Как найти период колебаний тела по графику - AutoPluse.ru

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

амплитуда,
период,
частота,
циклическая частота,
фаза,
начальная фаза.

Рис. 1. Основные характеристики колебаний – это амплитуда, период и начальная фаза

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Рис. 2. Амплитуда – это максимальное отклонение от горизонтальной оси либо вверх, либо вниз. Горизонтальная ось проходит через уровень нуля на оси, на которой отмечены амплитуды

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Рис. 3. Период колебаний – это горизонтальное расстояние между двумя похожими точками на графике

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Рис. 4. Удобно определять период, как расстояние между двумя соседними вершинами, либо между двумя впадинами

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac{1}{c} right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Рис. 5. На графике частота – это количество периодов, уместившихся в одну секунду

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Рис. 6. На графике циклическая (круговая) частота – это количество периодов, уместившихся в 2 пи секунд

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).

(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рис. 7. Угол отклонения качелей перед началом колебаний

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.

Рис. 8. Вертикальное положение стартовой точки в момент времени t = 0 и сдвиг графика по горизонтали определяется начальной фазой

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):

[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».

Примечания:

Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

Рис. 9. Угол отклонения от равновесия – фаза, изменяется в процессе колебаний

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Рис. 10. Перед началом колебаний задаем начальную фазу — начальный угол отклонения от равновесия. А угол, который изменяется во время колебаний, называют фазой

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

Рис. 11. На графике колебаний фаза – это точка, скользящая по кривой. В различные моменты времени она находится в разных положениях на графике

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

( large varphi_{01}) – для первого процесса и,

( large varphi_{02}) – для второго процесса.

Рис. 12. Для двух колебаний можно ввести понятие разности фаз

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} — varphi_{02} }]

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

[large boxed{ T cdot N = t }]

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

Период и частота колебаний связаны так:

[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]

(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.

Количество и частота колебаний связаны формулой:

[large boxed{ N = nu cdot t}]

Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]

(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]

Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Источник

Механические колебания.

Гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний.
Пружинный маятник.
Математический маятник.
Свободные и вынужденные колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: nu =1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение x=0 . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t) , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на pi /2 , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина alpha , равная значению фазы при t=0 , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: $x_{0}=Acos alpha$ .

Величина называется omega циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2 pi радиан: , откуда

$omega = frac{displaystyle 2pi }{displaystyle T}$ (2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

$x=Acos(frac{displaystyle 2pi t }{displaystyle T}+ alpha), x=Acos(2 pi nu t + alpha)$ .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину $x_{0}$ и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае $x_{0}=A$ , поэтому можно положить alpha=0 . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае $x_{0}=0$ , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

$v_{x}=dot{x}=-Aomega sin(omega t+alpha )$ . (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

$a_{x}=ddot{x}=-Aomega^{2} cos(omega t+alpha )$ . (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем $-omega^{2}$ :

$a_{x}=-omega^{2}x$ . (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

$ddot{x}+omega^{2}x=0$ . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой omega и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате x=0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости vec F со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

$ma_{x}=F_{x}$ . (8)

Если x>0 (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и $F_{x}<0$ . Наоборот, если x<0 , то $F_{x}>0$ . Знаки и $F_{x}$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

$F_{x}=-kx$

Тогда соотношение (8) принимает вид:

$ma_{x}=-kx$

или

$a_{x}=-frac{displaystyle k}{displaystyle m}x$ .

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle k}{displaystyle m}$ .

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle k}{displaystyle m}}$ . (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

$T=2 pi sqrt{frac{displaystyle m}{displaystyle k}}$ . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

$ma_{x}=T_{x}$ .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x>0 ), то:

$T_{x}=-Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x<0 ), то:

$T_{x}=Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Итак, при любом положении маятника имеем:

$ma_{x}=-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T=mg . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

$ma_{x}=-mgfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ ,

или

$a_{x}=-frac{displaystyle g}{displaystyle l}x$ .

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle g}{displaystyle l}$ .

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle g}{displaystyle l}}$ . (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

$T=2pi sqrt{frac{displaystyle l}{displaystyle g}}$ . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы F(t) , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна $omega_{0}$ , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

$F(t)=F_{0}cos omega t$ .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
omega вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты $omega=omega_{r}$ наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: $omega_{r} approx omega_{0}$ , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, $omega_{r} = omega_{0}$ , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при $omega Rightarrow omega_{0}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Механические колебания.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Задачи на Механические колебания с решениями

Формулы, используемые на уроках «Задачи на Механические колебания».

Название величины	Обозначение	Единица измерения	Формула
*Амплитуда колебаний*	A	м
*Период колебаний*	T	с	T = 1 / v ; T = t / N
*Частота колебаний*	v	Гц	*v = 1 / T ;* *v = N / t*
*Число колебаний за какое-то время*	N		*N = t /T ;* *N = vt*
*Время*	t	с	t = NT ; t = N / v
*Циклическая частота колебаний*	ω	Гц
*Период колебаний пружинного маятника*	T	c
*Период колебаний математического маятника*	T	c
*Уравнение гармонических колебаний*			x(t) = Asin(ωt+φ₀)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1.
Шарик на нити совершил 60 колебаний за 2 мин. Определите период и частоту колебаний шарика.

Задача № 2.
На рисунке изображен график зависимости координаты от времени колеблющегося тела.

По графику определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) частоту колебаний; 4) запишите уравнение координаты.

Задача № 3.
Амплитуда незатухающих колебаний точки струны 2 мм, частота колебаний 1 кГц. Какой путь пройдет точка струны за 0,4 с? Какое перемещение совершит эта точка за один период колебаний?

Задача № 4.
Пользуясь графиком изменения координаты колеблющегося тела от времени, определить амплитуду, период и частоту колебаний. Записать уравнение зависимости x(t) и найти координату тела через 0,1 и 0,2 с после начала отсчета времени.

Задача № 5.
Какова длина математического маятника, совершающего гармонические колебания с частотой 0,5 Гц на поверхности Луны? Ускорение свободного падения на поверхности Луны 1,6 м/с².

Задача № 6.
Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.

Задача № 7.
Частота колебаний крыльев вороны в полете равна в среднем 3 Гц. Сколько взмахов крыльями сделает ворона, пролетев путь 650 м со скоростью 13 м/с?

Задача № 8.
Гармоническое колебание описывается уравнением
Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

Задача № 9.
Математический маятник длиной 0,99 м совершает 50 полных колебаний за 1 мин 40 с. Чему равно ускорение свободного падения в данном месте на поверхности Земли? (Можно принять π² = 9,87.)

Задача № 10.
ОГЭ
Как и во сколько раз изменится период колебаний пружинного маятника, если шарик на пружине заменить другим шариком, радиус которого вдвое меньше, а плотность — в два раза больше?

Задача № 11.
ЕГЭ
Два математических маятника за одно и то же время совершают — первый N₁ = 30, а второй — N₂ = 40 колебаний. Какова длина каждого из них, если разность их длин Δl = 7 см?

Краткая теория для решения Задачи на Механические колебания.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Механические колебания». Выберите дальнейшие действия:

Перейти к теме: ЗАДАЧИ на
Посмотреть конспект по теме ДИНАМИКА: вся теория для ОГЭ (шпаргалка)
Вернуться к списку конспектов по Физике.
Проверить свои знания по Физике.

Источник

Характеристики колебаний

амплитуда,
период,
частота,
циклическая частота,
фаза,
начальная фаза.

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_ <0>) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Что такое период

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac<1> right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^ <-1>right) ), потому, что по свойствам степени ( large displaystyle frac<1> = c^ <-1>).

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

Что такое циклическая частота

( large displaystyle omega left( frac<text<рад>> right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac<1> ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_ <0>).

(large varphi_ <0>left(text <рад>right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_ <0>) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_ <0>) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_ <0>) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_ <0>) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_ <0>).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text <сек>right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac<Delta t >):

Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

(large displaystyle frac<1> <4>cdot 2pi = frac<pi > <2>=varphi_ <0>)

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac<pi > <2>) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac<pi > <2>) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_ <0>= 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_ <0>) записываем со знаком «-».

Примечания:

Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
На графике колебаний начальная фаза ( varphi_<0>) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Что такое фаза колебаний

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Первый угол называют начальной ( varphi_<0>) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Как на графике колебаний отметить фазу

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_<0>) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

( large varphi_<01>) – для первого процесса и,

( large varphi_<02>) – для второго процесса.

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text <шт>right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

Период и частота колебаний связаны так:

(large nu left( text <Гц>right) ) – частота колебаний.

Количество и частота колебаний связаны формулой:

Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

(large displaystyle omega left( frac<text<рад>> right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

(large varphi_ <0>left( text <рад>right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text <рад>right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

По графику гармонических колебаний (рис. 125) определите амплитуду, период и частоту колебаний.

Ваш ответ

решение вопроса

Величины, характеризующие колебательное движение

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

При помощи данного видеоурока вы сможете самостоятельно изучить тему «Величины, характеризующие колебательное движение». На этом уроке вы узнаете, как и какими величинами характеризуются колебательные движения. Будет дано определение таких величин, как амплитуда и смещение, период и частота колебания.

источники:

http://www.soloby.ru/689909/%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85-%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9-%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5-%D0%B0%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%83%D0%B4%D1%83-%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9

http://interneturok.ru/lesson/physics/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/velichiny-harakterizuyuschie-kolebatelnoe-dvizhenie

Источник

Как правило, не всегда легко определить период отдельных колебаний маятника, так как он постоянно находится в движении. Однако, поскольку все колебания маятника одинаковы, для определения периода колебаний можно провести расчеты нескольких колебаний.

Механические колебания.

Проблемы с датчиками ЕГЭ: гармоническая вибрация — амплитуда, период, частота, фаза вибрации — свободная вибрация, вынужденная вибрация, настройка.

Вибрация — это изменение состояния системы, повторяющееся с течением времени. Понятие вибрации охватывает очень широкий спектр явлений.

Вибрация или механические колебания механической системы — это механическое движение тела или системы тел, которое повторяется во времени и происходит вблизи положения равновесия. Равновесное положение — это состояние системы, в котором она может находиться столько времени, сколько необходимо, без внешних воздействий.

Например, когда маятник отклоняют и отпускают, он начинает колебаться. Положение равновесия — это положение маятника, когда он не отклоняется. Маятник может оставаться в этом положении в любое время, пока его не трогают. Когда маятник колеблется, он часто находится вне равновесия.

Сразу же после отпускания отклоненного маятника маятник начинает двигаться, проходит через положение равновесия, достигает противоположного крайнего положения, останавливается в нем, движется в обратном направлении и снова возвращается через положение равновесия. Произошла полная осцилляция. Кроме того, этот процесс периодически повторяется.

Амплитуда колебаний объекта — это величина максимального отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это продолжительность полного колебания. Можно сказать, что за определенный период тело проходит через четыре пути, идущих друг за другом.

Частота колебаний равна обратной величине периода:. Частота измеряется в герцах (Гц) и указывает на количество полных колебаний, происходящих за одну секунду.

Гармонические колебания.

Можно считать, что положение вибрирующего объекта определяется одной координатой. Положение равновесия обозначается через. Основная инженерная задача в этом случае — найти функцию, которая дает координаты тела в любой заданный момент времени.

Естественно использовать периодические функции для математического описания колебаний. Существует множество таких функций, две из которых наиболее важны: полутон и синус. Они обладают многими замечательными свойствами и тесно связаны с широким спектром природных явлений.

Функции синуса и косинуса могут быть получены друг из друга путем сдвига аргументов в противоположные стороны, поэтому вы можете ограничиться одной или другой. Определенно используйте косинус.

Гармонические колебания — это колебания, координаты которых зависят от времени по гармоническим законам.

Давайте рассмотрим важность величин, входящих в это уравнение.

Положительное значение — это максимальное значение модуля координат (поскольку максимальное значение модуля косинуса в единицах), т.е. максимальное отклонение от положения равновесия. Следовательно, это амплитуда колебаний.

Аргумент синусоидальной волны называется фазой колебания. Его значение, которое равно значению фазы тела, называется начальной фазой. Начальная фаза соответствует начальным координатам тела.

Это значение называется частотой его периода. Найдите зависимость между периодом и частотой колебаний. Каждое полное колебание соответствует увеличению фазы в радианах.

Периодическая частота измеряется в радианах в секунду (радиан/сек).

Согласно уравнениям (2) и (3), гармонический закон (1) имеет еще две формы.

График функции (1), представляющей зависимость времени, настроенного на гармонические колебания, показан на рисунке 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) имеет более общий характер. Например, это соответствует ситуации, когда один маятник одновременно подвергается двум начальным воздействиям, обходится одним размером и получает начальную скорость. Есть два важных особых случая, когда одно из этих действий не было выполнено.

Мы пытаемся отклонить маятник, но начальная скорость не была задана (он отпускается без начальной скорости). В этом случае ясно, что мы можем поставить. Мы принимаем коварный закон:.

График гармонического колебания в этом случае показан на рисунке 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Предположим, что маятник не отклоняется, а получает начальную скорость из положения равновесия от удара. В этом случае его можно носить. Возьмем закон знаков:.

График колебаний показан на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

Уравнение гармонических колебаний.

Вернемся к общему закону гармонии (1). Давайте разграничим это равенство.

Далее, различают равенство исходов (4):.

Сравните уравнение (1) относительно координат и уравнение (5) относительно ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается только от одной факторной координаты.

Эта зависимость называется уравнением гармонического колебания. Его также можно переписать в таком виде.

С точки зрения математики, уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решением дифференциального уравнения является функция (а не число, как в обычной алгебре). Таким образом, можно доказать, что:.

— Слагаемые уравнения (7) являются произвольными функциями произвольной формы (1).

— Другая функция не является решением уравнения.

Другими словами, соотношения (6) и (7) описывают гармонические колебания только с круговыми частотами. Эти две константы определяются начальными условиями, начальными значениями координат и скорости.

Звуковые волны — это упругие волны, которые вызывают ощущение звука у человека и представляют собой зоны сжатия и разбавления, передающиеся в течение длительного времени.

Период колебаний

Вибрации — это движения или процессы, которые повторяются в течение определенного периода времени.

Система, осуществляющая вибрацию, называется колебательной системой или осциллятором.

В зависимости от природы, процесс вибрации может быть механическим, электромагнитным и т.д.

Внимание. Если врач обнаружит, что у вас есть проблема, которая вас беспокоит, у вас может быть серьезная проблема (даже выкидыш). Если вы не можете написать свой собственный, вы можете заказать его здесь.

Свободные или естественные вибрации — это вибрации, наблюдаемые в системе, предоставленной самой себе после нарушения равновесия.

Вынужденные колебания — это колебания под воздействием внешних сил, которые регулярно меняются.

Механическая вибрация относится к категории принудительной вибрации.

Гармонизированные вибрации — это вибрации, определяемые естественными размерами, которые изменяются в соответствии со знаком или косметическим законом.

Различные периодические процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени, могут быть записаны как суммы или суперфронты гармонических колебаний.

Определение периода колебаний, формула

Колебательные процессы могут быть выражены в виде уравнения. Гармонические колебания цены X могут быть выражены в следующем виде

(x(t))= a times cos left ( omega _t+ phi _ right))

где ⌘(x(t)⌘) — отклонение натуральной величины качелей от равновесного значения.

A представляет собой ширину гармонического колебания.

(ߡ омега _ справа) — круговая или кольцевая частота колебаний.

(Lo_CP_t) = (co_t + cp _)) — это начальная фаза характеристического колебания в момент времени t = 0, которая может быть определена путем выбора начальной точки.

(cp(t) = (co_t + cp _)) — это фаза колебания в момент времени t, определяемая радиусом и соответствующая значению количества колебаний в конкретный момент времени.

Для материальной точки массой m характеристика x соответствует смещению объекта из положения равновесия. Обратите внимание, что амплитуда и частота гармонических колебаний являются постоянными величинами. Исходя из того, что cos изменяет значение в диапазоне от +1 до -1, параметр x изменяется от +A до -A. С тех пор:.

cos слева (⌘ альфа +2 pi справа) = cos альфа, ⌘)

В этом случае x остается неизменным, а фаза колебаний увеличивается на $ 2 pi$.

Период колебаний T — это минимальное время возвращения колебательной системы в исходное состояние, которое определяется произвольно.

В этом случае фаза увеличивается на (2 pi:ߡ).

(섹 омега _(t + T) + фи _ = слева (섹 омега _t + фи _ справа) + 2 пи ).

Из этого уравнения можно рассчитать период колебаний.

Частота колебаний v является обратной величиной периода колебаний. Это количество полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

График показывает гармоническое колебание. где α — зависимость перемещения x от времени /, β — зависимость скорости vx от времени C и γ — зависимость ускорения ax от времени t.

Единицей частоты в СИ является герц (Гц). Это частота периодического цикла полных колебаний, происходящих за одну секунду.

Можно представить, что материальная точка совершает линейное гармоническое колебание вокруг оси x вокруг положения равновесия, которое является начальной точкой координат. Движение частиц носит колебательный характер и характеризуется скоростью и ускорением. Особенности этого процесса можно описать следующим образом.

Shift (x = A times cos left (⌘ omega _t + phi _ right) ⌘)

Скорость 섹 (v _ = точка = -A omega _ times sin left (섹 omega _ t + phi_ right) = A omega _ times cos left (섹 omega _ t + phi_ + frac<pi > направо) направо)

a _ = точка= ddot = -A omega _ times cos left (찒 omega _ t + phi_ right) = A omega _ ^ times cos left (찒 omega _ t + phi_ + pi right) )

Как найти период для физического маятника

При малых углах отклонения 섹 (⌘ varphi ) естественный маятник совершает гармонические колебания. Его вес можно рассматривать как добавление к центру тяжести в точке C. Сила, которая возвращает маятник в положение равновесия, — это сила F, которая является компонентом силы тяжести.

Отрицательные значения в правой части уравнения означают, что сила F направлена в сторону уменьшения угла ⌘ (⌘ альфа ).

Для меньших углов ⌘ (⌘ varphi ) уравнение можно записать в следующем виде

Примеры решений

Шарик на нити колеблется 60 раз за 2 минуты. Найдите период и частоту колебаний шарика.

ОТВЕТ: период колебаний маятника равен 2 с, а частота — 0,5 Гц.

По графику зависимости координат от представленного времени необходимо рассчитать характеристики колебательного движения тела.

x(t) = A sin 2 pi Vt = 0,2 sin 2 pi раз 1,25t = 0,2 sin 2,5 pi t )

ОТВЕТ: амплитуда колебаний маятника равна 0,2 м, период колебаний 0,8 с, частота колебаний 1,25 Гц, а выражение для координат записано в следующем виде(x(t) = 0,2 sin 2,5 pi t )

Определите длину математического маятника, гармонично колеблющегося с частотой 0,5 Гц на поверхности Луны. В этом случае ускорение свободного падения составляет 1,6 м/с2.

Период колебаний математического маятника рассчитывается по следующему уравнению

Чтобы выразить длину маятника, обе части уравнения нужно возвести в квадрат.

Математический маятник — это точка массы, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и помещенной в гравитационное поле.

Колебательный процесс

Одним из наиболее распространенных процессов в природе являются колебания. Процесс вибрации обычно заключается в изменении значений параметров рассматриваемой системы, которые регулярно перемещаются вперед и назад за определенное положение равновесия.

Рисунок 1. Вибрационные процессы в природе.

Колебания маятника

Простейшим примером колебательного процесса является маятник, который представляет собой легкую нить с грузом на конце. Его перемещают из положения равновесия в крайнее положение, а затем отпускают (отклонение должно быть намного меньше длины струны, чтобы уменьшить влияние трения).

Вес начинает двигаться в сторону противоположного крайнего значения. Здесь его скорость падает до нуля, и он колеблется в обратном направлении к исходному положению. (На самом деле маятник имеет потери на трение и немного отстает от начальной точки, но это небольшое отклонение пренебрежимо мало).

Рисунок 2. Колебания маятника.

Полное движение, начинающееся от начальной точки и продолжающееся до ближайшего возвращения к ней, называется колебанием.

Период колебаний

Сравнивая несколько последовательных колебаний, можно увидеть, что они очень похожи. При этом каждое колебание длится одинаковое время.

Время, необходимое для возникновения простого колебания, называется периодом колебания. Он обозначается заглавной латинской буквой $T$.

Рисунок 3: Период колебаний на графике.

Напомним, что в системе СИ время измеряется в секундах. Если период слишком мал, берутся дробные единицы миллисекунд (мс, $ 10 ^ $ секунд), микросекунд (мкс, $ 10 ^ $ секунд) и наносекунд (нс, $ 10 ^ $ секунд).

Как правило, не всегда легко определить период отдельных колебаний маятника, так как он постоянно находится в движении. Однако, поскольку все колебания маятника одинаковы, для определения периода колебаний можно провести расчеты нескольких колебаний.

Формула для периода колебаний выглядит следующим образом

Можно быстро различить периоды колебаний от 50 микросекунд (самый громкий) до десятилетий (например, 12 лет — один год для Юпитера). С помощью как экономики, так и технологии можно испытать периоды колебаний от $ 10 ($ нс (период рентгеновских лучей) до 250 миллионов лет (время вращения Солнечной системы вокруг центра нашей галактики).

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, который может колебаться как горизонтально, так и вертикально.

Частота колебаний — это количество полных колебаний в единицу времени. Символ обозначается в ᢙ (ᢙ ню ), а единица времени — с -1 или Гц (Герц).

1 Гц — это частота колебательного движения, при котором одно полное колебание происходит в секунду.

Период и частота колебаний взаимно обратны.

Частота периода — это число колебаний за 2π секунды. Название ᢙ (ᢙ омега ) и единица измерения — рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания — это колебания, совершаемые объектом под действием внутренних сил системы за счет первоначального запаса энергии после удаления от постоянного положения равновесия.

Условия, при которых возникает свободная вибрация:.

при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

В присутствии сил трения свободная вибрация обесценивается. Амортизация — это колебание, ширина которого уменьшается со временем.

Математический маятник — это материальная точка, парящая над голой ненатянутой струной.

Период колебаний математического маятника:.

Частота колебаний математического маятника:.

Круговая частота колебаний математического маятника:.

Максимальная скорость колебаний математического маятника:.

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:.

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением.

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или замедлением:.

Периоды свободных колебаний математического маятника, движущегося горизонтально с ускорением или замедлением:.

Мгновенное значение динамической энергии математического маятника, поднимающегося в процессе колебаний на высоту, ⌘(h ), определяется по формуле

где Į(l ) — длина струны, а Į(Į альфа ) — угол отклонения от вертикали.

Пружина на удержании — это тело, подвешенное на пружине и колеблющееся вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием упругости пружины.

Длительность колебания пружины:.

Частотная вибрация пружины при удержании:.

Частота круговых колебаний пружины на удержании:.

Максимальная скорость колебаний пружины при удержании:.

Максимальное ускорение качающейся пружины при удержании:.

Мгновенная динамическая энергия пружины, находящейся в состоянии покоя, может быть найдена по типу.

Ширина динамической энергии — это максимальное значение динамической энергии, до синуса или косинуса.

Важно! Если маятник является пружиной, но нет математического маятника (естественного маятника), то круговая частота, период и частота колебаний не могут быть рассчитаны по типу, применяемому к математической и ожидающей пружине. В этом случае эти размеры рассчитываются в зависимости от типа силы или действия, приложенного к маятнику.

Резонанс

Регулировка — это явление внезапного увеличения ширины колебаний, которое происходит при совпадении частоты налагаемой силы и частоты колеблющегося тела.

(v_0 ) — собственная частота маятника.

На этой диаграмме показаны кривые координации для среднего значения различных ограничений. Чем ниже трение, тем выше и круче кривая координации.

Явление координации учитывается при регулярном изменении нагрузок на машины и различные конструкции. Координата также используется в акустике, радиальной динамике и т.д.

Источник

Что такое амплитуда

Что такое период

Что такое частота

Что такое циклическая частота

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Что такое фаза колебаний

Различия между фазой и начальной фазой

Как на графике колебаний отметить фазу

Как определить фазу с помощью формулы

Что такое разность фаз

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Механические колебания.

Гармонические колебания.

Уравнение гармонических колебаний.

Пружинный маятник.

Математический маятник.

Свободные и вынужденные колебания.

Задачи на Механические колебания с решениями

Название величины

Обозначение

Единица измерения

Формула

Амплитуда колебаний

A

м

Период колебаний

T

с

T = 1 / v ;

T = t / N

Частота колебаний

v

Гц

v = 1 / T ;

v = N / t

Число колебаний за какое-то время

N

N = t /T ;

N = vt

Время

t

с

t = NT ;

t = N / v

Циклическая частота колебаний

ω

Гц

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://uchitel.pro/wp-content/uploads/2018/12/2018-12-11_19-48-01.jpg" alt width="166" height="69" />

Период колебаний пружинного маятника

T

c

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://uchitel.pro/wp-content/uploads/2018/12/2018-12-11_19-50-53.jpg" alt width="134" height="74" />

Период колебаний математического маятника

T

c

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://uchitel.pro/wp-content/uploads/2018/12/2018-12-11_19-51-08.jpg" alt width="128" height="77" />

Уравнение гармонических колебаний

x(t) = Asin(ωt+φ0)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Краткая теория для решения Задачи на Механические колебания.

Характеристики колебаний

Что такое амплитуда

Что такое период

Что такое частота

Что такое циклическая частота

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Что такое фаза колебаний

Различия между фазой и начальной фазой

Как на графике колебаний отметить фазу

Как определить фазу с помощью формулы

Что такое разность фаз

Как связаны характеристики колебаний — формулы

По графику гармонических колебаний (рис. 125) определите амплитуду, период и частоту колебаний.

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

Величины, характеризующие колебательное движение

Этот видеоурок доступен по абонементу

x(t) = Asin(ωt+φ₀)