скорости одного объекта по отношению к другому будет равна разнице в величине их скоростей.
- Если два объекта движутся в одном направлении и с одинаковыми скоростями, их относительная скорость будет ноль.
- Предположим, что любые два объекта движутся в противоположном направлении. В этом случае величина относительной скорости одного объекта по отношению к другому окажется суммой величины их скоростей.
Процесс упругого
взаимодействия осуществляется в газах
(столкновение молекул), ядерных реакциях
(например, столкновение нейтрона с
протоном).
Упругим называют
столкновение, в результате которого
внутреннее состояние взаимодействующих
частиц не меняется.
Большинство упругих
столкновений, за исключением ядерных
реакций высоких энергий, относятся к
медленным (нерелятивистским) процессам.
Для расчета процесса упругого столкновения
двух частиц применяют закон сохранения
импульса и закон сохранения энергии.
Для изолированной системы двух
взаимодействующих частиц закон сохранения
импульса запишем в виде
,
(31)
где р1
= m1v1,
p2 =
m2v2
–
импульсы частиц до взаимодействия (m1,
m2 и
v1,
v2
–
массы и скорости частиц до взаимодействия);
= m1u1,
= m2u2
–
импульсы этих же частиц после взаимодействия
(u1,
u2
–
скорости частиц после взаимодействия).
Закон сохранения энергии упругого
столкновения двух частиц
(32)
1.16.2. Лабораторная система отсчета
Применяя закон
сохранения центра масс (инерции) к
системе двух частиц с учетом формул
(33)
где
–
радиус-вектор центра масс;
,
–
радиус-векторы частиц в выбранной
системе отсчета, имеем
(34)
Скорости частиц
в ЛС можно выразить через скорость их
центра инерции
и
скорости их относительного движения
и
соответственно, до и после столкновения.
Дифференцируя выражение (34) по времени
и учитывая закон сохранения центра
инерции (масс)
,
находим векторы скорости частиц до
взаимодействия
(35)
и векторы скорости
частиц после взаимодействия
(36)
Формулы (35) и (36)
учитывают закон сохранения импульса
для взаимодействующих частиц.
1.16.3. Система центра инерции
В системе центра
инерции (СЦИ)
=
0. Векторы импульсов взаимодействующих
частиц в этой системе можно записать в
виде
где
(37)
приведенная
масса двух частиц.
Подставив полученные
значения импульсов в формулу (37), получим:
(38)
Рис. 18
Из формулы (38) видно, что
относительная скорость частиц до
взаимодействия равна относительной
скорости частиц после взаимодействия
(v = v*), т.е.
в результате столкновения частиц
скорость относительного движения
изменяет только свое направление, а по
абсолютному значению остается неизменной
(рис. 3.34). Угол
–
называют углом рассеяния в СЦИ, и по
величине он может быть любым. Если
рассматриваемые частицы движутся
навстречу друг другу с равными по
величине, но противоположно направленными
векторами импульсов
,
то суммарный импульс системы из двух
частиц равен нулю, т. е.
(39)
Поэтому при упругом
и лобовом столкновение двух частиц
(бильярдные шары) они «отражаются» друг
от друга и удаляются в противоположных
направлениях с теми же по величине
скоростями.
Замечание: условие
(39) выполняется и в случае неупругого
столкновения частиц. Следовательно,
как при упругих, так и неупругих
столкновениях в СЦИ импульсы не зависят
от угла.
Если же столкновение
не лобовое (рис. 18), то скорости частиц
после взаимодействия остаются неизменными
по величине, но направление векторов
скоростей (импульсов) частиц после
столкновения составляет некоторый угол
с их первоначальным направлением (рис.
18). При упругом взаимодействии величины
импульсов не изменяются, т. е.
.
Таким образом, в
СЦИ процесс взаимодействия характеризуется
высокой степенью симметрии и поэтому
анализ движения в ней осуществить проще,
чем в любой другой системе отсчета
(например, в экспериментах на накопительных
кольцах частицы движутся навстречу
друг другу с равными по величине, но
противоположно направленными импульсами).
Рис. 19
Если процесс столкновения
частиц является упругим, центральным
и происходит, например, вдоль оси Х (рис.
19), то для нахождения величин скоростей
частиц после взаимодействия воспользуемся
законом сохранения импульса в проекциях
на ось Х
(30)
или
(31)
и законом сохранения
энергии в виде
,
(32)
так как
,
векторы скорости всех частиц параллельны
оси Х, то vy
= 0, vz=
0 (
)
и, следовательно,
.
Формулы (31) и (32) преобразуем к виду
(33)
(34)
Решая совместно
выражения (33) и (34), имеем
(35)
где
,
–
соответствующие проекции относительных
скоростей на ось Х двух частиц до и после
столкновения.
Вывод:
относительная скорость двух частиц до
столкновения в точности равна их
относительной скорости после столкновения.
Такой вывод справедлив для любого
лобового упругого удара независимо от
того, какие массы имеют частицы.
Выражая последовательно
u2x и
u1x
из формулы (35) и подставив их значения
в выражение (33), находим скорости частиц
после взаимодействия:
,
(36)
.
(37)
Рассмотрим некоторые
частные случаи:
1. Если массы
взаимодействующих частиц равны (m1
= m2),
то u1x =
v2x,
u2x
= v1x,
т. е. частицы обмениваются скоростями.
2. Вторая частица
до столкновения покоится (v2
= 0): а) если
массы взаимодействующих частиц равны
(m1 =
m2),
то u1x =
0 и u2x =
v1x,
т. е. первое тело останавливается после
столкновения, а вторая частица начинает
двига-ться со скоростью первой, какую
она имела до столкновения; б) если m1
> m2,
то первая частица продолжает двигаться
в том же направлении, что и до удара, но
с меньшей скоростью (u2
< v1),
скорость второй частицы после удара
увеличится, т. е. u2
> u1;
в) если m1 <
m2,
то первая частица после столкновения
изменит направление скорости (импульса)
на противоположное, вторая частица
начинает движение в том же направлении,
в каком двигалась первая частица до
столкновения; г) если m1
<< m2
(случай упругого взаимодействия частицы
с массивной неподвижной стенкой), то u1
=
v1,
u2 =
0, т. е. направление скорости налетающей
частицы после соударения со стенкой
изменится на противоположное, а величина
останется неизменной.