Как найти площадь круга для егэ - AutoPluse.ru - решение различных проблем

Окружность на ЕГЭ и ОГЭ — сложно. Все потому, что эта фигура не похожа на остальные: у неё нет углов и сторон, зато есть совсем другие элементы. В этой статье мы подробно поговорим про элементы окружности, углы, отрезки и прямые, которые с ней связаны, а также обсудим длину окружности и площадь круга. Ну и разберем основные задания ЕГЭ и ОГЭ, конечно же!

В этой статье:

Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭОтрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭДлина окружности и площадь кругаЧто нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ

Все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ — разбор заданий и задач

Для начала давайте разберёмся, что же такое окружность. Окружность — это замкнутая линия, состоящая из множества точек, которые равноудалены от центра окружности. Основной элемент окружности — это радиус, он соединяет центр с любой точкой на окружности.

Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ

У окружности есть 2 вида углов:

вписанные (их вершина лежит на окружности);
центральные (тут всё понятно из названия, у них вершина в центре окружности).

Расположение и свойства углов в окружности можно увидеть на схеме ниже:

Теория: углы в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Давайте отработаем это на практике:

Задание на углы окружности в ЕГЭ и ОГЭ

Решение

Можно заметить, что угол АСВ — вписанный и опирается на дугу АВ, соответственно, центральный угол АОD, опирающийся на ту же дугу будет в 2 раза больше, то есть 70 градусов. Теперь рассмотрим развёрнутый угол ВОD, он состоит из углов АОВ и АОD. Градусная мера развёрнутого угла 180 градусов, следовательно искомый угол АОD будет равен 180 – 70 = 110 градусов.

Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Теперь рассмотрим отрезки и прямые в окружности. Приготовьтесь, их будет много!

Есть хорда — это отрезок, который соединяет 2 любые точки на окружности. Если хорда пройдёт через центр окружности, то она превратится в диаметр. Кстати, если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что диаметр — это 2 радиуса!

Хорда, диаметр, радиус и центр окружности на схеме

Теперь продлим хорду в обе стороны за пределы окружности, получим прямую, которая переСЕКает нашу окружность, отсюда и её название — секущая. Можно заметить, что секущая имеет 2 общих точки пересечения с окружностью. А ещё мы можем провести прямую так, чтобы она имела с окружностью только 1 точку пересечения, то есть касалась её, такая прямая будет называться касательная.

Подробнее со свойствами касательной и секущей можно ознакомиться на рисунке:

Свойства касательной и секущей в окружности на схеме

Рассмотрим на примерах заданий про окружность в ЕГЭ и ОГЭ:

Первый пример задания на касательную в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Второй пример задания на касательную в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ

Теперь я предлагаю ознакомиться с теоремами, которые появляются в комбинациях различных прямых и отрезков в окружности.

Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Первая теорема про хорду и касательную звучит так:

Угол между касательной и хордой равен половине дуге, которую стягивает хорда.

Подробнее с выведением вы можете ознакомиться на рисунке:

Вот так выводится теорема про хорду и касательную

Однако хочу обратить ваше внимание, что если вы просто запомните формулировку, то многие задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ покажутся вам супер-простыми и будут решаться в 1 действие. Давайте в этом убедимся:

Пример решения задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ с использованием теоремы про хорду и касательную

Вот так просто и быстро в 1 действие мы справились с задачей. Правда здорово?!

Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

А теперь давайте посмотрим на одну из моих самых любимых теорем. А любимая она, потому что без неё некоторые задачи кажутся практически нерешаемыми, а с ней их можно решить быстро и просто! Звучит она так:

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
Я советую запоминать именно словесную формулировку, так как чертежи и буквы на них могут быть разными, и есть риск всё перепутать.

Наглядно познакомиться с теоремой можно на рисунке ниже:

Теорема: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть

И конечно же давайте отработаем на практике!

Пример задания на теорему № 2

Если бы мы не знали ту теорему, которую только что прошли, то было бы много версий, как можно решить задачу. Кто-то начал бы строить радиус к касательной и рассматривать треугольники, а кто-то просто не стал бы решать, однако у нас есть формула: давайте её используем!

Решение:

Вот так просто решается это задание!

Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Если вы ещё не устали от теорем, то давайте познакомимся с ещё одной, которая связывает хорду с диаметром (радиусом).

Эта теорема интересна тем, что работает в обе стороны:

Вот так хорду можно связать с диаметром (радиусом)

Конечно же я не могу оставить вас без тренировки, поэтому посмотрим на следующую задачу:

Задание на нашу теорему и его решение

Теорема № 4: пересекающиеся хорды

Последнее, с чем я вас познакомлю в контексте прямых и отрезков в окружности будет свойство пересекающихся хорд:

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

Свойство пересекающихся хорд на рисунке

Для наглядности отрезки выделены разными цветами, так вам будет проще запомнить свойство.

А теперь отработаем его на практике:

Задание на свойство пересекающихся хорд и его решение

Длина окружности и площадь круга

Вот мы и подошли с вами к самому интересному, формулам длины окружности и площади круга, давайте их запишем:

Формулы длины окружности и площади круга

Эти формулы очень походы, в них есть двойка, число Pi и радиус, однако можно заметить, что у формулы длины окружности двойка слева, а у площади круга справа в степени.

Так как же их не путать? Очень просто: запомните, что вторая степень (или квадрат) должна быть у площади, значит двойка слева будет у длины.

Давайте это закрепим:

Задание на длину окружности и площадь круга в ЕГЭ и ОГЭ

Вот так просто и быстро мы закрепили сразу обе формулы.

Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи

А теперь перейдём к самому интересному — нахождению площади и длины дуги сектора круга. Многие ученики думаю, что это сложно, но на самом деле это не так. Я предлагаю записать 2 коротких алгоритма, с помощью которых вы сможете легко найти площадь или длину дуги сектора.

2 алгоритма для поиска площади и длины дуги сектора

И конечно же давайте закрепим эти алгоритмы на практике:

Задача на поиск площади сектора круга в ЕГЭ и ОГЭ

Теперь вы умеете решать задания на поиск площади сектора. Согласитесь, что с алгоритмом всё намного понятнее и проще?

Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ

На самом деле это всё, что я хотела вам рассказать в данной статье. Давайте ещё раз повторим, что вы узнали.

Сначала мы познакомились с понятием окружность, потом посмотрели, какие бывают углы в окружности.
Затем увидели множество отрезков и прямых в окружности, записали их свойства, а также несколько теорем с ними.
В завершение мы поговорили про длину окружности, площадь круга, а также поиск площади и длины дуги сектора.

Самое ценное, что всю теорию мы закрепили на реальных заданиях из ОГЭ и ЕГЭ. Конечно, это далеко не всё, что вам может встретиться. Если вы хотите хорошо разбираться в окружности и в других темах, которые встречаются на экзаменах, записывайтесь на наши курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. На них мы подробно изучаем всю теорию, решаем много заданий, запоминаем удобные лайфхаки и решаем пробные экзамены, чтобы не стрессовать на реальном. Присоединяйтесь!

Источник

20 октября 2011

Окружности требуют более аккуратного подхода и встречаются в заданиях B5 гораздо реже. Вместе с тем, общая схема решения даже проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»).

Все, что требуется в таких заданиях — это найти радиус окружности R. Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR². Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R².

Чтобы найти указанные величины, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А затем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры вычисления радиуса:

Задача. Найти радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

Выполним дополнительные построения в каждой окружности:

В каждом случае точка B выбрана на окружности таким образом, чтобы лежать на пересечении линий сетки. Точка C в окружностях 1 и 3 дополняют фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R² = AB² = AC² + BC² = 2² + 2² = 8.

Для второй окружности все очевидно: R = AB = 2.

Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R² = AB² = AC² + BC² = 1² + 2² = 5.

Теперь мы знаем, как искать радиус окружности (или хотя бы его квадрат). А следовательно, можем найти площадь. Встречаются задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всего круга. В таких случаях легко выяснить, какую часть круга составляет этот сектор, и таким образом найти площадь.

Задача. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S/π.

Очевидно, сектор составляет одну четверть круга. Следовательно, S = 0,25 · S_круга.

Остается найти S_круга — площадь круга. Для этого выполним дополнительное построение:

Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R² = AB² = AC² + BC² = 2² + 2² = 8.

Теперь находим площади круга и сектора: S_круга = πR² = 8π; S = 0,25 · S_круга = 2π.

Наконец, искомая величина равна S/π = 2.

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010—2011 годах не было. По условию, нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого и требуется найти.

Хорошая новость состоит в том, что подобные задачи — самые легкие из всех задач на площади, которые бывают в ЕГЭ по математике. К тому же, круг и сектор всегда помещается на координатную сетку. Поэтому, чтобы научиться решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

Пусть исходный круг имеет площадь S_круга = 80. Тогда его можно разделить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. 2 шаг). Аналогично, каждый из этих секторов-«половинок» можно снова разделить пополам — получим четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. 3 шаг). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получим 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из этих «ошметков» составит S = 10.

Обратите внимание: более мелкого разбиения ни в одной задаче ЕГЭ по математике нет! Таким образом, алгоритм решения задачи B-3 следующий:

Разрезать исходный круг на 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 часть площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь S_круга = 240, то «ошметки» имеют площадь S = 240 : 8 = 30;
Выяснить, сколько «ошметков» помещается в исходном секторе, площадь которого требуется найти. Например, если в нашем секторе помещается 3 «ошметка» площадью 30, то площадь искомого сектора равна S = 3 · 30 = 90. Это и будет ответ.

Вот и все! Задача решается практически устно. Если все равно что-то непонятно, купите пиццу и порежьте ее на 8 кусков. Каждый такой кусок будет тем самым сектором-«ошметком», которые можно объединить в более крупные куски.

А теперь разберем примеры из пробного ЕГЭ:

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый площадью S = 40 : 5 = 8. Получим:

Очевидно, закрашенный сектор состоит ровно из двух секторов-«ошметков». Следовательно, его площадь равна 2 · 5 = 10. Вот и все решение!

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Снова разделим весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного их них как раз и требуется найти. Следовательно, его площадь равна S = 64 : 8 = 8.

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 48. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Опять разделим круг на 8 равных секторов. Площадь каждого из них равна S = 48 : 8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«ошметка» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3 · 6 = 18.

Смотрите также:

Задача B5: площадь сектора
Задача B5: площадь закрашенного сектора
Сложение и вычитание дробей
Не пишите единицы измерения в задаче B12
Как решать простейшие логарифмические уравнения
Задача B4: строительные бригады

Источник

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решать задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Начнем с квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Она также равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Для площади треугольника есть целых 5 формул. И все они применяются в задачах ЕГЭ.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S=displaystyle frac{1}{2}ah_a=displaystyle frac{1}{2}bh_b=displaystyle frac{1}{2}ch_c.$

2) Она также равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab{sin C=displaystyle frac{1}{2}ac{sin B= } }displaystyle frac{1}{2}bc{sin A }.$

3) По формуле Герона, где $p=displaystyle frac{1}{2}left(a+b+cright)$ полупериметр.

4) Также площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радис вписанной окружности, S = pr.

5) Еще один способ. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности, $S=displaystyle frac{abc}{4R}.$

Есть и другие формулы для площади треугольника. Но для решения заданий ЕГЭ, и первой, и второй части, достаточно этих пяти.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Она также равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab=displaystyle frac{1}{2}ch_{ }$

Площадь правильного треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на sqrt{3} и деленному на 4:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h.$

Также можно сказать, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту,

Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, $S=displaystyle frac{1}{2}ACcdot BDcdot {sin alpha }$

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. Она также равна половине произведения диагоналей:

Площадь круга равна произведению числа и квадрата радиуса круга.

Ее также можно записать как произведение числа и квадрата диаметра круга, деленного на 4:

Вспомним важные свойства площадей фигур.

Равные фигуры имеют равные площади.
Иногда фигуры, имеющие равные площади, еще называют равновеликими.
Если фигура составлена из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

Пример. Найдем площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см times 1см.

Решение:

Найдем площадь фигуры на рисунке как сумму площадей нескольких фигур.

На рисунке это три треугольника и трапеция, указаны их площади. Тогда площадь фигуры равна 10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18.

Ответ: 18.

3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Треугольники АВС и на рисунке называются подобными.

У треугольника все стороны в k раз длиннее, чем у треугольника АВС. Высота треугольника в k раз длиннее, чем высота треугольника АВС. Тогда площадь треугольника в k^2 раз больше, чем площадь треугольника АВС.

4. На рисунке показаны треугольники АВС и BCD, имеющие общую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению АС к CD:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}=displaystyle frac{AC}{CD}$

5. Треугольники АВС и АЕС на рисунке имеют одинаковое основание и разные высоты.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{AEC}}=displaystyle frac{BD}{EH}.$

6. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади, треугольника.

На рисунке СМ — медиана треугольника АВС. Площади треугольников АСМ и ВСМ равны.

7. Три медианы треугольника делят его на шесть равных по площади треугольников.

На рисунке все 6 треугольников, из которых состоит треугольник АВС, имеют равные лощади.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Площади фигур.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен ${30}^circ.$

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

$S=displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot {sin 30{}^circ =displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot displaystyle frac{1}{2}=24 }.$

Ответ: 24.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:

Так как DE и АВ параллельны, треугольники CDE и САВ подобны с коэффициентом подобия $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

$S=displaystyle frac{1}{4}cdot 4=1.$

Ответ: 1.

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Решение:

Выразим площадь двумя способами:
$S_{ABC}=displaystyle frac{1}{2}CHcdot AB=displaystyle frac{1}{2}AKcdot CB.$

Тогда $AK=displaystyle frac{CHcdot AB}{CB}=displaystyle frac{4cdot 9}{6}=6.$

Ответ: 6.

Задача 4. Площадь треугольника ABC равна 10, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение:

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_{CDE}=displaystyle frac{1}{4}cdot 10=2.5.$

Следовательно, .

Ответ: 7,5.

Задача 5. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, ${sin A=displaystyle frac{6}{7}}$ . Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение:

Большая высота — это DH, потому что проведена к меньшей стороне. Из треугольника АDН:

$DH=AD{sin A=21cdot displaystyle frac{6}{7}=3cdot 6=18 }.$

Ответ: 18.

Задача 6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение:

Квадрат — это частный случай ромба. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Решение:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника равна тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Периметр P = 2 · 3 + 2 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Задача 8. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна вторая равна а острый угол параллелограмма равен alpha . Тогда площадь параллелограмма равна а площадь прямоугольника равна

По условию площадь прямоугольника вдвое больше:

${S_2=2S_1} .$ Следовательно, $acdot b=2acdot bcdot {sin alpha Leftrightarrow {sin alpha }=0,5 }Leftrightarrow alpha =30{}^circ.$

Ответ: 30.

Задача 9. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть высоты равны соответственно a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. Поэтому a = 8, b = 4. Большая высота равна 8.

Ответ: 8.

Задача 10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30 ${}^circ.$

Решение:

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть сторона ромба равна

Получим уравнение:

$a^2=a{sin alpha }.$

Корень уравнения a = 4, поэтому

Ответ: 8.

Задача 11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S=displaystyle frac{1}{2}cdot 4cdot 12=24.$

Ответ: 24.

Задача 12. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная, значит,

$AH=displaystyle frac{AB-DC}{2}=6;$

$AD=displaystyle frac{P_{ABCD}-left(AB+DCright)}{2}=10.$

Тогда по теореме Пифагора из треугольника ADH:

$DH=sqrt{{AD}^2-{AH}^2}=8;$

$S=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot DH=20cdot 8=160.$

Ответ: 160.

Задача 13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45 ${}^circ.$

Решение:

Проведем высоту CH. Треугольник CHB — прямоугольный, в нем

$angle B=45{}^circ ,$ значит, он также равнобедренный, CH = HB = 4.
$S_{ABCD}=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot CH=4cdot 4=16.$

Ответ: 16.

Задача 14. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:
$S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot hLeftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}cdot 5=75Leftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}=15.$

Ответ: 15.

Задача 15. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна h, тогда

$S=displaystyle frac{27+9}{2}cdot h=72.$

Из этого уравнения получим: h = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции. Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла ${30}^circ.$

Ответ: 30.

Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Задача 16. Найдем площадь четырехугольника на рисунке.

Решение:

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:

Ответ: 12,5.

В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Задача 17. Найдем площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:

Ответ: 10,5.

Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.

Задача 18.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Решение:

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R = 1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

Формула Пика

Покажем, как вычислять площадь фигуры, изображенной на координатной плоскости, с помощью формулы Пика.

Задача 19. Найдите площадь многоугольника АВСDE, изображенного на рисунке.

Первый способ:

Площадь многоугольника ABCDE равна сумме площадей треугольника BCD, трапеции BKDE и треугольника AKE.

Имеем:

$S_{vartriangle BCD}=displaystyle frac{1}{2}cdot 9cdot 2=9;$

$S_{BKDE}=displaystyle frac{1}{2}cdot (9+3)cdot 2=12;$

$S_{vartriangle AKE}=displaystyle frac{1}{2}cdot 3cdot 4=6;$

$S_{ABCDE}=9+12+6= 27.$

Второй способ — применить формулу Пика.

Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты — целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

Здесь В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Главное — аккуратно посчитать. На нашем рисунке

В = 24 (показаны зеленым),

Г = 8 (показаны красным),

S = 24 + $displaystyle frac{8}{2}$ — 1 = 27.

Ответ: 27.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Все формулы по геометрии. Площади фигур» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

24 мая

Обновлённая панель инструментов

22 мая

Беседы Решу ЕГЭ по подготовке к ЕГЭ

11 мая

Решение досрочных ЕГЭ по всем предметам

5 мая

Обновленный поиск заданий по ключевым словам

1 мая

Новый сервис: можно исправить ошибки!

29 апреля

Разместили актуальные шкалы ЕГЭ  — 2023

24 апреля

Учителю: обновленный классный журнал

7 апреля

Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю

30 марта

Решения досрочных ЕГЭ по математике

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Каталог заданий.
Круг и его элементы

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д4 № 26237

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён вписанный в окружность угол ABC. Найдите его градусную величину.

Аналоги к заданию № 27890: 26237 27891 509571 Все

Решение

Видеокурс

Помощь

Задания Д4 № 27562

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Аналоги к заданию № 27562: 5297 5299 5301 … Все

Решение

1 комментарий

Видеокурс

Помощь

Задания Д4 № 27946

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 times 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Видеокурс

Помощь

Задания Д4 № 245008

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см изображено кольцо. Найдите его площадь. В ответ запишите площадь, делённую на Пи . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Аналоги к заданию № 245008: 263421 263419 263479 … Все

Решение

Видеокурс

Помощь

Задания Д4 № 250883

Аналоги к заданию № 250883: 250903 Все

Решение

Видеокурс

Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

Площадь круга равна произведению числа displaystyle pi на квадрат радиуса:
$displaystyle S=pi R^{2}.$
Задача 1. Найдите площадь круга, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 1). В ответе укажите $displaystyle frac{S}{pi }$ .

Рис.1

Решение.
Площадь круга равна произведению числа displaystyle pi на квадрат радиуса. Найдём радиус. Из центра проведём радиус . В треугольнике OAB сторона — гипотенуза, катеты равны 1 и 2 (см. рис. 2).

Рис.2

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора. $displaystyle OA=sqrt{1^{2}+2^{2}}=sqrt{5}.$
Площадь круга $displaystyle S=pi (sqrt{5})^{2}=5pi .; frac{S}{pi }=frac{5pi }{pi }=5.$
Ответ: 5.
Задача 2. На клетчатой бумаге нарисовано два круга (см. рис. 3). Площадь внутреннего круга равна 3. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Рис.3

Решение.
Радиус внутреннего круга — 3 клетки, его площадь равна $displaystyle pi R^{2}=3$ . Радиус внешнего круга — 6 клеток, то есть , поэтому его площадь равна $displaystyle pi (2R^{2})=3cdot 4=12.$ Площадь заштрихованной фигуры равна разности 12 — 3 = 9.
Ответ: 9.
Площадь сектора с углом displaystyle alpha градусов равна $displaystyle frac{pi R^{2}alpha }{360^{circ}}.$
Задача 3. Найдите площадь сектора с углом 18 градусов и радиусом 4. В ответе укажите $displaystyle frac{S}{pi }$ .
Решение.
Посчитаем площадь сектора по формуле $displaystyle S=frac{pi R^{2}alpha }{360}=frac{pi cdot 4^{2}cdot 18}{360}=0,8pi cdot frac{S}{pi }=0,8.$
Ответ: 0,8.
Задача 4. Найдите площадь заштрихованного сектора, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 4). В ответе укажите $displaystyle frac{S}{pi }$ .

Рис.4

Решение.
На рисунке 4A) площадь круга с радиусом = 2 равна $displaystyle pi R^{2}=pi cdot 2^{2}=4pi .$
На рисунке 4В) площадь сектора составляет $displaystyle frac{1}{4}$ от площади круга (если круг разделить на 4 равные части, то одна из них как раз и будет равна заданному сектору), то есть
$displaystyle frac{pi R^{2}}{4}=frac{pi cdot 2^{2}}{4}=pi.$
Можно было решать задачу по-другому. Площадь сектора равна площади круга, делённой на 4.
displaystyle S:4=4pi :4=pi.
Ответ: 1.
Задача 5. Найдите площадь заштрихованных секторов на рисунках C и D, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 5).

Рис.5

В ответе укажите $displaystyle frac{S}{pi }$ .
Решение. Посчитаем, какая часть круга закрашена. Проведя дополнительные линии (см. рис. 6), видим, что сектор на рисунке 6C) составляет — часть круга, а сектор на рисунке 6D) составляет
$displaystyle frac{5}{8}$ частей круга (круг разделён на 8 равных частей, и закрашено 5 таких частей).
Находим площади секторов на рисунках 6C) и 6D).

Рис.6

1-й способ.
Поделим площадь круга на 8, получим площадь сектора на рисунке 6C), потом умножим эту площадь на 5, получим площадь сектора на рисунке 6D).
$displaystyle S_{C}=4pi :8=0,5pi ;; frac{S}{pi }=0,5;; S_{D}=4pi :8cdot 5=2,5pi ;frac{S}{pi }=2,5.$
Ответ: 0,5 и 2,5.
2-й способ. Найдём площадь $displaystyle frac{1}{8}$ круга.
$displaystyle S_{C}=frac{1}{8}cdot 4pi =0,5pi ;; frac{S}{pi }=0,5;; S_{D}=frac{5}{8}cdot 4pi =2,5pi ;; frac{S}{pi }=2,5.$
Ответ: 0,5 и 2,5.

Источник

Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Решение

Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ

Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ

Теорема № 4: пересекающиеся хорды

Длина окружности и площадь круга

Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи

Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Не пропустите также: