Как найти размерность образа матрицы - AutoPluse.ru

Ядро и образ линейного отображения

Ядром линейного отображения mathcal{A}colon Vto W называется множество таких векторов mathbf{v}in V , что $mathcal{A}(mathbf{v})= mathbf{o}_W$ , т.е. множество векторов из {V} , которые отображаются в нулевой вектор пространства {W} . Ядро отображения mathcal{A}colon Vto W обозначается:

$ker mathcal{A}= Bigl{mathbf{v}colon, mathbf{v}in V,~ mathcal{A}(mathbf{v})=mathbf{o}_WBigr}.$

Образом линейного отображения mathcal{A}colon Vto W называется множество образов mathcal{A}(mathbf{v}) всех векторов из {V} . Образ отображения обозначается operatorname{im}mathcal{A} или mathcal{A}(V)colon

operatorname{im}mathcal{A}= mathcal{A}(V)= Bigl{mathbf{w}colon, mathbf{w}=mathcal{A}(v),~ forall mathbf{v}in VBigr}.

Заметим, что символ operatorname{im}mathcal{A} следует отличать от operatorname{Im}z — мнимой части комплексного числа.

Примеры ядер и образов линейных отображений

1. Ядром нулевого отображения mathcal{O}colon Vto W является все пространство {V} , а образом служит один нулевой вектор, т.е. $ker mathcal{O}=V,~ operatorname{im}mathcal{O}={mathbf{o}_W}.$

2. Рассмотрим отображение $mathsf{a!e}colon Vto mathbb{R}^n$ , которое ставит в соответствие каждому вектору mathbf{v} n-мерного линейного пространства {V} его координатный столбец $v=begin{pmatrix}v_1&cdots&v_n end{pmatrix}^T$ относительно заданного базиса $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n$ . Ядром этого отображения является нулевой вектор $mathbf{o}_V$ пространства {V} , поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбец $mathsf{a!e}(mathbf{o}_V)=oin mathbb{R}^n$ . Образ преобразования совпадает со всем пространством $mathbb{R}^n$ , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из $mathbb{R}^n$ является координатным столбцом некоторого вектора пространства {V} ).

3. Рассмотрим отображение $operatorname{pr}_{mathbf{e}}colon mathbb{E}to mathbb{R}$ , которое каждому вектору mathbf{v} n-мерного евклидова пространства ставит в соответствие алгебраическое значение $operatorname{pr}_{mathbf{e}}(mathbf{v})= langle mathbf{e},mathbf{v}rangle$ его проекции на направление, задаваемое единичным вектором . Ядром этого преобразования является ортогональное дополнение ${mathbf{e}}^{perp}$ — множество векторов, ортогональных . Образом является все множество действительных чисел mathbb{R} .

4. Рассмотрим отображение $mathcal{D}colon P_n(mathbb{R})to P_{n-1}(mathbb{R})$ , которое каждому многочлену степени не выше {n} ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество $P_0(mathbb{R})$ многочленов нулевой степени, а образом — все пространство $P_{n-1}(mathbb{R})$ .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения mathcal{A}colon Vto W является подпространством: ${mathbf{o}_V}triangleleft ker mathcal{A} triangleleft V$ .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество ker mathcal{A} является непустым и замкнутым относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. В самом деле, из однородности отображения следует, что

$mathcal{A}(mathbf{o}_V)= mathcal{A}(0cdotmathbf{v})= 0cdot mathcal{A}(mathbf{v})= mathbf{v}_W,$

т.е. нулевой вектор $mathbf{o}_V$ отображается в нулевой вектор $mathbf{o}_W$ . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: $mathbf{o}_Vin ker mathcal{A}$ . Покажем, что множество замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Действительно:

$begin{gathered} left.{begin{matrix} mathbf{v}_1in ker mathcal{A}~ Rightarrow~ mathcal{A} (mathbf{v}_1)= mathbf{o}_W\ mathbf{v}_2in ker mathcal{A}Rightarrow mathcal{A} (mathbf{v}_2)= mathbf{o}_W end{matrix}}right} Rightarrow~ mathcal{A}(mathbf{v}_1+mathbf{v}_2)= mathcal{A} (mathbf{v}_1)+ mathcal{A}(mathbf{v}_2)= mathbf{o}_W~ Rightarrow~ mathbf{v}_1+ mathbf{v}_2in ker mathcal{A},;\[5pt] mathbf{v}in ker mathcal{A}~ Rightarrow~ mathcal{A}(mathbf{v})=mathbf{o}_W~ Rightarrow~ mathcal{A}(lambdacdot mathbf{v})= lambdacdotmathcal{A}(mathbf{v})= lambda cdot mathbf{o}_W= mathbf{o}_W~ Rightarrow~ lambdacdot mathbf{v}in ker mathcal{A},. end{gathered}$

Следовательно, множество ker mathcal{A} является линейным подпространством пространства {V} .

2. Образ любого линейного отображения mathcal{A}colon Vto W является подпространством: operatorname{im}mathcal{A}triangleleft W .

В самом деле, докажем, например, замкнутость множества operatorname{im} mathcal{A} по отношению к операции умножения вектора на число. Если mathbf{w}in operatorname{im}mathcal{A} , то существует вектор mathbf{v}in V такой, что mathbf{w}=mathcal{A} (mathbf{v}) . Тогда mathcal{A}(lambdacdot mathbf{v})= lambdacdot mathcal{A}(mathbf{v})= lambdacdot mathbf{w} , то есть lambdacdot mathbf{w}in operatorname{im}mathcal{A} .

Поскольку ядро и образ линейного отображения являются линейными подпространствами (свойства 1 и 2), можно говорить об их размерностях.

Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: d=dim ker mathcal{A} , а рангом линейного отображения — размерность его образа: operatorname{rg}mathcal{A}=r=dim operatorname{im}mathcal{A} .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n$ любой базис пространства {V} , то $operatorname{im}mathcal{A}= operatorname{Lin}[ mathcal{A} (mathbf{e}_1),ldots,mathcal{A}(mathbf{e}_n)]$ . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы $mathcal{A} (mathbf{e}_1),ldots,mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы {A} отображения, т.е. рангу матрицы: dim operatorname{im} mathcal{A}= operatorname{rg}A= operatorname{rg}mathcal{A} .

4. Линейное отображение mathcal{A}colon Vto W инъективно тогда и только тогда, когда $ker mathcal{A}={mathbf{o}_V}$ , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: d=dim ker mathcal{A}=0 .

Действительно, образом нулевого вектора $mathbf{o}_v$ служит нулевой вектор $mathbf{o}_W$ . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор $mathbf{o}_v$ , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ $mathbf{o}_W$ . Обратно, при условии $ker mathcal{A}= {mathbf{o}_V}$ разные векторы $mathbf{v}_1ne mathbf{v}_2$ не могут иметь одинаковые образы $mathcal{A}(mathbf{v}_1)= mathcal{A}(mathbf{v}_2)$ , так как в этом случае из равенств $mathcal{A}(mathbf{v}_1)- mathcal{A}(mathbf{v}_2)= mathcal{A} (mathbf{v}_1-mathbf{v}_2)= mathbf{}_W$ , следует, что ненулевой вектор $(mathbf{v}_1-mathbf{v}_2)in ker mathcal{A}$ (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение mathcal{A}colon Vto W сюръективно тогда и только тогда, когда operatorname{im}mathcal{A}=W , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: r=dim operatorname{im}mathcal{A}= dim{W} .

6. Линейное отображение mathcal{A}colon Vto W биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда $ker mathcal{A}={mathbf{o}_V}$ и operatorname{im}mathcal{A}=W одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения mathcal{A}colon Vto W равна размерности пространства прообразов:

dim ker mathcal{A}+ dim operatorname{im}mathcal{A}= dim{V},.

(9.3)

Действительно, пусть d=dim ker mathcal{A},~ dim{V}=n . Выберем в подпространстве kermathcal{A} triangleleft V базис $mathbf{e}_1,ldots, mathbf{e}_d$ и дополним его векторами $mathbf{e}_{d+1},ldots,mathbf{e}_n$ до базиса $mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n$ всего пространства {V} . Покажем, что векторы $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots,mathcal{A}(mathbf{e}_n)$ образуют базис подпространства operatorname{im}mathcal{A}triangleleft W .

Во-первых, $operatorname{im}mathcal{A}= operatorname{Lin}[mathcal{A} (mathbf{e}_{d+1}), ldots,mathcal{A}(mathbf{e}_n)]$ , так как образ любого вектора $mathbf{v}= v_1 mathbf{e}_1+ldots+v_d mathbf{e}_d+v_{d+1}mathbf{e}_{d+1}+ldots+ v_n mathbf{e}_n$ линейно выражается через векторы $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots, mathcal{A}(mathbf{e}_n):$

$mathcal{A}(mathbf{v})= mathcal{A} Biggl( sum_{i=1}^{n} v_i mathbf{e}_iBiggr)= sum_{i=1}^{n}v_imathcal{A}(mathbf{e}_i)= sum_{i=1}^{d}v_i underbrace{mathcal{A} (mathbf{e}_i)}_{mathbf{o}_W}+ sum_{i=d+1}^{n} v_imathcal{A} (mathbf{e}_i)= sum_{i=d+1}^{n} v_imathcal{A}(mathbf{e}_i).$

Во-вторых, образующие $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}), ldots, mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

$mathbf{o}_W= sumlimits_{i=d+1}^{n} lambda_i mathcal{A} (mathbf{e}_i)= mathcal{A}!left(sum_{i=d+1}^{n}lambda_i mathbf{e}_iright)!,$

то вектор $textstyle{sumlimits_{i=d+1}^{n}lambda_i mathbf{e}_i}$ принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению $(ker mathcal{A})^{+}$ . Учитывая, что $ker mathcal{A}cap (ker mathcal{A})^{+}={mathbf{o}_V}$ , заключаем: $textstyle{sumlimits_{i=d+1}^{n}lambda_i mathbf{e}_i}=mathbf{o}_V$ . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе $mathbf{e}_{d+1},ldots, mathbf{e}_n$ векторов, значит, все коэффициенты lambda_i=0 . Поэтому равенство $textstyle{sumlimits_{i=d+1}^{n}lambda_i mathcal{A}(mathbf{e}_i)= mathbf{o}_W}$ справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots, mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ линейно независимая.

Таким образом, векторы $mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots, mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ образуют базис подпространства $operatorname{im}mathcal{A}= operatorname{Lin} mathcal{A}(mathbf{e}_{d+1}),ldots, mathcal{A} (mathbf{e}_n)$ , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. dimoperatorname{im} mathcal{A}=n-d , что равносильно (9.3).

Следствие. Линейное отображение mathcal{A}colon Vto W биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).

Действительно, для обратимости преобразования mathcal{A}colon Vto W (см. свойство 6) его матрица (размеров mtimes n ) должна удовлетворять условиям (см. свойства 3,4,5):

operatorname{rg}A= operatorname{rg}mathcal{A}= dim operatorname{im}mathcal{A}= dim{W}=m,quad d=dim ker mathcal{A}=0.

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что m=n-d=n , т.е. матрица — квадратная n-го порядка и невырожденная (operatorname{rg}A=n) , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Решение. Очевидно,
что данное линейное преобразование
действует

,
т.к. умножение матриц

определено, когда количество столбцов
1-й матрицы равно количеству строк
второго вектора (в нашем случае 4), а
полученная матрица имеет размерность

(т.к. в матрице A
5 строк).

Совокупность N
векторов x
таких, что Ax=0,
называется ядром
преобразования A.

Совокупность M
векторов вида Ax,
когда x
пробегает все R
(в нашем случае

)
называется образом
пространства
R
при преобразовании A
(другими
словами образ – множество векторов y,
для которых уравнение Ax=y
имеет хотя бы одно решение).

1) Находим ядро.
Пусть

— вектор столбец. Решаем систему уравнений

Решаем систему
методом Гаусса

Переменные

— базисные, а

— небазисная.

Находим все
фундаментальные решения. В нашем случае
оно одно: положив

,
получаем

— который и будет образовывать базис
ядра (т.к. все вектора вида

отображаются в 0). Размерность базиса
равна 1.

2) Находим образ.
Пусть

— вектор столбец. Решаем систему уравнений
Ax=y.

Для того, чтобы
вектор

принадлежал образу, необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы А, и ранг
расширенной матрицы (A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:

Т.к. rang(A)
= 3, то для того чтобы rang(A|y)
=2, необходимо и достаточно, чтобы

Находим фундаментальные
решения (базис образа). Т.к. определитель
из коэффициентов при

:

,
то

— базисные, а

— небазисные.

1-е фундаментальное
решение. Положим

,
находим решение системы

— первое базисное
решение.

2-е фундаментальное
решение. Положим

,
находим решение системы

— второе базисное
решение.

3-е фундаментальное
решение. Положим

,
находим решение системы

— второе базисное
решение.

Итак, размерность
образа равна 3, базис – вектора

.

(Видно, что
размерность образа + размерность ядра
= размерности пространства R⁴).

7. Найти размерность пространства и , где , а м – пространство решений системы уравнений .

Решение.

— ядро,

— образ. Преобразование

.

1) Находим ядро.
Решаем систему уравнений

Следовательно,
одно базисное решение

— базис ядра. Размерность

.

2) Находим образ.

Пусть

— вектор столбец. Решаем систему уравнений
Ax=y.

Для того, чтобы
вектор

Т.к. rang(A)
= 2, то для того чтобы rang(A|y)
=2, необходимо и достаточно, чтобы

Отсюда,

—
базисная, а

не базисные переменные.

1-е фундаментальное
решение:

.

2-е фундаментальное
решение:

.

Следовательно,

— базис образа. Размерность

.

3) Находим
ортогональное дополнение

.
Т.к. любой вектор

,
перпендикулярен любому вектору из

,
то заключаем, что скалярное произведение

— фундаментальное
решение системы или базис

.

4) Найдем базис
линейной оболочки векторов

,

.
Т.к.

,
то заключаем, что

— базис в

,
и следовательно, размерность

.

5) Находим пространство
решений системы уравнений

— фундаментальное
решение системы или базис M.

6) Находим
ортогональное дополнение

.
Т.к. любой вектор

,
перпендикулярен любому вектору из

,
то заключаем, что скалярное произведение

Отсюда,

—
базисная, а

не базисные переменные.

1-е фундаментальное
решение:

.

2-е фундаментальное
решение:

.

Следовательно,

— базис

.
Размерность

.

7) Найдем базис
линейной оболочки векторов

Очевидно, что

,
а

— базис в

,
и следовательно, размерность

.

8. Пусть U
— подпространство
линейного пространства R⁴,
являющееся линейной оболочкой. векторов

,
V
— подпространство
линейного пространства R⁴являющееся
линейной оболочкой векторов

.
Найдите: базис U
+ V
и
базис

.

Решение.

1) Находим базис в
U.

rang=3
, сл-но,

— базис U.

1) Находим базис в
V.

rang=3
, сл-но,

— базис V.

3) Находим базис в
U
+ V.

Находим линейно
независимые вектора в объединении

.

,
а вектора

— базис U
+ V
, а размерность
dim(U
+ V)=4.

4) Найдем общие
вектора в U
и
V
.

Нам известно, что
в конечномерном пространстве
подпространства могут быть заданы
системами линейных уравнений. Тогда их
пересечение задаётся системой уравнений,
полученной объединением систем, задающих
подпространства.

Система уравнений
задающая U:

Для того, чтобы
вектор

принадлежал линейной оболочке U,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы А и ранг расширенной матрицы
(A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:

Т.к. rang(A)
= 3, то для того чтобы rang(A|y)
=3, необходимо и достаточно, чтобы

— искомая система
линейных уравнений.

Система уравнений
задающая V:

Для того, чтобы
вектор

Т.к.
rang(A)
= 3, то для того чтобы rang(A|y)
=3, необходимо и достаточно, чтобы

— искомая система
линейных уравнений.

Решаем общую
систему:

Отсюда фундаментальные
решения (которые получаются при

и при

),
а следовательно базис

есть:

.

9. Подпространство
L₁
в R⁴
порождено векторами (1;-4;6;7) и (0;1;-3;1), а
подпространство L₂
— векторами
(0;1;-4;5) и (1;-4;7;-11). Постройте базисы следующих
подпространств: пересечения

и ортогонального дополнения к сумме

.

Решение.

1) Находим базис в
L₁.
Т.к. матрица, составленная из координат
векторов

,
имеет ранг=2 (т.к. в ней есть определитель
второго порядка

),
то заключаем, что вектора

=(1;-4;6;7)
и

=(0;1;-3;1)
линейно независимые и образуют базис
в L₁.

2) Аналогично,
заключаем, что вектора

=(0;1;-4;5)
и

=(1;-4;7;-11)
линейно независимые и образуют базис
в L₂.

3) Находим базис
L₁+
L₂.

Рассматриваем
объединенную систему векторов

=(1;-4;6;7),

=(0;1;-3;1),

=(0;1;-4;5),

=(1;-4;7;-11)

и находим среди
них линейно независимые. Находим ранг
матрицы, столбцами которой являются
координаты

:

Ранг = 4, следовательно,
все вектора

— линейно независимые и образуют базис
в L₁+
L₂.

4)
Находим базис ортогонального дополнения

Каждый вектор из

ортогонален любому вектору из L₁+
L₂.
Следовательно, скалярные произведения

на вектора базиса из L₁+
L₂
равны 0. Получаем однородную систему

Т.к. определитель
системы не равен 0 (показано выше, что
ранг=4), то система имеет единственное
тривиальное решение

.

Следовательно,

состоит
только из одного вектора

.

(Это и так было
видно, т.к. линейная оболочка

,
ибо 4 линейно независимых вектора

образуют базис в

,
а

).

5) Находим систему
уравнений описывающую L₁.

Для того, чтобы
вектор

принадлежал линейной оболочке

,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы А – составленной из координат
векторов

,
и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:

Т.к. rang(A)
= 2, то для того чтобы rang(A|y)
=2, необходимо и достаточно, чтобы

— искомая система
линейных уравнений.

Находим систему
уравнений описывающую L₂.

Для того, чтобы
вектор

принадлежал линейной оболочке

,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы А – составленной из координат
векторов

Т.к. rang(A)
= 2, то для того чтобы rang(A|y)
=2, необходимо и достаточно, чтобы

— искомая система
линейных уравнений.

Решаем общую
систему:

Т.к. определитель
матрицы коэффициентов

,
то система имеет единственное решение

.
Следовательно,

состоит из
одного вектора (0;0;0;0).

(Это и так было
видно, т.к. вектора

— линейно независимые,
линейные оболочки

не имеют общих (кроме нулевого) векторов,
т.к. линейная комбинация векторов

не может дать вектора

,
а следовательно и их линейные комбинации).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Матрица линейного оператора примеры

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы:

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем , ,…, . Аналогично находим образы для ,…, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.

Отобразим сумму векторов:

Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

Аналогично для умножения на константу:

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x₁ = 1, x₂ = 0, а затем x₁ = 0, x₂ = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).

Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. .

Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).

Матрица линейного оператора:

2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.

Если задана система из n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть – матрица оператора в базисе . По условию, для всех индексов . Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы – это векторы , а столбцы матрицы – векторы . Тогда матрица может быть найдена в виде .

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис

в систему векторов .

Здесь , , , и получаем:

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .

Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.

2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.

Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и . Построим матрицу одного из этих операторов, . Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.

Аналогично, ,

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Матрица оператора: .

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы , , ,…, .

, , , аналогично получим ,…, .

Матрица этого линейного оператора:

Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10219 – | 7588 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соот ветствие вектор y . то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ?? и x 2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Разложим векторы x и y по базису e 1 ,e 2 . e n :

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ? Y .

Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

связывающее вектор-прообраз с вектором-образом

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем

Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x?E n , A и B – два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B – матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x?E n , линейный оператор A определён в E n , ? – некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством .

?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.

Умножение линейных операторов. Пусть x? E n , y ? E n , z ? E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

и обозначим через A, B и C – соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если . Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x₁ и x₂ пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

где A – m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе имеет координаты y_i, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента x_j, j=1,2. n с коэффициентами a_ij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B – mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Ce_j= Ae_j+ Be_j=	n	(a_ij+b_ij) e_j
∑
j= 1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

Ядро и образ линейного отображения

Ядром линейного отображения называется множество таких векторов , что , т.е. множество векторов из , которые отображаются в нулевой вектор пространства . Ядро отображения обозначается:

Образом линейного отображения называется множество образов всех векторов из . Образ отображения обозначается или

Заметим, что символ следует отличать от — мнимой части комплексного числа.

Примеры ядер и образов линейных отображений

1. Ядром нулевого отображения является все пространство , а образом служит один нулевой вектор, т.е.

2. Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору n-мерного линейного пространства его координатный столбец относительно заданного базиса . Ядром этого отображения является нулевой вектор пространства , поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбец . Образ преобразования совпадает со всем пространством , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из является координатным столбцом некоторого вектора пространства ).

3. Рассмотрим отображение , которое каждому вектору n-мерного евклидова пространства ставит в соответствие алгебраическое значение его проекции на направление, задаваемое единичным вектором . Ядром этого преобразования является ортогональное дополнение — множество векторов, ортогональных . Образом является все множество действительных чисел .

4. Рассмотрим отображение , которое каждому многочлену степени не выше ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество многочленов нулевой степени, а образом — все пространство .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения является подпространством: .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество является непустым и замкнутым относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. В самом деле, из однородности отображения следует, что

т.е. нулевой вектор отображается в нулевой вектор . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: . Покажем, что множество замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Действительно:

Следовательно, множество является линейным подпространством пространства .

2. Образ любого линейного отображения является подпространством: .

В самом деле, докажем, например, замкнутость множества по отношению к операции умножения вектора на число. Если , то существует вектор такой, что . Тогда , то есть .

Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: , а рангом линейного отображения — размерность его образа: .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если любой базис пространства , то . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы отображения, т.е. рангу матрицы: .

4. Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: .

Действительно, образом нулевого вектора служит нулевой вектор . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ . Обратно, при условии разные векторы не могут иметь одинаковые образы , так как в этом случае из равенств , следует, что ненулевой вектор (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение сюръективно тогда и только тогда, когда , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: .

6. Линейное отображение биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда и одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения равна размерности пространства прообразов:

Действительно, пусть . Выберем в подпространстве базис и дополним его векторами до базиса всего пространства . Покажем, что векторы образуют базис подпространства .

Во-первых, , так как образ любого вектора линейно выражается через векторы

Во-вторых, образующие линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

то вектор принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению . Учитывая, что , заключаем: . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе векторов, значит, все коэффициенты . Поэтому равенство справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов линейно независимая.

Таким образом, векторы образуют базис подпространства , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. , что равносильно (9.3).

Следствие. Линейное отображение биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).

Действительно, для обратимости преобразования (см. свойство 6) его матрица (размеров ) должна удовлетворять условиям (см. свойства 3,4,5):

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что , т.е. матрица — квадратная n-го порядка и невырожденная , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Линейные операторы

1. Понятие линейного оператора

где A — m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где a_ij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Построим матрицу A с элементами a_ij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B — mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Применим оператор C к базисному вектору e_j, тогда:

Ce_j= Ae_j+ Be_j=	n	(a_ij+b_ij) e_j
∑
j= 1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

3. Умножение линейных операторов

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

можно записать в виде матричных равенств

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Учитывая произвольность х, получим

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

7. Ядро линейного оператора

8. Образ линейного оператора

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

источники:

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=yadro-i-obraz-linyeinogo-otobrazheniya

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-operator.php

Источник

Как найти размерность матрицы

Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы, состоящей из некоторого количества строк и столбцов, на пересечении которых располагаются элементы матрицы. Основное математическое применение матриц – решение систем линейных уравнений.

Число столбцов и строк задают размерность матрицы. К примеру, таблица размерностью 5×6 имеет 5 строк и 6 столбцов. В общем случае, размерность матрицы записывается в виде m×n, где число m указывает на количество строк, n – столбцов.

Размерность матрицы важно учитывать при совершении алгебраических операций. Например, складывать можно матрицы только одного и того же размера. Операция сложения матриц с разной размерностью не определена.

Если массив имеет размерность m×n, его можно умножить на массив n×l. Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй, иначе операция умножения не будет определена.

Размерность матрицы указывает на число уравнений в системе и количество переменных. Число строк совпадает с количеством уравнений, а за каждым столбцом закреплена своя переменная. Решение системы линейных уравнений «записано» в действиях над матрицами. Благодаря матричной системе записи становится возможным решать системы высоких порядков.

Если число строк равно числу столбцов, матрица называется квадратной. В ней можно выделить главную и побочную диагонали. Главная идет от левого верхнего угла к правому нижнему, побочная – от правого верхнего к левому нижнему.

Массивы размерностью m×1 или 1×n являются векторами. Также в виде вектора можно представить любую строку и любой столбец произвольной таблицы. Для таких матриц определены все операции над векторами.

Поменяв в матрице A строки и столбцы местами, можно получить транспонированную матрицу A(Т). Таким образом, при транспонировании размерность m×n перейдет в n×m.

В программировании для прямоугольной таблицы задается два индекса, один из которых пробегает длину всей строки, другой – длину всего столбца. При этом цикл для одного индекса помещен внутрь цикла для другого, за счет чего обеспечивается последовательное прохождение всей размерности матрицы.

Источник

Все курсы > Линейная алгебра > Занятие 6 (часть 1)

Сегодня мы еще раз рассмотрим полученные ранее знания о векторных пространствах, линейных преобразованиях, системе линейных уравнений и определителе матрицы в контексте новых понятий ранга и четырех фундаментальных подпространств матрицы, а именно пространства столбцов, пространства строк, ядра и коядра матрицы.

Продолжим работать в том же ноутбуке⧉

Ранг матрицы

При нулевом определителе в трехмерном пространстве матрица может «схлопнуть» пространство до плоскости, линии или точки (во всех трех случаях определитель равен нулю).

Ранее мы сказали, что для того чтобы в системе уравнений, например, трехмерная матрица $A$ при нулевом определителе все же имела решение, вектор $mathbf b$, на который матрица $A$ переводит вектор $mathbf x$, должен лежать на плоскости или линии, в которые «схлопывается» трехмерное пространство.

Размерность пространства после трансформации принято описывать рангом матрицы (rank).

Если преобразование трехмерной матрицы «сворачивает» размерность до линии, то ранг такого преобразования равен единице, до плоскости — двум и т.д. В случае матрицы $2 times 2$ самый высокий ранг матрицы — два. Это значит, что при преобразовании размерность сохранилась (и соответственно определитель не равен нулю).

Пространство столбцов

Пространством столбцов (column space, а также образом, image) называют множество всех возможных линейных комбинаций вектор-столбцов.

С точки зрения линейных преобразований, пространством столбцов называют векторы, которые определяют пространство после трансформации.

В случае линейно зависимых векторов таких векторов будет меньше, чем в исходной матрице. Приведем пример линейно зависимых векторов и рассчитаем ранг матрицы.

M = np.array([[1, 0, 1],

[2, 3, 4],

[—1, —3, —3]])

np.linalg.matrix_rank(M)

Приведем матрицу к упрощенному ступенчатому виду (reduced row-echelon form) с помощью Питона. Для этого воспользуемся методом .rref() библиотеки sympy.

from sympy import *

M = Matrix([[1, 0, 1],

[2, 3, 4],

[—1, —3, —3]])

M_rref = M.rref()

M_rref[0]

Как мы видим, с одной стороны, пространство сократилось до двух измерений (поэтому ранг матрицы равен двум), с другой, двумерное пространство можно описать первыми двумя столбцами (их еще называют разрещающими, ведущими или базисными, pivot columns), где все элементы кроме одного равны нулю.

Разрешающие столбцы и образуют пространство столбцов. Найдем пространство столбцов с помощью Питона.

# вторым элементом метод .rref() выводит

# индексы разрешающих столбцов (pivot columns),

# используем их для нахождения пространства столбцов

M.col(M.rref()[1])

# то же самое можно найти с помощью

# метода .columnspace()

M_columnspace = M.columnspace()

M_columnspace[0]

Откуда такое название? Столбцы матрицы говорят куда «приземлятся» координаты базисных векторов. В этом смысле, оболочка вектор-столбцов то же самое, что и пространство столбцов.

В матрице $2 times 2$ первый столбец показывает, где окажется вектор $mathbf i$, второй — вектор $mathbf j$. И оболочка этих столбцов определит пространство столбцов. Если, например, в матрице $2 times 2$ столбцы линейно независимы и преобразование не приводит к снижению размерности, то пространство столбцов задается этими двумя векторами.

Замечу, что столбцы, не являющиеся разрешающими, называются свободными (free).

Ядро матрицы

Если преобразование уменьшает размерность (например, преобразовывает плоскость в линию), то несколько векторов оказываются в начале координат (становятся нулевыми векторами). Видео ниже прекрасно иллюстрирует эту трансформацию.

Множество таких «исчезающих» векторов называется ядром матрицы или ее нуль-пространством (null space, kernel).

Видео про обратные матрицы, ранг и ядро⧉.

Система уравнений

$Ax = b$

Рассмотрим пространство столбцов и ядро с точки зрения системы линейных уравнений. В первую очередь представим пространство столбцов, как решение системы $ A mathbf x = mathbf b $, т.е. линейную комбинацию вектор-столбцов $A$, умноженных на компоненты $mathbf x$.

$$ x_1 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_1 \ vdots end{bmatrix} + x_2 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_2 \ vdots end{bmatrix} + x_3 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_3 \ vdots end{bmatrix} = begin{bmatrix} vdots \ mathbf b \ vdots end{bmatrix} $$

Всегда ли $A mathbf x = mathbf b$ будет иметь решение? Нет. Возьмем некоторую матрицу $A$ и соответствующие ей векторы $mathbf x$ и $mathbf b$.

$$ begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 4 \ 4 & 1 & 5 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \ b_4 end{bmatrix} $$

В такой системе будет много векторов $mathbf b$, которые не будут являться линейной комбинацией трех столбцов матрицы A.

В каком случае такое решение все-таки будет существовать? Если $mathbf b$ будет являться линейной комбинацией векторов $A$, т.е. будет находиться в пространстве столбцов $A$, $mathbf b in col(A) $.

Например, если $mathbf b$ будет равен одному из столбцов $A$.

$$ begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 4 \ 4 & 1 & 5 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 end{bmatrix} $$

Тогда решением может быть

$$ mathbf x = begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix} $$

Что интересно, все возможные решения $mathbf x$ именно такой системы $A mathbf x = mathbf b$, где $mathbf b in col(A) $ сами по себе не образуют векторное пространство (хотя бы потому что нулевой вектор не включен в эти решения).

Дополнительно замечу, что так как в матрице $A$ только два линейно независимых вектора (третий вектор является суммой первых двух), то в данном случае мы имеем двумерное подпространство $R^4$.

$Ax = 0$

В системе линейных уравнений $A mathbf x = mathbf b$, если $mathbf b$ — нулевой вектор, т.е. $A mathbf x = mathbf 0$, то ядро дает все возможные решения этой системы (все возможные $mathbf x$). Можно также сказать, что ядро $mathbf x $ представляет собой комбинацию вектор-столбцов $A$, обращающихся в ноль.

В примере выше обратите внимание, что $col(A) in R^4$, в то время как $null(A) in R^3$. Решением же этой системы при нулевом векторе $mathbf b$, $A mathbf x = mathbf 0$ будет

$$ null(A) = k begin{bmatrix} 1 \ 1 \ -1 end{bmatrix} $$

где $k in mathbb{R} $. Другими словами, $null(A)$ представляет собой линию в $R^3$.

Убедимся, что для матрицы $M$ выше мы правильно нашли ядро (а также решение $M mathbf x = 0$).

M = np.array([[1, 0, 1],

[2, 3, 4],

[—1, —3, —3]])

Null = np.array([—1, —2/3, 1])

M @ Null

Общее и частное решение

Приведем общее решение (complete solution) следующей системы, состоящее из частного решения (particular solution) системы $A mathbf x = mathbf b$ и ядра, то есть решения $A mathbf x = mathbf 0$.

$$ begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 4 \ 4 & 1 & 5 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 end{bmatrix} $$

$$ mathbf x = begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix} + k begin{bmatrix} 1 \ 1 \ -1 end{bmatrix} $$

Независимость векторов, базис и размерность

В свете новых знаний еще раз рассмотрим линейную независимость векторов и базис векторного пространства. Возьмем некоторую матрицу $A$.

Независимые вектор-столбцы

Можно сказать, что вектор-столбцы, образующие матрицу $A$ независимы, если ядро матрицы состоит только из нулевого вектора, $null(A) = { mathbf 0 }$ (решением $A mathbf x = mathbf 0$ будет только нулевой вектор $mathbf x$). Одновременно все столбцы такой матрицы являются разрешающими, и матрица имеет полный ранг, равный количеству столбцов $n$, $rank(A) = n$.

Если матрица $А$ квадратная и ее столбцы линейно независимы, то можно сказать, что

Вектор-столбцы матрицы образуют базис $R^n$
Такая матрица будет обратима (!)

Приведем примеры обратимых матриц, столбцы которых формируют базис.

$$ begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}, begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 1 \ 2 & 5 & 8 end{bmatrix} $$

A = np.array([[1, 2, 3],

[1, 2, 1],

[2, 5, 8]])

np.linalg.matrix_rank(A)

array([[ 5.5, -0.5, -2. ],

[-3. , 1. , 1. ],

[ 0.5, -0.5, 0. ]])

Зависимые вектор-столбцы

Если же столбцы зависимы, то ядро матрицы содержит также ненулевые векторы и решением $A mathbf x = mathbf 0$ будет или будут некоторые ненулевые векторы $mathbf x$. Столбцы матрицы будут как разрешающими, так и свободными. Ранг матрицы будет равен количеству разрещающих столбцов.

Базис пространства будет определяться именно линейно независимыми векторами, входящими в пространство столбцов. Размерностью (dimension) векторного пространства будет как раз количество векторов базиса.

Например, возьмем следующую матрицу $A$.

$$ A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 end{bmatrix} $$

В данном случае у матрицы два линейно независимых столбца. В частности, это

$$ col(A) = left{ begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{bmatrix}, begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 2 end{bmatrix} right} $$

Как следствие,

$$ dim(col(A)) = rank(A) = dim(basis) = text{# of pivots} = 2 $$

Одновременно, нулевое пространство задано векторами

$$ null(A) = left{ begin{bmatrix} -1 \ -1 \ 1 \ 0 end{bmatrix}, begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 0 \ 1 end{bmatrix} right} $$

Как следствие,

$$ dim(null(A)) = text{# of free columns} = 2 $$

Код на Питоне для нахождения пространства столбцов и ядра приведен в ноутбуке к занятию⧉.

В качестве дополнения, замечу, что размерность векторного пространства характеризуется следом (trace) единичной матрицы этого пространства или суммой элементов главной диагонали. Например, размерность $R^3$ можно охарактеризовать через

$$ dim(col(A)) = tr left( begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix} right) = 3 $$

Пространство строк и коядро

Пространством строк (row space) называют множество всех возможных линейных комбинаций вектор-строк.

Если матрицу транспонировать, то можно сказать, что

$$ row(A) = col(A^T) $$

Коядром или левым нуль-пространством (left null-space, cokernel) матрицы $A$ будет ядро матрицы $A^T$.

$$ leftnull(A) = null(A^T) $$

Продемонстрируем, почему это пространством называется именно левым нуль-пространством. По определению ядра, как решения $A mathbf x = mathbf 0$, можно сказать, что коядро будет решением $A^T mathbf y = mathbf 0$.

$$ A^T mathbf y = mathbf 0 $$

$$ mathbf y^T(A^T)^T = mathbf 0^T $$

$$ mathbf y^T A = mathbf 0^T $$

Схематично это можно представить следующим образом.

Можно также сказать, что коядро $ mathbf y $ в системе $ A^T mathbf y = mathbf 0 $ дает все возможные комбинации столбцов $A^T$, обращающиеся в нулевой вектор (что то же самое, что линейные комбинации строк $mathbf x^T A = 0$). Приведем пример. Найдем коядро матрицы $A$.

A = Matrix([[1, 2, 3, 1],

[1, 1, 2, 1],

[1, 2, 3, 1]])

A.T.nullspace()[0]

Другими словами, нам нужно взять $-1R_1 + 0R_2 + 1R_3$, чтобы получить нулевой вектор. Проверим полученный результат.

A = np.array([[1, 2, 3, 1],

[1, 1, 2, 1],

[1, 2, 3, 1]])

Leftnull = np.array([—1, 0, 1])

Leftnull.T @ A

Фундаментальные подпространства матрицы

Обобщим изложенную выше информацию. Возьмем матрицу $A$ размерностью $m times n$. Тогда

$ null(A) in R^n$ (так как должно быть решением $A mathbf x = mathbf 0$)
$ col(A) in R^m $ (количество строк $A$)
$ row(A) = col(A^T) in R^n $ (количество столбцов $A$)
$ leftnull(A) = null(A^T) in R^m $ (так как должно быть решением $A^T mathbf y = mathbf 0$)

Тогда схематично эти подпространства можно представить следующим образом.

Несколько пояснений и дополнений:

$r$ означает ранг (rank) матрицы
$r+(n-r) = n$, т.е. столбцы матрицы $A$
$r+(m-r) = m$, т.е. строки матрицы $A$ или столбцы $A^T$

Про пересечение подпространств. Может ли вектор $mathbf v = begin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix}$ быть одновременно в нуль-пространстве и являться частью пространства строк A (или в целом строкой в A)? Нет.

$$ begin{bmatrix} 1 & 2 \ dots & dots end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix} not= begin{bmatrix} 0 \ 0 end{bmatrix} $$

Пересечением пространства строк и нуль-пространства будет только нулевой вектор.

$$ row(A) cap null(A) = { mathbf 0 } $$

Ортогональность подпространств матрицы

Более того, ядро ортогонально пространству строк $row(A) perp null(A)$, так как их скалярное произведение равно нулю. Это следует из определения ядра $A mathbf x = mathbf 0$ (произведение $mathbf x$ на каждую вектор-строку $mathbf a_m$ равно нулю).

$$ begin{bmatrix} dots & mathbf a_1 & dots \ dots & mathbf a_2 & dots \ dots & dots & dots \ dots & mathbf a_m & dots end{bmatrix} begin{bmatrix} vdots \ mathbf x \ vdots end{bmatrix} = begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix} $$

Более того, так как $null(A)$ содержит все векторы, ортогональные $row(A)$, то ядро можно считать ортогональным дополнением пространства строк в $R^n$: $null(A) = row(A)^{perp} $.

То же самое справедливо для пространства столбцов и коядра.

$$ col(A) perp leftnull(A) perp null(A^T) text{ в } R^m $$

$$ leftnull(A), null(A^T) = col(A)^{perp} $$

Количество решений системы уравнений

Систематизируем наши знания о подпространствах матрицы с точки зрения возможного количества решений системы уравнений.

Система не имеет решений

В случае если система не имеет решений, существует некоторый вектор $mathbf b $, при котором $A mathbf x = mathbf b $ не будет иметь решения.

$$ exists mathbf b implies A mathbf x not= mathbf b $$

С точки зрения матрицы $underset{m times n}{A}$, можно говорить о том, что некоторые строки линейно зависимы и после преобразования методом Гаусса обратятся в нули. Как следствие, ранг матрицы меньше количества строк, $r < m$.

Система имеет единственное решение

Если мы знаем, что система имеет единственное решение, то это означает, что нуль-пространство матрицы $A$ содержит только нулевой вектор, $null(A) = { mathbf 0 }$ и все столбцы линейно независимы, $ r = n $.

Система имеет множество решений

В этом случае решение состоит из частного решения и решения системы $A mathbf x not= mathbf 0 $. Другими словами, это означает, что нуль-пространство содержит не только нулевой вектор, а значит столбцы матрицы линейно зависимы и $ r < n $.

Теперь приведем пример, иллюстрирующий применение матрицы для моделирования физического процесса, а также посмотрим как подпространства такой матрицы одновременно характеризуют свойства этого процесса.

Источник

Ядро и образ линейного отображения

Примеры ядер и образов линейных отображений

Свойства ядра и образа линейного отображения

7. Найти размерность пространства и , где , а м – пространство решений системы уравнений .

Матрица линейного оператора примеры

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Матрица линейного оператора

Примеры линейных операторов

Действия над операторами

1. Понятие линейного оператора

2. Сложение линейных операторов

3. Умножение линейных операторов

4. Умножение линейного оператора на число

5. Нулевой оператор

6. Противоположный оператор

7. Ядро линейного оператора

8. Образ линейного оператора

9. Ранг линейного оператора

Ядро и образ линейного отображения

Примеры ядер и образов линейных отображений

Свойства ядра и образа линейного отображения

Линейные операторы

1. Понятие линейного оператора

2. Сложение линейных операторов

3. Умножение линейных операторов

4. Умножение линейного оператора на число

5. Нулевой оператор

6. Противоположный оператор

7. Ядро линейного оператора

8. Образ линейного оператора

9. Ранг линейного оператора

Как найти размерность матрицы

Ранг матрицы

Пространство столбцов

Ядро матрицы

Система уравнений

$Ax = b$

$Ax = 0$

Общее и частное решение

Независимость векторов, базис и размерность

Независимые вектор-столбцы

Зависимые вектор-столбцы

Пространство строк и коядро

Фундаментальные подпространства матрицы

Ортогональность подпространств матрицы

Количество решений системы уравнений

Система не имеет решений

Система имеет единственное решение

Система имеет множество решений

Не пропустите также: