Каждому из нас нередко приходилось считать площадь решётчатого многоугольника (изображённого, например, на клетчатой бумаге). В основном, это делают ещё по известным со школы формулам. Но в этом случае для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади.
Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников?
— Сказка? — Нет, теорема Пика!
• Названа она в честь Георга Пика (нет, не оружия или покемона), доказавшего её в 1899 году.
Формулировка звучит так:
S = В + Г / 2 − 1, где S — площадь многоугольника, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
• Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.
Например, для многоугольника на рисунке, В=7 (красные точки), Г=8 (зелёные точки), поэтому S = 7 + 8/2 — 1 = 10 квадратных единиц.
Докажем теорему Пика:
• Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем в этом случае В = (a-1)(b-1), Г = 2a+2b и, по формуле Пика, S = (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab .
• Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая В = ((a-1)(b-1)-c+2)/2, Г = (2a+2b)/2+c-1 и получаем, что S = ab/2.
• Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников (см. рисунок). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.
• Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно триангулировать, т.е. разбить на треугольники (например, диагоналями). Отсюда по индукции следует, что формула Пика верна для любого многоугольника. чтд
К сожалению, эта столь простая и красивая формула плохо обобщается на высшие размерности.
Наглядно показал это Рив, предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива) со следующими вершинами:
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,k)
Тогда этот тетраэдр ABCD при любых k не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки A, B, C, D. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.
Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта, но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.
Специально для ЖЖ матфака, Сергей Романов.
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 26 человек из 13 регионов
- Сейчас обучается 1157 человек из 83 регионов
- Сейчас обучается 83 человека из 38 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Площадь треугольника.
Решение одной задачи несколькими способами
Давыдова О.А.
учитель математики
МОУ «ООШ № 17»2014-2015 учебный год
-
2 слайд
Совершенствовать навыки решения задач на применение различных способов решений при нахождении площадей геометрических фигур на примере заданий №11 по математике.
Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, самостоятельность.
Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата, умение работать самостоятельно, осуществлять самоконтроль. -
3 слайд
Модуль «Геометрия» № 11
Нахождение площади фигур
На клетчатой бумаге с клетками размером
1 см х 1 см
изображен треугольник
(см. рисунок).
Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. -
4 слайд
1 способ. «Считаем по клеткам».
2 способ. «Формула площади фигуры».
3 способ. «Сложение площадей фигур».
4 способ. «Вычитание площадей фигур».
5 способ. «Формула Пика».
Способы решений -
5 слайд
7
3
1
2
4
5
6
8
9
10
1 способ
« Считаем по клеткам»
1.Посчитаем количество полных клеток внутри данного треугольника.
10
2.Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток.
5
3. Сложим полученные количества полных клеток:
10+5=15
Ответ: 15
1
2
3
4
5 -
6 слайд
а
h
6
5
«Формула площади фигуры»
Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
Sтр=(а•h)/2,
где а – основание треугольника,
h – высота, проведенная к этому основанию.
а=6, h=5
Получаем Sтр=(6•5)/2=15
Ответ: 15
2 способ -
7 слайд
«Сложение площадей фигур»
1.Разобьем данный треугольник на два прямоугольных треугольника, для этого проведем высоту.
2.Найдем площадь прямоугольного треугольника S1 :
S1 = (5Х5)/2=12,5
3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S2:
S2 = (5х1)/2=2,5
4.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
Sтр=S1+S2
Sтр=12,5+2,5=15
Ответ: 15
5
1
5
3 способ
S1
S2 -
8 слайд
5
6
5
5
1
S1
S2
«Вычитание площадей фигур»
1.Достроим до прямоугольника со сторонами 5 и 6.
2.Найдем площадь прямоугольника:
Sпр=5Х6=30
3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S1 :
S1 = (5Х5)/2=12,5
4.Найдем площадь прямоугольного треугольника S2:
S2 = (5х1)/2=2,5
5.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
Sтр=Sпр-(S1+S2)
Sтр=30-(12,5+2,5)= 15
Ответ: 15
4 способ -
9 слайд
5 способ
«Формула Пика»
Площадь искомого треугольника найдем по формуле Пика:
S=Г/2+В-1,
где Г –количество узлов на границе треугольника(на сторонах и вершинах),
В – количество узлов внутри треугольника.
Г=
Получаем S=12/2+10-1=15
Ответ: 15
В=
12,
10 -
-
11 слайд
Диаграмма популярности способов решения
-
12 слайд
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник (см. рисунок).
Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Данный треугольник – прямоугольный. Воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника:
S=1/2ab,
где a и b – катеты треугольника.
a=2, b=6.
Получаем S = ½ ·2·6 = 6.
Ответ: 6
2
6 -
13 слайд
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник (см. рисунок).
Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Воспользуемся формулой Пика:S=Г/2+В-1
Г = 5,
В = 9
Получаем S = 5/2 + 9 – 1 =
10,5
Ответ: 10,5 -
14 слайд
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
Sтр=(а•h)/2,
Решение.
где а – основание треугольника,
h – высота, проведенная к этому основанию.
Длина этого отрезка равна
h
a
Значит, а = 6 ,
h = 2
Sтр= (6 · 2 )/2 = 12.
Ответ: 12 -
15 слайд
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
1. Разобьем данную фигуру на 4 части. Получилось 4 прямоугольных треугольника.
1 способ.
2. Найдем площадь одного треугольника:
S =
2
(2·3)/2
3
= 3
3. Искомую площадь фигуры находим по формуле: S = 4·Sтр ,
S = 4·3=12.
Ответ: 12.
2 способ.
Данная фигура – ромб.
Площадь ромба находим по формуле:
S = (d1·d2)/2
d1
d2
d1 = 4, d2 = 6.
Получаем S = (4·6)/2 = 12. -
16 слайд
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
1. Достроим данную фигуру до равностороннего треугольника.
Найдем площадь этого треугольника: S =
6
4
(6·4)/2 =12
2. Найдем площадь другого треугольника:
2
S = (6·2)/2 = 6
3. Площадь искомой фигуры находим как разность площадей:
S = 12 – 6 = 6.
Ответ: 6. -
17 слайд
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Д. Пойа
Успехов при подготовке к ГИА по математике!!!Удачной сдачи экзамена!
-
18 слайд
В презентации использованы:
http://www.proshkolu.ru/user/Nadegda797/file/635838/&newcomment=803270#comment803270 – анимационные картинки
http://ru.wikihow.com
http://kakimenno.ru/raznoe/96-kak-nayti-ploschad-treugolnika.html
http://matematikalegko.ru/formuli/ploshhad-figury-na-liste-v-kletku-formula-pika.html
http://www.webmath.ru/
http://angrenkova.ucoz.ru/load/zadanija_v10/zadanija_v3/vychislenie/8-1-0-67
http://nsportal.ru/
http://www.etudes.ru/
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 263 940 материалов в базе
-
Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 19.06.2018
- 2971
- 5
Рейтинг:
5 из 5
- 19.06.2018
- 2249
- 53
Рейтинг:
5 из 5
- 19.06.2018
- 1249
- 16
Рейтинг:
5 из 5
- 19.06.2018
- 1586
- 5
- 19.06.2018
- 2124
- 78
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Организация научно-исследовательской работы студентов в соответствии с требованиями ФГОС»
-
Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Применение MS Word, Excel в финансовых расчетах»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Актуальные вопросы банковской деятельности»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация маркетинговой деятельности»
-
Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»
Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.
Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.
В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.
ФОРМУЛА ПИКА
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:
М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
N – количество узлов внутри треугольника
*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
Найдём площадь треугольника:
Отметим узлы:
1 клетка = 1 см
M = 15 (обозначены красным)
N = 34 (обозначены синим)
Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:
Отметим узлы:
M = 18 (обозначены красным)
N = 20 (обозначены синим)
Найдём площадь трапеции:
Отметим узлы:
M = 24 (обозначены красным)
N = 25 (обозначены синим)
Найдём площадь многоугольника:
Отметим узлы:
M = 14 (обозначены красным)
N = 43 (обозначены синим)
Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.
А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.
Теперь взгляните на следующие фигуры:
Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:
Отметим узлы:
M = 11 (обозначены красным)
N = 5 (обозначены синим)
Ответ: 9,5
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотреть решение
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотреть решение
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотреть решение
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотреть решение
Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.
Рассмотрим подход оговоренный в статье «Площадь четырёхугольника. Универсальный способ«.
Найдём площадь фигуры:
Опишем около неё прямоугольник:
Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:
Ответ: 4,5
В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Игорь Акулич
«Квантик» №8, 2021
Знаменитая формула Пика получила своё название по имени автора — австрийского учёного Георга Александра Пика, опубликовавшего её на рубеже XIX и XX веков. Формула Пика удивительно красива, и потому является любимой темой популярных публикаций (можно порекомендовать статью Г. Мерзона «Площадь многоугольников и тающий лед» из 9-го номера «Квантика» за 2018 год либо более раннюю статью Н. Васильева «Вокруг формулы Пика» из 12-го номера «Кванта» за 1974 год — в этих статьях приводится и её доказательство).
Поскольку, возможно, не все читатели в курсе дела, вкратце изложим суть. Пусть бесконечная плоскость разбита вертикальными и горизонтальными прямыми на одинаковые квадраты, площадь каждого из которых равна s0 (обычно для простоты принимают s0 = 1, но нам здесь удобнее именно так — в общем виде). Назовём узлами точки, являющиеся вершинами квадратов, и нарисуем произвольный многоугольник, все вершины которого лежат в узлах. При этом стороны многоугольника не обязаны быть вертикальными или горизонтальными (хотя это и не возбраняется). Например, у пятиугольника на рисунке 1 только одна сторона горизонтальна, а остальные — наклонны.
Подсчитаем количество узлов, попавших строго внутрь многоугольника (на рисунке 1 они выделены красным цветом), а также количество узлов, оказавшихся на границе многоугольника. Заметим, что на границе находятся, во-первых, все вершины многоугольника (синие), а также те узлы, что волею случая оказались на сторонах (зелёные). В частности, у нашего пятиугольника имеется 39 красных узлов, а синих, разумеется, 5 (в каждой вершине), и плюс ещё 12 зелёных на сторонах. Итого на границе 5 + 12 = 17 узлов.
Георг Пик доказал, что площадь S любого такого многоугольника зависит только от количества вершин каждого типа, то есть S есть функция от числа вершин В, лежащих внутри многоугольника, и от числа вершин Г, попавших на границу, и эту функцию можно записать в виде формулы (её-то и называют формулой Пика):
S (В, Г) = (В + 0,5 Г – 1) · s0.
Вернувшись к тому же пятиугольнику на рисунке 1, мы без труда найдём его площадь. Здесь В = 39, Г = 17, и потому площадь равна S (39, 17) = (39 + 0,5 · 17 – 1) · s0 = 46,5 · s0. А попробуйте-ка подсчитать «вручную»!1
Сила формулы Пика ещё и в том, что форма многоугольника, оказывается, в каком-то смысле «вторична», главное — количество тех или иных узлов. Например, на рисунке 2 изображены несколько разных многоугольников, но у них всех В = 0 и Г = 4, потому площади их одинаковы (кстати, чему они равны?).
Формула Пика столь изящна, что не хочется верить, будто она работает только для квадратной решётки. И действительно, формула Пика применима для любой бесконечной сетки, состоящей из равных параллелограммов, и внешне выглядит точно так же (если площадь «элементарного» параллелограмма равна s0). То есть все «растяжки» и «перекосы», превращающие квадрат в параллелограмм, ничуть не сказываются на её справедливости.
Но и это далеко не всё. С не меньшим успехом можно разбить плоскость прямыми трёх направлений (под углами 60° друг к другу) на одинаковые треугольники (рис. 3). Представим себе многоугольник, вершины которого лежат в узлах этой треугольной решётки, и зададимся вопросом: не будет ли площадь S этакого многоугольника тоже зависеть только от количества узлов, попавших внутрь (В) и на границу (Г) многоугольника, и если да — то какова эта зависимость S (В, Г)? Площадь каждого из «элементарных» треугольников, на которые разбита плоскость, мы считаем равной s0. Иными словами, существует ли для такой сетки аналог формулы Пика (которую уместно назвать треугольной формулой Пика)?
Оказывается, да! Чтобы в этом убедиться, сначала у сетки, изображённой на рисунке 3, удалим все прямые одного из трёх направлений (например, идущие с «северо-запада» на «юго-восток»). Получится «ромбическая» сетка, где каждый ромб образован объединением двух треугольников (рис. 4), и потому площадь такого «элементарного» ромба равна 2 s0. Вместе с тем, после удаления всех прямых одного направления ни один узел не пропал — просто теперь в каждом узле пересекаются не три, а две прямые. И если на сетке был нарисован многоугольник с вершинами в узлах, то его граница будет проходить через столько же узлов, сколько и ранее, да и количество узлов внутри многоугольника не изменится.
А поскольку ромб — частный случай параллелограмма, для указанной сетки можно применить формулу Пика (помня, что площадь элементарного ромба равна не s0, а 2 s0). Разумеется, она же окажется верной и для исходной треугольной сетки. Итак, для треугольной сетки площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки находится по формуле:
Sтреуг. (В, Г) = (В + 0,5 Г – 1) · 2 s0 = (2 В + Г – 2) · s0.
Можно двинуться и дальше. Рассмотрим сетку, напоминающую кирпичную кладку (рис. 5), на которой одинаковые «прямоугольники-кирпичи» образуют полосы, сдвинутые на «полкирпича» относительно соседней полосы. Не поискать ли для неё аналог формулы Пика? Здесь, разумеется, узлами считаем все точки, являющиеся вершинами какого-либо элементарного прямоугольника, площадь которого, по традиции, примем равной s0.
К счастью, и здесь успех гарантирован. Надо всего лишь каждый прямоугольник разбить по вертикали на два «полукирпича». В результате получится «типовая» сетка из прямоугольников, образуемых двумя семействами прямых, для которой формула Пика очень даже применима. Надо лишь учесть, что здесь (в противоположность рассмотренной выше треугольной сетке) элементарный прямоугольник будет вдвое меньше исходного, и потому его площадь равна 0,5 s0. Поэтому для «кирпичной» сетки формула Пика такова:
Sкирп. (В, Г) = (В + 0,5 Г – 1) · 0,5 s0 = (0,5 В + 0,25 Г – 0,5) · s0.
А сейчас предлагаем читателю самостоятельно найти аналог формулы Пика для сетки, состоящей из равных прямоугольных треугольников. Она получается из обычной квадратной сетки, если каждый её квадрат обеими диагоналями разрезать на четыре равные части (рис. 6). Разумеется, здесь s0 — площадь каждого прямоугольного треугольника, на которые разделена плоскость. А потом сверьтесь с ответом.
Ответ
В разбиении плоскости на прямоугольные треугольники уберём все горизонтальные и вертикальные прямые. Получится квадратная сетка, образованная пересекающимися наклонными прямыми, в ней каждый квадрат «склеен» из двух прямоугольных треугольников (и «пропавших» узлов нет!). Площадь такого квадрата равна 2 s0, и потому формула Пика выглядит точь-в-точь как для сетки из правильных треугольников:
S (В, Г) = (В + 0,5 Г – 1) ·2 s0 = (2 В + Г – 2) · s0.
А для шестиугольной сетки аналога формулы Пика нет! Чтобы в этом убедиться, рассмотрим одну шестиугольную ячейку ABCDEF сетки (рисунок справа). Сравним треугольники ABF и ACF. У них основание AF — общее, но третьи вершины (B и C) находятся на разных расстояниях от прямой AF. Тогда площади их заведомо различны. С другой стороны, количества точек, попавших на границу и внутрь каждого треугольника, одинаковы: Г = 3, В = 0. Поэтому аналог формулы Пика (если бы он существовал) дал бы одинаковые значения их площадей. Противоречие!
В заключение вспомним, что плоскость можно разделить не только на равные квадраты и треугольники, но и на шестиугольники — наподобие пчелиных сот (рис. 7). Может, и для такой сетки существует аналог формулы Пика? Попробуйте это выяснить.
Существуют, кстати, обобщения формулы Пика для определения объёмов тел в трёхмерном пространстве (и даже в пространствах более высоких размерностей) — так называемый многочлен Эрхарта. Но это очень сложная тема, уводящая слишком далеко. Поэтому углубляться не будем.
Художник Алексей Вайнер
1 Конечно, тоже не ахти какая сложность — надо лишь разбить многоугольник на прямоугольники и прямоугольные треугольники, но повозиться придётся всё-таки дольше.
mat:geom:triangle-area
Содержание
Площадь треугольника
-
R — радиус описанной окружности
-
r — радиус вписанной окружности
-
p — полупериметр, $p = frac{a+b+c}{2}$
-
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.
-
Площадь треугольника равна произведению сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности.
-
Площадь треугольника по трем высотам легко выводится из формулы Герона
-
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
$$ begin{align} mbox{По высоте: } ; & S = frac12 a cdot h_a \[10pt]
mbox{По произведению сторон: } ; & S = frac{abc}{4R} \[10pt]
mbox{По полупериметру: } ; & S = p cdot r \[10pt]
mbox{По двум сторонам: } ; & S = frac12 cdot a cdot b cdot sin{gamma} \[12pt]
mbox{Формула Герона: } ; & S = sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)} \[12pt]
mbox{По высотам: } ; & S = frac{1}{sqrt {(frac1{h_a}+frac1{h_b}+frac1{h_c})(-frac1{h_a}+frac1{h_b}+frac1{h_c})(frac1{h_a}-frac1{h_b}+frac1{h_c})(frac1{h_a}+frac1{h_b}-frac1{h_c})}} \[12pt]
mbox{По высотам и радиусу: } ; & S = frac{r}{sqrt3} (h_a+h_b+h_c) \[12pt]
mbox{По трем углам: } ; & S = 2R^2 sin{alpha} cdot sin{beta} cdot sin{gamma}
end{align} $$
$
$
Формула Герона
Интерактивная модель и калькулятор
Формула Герона для треугольника — это частный случай формулы Брахмагупты для четырехугольника, вписанного в окружность (одну из сторон положить равной 0):
$S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$
где p — полупериметр четырехугольника
Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю.
Формула Пика
Площадь треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге.
Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычислять по формуле Пика:
$$S = V+frac{G}{2}-1,$$
где $V$ — количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника, $G$ — количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.
Подробнее — см. ниже Теорема Пика.
Целочисленные площади
Задача
Вычислить площадь Бермудского треугольника.
Бермудский Треугольник — широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико.
Расстояние между вершинами треугольника в милях
| Norfolk | Bermuda | 850 |
| Bermuda | Santiago | 810 |
| Norfolk | Santiago | 894 |
В расчетах игнорировать кривизну поверхности Земли.
Задача
Может ли треугольник со сторонами больше километра иметь площадь, меньшую 1 мм²?
Теорема Пика. Нахождение площади решётчатого многоугольника
http://e-maxx.ru/algo/pick_grid_theorem
Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).
Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.
Обозначим его площадь через $S$; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через $I$; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через $B$.
Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика:
$$S = I -B/2 + 1$$
В частности, если известны значения $I$ и $B$ для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за $O(1)$, даже не зная координат его вершин.
Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.
Доказательство
Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:
-
Единичный квадрат. В самом деле, для него S=1, B=4, I=0, и формула верна.
-
Произвольный невырожденный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через $a$ и $b$ длины сторон прямоугольника. Тогда находим: $S=ab$, $I=(a-1)(b-1)$, $B=2(a+b)$. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.
-
Прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через C число целочисленных точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения C.
-
Произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.
-
Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика мы уже доказали. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника.
Задача
Обобщение на высшие размерности
К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.
(подробнее по ссылке на источник)
Как можно найти I и B на практике?
$B = gcd(abs(x_0-x_1),abs(y_0-y_1)) — 1$, где $gcd$ — наибольший общий делитель, $(x_0;y_0), (x_1;y_1)$ — точки, соединённые стороной многоугольника.
тут интересно находить не площадь, а количество точек внутри, потому что другого алгоритма я не видел для подсчета этого количества.
Литература:
Учебники:
Площадь треугольника по высоте, проведенной к стороне — Геометрия 8 класс
Геометрия 9 класс Мерзляк, параграф 1 — формула Герона, по произведению сторон, через радиус вписанной и описанной окружности
· Последние изменения: 2020/02/21 17:21 —
kc