Как найти рекуррентную формулу суммы

1. Формулы числовых последовательностей
2. Задание последовательностей описанием
3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей
4. Свойства числовых последовательностей
5. Примеры

п.1. Формулы числовых последовательностей

Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:

Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: begin{gather*} mathrm{y_n = 2n, n in mathbb{N}} end{gather*}

Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.

Функцию натурального аргумента (mathrm{y_n=f(n), ninmathbb{N}}) называют числовой последовательностью.
Значения y₁, y₂, …, y_n,… называют членами последовательности.
В символе y_n число n называют индексом последовательности.

Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x₁, x₂, …, x_m,…; a₁, a₂, …, a_k,…; A₁, A₂, …, A_s,… и т.д.

Числовую последовательность как частный случай функции можно задавать аналитически (формулой), описанием (словесно), рекуррентно, графически и т.д.
Первые три способа используются чаще других.

Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой (mathrm{y_n=frac{n-1}{n+1}}) $$ mathrm{ y_1=frac{1-1}{1+1}=0, y_3=frac{3-1}{3+1}=frac12, y_4=frac{4-1}{4+1}=frac35 } $$

п.2. Задание последовательностей описанием

Последовательность, заданную формулой y_n=2n, можно задать описанием как «последовательность чётных чисел».

Последовательность, заданную формулой (mathrm{y_n=frac{n-1}{n+1}}), можно задать описанием как «последовательность дробей, числитель которых на 1 меньше индекса, а знаменатель на 1 больше индекса последовательности».

Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.

Например:
1. Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

2. Последовательность десятичных приближений числа (mathrm{sqrt{3}}) по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,7302050; 1,73020508,…

п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей

Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).

Рекуррентной формулой называют правило, по которому можно найти n-й член последовательности, если известны значения её предыдущих членов.

Например:
Найти y₅, если y₁ = 1, y_n = 2y_n-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y₂ = 2y₁ + 1 = 3, y₃ = 2y₂ + 1 = 7, y₄ = 2y₃ + 1 = 15, y₅ = 2y₄ + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: y_n = 2ⁿ – 1.

п.4. Свойства числовых последовательностей

Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел y_n = n² возрастающая:

1 < 4 < 9 < … < n² < …

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе (mathrm{y_n=frac1n}) – убывающая: $$ 1gtfrac12gtfrac13gt…gtfrac1ngt… $$

Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе (mathrm{y_n=-frac1n}) ограничена сверху числом M = 0: $$ -1lt 0, -frac12lt 0, -frac13lt 0,.., -frac1nlt 0, … $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе (mathrm{y_n=frac1n}) ограничена снизу числом M = 0: $$ -1gt 0, frac12gt 0, frac13gt 0,.., frac1ngt 0, … $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе (mathrm{y_n=frac1n}) ограничена: $$ 1gt frac12gt frac13gt … gt frac1ngt … gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.

Например:
Последовательность (mathrm{y_1=1, y_n=y^2_{n-1} — 4y_{n-1}+4}) стационарна, т.к. begin{gather*} mathrm{ y_2=1-4+4=1, y_3=1-4+4=1,…}\ mathrm{ y_n=1, forall nin mathbb{N}} end{gather*}

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) (mathrm{y_n=frac{n^2+1}{2n-1}})

б) (mathrm{y_n=frac{2^n}{n^2}})

Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y₁ = 3, y_n = 3y_n – 1

б) y₁ = 1, y₂ = 2, y_n = 2y_n-1 + y_n-2

Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности

а) 3, 5, 7, 9, …
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
y_n = 2n + 1

б) 5, -5, 5, -5,…
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
y_n = (–1)ⁿ⁺¹ · 5

в) (mathrm{frac{1}{1cdot 2}, frac{1}{2cdot 3}, frac{1}{3cdot 4},…})
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
(mathrm{y_n=frac{1}{n(n+1)}})

г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, …
Заметим, что

5 — 2 = 3, 10 — 5 = 5, 17 — 10 = 7, 26 — 17 = 9, …

Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y₁ = 2, y_n = y_n-1 + (2n –1)

Пример 4*. Пифагор изучал последовательность «треугольных» чисел, которые можно задать следующими геометрическими фигурами:

и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.

1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ mathrm{ y_1=1, y_2=underbrace{1}_{y_1}+2=3, y_3=underbrace{1+2}_{y_2}+3=6, y_4=underbrace{1+2+3}_{y_3}+4=10 } $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y₁ = 1, y_n = y_n-1 + n

2) Для произвольного члена последовательности:

y_n = 1 + 2 + 3 + … + (n — 2) + (n — 1) + n

Найдём эту сумму. Для этого запишем выражение наоборот:

y_n = n + (n — 1) + (n — 2) + … + 3 + 2 + 1

И найдём сумму: begin{gather*} mathrm{ y_n+y_n=2y_n=(1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n)+ }\ mathrm{ +(n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1)= }\ mathrm{ =(1+n)+underbrace{(2+n-1)}_{=n+1}+ underbrace{3+n-2}_{=n+1}+…+underbrace{n-2+3}_{=n+1}+underbrace{n-1+2}_{=n+1}+(n+1)= }\ mathrm{ =n(n+1) } end{gather*} Получаем: (mathrm{2y_n=n(n+1)Rightarrow y_n=frac{n(n+1)}{2}}) – искомая аналитическая формула.
Ответ: 1) y₁ = 1, y_n = y_n-1 + 2; 2) (mathrm{y_n=frac{n(n+1)}{2}})