Все курсы > Линейная алгебра > Занятие 6 (часть 1)
Сегодня мы еще раз рассмотрим полученные ранее знания о векторных пространствах, линейных преобразованиях, системе линейных уравнений и определителе матрицы в контексте новых понятий ранга и четырех фундаментальных подпространств матрицы, а именно пространства столбцов, пространства строк, ядра и коядра матрицы.
Продолжим работать в том же ноутбуке⧉
Ранг матрицы
При нулевом определителе в трехмерном пространстве матрица может «схлопнуть» пространство до плоскости, линии или точки (во всех трех случаях определитель равен нулю).
Ранее мы сказали, что для того чтобы в системе уравнений, например, трехмерная матрица $A$ при нулевом определителе все же имела решение, вектор $mathbf b$, на который матрица $A$ переводит вектор $mathbf x$, должен лежать на плоскости или линии, в которые «схлопывается» трехмерное пространство.
Размерность пространства после трансформации принято описывать рангом матрицы (rank).
Если преобразование трехмерной матрицы «сворачивает» размерность до линии, то ранг такого преобразования равен единице, до плоскости — двум и т.д. В случае матрицы $2 times 2$ самый высокий ранг матрицы — два. Это значит, что при преобразовании размерность сохранилась (и соответственно определитель не равен нулю).
Пространство столбцов
Пространством столбцов (column space, а также образом, image) называют множество всех возможных линейных комбинаций вектор-столбцов.
С точки зрения линейных преобразований, пространством столбцов называют векторы, которые определяют пространство после трансформации.
В случае линейно зависимых векторов таких векторов будет меньше, чем в исходной матрице. Приведем пример линейно зависимых векторов и рассчитаем ранг матрицы.
|
M = np.array([[1, 0, 1], [2, 3, 4], [—1, —3, —3]]) np.linalg.matrix_rank(M) |
Приведем матрицу к упрощенному ступенчатому виду (reduced row-echelon form) с помощью Питона. Для этого воспользуемся методом .rref() библиотеки sympy.
|
from sympy import * M = Matrix([[1, 0, 1], [2, 3, 4], [—1, —3, —3]]) M_rref = M.rref() M_rref[0] |
Как мы видим, с одной стороны, пространство сократилось до двух измерений (поэтому ранг матрицы равен двум), с другой, двумерное пространство можно описать первыми двумя столбцами (их еще называют разрещающими, ведущими или базисными, pivot columns), где все элементы кроме одного равны нулю.
Разрешающие столбцы и образуют пространство столбцов. Найдем пространство столбцов с помощью Питона.
|
# вторым элементом метод .rref() выводит # индексы разрешающих столбцов (pivot columns), # используем их для нахождения пространства столбцов M.col(M.rref()[1]) |
|
# то же самое можно найти с помощью # метода .columnspace() M_columnspace = M.columnspace() M_columnspace[0] |
Откуда такое название? Столбцы матрицы говорят куда «приземлятся» координаты базисных векторов. В этом смысле, оболочка вектор-столбцов то же самое, что и пространство столбцов.
В матрице $2 times 2$ первый столбец показывает, где окажется вектор $mathbf i$, второй — вектор $mathbf j$. И оболочка этих столбцов определит пространство столбцов. Если, например, в матрице $2 times 2$ столбцы линейно независимы и преобразование не приводит к снижению размерности, то пространство столбцов задается этими двумя векторами.
Замечу, что столбцы, не являющиеся разрешающими, называются свободными (free).
Ядро матрицы
Если преобразование уменьшает размерность (например, преобразовывает плоскость в линию), то несколько векторов оказываются в начале координат (становятся нулевыми векторами). Видео ниже прекрасно иллюстрирует эту трансформацию.
Множество таких «исчезающих» векторов называется ядром матрицы или ее нуль-пространством (null space, kernel).
Видео про обратные матрицы, ранг и ядро⧉.
Система уравнений
$Ax = b$
Рассмотрим пространство столбцов и ядро с точки зрения системы линейных уравнений. В первую очередь представим пространство столбцов, как решение системы $ A mathbf x = mathbf b $, т.е. линейную комбинацию вектор-столбцов $A$, умноженных на компоненты $mathbf x$.
$$ x_1 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_1 \ vdots end{bmatrix} + x_2 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_2 \ vdots end{bmatrix} + x_3 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_3 \ vdots end{bmatrix} = begin{bmatrix} vdots \ mathbf b \ vdots end{bmatrix} $$
Всегда ли $A mathbf x = mathbf b$ будет иметь решение? Нет. Возьмем некоторую матрицу $A$ и соответствующие ей векторы $mathbf x$ и $mathbf b$.
$$ begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 4 \ 4 & 1 & 5 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \ b_4 end{bmatrix} $$
В такой системе будет много векторов $mathbf b$, которые не будут являться линейной комбинацией трех столбцов матрицы A.
В каком случае такое решение все-таки будет существовать? Если $mathbf b$ будет являться линейной комбинацией векторов $A$, т.е. будет находиться в пространстве столбцов $A$, $mathbf b in col(A) $.
Например, если $mathbf b$ будет равен одному из столбцов $A$.
$$ begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 4 \ 4 & 1 & 5 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 end{bmatrix} $$
Тогда решением может быть
$$ mathbf x = begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix} $$
Что интересно, все возможные решения $mathbf x$ именно такой системы $A mathbf x = mathbf b$, где $mathbf b in col(A) $ сами по себе не образуют векторное пространство (хотя бы потому что нулевой вектор не включен в эти решения).
Дополнительно замечу, что так как в матрице $A$ только два линейно независимых вектора (третий вектор является суммой первых двух), то в данном случае мы имеем двумерное подпространство $R^4$.
$Ax = 0$
В системе линейных уравнений $A mathbf x = mathbf b$, если $mathbf b$ — нулевой вектор, т.е. $A mathbf x = mathbf 0$, то ядро дает все возможные решения этой системы (все возможные $mathbf x$). Можно также сказать, что ядро $mathbf x $ представляет собой комбинацию вектор-столбцов $A$, обращающихся в ноль.
$$ x_1 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_1 \ vdots end{bmatrix} + x_2 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_2 \ vdots end{bmatrix} + x_3 begin{bmatrix} vdots \ mathbf a_3 \ vdots end{bmatrix} = begin{bmatrix} vdots \ mathbf 0 \ vdots end{bmatrix} $$
В примере выше обратите внимание, что $col(A) in R^4$, в то время как $null(A) in R^3$. Решением же этой системы при нулевом векторе $mathbf b$, $A mathbf x = mathbf 0$ будет
$$ null(A) = k begin{bmatrix} 1 \ 1 \ -1 end{bmatrix} $$
где $k in mathbb{R} $. Другими словами, $null(A)$ представляет собой линию в $R^3$.
Убедимся, что для матрицы $M$ выше мы правильно нашли ядро (а также решение $M mathbf x = 0$).
|
M = np.array([[1, 0, 1], [2, 3, 4], [—1, —3, —3]]) Null = np.array([—1, —2/3, 1]) M @ Null |
Общее и частное решение
Приведем общее решение (complete solution) следующей системы, состоящее из частного решения (particular solution) системы $A mathbf x = mathbf b$ и ядра, то есть решения $A mathbf x = mathbf 0$.
$$ begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 4 \ 4 & 1 & 5 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 end{bmatrix} $$
$$ mathbf x = begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 end{bmatrix} + k begin{bmatrix} 1 \ 1 \ -1 end{bmatrix} $$
Независимость векторов, базис и размерность
В свете новых знаний еще раз рассмотрим линейную независимость векторов и базис векторного пространства. Возьмем некоторую матрицу $A$.
Независимые вектор-столбцы
Можно сказать, что вектор-столбцы, образующие матрицу $A$ независимы, если ядро матрицы состоит только из нулевого вектора, $null(A) = { mathbf 0 }$ (решением $A mathbf x = mathbf 0$ будет только нулевой вектор $mathbf x$). Одновременно все столбцы такой матрицы являются разрешающими, и матрица имеет полный ранг, равный количеству столбцов $n$, $rank(A) = n$.
Если матрица $А$ квадратная и ее столбцы линейно независимы, то можно сказать, что
- Вектор-столбцы матрицы образуют базис $R^n$
- Такая матрица будет обратима (!)
Приведем примеры обратимых матриц, столбцы которых формируют базис.
$$ begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}, begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 1 \ 2 & 5 & 8 end{bmatrix} $$
|
A = np.array([[1, 2, 3], [1, 2, 1], [2, 5, 8]]) np.linalg.matrix_rank(A) |
|
array([[ 5.5, -0.5, -2. ], [-3. , 1. , 1. ], [ 0.5, -0.5, 0. ]]) |
Зависимые вектор-столбцы
Если же столбцы зависимы, то ядро матрицы содержит также ненулевые векторы и решением $A mathbf x = mathbf 0$ будет или будут некоторые ненулевые векторы $mathbf x$. Столбцы матрицы будут как разрешающими, так и свободными. Ранг матрицы будет равен количеству разрещающих столбцов.
Базис пространства будет определяться именно линейно независимыми векторами, входящими в пространство столбцов. Размерностью (dimension) векторного пространства будет как раз количество векторов базиса.
Например, возьмем следующую матрицу $A$.
$$ A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 end{bmatrix} $$
В данном случае у матрицы два линейно независимых столбца. В частности, это
$$ col(A) = left{ begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{bmatrix}, begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 2 end{bmatrix} right} $$
Как следствие,
$$ dim(col(A)) = rank(A) = dim(basis) = text{# of pivots} = 2 $$
Одновременно, нулевое пространство задано векторами
$$ null(A) = left{ begin{bmatrix} -1 \ -1 \ 1 \ 0 end{bmatrix}, begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 0 \ 1 end{bmatrix} right} $$
Как следствие,
$$ dim(null(A)) = text{# of free columns} = 2 $$
Код на Питоне для нахождения пространства столбцов и ядра приведен в ноутбуке к занятию⧉.
В качестве дополнения, замечу, что размерность векторного пространства характеризуется следом (trace) единичной матрицы этого пространства или суммой элементов главной диагонали. Например, размерность $R^3$ можно охарактеризовать через
$$ dim(col(A)) = tr left( begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix} right) = 3 $$
Пространство строк и коядро
Пространством строк (row space) называют множество всех возможных линейных комбинаций вектор-строк.
Если матрицу транспонировать, то можно сказать, что
$$ row(A) = col(A^T) $$
Коядром или левым нуль-пространством (left null-space, cokernel) матрицы $A$ будет ядро матрицы $A^T$.
$$ leftnull(A) = null(A^T) $$
Продемонстрируем, почему это пространством называется именно левым нуль-пространством. По определению ядра, как решения $A mathbf x = mathbf 0$, можно сказать, что коядро будет решением $A^T mathbf y = mathbf 0$.
$$ A^T mathbf y = mathbf 0 $$
$$ mathbf y^T(A^T)^T = mathbf 0^T $$
$$ mathbf y^T A = mathbf 0^T $$
Схематично это можно представить следующим образом.
Можно также сказать, что коядро $ mathbf y $ в системе $ A^T mathbf y = mathbf 0 $ дает все возможные комбинации столбцов $A^T$, обращающиеся в нулевой вектор (что то же самое, что линейные комбинации строк $mathbf x^T A = 0$). Приведем пример. Найдем коядро матрицы $A$.
|
A = Matrix([[1, 2, 3, 1], [1, 1, 2, 1], [1, 2, 3, 1]]) A.T.nullspace()[0] |
Другими словами, нам нужно взять $-1R_1 + 0R_2 + 1R_3$, чтобы получить нулевой вектор. Проверим полученный результат.
|
A = np.array([[1, 2, 3, 1], [1, 1, 2, 1], [1, 2, 3, 1]]) Leftnull = np.array([—1, 0, 1]) Leftnull.T @ A |
Фундаментальные подпространства матрицы
Обобщим изложенную выше информацию. Возьмем матрицу $A$ размерностью $m times n$. Тогда
- $ null(A) in R^n$ (так как должно быть решением $A mathbf x = mathbf 0$)
- $ col(A) in R^m $ (количество строк $A$)
- $ row(A) = col(A^T) in R^n $ (количество столбцов $A$)
- $ leftnull(A) = null(A^T) in R^m $ (так как должно быть решением $A^T mathbf y = mathbf 0$)
Тогда схематично эти подпространства можно представить следующим образом.
Несколько пояснений и дополнений:
- $r$ означает ранг (rank) матрицы
- $r+(n-r) = n$, т.е. столбцы матрицы $A$
- $r+(m-r) = m$, т.е. строки матрицы $A$ или столбцы $A^T$
Про пересечение подпространств. Может ли вектор $mathbf v = begin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix}$ быть одновременно в нуль-пространстве и являться частью пространства строк A (или в целом строкой в A)? Нет.
$$ begin{bmatrix} 1 & 2 \ dots & dots end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 \ 2 end{bmatrix} not= begin{bmatrix} 0 \ 0 end{bmatrix} $$
Пересечением пространства строк и нуль-пространства будет только нулевой вектор.
$$ row(A) cap null(A) = { mathbf 0 } $$
Ортогональность подпространств матрицы
Более того, ядро ортогонально пространству строк $row(A) perp null(A)$, так как их скалярное произведение равно нулю. Это следует из определения ядра $A mathbf x = mathbf 0$ (произведение $mathbf x$ на каждую вектор-строку $mathbf a_m$ равно нулю).
$$ begin{bmatrix} dots & mathbf a_1 & dots \ dots & mathbf a_2 & dots \ dots & dots & dots \ dots & mathbf a_m & dots end{bmatrix} begin{bmatrix} vdots \ mathbf x \ vdots end{bmatrix} = begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 end{bmatrix} $$
Более того, так как $null(A)$ содержит все векторы, ортогональные $row(A)$, то ядро можно считать ортогональным дополнением пространства строк в $R^n$: $null(A) = row(A)^{perp} $.
То же самое справедливо для пространства столбцов и коядра.
$$ col(A) perp leftnull(A) perp null(A^T) text{ в } R^m $$
$$ leftnull(A), null(A^T) = col(A)^{perp} $$
Количество решений системы уравнений
Систематизируем наши знания о подпространствах матрицы с точки зрения возможного количества решений системы уравнений.
Система не имеет решений
В случае если система не имеет решений, существует некоторый вектор $mathbf b $, при котором $A mathbf x = mathbf b $ не будет иметь решения.
$$ exists mathbf b implies A mathbf x not= mathbf b $$
С точки зрения матрицы $underset{m times n}{A}$, можно говорить о том, что некоторые строки линейно зависимы и после преобразования методом Гаусса обратятся в нули. Как следствие, ранг матрицы меньше количества строк, $r < m$.
Система имеет единственное решение
Если мы знаем, что система имеет единственное решение, то это означает, что нуль-пространство матрицы $A$ содержит только нулевой вектор, $null(A) = { mathbf 0 }$ и все столбцы линейно независимы, $ r = n $.
Система имеет множество решений
В этом случае решение состоит из частного решения и решения системы $A mathbf x not= mathbf 0 $. Другими словами, это означает, что нуль-пространство содержит не только нулевой вектор, а значит столбцы матрицы линейно зависимы и $ r < n $.
Теперь приведем пример, иллюстрирующий применение матрицы для моделирования физического процесса, а также посмотрим как подпространства такой матрицы одновременно характеризуют свойства этого процесса.
Решение. Очевидно,
что данное линейное преобразование
действует
,
т.к. умножение матриц
определено, когда количество столбцов
1-й матрицы равно количеству строк
второго вектора (в нашем случае 4), а
полученная матрица имеет размерность
(т.к. в матрице A
5 строк).
Совокупность N
векторов x
таких, что Ax=0,
называется ядром
преобразования A.
Совокупность M
векторов вида Ax,
когда x
пробегает все R
(в нашем случае
)
называется образом
пространства
R
при преобразовании A
(другими
словами образ – множество векторов y,
для которых уравнение Ax=y
имеет хотя бы одно решение).
1) Находим ядро.
Пусть
— вектор столбец. Решаем систему уравнений
.
Решаем систему
методом Гаусса
.
Переменные
— базисные, а
— небазисная.
Находим все
фундаментальные решения. В нашем случае
оно одно: положив
,
получаем
— который и будет образовывать базис
ядра (т.к. все вектора вида
отображаются в 0). Размерность базиса
равна 1.
2) Находим образ.
Пусть
— вектор столбец. Решаем систему уравнений
Ax=y.
Для того, чтобы
вектор
принадлежал образу, необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы А, и ранг
расширенной матрицы (A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:
.
Т.к. rang(A)
= 3, то для того чтобы rang(A|y)
=2, необходимо и достаточно, чтобы
.
Находим фундаментальные
решения (базис образа). Т.к. определитель
из коэффициентов при
:
,
то
— базисные, а
— небазисные.
1-е фундаментальное
решение. Положим
,
находим решение системы
— первое базисное
решение.
2-е фундаментальное
решение. Положим
,
находим решение системы
— второе базисное
решение.
3-е фундаментальное
решение. Положим
,
находим решение системы
— второе базисное
решение.
Итак, размерность
образа равна 3, базис – вектора
.
(Видно, что
размерность образа + размерность ядра
= размерности пространства R4).
7. Найти размерность пространства и , где , а м – пространство решений системы уравнений .
Решение.
— ядро,
— образ. Преобразование
.
1) Находим ядро.
Решаем систему уравнений
Следовательно,
одно базисное решение
— базис ядра. Размерность
.
2) Находим образ.
Пусть
— вектор столбец. Решаем систему уравнений
Ax=y.
Для того, чтобы
вектор
принадлежал образу, необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы А, и ранг
расширенной матрицы (A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:
.
Т.к. rang(A)
= 2, то для того чтобы rang(A|y)
=2, необходимо и достаточно, чтобы
Отсюда,
—
базисная, а
не базисные переменные.
1-е фундаментальное
решение:
.
2-е фундаментальное
решение:
.
Следовательно,
— базис образа. Размерность
.
3) Находим
ортогональное дополнение
.
Т.к. любой вектор
,
перпендикулярен любому вектору из
,
то заключаем, что скалярное произведение
— фундаментальное
решение системы или базис
.
4) Найдем базис
линейной оболочки векторов
,
.
Т.к.
,
то заключаем, что
,
— базис в
,
и следовательно, размерность
.
5) Находим пространство
решений системы уравнений
.
— фундаментальное
решение системы или базис M.
6) Находим
ортогональное дополнение
.
Т.к. любой вектор
,
перпендикулярен любому вектору из
,
то заключаем, что скалярное произведение
.
Отсюда,
—
базисная, а
не базисные переменные.
1-е фундаментальное
решение:
.
2-е фундаментальное
решение:
.
Следовательно,
— базис
.
Размерность
.
7) Найдем базис
линейной оболочки векторов
,
,
,
.
Очевидно, что
,
а
,
— базис в
,
и следовательно, размерность
.
8. Пусть U
— подпространство
линейного пространства R4,
являющееся линейной оболочкой. векторов
,
V
— подпространство
линейного пространства R4
являющееся
линейной оболочкой векторов
.
Найдите: базис U
+ V
и
базис
.
Решение.
1) Находим базис в
U.
rang=3
, сл-но,
— базис U.
1) Находим базис в
V.
rang=3
, сл-но,
— базис V.
3) Находим базис в
U
+ V.
Находим линейно
независимые вектора в объединении
.
,
а вектора
— базис U
+ V
, а размерность
dim(U
+ V)=4.
4) Найдем общие
вектора в U
и
V
.
Нам известно, что
в конечномерном пространстве
подпространства могут быть заданы
системами линейных уравнений. Тогда их
пересечение задаётся системой уравнений,
полученной объединением систем, задающих
подпространства.
Система уравнений
задающая U:
Для того, чтобы
вектор
принадлежал линейной оболочке U,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы А и ранг расширенной матрицы
(A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:
Т.к. rang(A)
= 3, то для того чтобы rang(A|y)
=3, необходимо и достаточно, чтобы
— искомая система
линейных уравнений.
Система уравнений
задающая V:
Для того, чтобы
вектор
принадлежал линейной оболочке U,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы А и ранг расширенной матрицы
(A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:
Т.к.
rang(A)
= 3, то для того чтобы rang(A|y)
=3, необходимо и достаточно, чтобы
— искомая система
линейных уравнений.
Решаем общую
систему:
.
Отсюда фундаментальные
решения (которые получаются при
и при
),
а следовательно базис
есть:
.
9. Подпространство
L1
в R4
порождено векторами (1;-4;6;7) и (0;1;-3;1), а
подпространство L2
— векторами
(0;1;-4;5) и (1;-4;7;-11). Постройте базисы следующих
подпространств: пересечения
и ортогонального дополнения к сумме
.
Решение.
1) Находим базис в
L1.
Т.к. матрица, составленная из координат
векторов
,
имеет ранг=2 (т.к. в ней есть определитель
второго порядка
),
то заключаем, что вектора
=(1;-4;6;7)
и
=(0;1;-3;1)
линейно независимые и образуют базис
в L1.
2) Аналогично,
заключаем, что вектора
=(0;1;-4;5)
и
=(1;-4;7;-11)
линейно независимые и образуют базис
в L2.
3) Находим базис
L1+
L2.
Рассматриваем
объединенную систему векторов
=(1;-4;6;7),
=(0;1;-3;1),
=(0;1;-4;5),
=(1;-4;7;-11)
и находим среди
них линейно независимые. Находим ранг
матрицы, столбцами которой являются
координаты
:
.
Ранг = 4, следовательно,
все вектора
— линейно независимые и образуют базис
в L1+
L2.
4)
Находим базис ортогонального дополнения
.
Каждый вектор из
ортогонален любому вектору из L1+
L2.
Следовательно, скалярные произведения
на вектора базиса из L1+
L2
равны 0. Получаем однородную систему
.
Т.к. определитель
системы не равен 0 (показано выше, что
ранг=4), то система имеет единственное
тривиальное решение
.
Следовательно,
состоит
только из одного вектора
.
(Это и так было
видно, т.к. линейная оболочка
,
ибо 4 линейно независимых вектора
образуют базис в
,
а
).
5) Находим систему
уравнений описывающую L1.
Для того, чтобы
вектор
принадлежал линейной оболочке
,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы А – составленной из координат
векторов
,
и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:
.
Т.к. rang(A)
= 2, то для того чтобы rang(A|y)
=2, необходимо и достаточно, чтобы
— искомая система
линейных уравнений.
Находим систему
уравнений описывающую L2.
Для того, чтобы
вектор
принадлежал линейной оболочке
,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы А – составленной из координат
векторов
,
и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали.
Если теперь с помощью эквивалентных
преобразований привести (A|y)
к ступенчатому виду, то получим:
.
Т.к. rang(A)
= 2, то для того чтобы rang(A|y)
=2, необходимо и достаточно, чтобы
— искомая система
линейных уравнений.
Решаем общую
систему:
Т.к. определитель
матрицы коэффициентов
,
то система имеет единственное решение
.
Следовательно,
состоит из
одного вектора (0;0;0;0).
(Это и так было
видно, т.к. вектора
— линейно независимые,
линейные оболочки
и
не имеют общих (кроме нулевого) векторов,
т.к. линейная комбинация векторов
не может дать вектора
,
а следовательно и их линейные комбинации).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Задача №1. В арифметическом пространстве [math]mathbb{R}^4[/math] линейный оператор [math]displaystyle varphi[/math] задан матрицей
[math]A= left(!!begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 1 & 3\ -2 & 5 & 6 & -12 \ 5 & 9 & 13 & 9 \ -1 & 3 & 7 & -9 end{array}!!right)[/math]
Найти базисы ядра и образа, ранг и дефект линейного оператора. Найти операторы, индуцированныe в ядре и образе.
Решение.
1) По определению ядро линейного оператора [math]displaystyle varphi[/math] ([math]displaystyle ker varphi[/math]) есть множество всех векторов [math]displaystyle x[/math], которые [math]displaystyle varphi[/math] переводит в нулевой вектор. Это означает, что [math]displaystyle ker varphi[/math] состоит из векторов, координаты которыx [math]displaystyle x_1, x_2, x_3, x_4[/math] (в некотором базисе [math]displaystyle { e_1, e_2, e_3, e_4 }[/math]) удовлетворяет условию:
[math]begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3\ -2 & 5 & 6 & -12 \ 5 & 9 & 13 & 9 \ -1 & 3 & 7 & -9 end{pmatrix}!!! begin{pmatrix} x_1\ x_2 \ x_3 \ x_4 end{pmatrix}!=! begin{pmatrix} 0\ 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}[/math]. То есть, [math]kervarphi[/math] cooтветствует пространству [math]L[/math] решений системы [math]begin{cases}x_1-2x_2+x_3+3x_4=0,\ -2x_1+5x_2+6x_3-12x_4=0,\ 5x_1+9x_2+13x_3+9x_4=0,\ -x_1+3x_2+7x_3-9x_4=0.end{cases}[/math]
Общим решением системы является семейство векторов [math]left(-frac{15}{4}C , 0, frac{3}{4}C, C right)[/math]. Полагая [math]C=4[/math], находим базис [math]ker varphi[/math]: [math](-15,,0,,3,,4)[/math].
2) Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра ([math]dim ker varphi[/math]). Здесь [math]dim ker varphi=1[/math], т.к. в ядре существует лишь один линейно независимый вектор.
Верны ли мои рассуждения?
3) Не знаю, как найти образ линейного отображения [math]varphi[/math] ([math]im varphi[/math]). Подскажите идею.
4) Рангом линейного отображения [math]varphi[/math] называется размерность его образа ([math]dim im varphi[/math]). Здесь всё ясно.
5) Что такое операторы, индуцированные в ядре и образе?
Задача №2. Найти матрицу, область значений и ядро оператора [math]A[/math] проектирования на плоскость [math]x-z=0[/math]. Если [math]x={x_1, x_2, x_3 }[/math], то [math]Ax={x_1-x_2-x_3, -2x_1+3x_2, x_2- x_3 }[/math].
1) Cовершенно не знаю, как найти матрицу. И что означает проектирование на плоскость?
2) Если найду матрицу, то можно найти ядро.
3) Область значений — это синоним образа или что-то другое?
И ещё один вопрос общего характера. Существует ли какое-то обозначение для базиса линейного пространства (как, например, для ядра или размерности)?
Consider a linear map $f∈L(Π2(Bbb R),Bbb R^2) $ whose matrix $f_{G,B}$ in the basis $mathcal B$ of $prod_2(Bbb R)$ and
$G={(1,1) , (1,-1)}$ of $Bbb R^2$ is
$$f_{G,B} = begin{pmatrix}
-4 & -8 \ 7 & 4\ 5 & 0
end{pmatrix} ^T$$
(This is suppose to be a $Bbb R^{2×3}$ matrix)
From the information i need to find: dim ker $f$
Im a bit confused am i suppose to use the matrix of $f_{G.B}$?
*From a previous part of the question i found the rank$f =2$ if that helps at all.
To find the kernel i multiplies the $fG,B$ matrix by $(x, y)^T$ and equated it to $(0,0)^T$ and solved this using the row reduced matrix . So I got $x1 + 1/2×3 = 0$ and $x2 + x3 = 0$ and let $x3= λ$. Therfore $x1 = -1/2λ$ , $x2 = -λ$ and $x3 = λ$
Im not sure if what i did so far is correct. I think i need to use span, but i dont know how exactly.
Would really appreciate your help, thank you so much guys!
Помогаю со студенческими работами здесь
Найдите базисы ядра и образа линейного оператора
Здравствуйте. Решите, пожалуйста, задачу: В действительном линейном пространстве V линейный…
Базисы и размерности ядра и образа линейного оператора
В пространстве А4 линейный оператор φ вектор x=(x1,x2,x3,x4) переводит в вектор…
Задан линейный оператор A(f). Какова размерность ядра оператора А?
Дано линейное пространство комплексных периодических функций f(x) на интервале и задан линейный…
Базисы ядра и образа. Неясно условие
Я не понимаю, из какой части мне нужны векторы, из левой или правой.
f:R3 -> R3, v->f(v),
при…
Доказать утверждение о размерностях ядра и образа при отображении
Подскажите, пожалуйста, как доказать следующее утверждение :
dim(V) = dim( Ker(f) ) + dim(…
Сборка ядра с нуля и запись Linux на флешку в виде iso-образа
Добрый день, друзья!
Не подскажите по такому вопросику:
Необходимо скомпилировать любое ядро…
Искать еще темы с ответами
Или воспользуйтесь поиском по форуму:
2