Как найти площадь прямоугольника единица измерения

Математика

5 класс

Урок №30

Площадь прямоугольника. Единицы площади

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятие площади фигуры;

-единицы измерения площади; 

— площадь прямоугольника, квадрата; 

— приближенное измерение площади фигуры на клетчатой бумаге.

Тезаурус

Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). 

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны. 

Площадь прямоугольника– число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.

Основная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы начнём занятие с задачи. Представим, что две девочки пришли в магазин, чтобы купить в подарок подруге на день рождения коробку конфет. На витрине были разложены самые разные наборы сладостей. Девочки решили купить ту коробку, которая больше. А какая из них больше? Как это измерить? Можно сравнить коробки по длине и ширине или просто положить их друг на друга. Но одна коробка оказалась длиннее, а другая – шире. Какая же из них больше? Как это узнать?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы поговорим о вычислении площади прямоугольника.

Для начала введём понятие площади фигуры.

Если какую-нибудь площадь можно разбить на n квадратов со стороной, например, 1 см, то получится, что площадь фигуры равна n см².

За единицу измерения площадей принимают не только квадратный сантиметр, но и квадратный миллиметр, квадратный дециметр, квадратный метр.

Это площади квадратов, длины сторон которых равны одному миллиметру, одному дециметру и одному метру соответственно.

Далее покажем, что подразумевается под площадью прямоугольника.

Площадью прямоугольника называют число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.

Называя величину площади, необходимо указывать единицу измерения.

Например, прямоугольник состоит из пятнадцати квадратов; площадь каждого квадрата составляет 1 см². Следовательно, площадь всего прямоугольника равна 15 см².

S = 15 см²

Решим задачу.

Найдём площадь прямоугольника ABCD, который имеет длину АВ = 6 см и ширину ВС = 7 см. Для этого разделим его на квадратные сантиметры. Сосчитаем, сколько квадратных сантиметров в нём содержится.

В прямоугольнике ABCD квадратный сантиметр содержится сорок два раза – значит, его площадь равна: S = 42 см² = 6 см · 7 см = АВ · ВС.

Поэтому можно ввести формулу для нахождения площади прямоугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольника S, нужно умножить его длину a на ширину b.

S = а · b

Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то его площадь можно вычислить как квадрат его стороны а.

S = а · а = а²

Далее найдём соотношение между единицами измерения площадей.

Так как 1 см = 10 мм, следовательно, 1 см² = 10² мм² = 100 мм².

Соответственно, 1 дм² = 10² см² = 100 см²

1 м² = 10² дм² = 100 дм²

1 км² = 1000² м² = 1000000 м².

Для измерения небольших площадей земельных участков используют специальную единицу измерения– ар, которая равна площади квадрата со стороной десять метров. В обиходе ар называют соткой, так как один ар– это сто квадратных метров.

1 ар = 10² м² = 100 м²

Для обмера больших земельных территорий ввели единицу один гектар, которая соответствует площади квадрата со стороной сто метров.

1 га = 100² м² = 10000 м² = 100 а

Решим задачу.

Найдём площадь прямоугольника.

При измерении окажется, что стороны с недостатком приближенно равны трём и пяти сантиметрам. Значит, площадь прямоугольника больше, чем произведение этих сторон, то есть пятнадцати квадратных сантиметров.

S (с недостатком) = 3 · 5 = 15 см²

Если взять стороны в приближении с избытком, то есть четыре и шесть сантиметров, то площадь будет меньше произведения сторон, а именно равна двадцати четырём квадратным сантиметрам.

S (с избытком) = 4 · 6 = 24 см²

Таким образом, площадь этого прямоугольника варьируется от пятнадцати до двадцати четырёх квадратных сантиметров.

15 см² < S < 24 см²

Отметим, что равные прямоугольники имеют равную площадь.

Сравним площади закрашенных квадратов, изображённых на рисунке.

Решение: если посмотреть внимательно на рисунок, то можно заметить, что все фигуры расположены в одинаковых квадратах со стороной 9 клеток, следовательно, площади этих квадратов одинаковы. На верхнем рисунке шесть фигур – два квадрата и четыре треугольника. На нижнем рисунке пять фигур – квадрат и четыре треугольника.

Далее внимательно посмотрим на треугольники – все они одинаковы, следовательно, их площади одинаковы. И, если из больших квадратов, в которых расположены наши фигуры, мы отнимем сумму площадей равных треугольников, получится, что площади оставшихся фигур (квадратов) верхней и нижней части равны.

Примеры заданий из Тренировочного модуля

№ 1. В квадрате все стороны равны 5 см. Чему равна площадь квадрата?

Решение: Для нахождения площади квадрата воспользуемся следующей формулой:

S = а² = 5см · 5 см = 25 см²

№ 2. Найдите площадь фигуры.

Решение: сначала следует разделить фигуру на три прямоугольника, далее найти площадь каждого по формулеS=а · b, а затем сложить площади трёх фигур. Или можно найти площадь прямоугольника со сторонами 10 см и 3 см, она равна 30 см². Далее вычислить площадь вырезанной фигуры со сторонами 2см на 1 см, она составляет 2см². И вычесть 2 см² из 30см².

Ответ: 28 см².

Area is the space occupied inside by the boundary of any figure. It is the total surface covered by the perimeter of the figure. It is measured in square units. It is generally calculated by multiplying the bases of the figure with its length. For example, the area of the room is its length multiplied by its breadth.

In this article we will be learning about, some figures and their areas like the square, rectangle, circle, triangle, and others.

What are Area Formulas?

Area formulas are essential tools used in mathematics to calculate the amount of space enclosed by different two-dimensional shapes. These formulas can be used to find the area of geometric figures such as squares, rectangles, circles, triangles, trapezoids, and ellipses. By using these formulas, we can accurately calculate the area of different shapes, enabling us to solve real-world problems and make important calculations.

Area Formula for Rectangle:

Rectangle is a 2-Dimensional figure which is a quadrilateral, i.e. it has four sides its opposite sides are parallel and equal. All the angles in the rectangle are equal and their measure is 90 degrees. The diagonals of the rectangle are equal and they are perpendicular bisectors of each other.

Rectangle Formula:

The formula for calculating the area of a rectangle is,

• Area of Rectangle (A) = l×b square units

where
l is the length of the rectangle
b is the breadth of the rectangle

Area Formula for Square:

Square is a 2-Dimensional figure which is a quadrilateral, i.e. it has four sides its opposite sides are parallel and all four sides in a square are equal. All the angles in the square are equal and their measure is 90 degrees. The diagonals of the square are equal and they are perpendicular bisectors of each other.

Square Formula:

The formula for calculating the area of a square is,

• Area of Square (A) = a² square units

where a is the side of the square.

Area Formula for Triangle:

Triangle is the simplest polygon which is made by joining three straight lines. As the name suggests it is a polygon with three angles. The sum of the lengths of all sides of the triangle is the perimeter of the triangle and the space inside the perimeter of the triangle is the area of the triangle.

Triangle Formula:

The formula for calculating the area of a triangle is,

• Area of Triangle (A) = 1/2×bh square units

where 
a, b and c are the sides of the square.
h is the height of the square

Area Formula for Circle:

Circle is a geometrical figure with no straight line. It is the locus of the point that is always at a constant distance from the fixed point. The fixed point is called the centre of the circle and the fixed distance is the radius of the circle.

Circle Formula:

The formula for calculating the area of a circle is,

• Area of Circle (A) = πr² units²
• Perimeter/Circumference of Circle (C) = 2πr units

where 
r is the radius of the circle

List of Formulas:

The list of formulas for the areas of the various figures are,

Examples of Area Formulas Using  Different Geometric Shapes

Example 1: Find the area of a rectangle with a length of 5 cm and a breadth of 2 cm.

Solution:

Given,

Length of the Rectangle (l) = 5 cm
Breadth of the rectangle (b) = 2 cm

Area of Rectangle(A) = l × b

A = 5cm × 2cm 
   = 10cm²

Example 2: Find the area of the square park whose side is 4 m.

Solution:

Given,

Side of Square (a) = 4 m

Area of Square = a² 
                                = (4)² = 16 m²

Thus, the area of the square park is 16 m²

Example 3: Find the area of a triangular plate whose height is 6 cm and the base is 6 cm.

Solution:

Given,

Height of Triangle (h) = 6 cm
Base of Triangle (b) = 8 cm

Area of Triabgle(A) = 1/2(b × h)

A = 1/2(8 × 6)
   = 48/2 = 24 cm²

The area of the triangular plate is 24 cm²

Example 4: Find the area of a circular disc with a radius of 1.4 cm.

Solution:

Given,

Radius of Circle (r) = 1.4 cm

Area of Circle(A) =  πr²

A = π(1.4)²
   = 22/7(1.4)(1.4) = (4.4)(1.4)
   = 6.16 cm²

The area of the circular disc is 6.16 cm²

FAQs on Area Formulas

Q1: What are Area Formulas?

Answer:

The area formulas are the formulas which are used to find the area of any figure. It is used to find the amount of space occupied by the figure. Generally, the area is represented with the letter ‘A’. and is measured in unit², i.e. cm², m², etc.

Q2: What is the Area Formula For Square?

Answer:

The area formula for a square is the formula to calculate the space occupied by the square. The mathematical formula to calculate the area of the square is,

Area of Square = (side)²

Q3: What is the Area Formula For Rectangle?

Answer:

The area formula for a rectangle is the formula to calculate the space occupied by the rectangle. The mathematical formula to calculate the area of the rectangle is,

Area of Rectangle = Length × Breadth

Q4: What is the Area Formula For Triangle?

Answer:

The area formula for a triangle is the formula to calculate the space occupied by the triangle. The mathematical formula to calculate the area of the triangle is,

Area of Triangle = 1/2(base × height)

Q5: What is the Area Formula For Circle?

Answer:

The area formula for a circle is the formula to calculate the space occupied by the circle. The mathematical formula to calculate the area of the circle is,

Area of Circle = π(radius)²

Q6: What is the Area Formula For Quadrilateral?

Answer:

The area formula for a quadrilateral is the formula to calculate the space occupied by the quadrilateral. The mathematical formula to calculate the area of the quadrilateral is,

Area of Quadrilateral = 1/2 × diagonal× sum of height

Last Updated :
24 May, 2023

Like Article

Save Article

Общие сведения

В различных задачах с физико-математическим уклоном приходится вычислять площадь прямоугольника. Однако формула расчета применяется не только в математике и физике, но и во время ремонтных работ. Например, следует посчитать количество расходных материалов, которое зависит от квадратуры комнаты или здания.

Очень важно не только знать основные соотношения, но и корректно переводить единицы измерения из одной в другую. От знаний полностью зависит экономия денежных средств. Например, при клейке обоев в комнате требуется определенное количество рулонов. Это количество можно купить в строительном магазине «на глаз» или рассчитать квадратуру комнаты. Во втором случае можно существенно сэкономить. Для того чтобы посчитать квадратные метры помещения, нужно вычислить его площадь.

Площадь фигуры

Площадью двумерной фигуры является численная характеристика, которая показывает ее размерность. Она обозначается литерой S и измеряется в квадратных единицах (мм ², см ², дм ²и т. д.). Не каждый элемент геометрии имеет площадь. Прямая, луч, отрезок, точка не имеют двумерной размерности. Фигуры, у которых она присутствует, являются квадратируемыми. Если значения их S равны, то они являются равновеликими.

Для вычисления значения двухплоскостной размерности фигуры применяется интегральный метод. Однако бывают частные случаи, когда вычислять интеграл необязательно. Существуют определенные формулы, полученные с помощью интегрального метода. Чтобы ими воспользоваться, нужно просто подставить числовые значения сторон.

Нахождение площади получило широкое распространение в физике. Например, для вычисления электрического сопротивления нужно найти площадь поперечного сечения проводника. Она зависит от его формы. Площадь можно вычислить и у объемной поверхности, но для этого применяется интегрирование.

Единицы измерения

При решении задач на нахождение значения площади нужно знать единицы ее измерения. Кроме того, следует правильно выполнять перевод одной единицы в другую. В системе исчисления используются квадратичные единицы измерения. За основу следует брать размер стороны прямоугольника. Например, при указании площади в кв. м нужно измерять в метраже стороны объекта. Это стандартная единица измерения площади.

Существуют также производные единицы. Самой маленькой из них является квадратный миллиметр (кв. мм или мм ²). В некоторой литературе или программировании можно встретить такую запись: sqr (m), которая означает квадратный метр. Основные производные единицы площади:

1. 1 см ² = 100 мм ².

2. 1 дм ² = 100 см ².

3. 1 м ² = 100 дм ² = 10000 см ².

4. 1 км ² = 1000000 м ².

5. 1 ар (а) = 1 сотка = 100 м ².

6. 1 гектар (га) = 10000 м ².

Последние применяются для измерения земельного участка. Однако необязательно их все помнить. Они легко выводятся при помощи простейших математических вычислений. Например, для выполнения расчетов нужно перевести кв. м в кв. см. Однако человек мог забыть, сколько см ²в квадратном метре. Следует взять метрическую форму (1 м = 100 см). Затем нужно возвести обе части выражения в квадрат: 1 м ² = 100 * 100 = 10000 (см ²).

Информация о прямоугольнике

Прямоугольник — четырехугольная геометрическая фигура, противолежащие стороны которой равны и углы являются прямыми. Частным случаем данной фигуры считается квадрат. У него все углы прямые, а также все стороны равны между собой. Для выполнения расчетов нужно знать основные соотношения, свойства и признаки.

Важным аспектом является идентификация фигуры и применение к ней формул и соотношений. В двухмерной геометрии, которую еще называют эвклидовой, можно встретить необычный признак, позволяющий определить принадлежность четырехугольника к прямоугольнику. Его формулировка следующая: достаточно хотя бы трех углов, равных 90 градусам, чтобы четырехугольник считался прямоугольником.

Утверждение легко доказывается. Это связано с тем, что по теореме о сумме внутренних углов произвольного четырехугольника, составляющей 360 градусов, четвертый угол тоже равен 90. Нужно выполнить следующие расчеты для определения градусной меры четвертого угла: D = 360 — (90 + 90 + 90) = 90. Необходимо отметить, что смежные с ними углы равны 90.

Свойства и признаки

Очень часто новички путают свойства и признаки фигуры. Однако это совсем различные понятия. Признаками фигуры называются характерные особенности, которые позволяют отнести ее к тому или иному классу. Свойства — совокупность аксиом, позволяющих использовать некоторые данные при решении или доказательстве теорем и тождеств. Прямоугольник обладает следующими признаками:

1. Условие параллельности и равенства противоположных сторон.
2. Наличие четырех прямых углов.
3. Равенство диагоналей.
4. Квадрат диагонали равен суммарному значению квадратов двух сторон, которые не противоположны.
5. Все стороны не равны между собой.

Очень важно уметь различать геометрические фигуры. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то их часто путают. Основное его отличие — это равенство всех углов 90 градусов. У параллелограмма и ромба углы будут равняться 90 в том случае, когда они являются квадратами. Последний отличается от искомой фигуры (прямоугольника) равенством всех сторон. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то обладает такими же свойствами:

1. Углы равны между собой 90 градусов.
2. Противолежащие параллельные стороны равны.
3. Сумма всех внутренних углов составляет 360.
4. Диагональ, проведенная внутри прямоугольника, делит его на два равнозначных треугольника, которые являются равновеликими. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (размерности сторон одной фигуры равны значениям сторон другой фигуры).
5. Треугольники, полученные при проведении двух диагоналей, равны по всем признакам (углам и сторонам).
6. Диагонали пересекаются между собой в точке, которая делит их на четыре равные части.
7. Точка пересечения диагоналей — центр симметрии.
8. Сумма квадратов двух диагоналей соответствует суммарному значению квадратов всех сторон фигуры.

Однако свойств и признаков фигуры недостаточно для решения задач. Следует знать основные соотношения и формулы.

Периметр и размерность

Нужно ввести некоторые обозначения. Пусть стороны прямоугольника АВСД обозначаются литерами a и b. Поскольку диагонали равны, то можно только обозначить размерность одной буквой «d». Периметром называется сумма всех сторон заданной фигуры. Он обозначается литерой P. Для его нахождения применяется формула такого вида: P = 2 * (a + b). Однако бывает случай, когда известна только одна его сторона и диагональ. Формула приобретает следующий вид: P = 2a + [2 * (2d ² — 2a ² )]^(1/2) и P = 2b + [2 * (2d ² — 2b ² )]^(1/2).

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, следует воспользоваться таким соотношением: S = a * b. Эта базовая формула, которая используется также в строительной сфере и физике. Однако существует еще один способ, с помощью которого можно узнать площадь прямоугольника. Она находится с помощью формулы Герона для треугольников с площадями S1 и S2, а затем результат умножается на 2. Эта особенность основывается на свойстве фигуры, поскольку диагональ делит его на два равных треугольника.

Соотношение имеет следующий вид: S = S1 + S2 = 2S1= 2 * [p * (p — a) * (p — b) * (p — d)]^(1/2). Переменная «p» — полупериметр треугольника. Он находится таким методом: p = P / 2 = (a + b + d) / 2.

Примеры решения

Задачи на нахождение площади применяются в нескольких дисциплинах. В геометрии применяются различные комбинации, при которых известны некоторые величины:

1. Две стороны.
2. Одна из сторон и диагональ.
3. Диагональ и разность сторон.

Для расчета расходных материалов и площади поперечного сечения проводника можно всегда измерить стороны прямоугольника. Существует два способа нахождения: автоматизированный и ручной. В первом случае используется специализированное программное обеспечение. Однако вовсе не обязательно применять сложные алгоритмы и программные модули, поскольку формула является очень простой. Для расчета специалисты рекомендуют применять онлайн-калькулятор.

При ручном режиме расчета нужно подставлять значения в формулу. После этого выполнять вычисления. Возможна и оптимизация процесса вычисления. Для этой цели рекомендуется использовать Excel. Приложение входит в состав стандартного офисного пакета MS Office.

Геометрия на плоскости

Задача сводится к тому, что необходимо высчитать S, зная размеры сторон (a = 25 и b = 10). В этом случае следует воспользоваться базовой формулой: S = a * b = 25 * 10 = 250 (ед ²). В ответе указывается условная единица измерения, поскольку явная не указана в условии задачи.

Еще один вариант задания немного сложнее предыдущего. Он имеет следующее условие: одна из сторон прямоугольника равна 6 м и диагональ 10 м. Нужно найти площадь прямоугольника. Формулой в этом случае является теорема Пифагора. Треугольник, который образуется при проведении диагонали, считается прямоугольный (неравносторонний, а разносторонний). Решается задача следующим образом:

1. Находится неизвестная сторона: b =(d ² — a ²)^(1/2) = (100 — 36)^(1/2) = 8 (м).

2. Площадь (произведение сторон): S = 6 * 8 = 48 (м ²).

Можно использовать двойную формулу Герона, однако метод усложняет вычисления. Для сравнения скорости и объема вычислений следует решить задачу вторым способом:

1. Сторона: b = 8 (м).

2. Значение площади будет вычисляться таким образом: S = 2 * [12 * (12−6) * (12−8) * (12−10)]^(1/2) = 2 * 24 = 48 (м ²).

Второй способ считается неправильным, поскольку необходимо во всех задачах оптимизировать вычисления. Сложным типом задачи, кроме интегрирования, считается нахождение площади, когда неизвестны стороны, а известна только диагональ (10). Известно также, что одна из сторон больше другой на 3 метра. В этом случае надо выражать одну сторону через другую. Алгоритм решения следующий:

1. Обозначить стороны: a = x и b = x — 3.
2. Составить уравнение: x * (x — 3) = 10.

3. Раскрыть скобки: x ² — 3x — 10 = 0.

4. Нахождение дискриминанта: D = b ² — 4* a * c = 9 — (4 * 10) < 0.

Поскольку у уравнения корней нет, то и прямоугольника с такими данными не существует. Если же корни имеются, то нужно подставить их для нахождения стороны b.

Электротехника и ремонт

Определение площади поперечного сечения проводника необходимо для вычисления сопротивления. В этом случае нужно измерить длину и толщину формы проводника, а затем перемножить стороны между собой. Если он является полым, то площадь фигуры нужно искать с помощью интеграла. Для разных проводников существуют определенные формулы.

Для вычисления расходных материалов нужно искать площадь потолка, стен, комнат или дома. Распространенный пример подсчета квадратуры керамической плитки для санузла: размер комнаты составляет 2,5х1,5 метра. Для подсчета необходимо воспользоваться формулой определения площади комнаты: S = 2,5 * 1,5 = 3,75 (м ²). Однако берется не исходное значение, а приближенное. Его нужно округлять только в большую сторону, т. е. править 3,75 на значение 4. Следует руководствоваться таким правилом: результат округляется в большую сторону.

Таким образом, для расчета площади прямоугольника можно воспользоваться формулой, а не выполнять интегрирование. Однако перед этим нужно внимательно изучить основные понятия и математические отношения.