Мы уже говорили, что при приближённых
вычислениях полезно преобразовывать
выражения, вычисление числовых значений
которых приводит к вычитанию близких
чисел.
Общая формула для погрешности. Основная задача теории погрешности.
Известны погрешности некоторой системы
величин, требуется определить погрешность
данной функции от этих величин.
Пусть задана дифференцируемая функция:
и пусть
—
абсолютные погрешности аргументов
функции. Тогда абсолютная погрешность
функции
Обычно на практике
— малые величины,
п
роизведениями
квадратами которых можно пренебречь.
высшими степенями
Поэтому
Итак
(2.14)
Обозначим
— предельные абсолютные погрешности
аргументов
—предельную абсолютную погрешность
функции
для малых
,
и получим:
(2.15)
Разделив обе части неравенства (2.14) на
,
будем иметь оценку для относительной
погрешности функции
:
(2.16)
За предельную относительную погрешность
функции
можно
принять:
Пример: Найти предельные абсолютные
и относительные погрешности объема
шара
,
если диаметрd=3,7см
0,05см,
.
Решение: Рассматривая
иdкак переменные величины,
вычисляем частные производные
Обратная задача теории погрешностей.
Какой точности данные нужно подать на
вход, чтобы на входе получить результат
заданной точности? Т.е. необходимо
оценить величины
по известной величине
.Для
случая дифференцируемой функции одной
переменнойгрубоерешение обратной задачи тривиально:
Е
сли
то
Для функции большего числа переменных
обратная задача, вообще говоря,
некорректна, т. е. необходимы дополнительные
условия. Например, применяют принцип
равных влияний, состоящий в предположении,
что частные дифференциалы
в (2.15) одинаково влияют на погрешность
значения функции, тогда
В качестве другого довольно естественного
допущения можно принять равенство
относительных погрешностей всех
аргументов, т. е. считать
,
Тогда
— эта величина характеризует относительный
уровень точности задания аргументов.
Таким образом,
за границы абсолютных
погрешностей аргументов принимаем:
и другие, более сложные подходы к решению
обратной задачи.
В силу формулы (2.15) предельная абсолютная
погрешность объёма:
Поэтому
Отсюда предельная относительная
погрешность объёма:
Устойчивость. Корректность.
Рассмотрим погрешности исходных данных.
Поскольку это – неустранимые погрешности
и вычислитель не может с ними бороться,
то, нужно хотя бы иметь представление
об их влиянии на точность окончательных
результатов.
Мы вправе надеется, что
погрешность результатов имеет порядок
погрешности исходных данных. Но так ли
это? Некоторые задачи
весьма чувствительны
к неточностям в исходных данных. Эта
чувствительность характеризуется так
называемой устойчивостью.
Пусть в результате решения
задачи по исходному значению величины
находится значение искомой величины
.Если
исходная величина имеет абсолютную
погрешность
,
то решение имеет абсолютную погрешность
.
Задача называется устойчивой
по исходному параметру
,если решение
непрерывно
от него зависит, т.е. малое приращение
исходной величины
приводит к малому приращению искомой
величины
.
Иначе говоря, если малые погрешности в
исходной величине приводят к малым
погрешностям в решении.
Отсутствие устойчивости
означает, что даже незначительные
погрешности в исходных данных приводят
к большим погрешностям в решении или
даже к неверному результату. В случае
неустойчивости задач иногда говорят,
что задача чувствительна
к погрешностям исходных
данных.
Пример неустойчивой задачи:
Рассмотрим квадратное
уравнение с параметром
1
,
-1,
<
0
при
<
0
при
=0
сколько угодно малая отрицательная
погрешность в задании
,
приведёт конечной, а не сколько угодно
малой погрешности в решении уравнения.
Иногда бывает, что теоретически задача
устойчива, но, тем не менее, чувствительна
к погрешности исходных данных.
Приращения исходной величины,
которые гарантируют
малость приращения исходной величины,
оказываются в этом случае настолько
малыми, что реальные малые приращения,
с которыми имеет дело вычислитель,
приводят к большим погрешностям в
решении.
Яркой иллюстрацией такой
задачи является пример
Уилкинсона.
Рассмотрим многочлен
Очевидно, что корнями многочлена
являются:
,
=2,…,
Предположим,
что один из
коэффициентов многочлена
вычислен с некоторой малой погрешностью.
Например,
а=-210
при
Увеличим его на
.
В результате вычислений с двойной
точностью получим существенно другие
значения корней. Приведём эти значения,
округлённые до трёх значащих цифр:
Т.о., изменение коэффициента -210 на
(это малое вычисление в обычной
вычислительной практике) привело к
тому, что половина корней стала
комплексными.
Причина явления – чувствительность
(неустойчивость) задачи к погрешностям
исходных данных. Вычисления выполнялись
достаточно точно, и погрешности округления
не могли привести к таким последствиям.
Если коэффициент -210 увеличить на
,
значение корней при округлении до трёх
знаков, совпадут со значениями корней
исходного множества. В этомсмысле
задача устойчива.
Задача называется корректно
поставленной, если
для любых допустимых значений исходных
данных её решение существует, единственно
и устойчиво по исходным данным.
То есть, чтобы численно решить задачу,
нужно быть уверенным, что решение
существует. Требования единственности
и устойчивости так же естественны. В
примере Уилкинсона неустойчивая задача
является некорректно поставленной.
Для решения таких задач применять
численные методы не целесообразно, так
как возникающие в расчётах погрешности
округления будут сильно возрастать в
ходе вычислений, что приведёт к
значительному искажению результатов.
Методы решения некоторых некорректных
задач основаны на замене исходной задачи
на корректно поставленную задачу.
Методы регуляризации.
Методы решения систем линейных уравнений
делятся на 2 группы: прямые и итерационные.
1)Прямые методы(точные методы)используют конечные соотношения
(формулы) для вычисления неизвестных.
Они дают решения после выполнения
заранее известного числа операций. Эти
методы сравнительно просты и пригодны
для решения широкого класса линейных
систем.
Недостатки: требуют хранения в
оперативной памяти компьютера сразу
всей матрицы, и при больших значениях
расходуют много места в памяти. Далее,
прямые методы обычно не учитывают
структуру матрицы при большом числе
нулевых элементов в разряженных матрицах
(например: клеточных или ленточных) эти
элементы занимают место в памяти машины,
над ними проводятся арифметические
действия. Исключением являетсяметод
прогонки.
Существенные недостатки прямых
методов: накапливание погрешностей
в процессе решения, поскольку вычисления
на любом этапе используют результаты
предыдущих операций. Это особенно опасно
для больших систем, весьма чувствительных
к погрешностям. В связи с этим прямые
методы используются для систем: не
слишком больших (
),
с плотно заполненной матрицей и не
близким к нулю определителем. Прямые
методы решения СЛАУ иногда называютсяточными,так как решение выражается
в виде точных формул через коэффициенты
системы. Однако точное решение может
быть получено лишь при точном выполнении
вычислений (и при точных значениях
коэффициентов системы). На практике при
использованиикомпонентов
вычисления проводятся
с погрешностями. Поэтому неизбежны
погрешности в результатах.
2)Итерационные методы– методы
последовательных приближений.
В них необходимо задать некоторое
приближённое решение – начальное
приближение. После этого с помощью
некоторого алгоритма проводится один
цикл вычислений, называемый итерацией.
В результате итерации находят новое
приближение. Итерации проводятся до
получения решения с требуемой точностью.
Алгоритмы решения линейных систем с
использованием итерационных методов
обычно более сложные по сравнению с
прямыми методами. Объём вычислений
заранее определить трудно.
Тем не менее, в ряде случаев итерационные
методы предпочтительнее. Они требуют
хранения в памяти машины не всей матрицы
системы, а лишь нескольких векторов с
компонентами. Иногда элементы матрицы
можно совсем не хранить, а вычислять
их по мере необходимости. Погрешности
окончательных результатов при
использовании итерационных методов не
накапливаются, поскольку точность
вычислений в каждой итерации определяется
лишь результатами предыдущей итерации
и практически не зависит от ранее
выполненных вычислений.
Эти достоинства итерационных методовделают их особенно полезными в случае
большого числа уравнений, а также плохо
обусловленных систем.
Итерационные методы могут быть
использованы для уточнения решений,
полученных с помощью прямых методов.
Такие смешанные алгоритмы обычно
довольно эффективны, особенно для плохо
обусловленных систем.
Численный алгоритм (метод) называется
корректным, если существует и
единственно численное решение при
любых значениях исходных данных, при
этом
решение устойчиво относительно
погрешностей исходных данных.
Соседние файлы в папке Лекции
- #
- #
- #
- #
- #
30.04.2013215.04 Кб13L2.doc
- #
30.04.2013386.56 Кб52L3.doc
- #
30.04.2013350.21 Кб16L4.doc
- #
30.04.2013235.52 Кб12L5.doc
- #
- #
30.04.2013455.68 Кб15L7.doc
- #
30.04.2013361.47 Кб16L8.doc
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Лекция
по дисциплине
«Численные методы
Краснодар
2013
Краснодарский университет МВД
России
Кафедра информатики и математики
Тема 1
Элементы теории
погрешностей
Слайд 2Цель лекции: изучить источники и классификацию погрешностей,
рассмотреть понятия абсолютных и относительных погрешностей, значащих
цифр, провести обзор прямой и обратной задач теории погрешностей, ознакомиться с правилами вычисления погрешностей.
Материально-техническое обеспечение: компьютер, видеопроектор, экран.
Учебно-методическое обеспечение: учебно-методический материал в электронном виде.
Слайд 3Основные вопросы
1. Источники и классификация погрешности
2.
Абсолютная и относительная погрешности
3. Значащие цифры
4. Прямая
задача теории погрешностей
4.1. Абсолютная погрешность функции
4.1. Относительная погрешность функции
4.3. Относительная погрешность суммы
5. Правила вычисления погрешностей
6. Обратная задача теории погрешности
Слайд 4Источники и классификация погрешности
Численные решения задач
часто имеют погрешность, связанную со следующими причинами:
1. Неточное математическое описание задачи, в частности неточно заданы исходные данные описания;
2. Неточный метод решения задачи: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций; поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;
3. Ошибки округления, возникающие из-за ограниченной разрядной сетки при вводе данных, выполнении арифметических операций и выводе данных на компьютере.
Определение.
Отклонение истинного решения от приближенного называется погрешностью.
Слайд 5ПОЛНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Часто неустранимую погрешность подразделяют на две
части:
1.1. Погрешности, являющиеся следствиями неточности задания числовых
данных, входящих в математическое описание задачи;
1.2. Погрешности, являющуюся следствиями несоответствия математического описания задачи реальности, т.е. погрешностями математической модели.
Слайд 6При решении большинства задач нет особого смысла
применять метод решения задачи с погрешностью, существенно
меньшей, чем величина неустранимой погрешности.
Требования точности решения часто снимаются в процессе обсуждения задачи на основе следующих соображений:
1) При детальном подходе к изучению задачи в целом оказывается, что столь высокая точность и не нужна;
2) Математическая модель явления настолько груба, что требовать столь высокую точность бессмысленно;
3) Параметры модели не могут быть определены с высокой точностью;
4) Требуется качественный результат, например будет ли работать данное устройство в заданном режиме.
Слайд 7Определение.
Если х — точное
значение некоторого числа, х* — приближенное, то
абсолютной погрешностью приближения х* назовем величину:
Δx* ≥ │x — x*│ ,
т.е. точное значение числа х заключено в границах
x* — Δx* ≤ x ≤ x* + Δx*.
Пример:
Найти абсолютную погрешность, если х = 3.141592, а х*=3.14.
Решение: Δx* ≥ │3.141592 – 3.14│, тогда Δx* ≥ 0.001592.
Пример:
Найти абсолютную погрешность, если х = 27.786543, а х*=27.8013.
Решение: Δx* ≥ │ 27.786543 – 27.8013│, тогда Δx* ≥ 0.014757.
2. Абсолютная и относительная погрешности
Слайд 8Определение.
Отношение абсолютной погрешности Δx* к абсолютному
значению приближенной величины │x│ есть относительная погрешность
(доля истинного значения):
Пример.
Найти абсолютную и относительную погрешности, если х=3.141592, а х*=3.14.
Решение: т.к. Δx* ≥ 0.001592, тогда
Слайд 9
Любое число можно представить в виде
x
= a1 βn + a2 βn-1 +
a3 βn-3 + … + am βn-m,
где β — основание системы счисления, n – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа х), аi– значащие цифры приближенного числа x.
Определение.
Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
3. Значащие цифры
Пример.
У чисел подчеркнуты значащие цифры: 0.010087 и 0.0100870000.
Пример.
Представим числа 0.010087 и 0.0100870000.
0.010087 = 1∙10-2 + 0 ∙10-3 + 0 ∙10-4 + 8 ∙10-5 + 7 ∙10-6 ;
0.0100870000 = 1∙10-2 + 0 ∙10-3 + 0 ∙10-4 + 8 ∙10-5 + 7 ∙10-6.
Слайд 10
Определение.
Значащая цифра аk считается верной,
если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы
разряда, соответствующего этой цифре.
В противном случае аk — сомнительная цифра.
Пример.
Пусть a* = 0.073627301, Δa* = 0.00004, тогда верными будут подчеркнутые цифры числа 0.073627301, а неподчеркнутые цифры –сомнительными.
Определение.
Если все значащие цифры верные, то говорят, что число записано всеми верными цифрами.
Пример.
Пусть a* = 0.0736, Δa* = 0.00004, тогда верными будут все значащие цифры числа 0.0736.
Слайд 114. Прямая задача теории погрешностей
Основная задача
теории погрешностей заключается в следующем:
по известным
погрешностям некоторой системы параметров требуется определить погрешность функции от этих параметров.
Пусть задана дифференцируемая функция у = f(х1, х2, … ,хn) и пусть Δxi* – абсолютные погрешности аргументов.
Тогда абсолютная погрешность функции:
При зависимости функции от одного параметра получим формулу:
Δy* ≤ │f′(x*)│Δx.
4.1. Абсолютная погрешность функции
Слайд 12
Пример: Найти абсолютную погрешность объема
шара
V = 1/6πd3 ,
если d = 3.7
см ± 0,05 см; π ≈ 3.14.
Решение: Рассмотрим d и π как переменные величины. Вычислим частные производные
При заданных значениях d = 3,7 и π ≈ 3,14 получаем, что
Слайд 13Определение.
Предельной абсолютной погрешностью называют следующую оценку
погрешности величины у*
объем шара можно представить
в виде V≈26.51 ± 1.1 см3.
Пример: Найти предельную абсолютную погрешность объема шара
V = 1/6πd3 ,
если d = 3.7 см ± 0,05 см; π ≈ 3.14.
Так как абсолютная погрешность объема шара не превышает 1.1см3,
Поэтому предельная абсолютная погрешность будет равна
Слайд 14
Определение.
Предельной относительной погрешностью называют величину
Пусть
задана дифференцируемая функция у = f(х1, х2,
…, хn) и пусть δxi* – относительные погрешности аргументов. Тогда относительной погрешностью называют:
Пример: Найти предельную относительную погрешность объема шара.
Предельная относительная погрешность δV будет равна:
4.1. Относительная погрешность функции
Слайд 154.3. Относительная погрешность суммы
Пусть M = max(δxi*),
а m = min(δxi*), тогда
Относительная погрешность
суммы аргументов определяется по формуле
Пример: Найдем относительную погрешность суммы аргументов в задаче по вычислению объема шара
если d = 3.7 см ± 0,05 см, то d*=3.7, а δd= 0.05/3.7 ≈ 0.013514
если π = 3.14 ± 0,0016, то ; π*=3.14, а δ π = 0.0016/3.14 ≈ 0.00051.
Тогда
Слайд 16
1. Предельная абсолютная погрешность суммы
или
разности равна сумме предельных погрешностей.
2. Относительная погрешность суммы положительных
слагаемых не превышает наибольшей из относительных
погрешностей этих слагаемых.
3. Предельная относительная погрешность произведения
или частного равна сумме предельных относительных
погрешностей.
4. Предельная относительная погрешность степени и
корня приближенного числа равна произведению
предельной относительной погрешности этого числа
на показатель степени
5. Правила вычисления погрешностей
Слайд 176. Обратная задача теории погрешности
Обратная задача
теории погрешности заключается в следующем: при каких
значениях аргумента известная функция у = f(х1, х2, …, хn) будет иметь погрешность не превосходящую заданной величины.
Простейшее решение обратной задачи дается принципом равных влияний.
Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности.
Предельная погрешность функции у = f (х1, х2, …, хn) для малых абсолютных погрешностей аргументов Δxi:
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
|
|
Погрешность в определении объема шара
|
|
08/05/08 |
Возник такой вопрос:
Например, если просто измерять диаметр шара каким-то прибором с известной относительной погрешностью, то погрешность вычесленного объема по известной формуле оказывается в три ( 3) раза больше, чем относительная погрешность измеренного значения диаметра
|
|
|
|
 |
06.08.2008, 20:31 
.
раз, желательно стремилось к 1), чем максимальная относительная погрешность измеренного значения диаметра ( либо какой-то измерямой величины).
|
ewert |
Re: Погрешность в определении объема шара
|
||
11/05/08 |
e7e5 писал(а): Например, если просто измерять диаметр шара каким-то прибором с известной относительной погрешностью, то погрешность вычесленного объема по известной формуле оказывается в три ( 3) раза больше, чем относительная погрешность измеренного значения диаметра ну попросту взвешивайте его, тогда отн. погр. объёма совпадёт с тогда отн. погр. массы. А вообще вопрос вроде абстрактный.
|
||
|
|
|||
|
|
Бодигрим |
|
||
22/11/06 |
|||
|
|
|||
|
|
e7e5 |
Re: Погрешность в определении объема шара
|
|
08/05/08 |
ewert писал(а): ну попросту взвешивайте его, тогда отн. погр. объёма совпадёт с тогда отн. погр. массы. А вообще вопрос вроде абстрактный.
Наверное абстрактный. Если взвешивать, то ведь замешается и погрешность в плотности шара…
|
|
|
|
|
|
Gafield |
|
||
22/01/07 |
При такой постановке вопроса лучшая функция — сам объем. Сколько намеряли, столько и получили
|
||
|
|
|||
|
|
Yuri Gendelman |
|
||
15/05/05 |
Gafield писал(а): При такой постановке вопроса лучшая функция — сам объем. Сами методы измерения не идеальны. Погрешность измерения объема может оказаться больше погрешности измерения диаметра, даже умноженной на 3.
|
||
|
|
|||
|
|
ИСН |
|
||
18/05/06 |
В исходной постановке не было ни слова про то, чем отличаются разные методы. Сказано: надо, чтобы относительная погрешность объёма была возможно меньше, в сравнении с…
|
||
|
|
|||
|
|
Батороев |
|
|
23/01/07 |
Вроде бы, Архимед подобную задачу решал?.
|
|
|
|
|
|
e7e5 |
|
|
08/05/08 |
Батороев писал(а): Вроде бы, Архимед подобную задачу решал?. Да, вы правы. Конечно об этом думал. Или в шар лучше кубики складывать?
|
|
|
|
|
, диаметром 
. Эти шарики начинаем плотно складывать в больший шар диаметром |
worm2 |
|
||
01/08/06 |
По-моему, Архимед другим методом решал задачу
|
||
|
|
|||
|
|
ewert |
|
||
11/05/08 |
почему, вовсе не исключено, что он вкладывал в ванну большое к-во маленьких архимедиков, после чего сравнивал их с одним большим архимедом
|
||
|
|
|||
|
|
Алексей К. |
|
|
29/09/06 |
Ничо, до 1 сентября 3 недельки осталось, все скоро делом займутся, — уравнения решать (не забывайте, стараясь Brukvalub а опередить, что там иногда чисто на монотонности играют), неравенства, назло всем — с параметрами; пределами, тригонометрией, как обычно, затрахают. У Бодигрим а будет столько работы, что он не будет на ферматиков отвлекаться, как сейчас себе позволяет. Со скуки, похоже… нг , типа найс ту си ю эгэн (пардон, что-то с клавиатурой случилось, сама офтопики строчит).
|
|
|
|
|
|
Бодигрим |
|
||
22/11/06 |
У Бодигрима будет столько работы, что он не будет на ферматиков отвлекаться, как сейчас себе позволяет. Со скуки, похоже… Та да, есть такая штука. Они забавные.
|
||
|
|
|||
|
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
|
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |