Как найти порядок интегрирования

1.2. Область интегрирования и порядок её обхода

В этом параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос – как перейти к повторным интегралам и

правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так:
      И так:
На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения, и студенты часто путаются в расстановке

пределов интегрирования. Исправим ситуацию:

Пример 1

Дан двойной интеграл  с

областью . Перейти к повторным

интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Решение: изобразим область интегрирования на чертеже, фигура простейшая:

Теперь я выдам вам орудие труда – палку-копалку лазерную указку. Задача состоит в том, чтобы «просканировать» лучом лазера

каждую точку заштрихованной области:

Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы ВСЕГДА держите

ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением  и выходит из области через параболу  (красная стрелка). Чтобы

просветить всю область, вам нужно строго слева направо провести указкой вдоль оси  от 0 до 1 (зелёная стрелка). Итак, «игрек»

изменяется от 0 до , а  «икс»

при этом изменяется от 0 до 1. В задачах сей факт записывают в виде неравенств:

Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком

интегрирования. После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным

интегралам:

1.2.1. Как изменить порядок обхода области?

1.1.3. Алгоритм решения двойного интеграла

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Содержание:

1. Рассмотрим двойной интеграл
2. Как вычислить двойной интеграл?

Пример 1.

Изменить порядок интегрирования в интеграле:

Решение: В данном интеграле область интегрирования D — правильная область первого типа (рис. 10). По теореме 1 интеграл / записывается в виде двойного интеграла . Равенство означает, что точка D лежит на окружности Если то точка лежит на окружности Две эти окружности пересекаются в точках, для которых или при Подставляя это значение у в уравнение получаем

Для обоих интегралов переменная х принимает только отрицательные значения. Значит для точек лежащих на первой окружности, справедливо равенство а для точек второй окружности

Теперь, если рассмотреть область интегрирования D как правильную область второго типа, то согласно теореме 2 интеграл / записывается в виде

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 2.

Изменить порядок интегрирования в повторном» интеграле.

Решение:

Область интегрирования D ограничена линиями Так как правый участок границы области D задан двумя линиями, то прямая у = 1 разбивает ее наобласти В результате получаем

Пример 3.

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

написать уравнения кривых, ограничивающих область ингегрирования, построить эту область.

Решение:

Образец выполнения задания в Mathcad:

Зададим подынтегральную функцию и определим границы области интегрирования по пределам повторного интеграла:

Найдем точки пересечения графиков функций: это точки с координатами

Изменим порядок интегрирования. Для этого надо выразить уравнения границ в виде: Область интегрирования разбиваегся на две части, левая и правая границы которых однозначно определены. Исходный интеграл записывается в виде суммы двух интегралов.

Указание. Для того, чтобы задать уравнения границ в виде: или надо определить границу в виде: и записать функцию Затем в меню Символика выбрать команду Разрешить относительно переменной, выделив сначала у или х в зависимости от того, какое уравнение хотим получить. Функции — есть уравнения границ в другом виде.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Рассмотрим двойной интеграл

в прямоугольных координатах Предположим, что переменные х и у являются функциями двух переменных и эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по в некоторой замкнутой области G плоскости . Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область D.

Тогда имеет место равенство называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определитель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля). Геометрически |J(u, v)dudv выражает элемент площади в области G, а — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в элемент площади D.

Координаты называются криволинейными координатами точки , поскольку уравнения представляют некоторые линии, вообще говоря, кривые, в области G.

Интеграл

называется двойным интегралом в криволинейных координатах.

Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты Они связаны с прямоугольными координатами формулами Якобиан преобразования в этом случае равен

a — элемент площади в полярных координатах.

При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга.

Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.

Как вычислить двойной интеграл?

по области D, ограниченной прямыми

Решение:

Область D — параллелограмм АВСК (рис. 19 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде перейдем к новым координатам, для чего обозначим Имеем

В новой системе координат область G ограничена прямыми т.е. представляет собой прямоугольник (рис. 19 6), а подынтегральная функция равна

Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВС К в прямоугольник вторая система — наоборот, преобразует прямоугольник в параллелограмм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому Переходим к вычислениям:

Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.

Введем новые переменные при помощи равенств Выразим отсюда переменные через

Находим якобиан полученного преобразования

откуда, с учетом того, что на области D, а значит, имеем

Таким образом, исходный интеграл в плоскости имеет вид

Граница области G описывается линиями (так как одна из формул преобразования имеет вид то линии в плоскости соответствует линия в плоскости ), (рис. 20 6).

Поэтому область G имеет вид (т. е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного проще: Вычислить интеграл

Строим круг радиуса а с центром в точке (а, 0) (рис. 21). Подынтегральная функция четная по переменной а область интегрирования симметрична относительно оси . Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить: Переходим к полярным координатам Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим полярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. Тогда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств подынтегральная функция примет вид

Таким образом,

6

ЛЕКЦИЯ 1

Двойные
интегралы. Определение
двойного интеграла и его свойства.
Повторные интегралы. Сведение двойных
интегралов к повторным. Расстановка
пределов интегрирования. Вычисление
двойных интегралов в декартовой системе
координат.

1.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1.
Определение двойного интеграла

Двойной интеграл
представляет собой обобщение понятия
определенного интеграла на случай
функции двух переменных. В этом случае
вместо отрезка интегрирования будет
присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть
D
– некоторая замкнутая ограниченная
область, а f(x,y)
– произвольная функция, определенная
и ограниченная в этой области. Будем
предполагать, что границы области D
состоят из конечного числа кривых,
заданных уравнениями вида y=f(x)
или x=g(y),
где f(x)
и g(y)
– непрерывные функции.

Р

Рис.
1.1

азобьем область D
произвольным образом на n
частей. Площадь i-го
участка обозначим символом s_i.
На каждом участке произвольно выберем
какую-либо точку P_i,
и пусть она в какой-либо фиксированной
декартовой системе имеет координаты
(x_i,y_i).
Составим интегральную
сумму для функции
f(x,y)
по области D,
для этого найдем значения функции во
всех точках P_i,
умножим их на площади соответствующих
участков s_i
и просуммируем все полученные результаты:

.
(1.1)

Назовем
диаметром
diam(G)
области G
наибольшее расстояние между граничными
точками этой области.

Двойным
интегралом
функции
f(x,y)
по
области
D
называется
предел, к которому стремится
последовательность интегральных
сумм
(1.1) при
неограниченном увеличении числа
разбиений
n
(при
этом

).
Это
записывают следующим образом

.
(1.2)

Заметим,
что, вообще говоря, интегральная сумма
для заданной функции и заданной области
интегрирования зависит от способа
разбиения области D
и выбора точек P_i.
Однако если двойной интеграл существует,
то это означает, что предел соответствующих
интегральных сумм уже не зависит от
указанных факторов. Для
того чтобы двойной интеграл существовал
(или, как говорят, чтобы
функция
f(x,y)
была
интегрируемой
в области D),
достаточно чтобы подынтегральная
функция была непрерывной
в заданной области интегрирования.

П

Рис.
1.2

усть функция f(x,y)
интегрируема в области D.
Поскольку предел соответствующих
интегральных сумм для таких функций не
зависит от способа разбиения области
интегрирования, то разбиение можно
производить при помощи верти­кальных
и горизонтальных линий. Тогда большинство
участков области D
будет иметь прямоугольный вид, площадь
которых равна s_i=x_iy_i.
Поэтому дифференциал площади можно
записать в виде ds=dxdy.
Следовательно, в
декартовой системе координат
двойные
интегралы можно
записывать в виде

.
(1.3)

Замечание.
Если
подынтегральная функция
f(x,y)1,
то
двойной интеграл будет равен площади
области интегрирования:

.
(1.4)

Отметим,
что двойные интегралы обладают такими
же свойствами, что и определенные
интегралы. Отметим некоторые из них.

Свойства
двойных интегралов.

1⁰.
Линейное свойство.
Интеграл от
суммы функций равен сумме интегралов:

;

и
постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:

.

2⁰.
Аддитивное свойство.
Если
область интегрирования D
разбить на две части, то двойной интеграл
будет равен сумме интегралов по каждой
этой части:

.

3⁰.
Теорема о среднем.
Если
функция f(x,y)
непрерывна в области D,
то в этой области найдется такая точка
(),
что:

.

Далее возникает
вопрос: как вычисляются двойные интегралы?
Его можно вычислить приближенно, с этой
целью это разработаны эффективные
методы составления соответствующих
интегральных сумм, которые затем
вычисляются численно при помощи ЭВМ.
При аналитическом вычислении двойных
интегралов их сводят к двум определенным
интегралам.

1.2.
Повторные интегралы

Повторными
интегралами называются интегралы вида

.
(1.5)

В
этом выражении сначала вычисляется
внутренний интеграл, т.е. производится
сначала интегрирование по переменной
y
(при этом переменная
x
считается постоянной величиной). В
результате интегрирования по y
получится некоторая функция по x:

.

Затем
полученную функцию интегрируют по x:

.

Пример
1.1.
Вычислить интегралы:

а)
,
б)
.

Решение.
а) Произведем интегрирование по y,
считая, что переменная x=const.
После этого вычисляем интеграл по x:

.

б)
Так как во внутреннем интеграле
интегрирование производится по переменной
x,
то y³
можно вынести во внешний интеграл как
постоянный множитель. Поскольку y²
во внутреннем интеграле считается
постоянной величиной, то этот интеграл
будет табличным. Производя последовательно
интегрирование по y
и x,
получаем

.

Между
двойными и повторными интегралами
существует взаимосвязь, но сначала
рассмотрим простые и сложные области.
Область называется простой
в каком-либо направлении, если любая
прямая, проведенная в этом направлении,
пересекает границу области не более
чем в двух точках. В декартовой системе
координат обычно рассматривают
направления вдоль осей Ox
и Oy.
Если область является простой в обоих
направлениях, то говорят коротко –
простая область, без выделения направления.
Если область не является простой, то
говорят, что она сложная.

Л

а
б

Рис.
1.4

юбую сложную область можно
представить в виде суммы простых
областей. Соответственно, любой двойной
интеграл можно представить в виде суммы
двойных интегралов по простым областям.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать,
в основном, только интегралы по простым
областям.

Теорема.
Если
область интегрирования D
– простая в направлении оси Oy
(см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно
записать в виде повторного следующим
образом:

;
(1.6)

если
область интегрирования D
– простая в направлении оси Ox
(см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно
записать в виде повторного следующим
образом:

.
(1.7)

Е

Рис.
1.3

сли область интегрирования
является правильной в обоих направлениях,
то можно произвольно выбирать вид
повторного интеграла, в зависимости от
простоты интегрирования.

1.3.
РАССТАНОВКА ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1.3.1.
Прямоугольная область интегрирования

П

Рис.
1.5

ри сведении двойных интегралов к
повторным, основная трудность возникает
при расстановке пределов во внутренних
интегралах. Наиболее просто это сделать
для прямоугольных областей (см. рис.
1.5).

Пример
1.2.
Вычислить двойной интеграл

.

Решение.
Запишем двойной интеграл в виде
повторного:

.

1.3.2.
Произвольная область интегрирования

Для того, чтобы
перейти от двойного интеграла к повторному
следует:

1. построить
   область интегрирования;

2. расставить
   пределы в интегралах, при этом следует
   помнить, что пределы внешнего интеграла
   должны быть постоянными величинами
   (т.е. числами) независимо от того, по
   какой переменной вычисляется внешний
   интеграл.

Пример
1.3.
Расставить пределы интегрирования в
соответствующих повторных интегралах
для двойного интеграла

,
если а)

б)

Р

Рис.
1.6

ешение.
а)
Изобразим область интегрирования D
(см. рис.1.6). Пусть интегрирование во
внешнем интеграле производится по
переменной x,
а во внутреннем – по y.
Расстановку
пределов всегда нужно начинать с внешнего
интеграла, в данном
случае с переменной x.
Из рисунка видно, что x
изменяется от 0 до 1, при
этом значения переменной y
будут изменяться от значений на прямой
y=x
до значений на прямой y=2x.
Таким образом, получаем

.

Пусть
теперь интегрирование во внешнем
интеграле производится по y,
а во внутреннем – по x.
В этом случае значения y
будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда
верхняя граница изменений значений
переменной x
будет состоять из двух участков x=y/2
и x=1.
Это означает, что область интегрирования
нужно разбить на две части прямой y=1.
Тогда в первой области y
изменяется от 0 до 1, а x
от прямой x=y/2
до прямой x=y.
Во второй области y
изменяется от 1 до 2, а x
– от прямой x=y/2
до прямой x=1.
В результате получим

.

б

) Построим область
интегрирования D
(см. рис.1.7). Пусть во внешнем интеграле
интегрирование производится по x,
а во внутреннем – по y.
В этом случае при изменении x
от –1 до 1 изменения переменной y
сверху будут ограничены двумя линиями:
окружностью и прямой. На отрезке [–1;0]
y
изменяется от y=0
до
;
на отрезке [0;1] переменная y
изменяется от y=0
до y=1–x.
Таким образом,

.

Пусть
теперь во внешнем интеграле интегрирование
производится по y,
а во внутреннем – по x.
В этом случае y
будет изменяться от 0 до 1, а переменная
x
– от дуги окружности
до
прямой x=1–y.
В результате получим

.

Данные примеры
показывают, как важно правильно выбирать
порядок интегрирования.

Пример
1.4.
Изменить порядок интегрирования

а)
;
б)
.

Р

Рис.
1.8

ешение.
а)
Построим область интегрирования. На
отрезке [0;1] для x
переменная y
изменяется от прямой y=0
до прямой y=x.
В результате получается следующая
область интегрирования (см. рис.1.8). На
основании построенного рисунка,
расставляем пределы интегрирования

.

б)
Построим область интегрирования. На
отрезке [0;9/16] для y
переменная x
изменяется от прямой x=y
до параболы
;
на отрезке [9/16;3/4] – от прямой x=y
до прямой x=3/4.
В результате получается следующая
область интегрирования (см. рис.1.9). На
основании построенного рисунка,
расставляем пределы интегрирования,

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Сегодня детально проанализируем алгоритм изменения порядка интегрирования в двойном интеграле. Под изменением порядка интегрирования имеем в виду, что задан двойной интеграл в котором интегрирование проводится сначала по «икс», а дальше полученный результат интегрируют по «игрек». Нужно поменять пределы интегрирования, а возможно и разбить на несколько областей интегрирование, для того, чтобы сначала интегрировать по «игрек», а далее по «иксу». В курсе высшей математики подобные примеры учат решать достаточно длительное время, но не во всех это выходит. Схема изменения порядка интегрирования будет расписана на готовых примерах с красиво выполненными рисунками областей интегрирования. Кто-то может подумать, что рисунки здесь ни к чему, но прочитав статью целиком Вы поймете, что без рисунков Вы не сможете понять как изменяются пределы интегрирования, и как их правильно расставлять.

Пример 3.1 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Построим область интегрирования ограниченую кривыми
0≤x≤4, 3x²≤y≤12x, где
y=3x² — парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вверх;
y=12x — прямая, которая проходит через начало координат O(0;0).
График области интегрирования приведен на рисунке.

В этом примере «игрек» изменяется от нижней кривой (параболы) к верхней (прямой), в это время «икс» пробегает значение от 0 до 4.
При изменении порядка интегрирования мы будем пробегать значение от первой кривой по «иксу» (прямой) ко второй (параболы), «игрек» в это время будет проходить значение от 0 ко второй точке пересечения заданных кривых.
Отсюда следует, что для изменения порядка интегрирования нужно найти точки пересечения кривых, дальше для изменения пределов нужно перейти от y(x) к x(y) для этих самых пределов.
Выражаем заданные функции y(x) через переменную y:
y=3x², отсюда (перед корнем взяли знак «+», поскольку x≥0)
y=12x, отсюда x=y/12.
Найдем точки пересечения:
y=3x²=12x, отсюда

Расставим пределы в заданной области:
D: 0≤y≤48

Выполняем изменение порядка интегрирования 

Вот и вся схема перехода от интегрирования по y,x  к двойному интегралу по x,y.

Пример 3.2 Изменить порядок интегрирования: 

Решение: Запишем область интегрирования для заданного примера
a/2≤x≤a , где y=0 — ось абсцисс.
Превратим верхнюю кривую по y к каноническому виду
y=√(2ax-x²), y²=2ax-x², x²-2ax+a²+y²=a², (x-a)²+y²=a² — верхний полукруг с центром в начале координат O(a;0) и радиусом a.
На рисунку наведем область интегрирования

Найдем запись функции через переменную y:
(x-a)^2+y^2=a^2, (x-a)^2 =a^2-y^2,

При изменении порядка интегрирования нашу область необходимо разбить на две подобласти:
D=D₁+D₂.
Расставим пределы в каждой области:
D1: 0≤y≤a√3/2, a/2≤x≤a;
D2: a√3/2≤y≤a,
Дальше можем изменить порядок интегрирования

Внимательно пересмотрите фрагмент где область интегрирования разбивается на 2 участка, для чего это делается и от чего зависит.
Многие этого не понимают, поскольку не представляют что делаем, здесь же имеем график из которого видим, что в первой области «икс» изменяется от первой прямой x=a/2 ко второй x=a, во второй области переменная «икс» пробегает значение от полукруга к прямой x=a.

Пример 3.3 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Область интегрирования ограничена кривыми
0≤y≤1, , где x=y²/2 — парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вправо
x=√(3-y²), x²=3-y², x²+y²=(√3)² — правый полукруг с центром в точке O(0;0) и радиусом R=√3.
Для изменения порядка интегрирования выражаем функции через переменную x:
x=y²/2, y²=2x, y=√(2x);
x²=3-y², y²=3-x², y=√(3-x²).

Найдем точки пересечения графиков функций:
параболы с горизонтальной прямой

параболы с правой частью полукруга (І четверть)

Подставляем y² из второго уравнения системы уравнений в первое x=1,5-0,5x²;
При решении получим x=1.
Выполняем построение и разбитие на нужные подобласти интегрирования

Для изменения порядка интегрирования нашу область разобьем на три подобласти:
D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы в каждой области:
D1: 0≤x≤0,5, 0≤y≤√(2x);
D2: 0,5≤x≤1, 0≤y≤1;
D3: 1≤x≤√3, 0≤y≤√(3-x²).

Внимательно разберитесь, как это сопоставить с областями на рисунку и почему именно такое разбитие здесь нужно выполнять.
Запишем как изменится интеграл при изменении порядка интегрирования

Думаю приведенных объяснений достаточно, чтобы самостоятельно научиться менять порядок интегрирования.

Пример 3.4 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми
0≤x≤π/2, 0≤y≤sin(x), где y=0 — ось абсцисс;
y=sin(x) — синусоида.
Выражаемый полученные функции через переменную y:
y=sin(x), отсюда x=arcsin(y);
y=0, отсюда x=0.
Графику кривых наведем на рисунку

Пределы интегрирования в заданной области поменяются на такие:
D: 0≤y≤1, 0≤x≤arcsin(y).
Записываем двойной интеграл с перечисленными пределами интегрирования

Имеем еще 5 готовых примеров на изменение порядка интегрирования, их Вы можете пересмотреть в следующей статье.