Формула скорости волны в физике
Формула скорости волны
Определение
Фронт волны (волновая поверхность) — это геометрическое место точек среды, для которых в некоторый момент времени фаза волны
имеет одно и то же значение.
Скоростью волны называют скорость, с которой движется фронт волны.
Формула фазовой скорости волны
Рассмотрим одномерный случай для гармонической волны. Уравнение волновой поверхности при это запишем как:
[Ф_s=omega t-kx+varphi left(1right),]
где${ Ф}_s$ — фаза волны; $k=frac{2pi }{lambda }$ — волновое число; $lambda $ — длина волны; $omega $ — циклическая частота; $varphi $ — начальная фаза. Уравнению (1) в каждый момент времени соответствует только одна точка оси X координата которой, равна:
[x=frac{omega t+varphi -Ф_s}{k}left(2right).]
Разным значениям фазы волны $Ф_s$ соответствуют разные волновые поверхности, каждая из которых в одномерной волне превращается в точку. Из формулы (2) видно, что волновые поверхности перемещаются в среде со скоростью:
[frac{dx}{dt}=frac{omega }{k}=frac{lambda }{T}=v left(3right),]
где $T$ — период колебаний точек в волне.
Если волны гармонические, то скорость движения волновой поверхности равна скорости распространения волны. Скорость, которую определяет выражение (3) является фазовой скоростью.
Фазовая скорость гармонической волны совпадает со скорость распространения энергии волны.
Скорость волны зависит от вещества, в котором распространяется волна и типа волны. Скорость волны — это не то же самое, что скорость колебания частиц среды в волне.
Формула для вычисления фазовой скорости распространения продольных волн
Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях может быть вычислена как:
[v=sqrt{frac{K}{rho }}left(4right),]
где $K$ — модуль объемной упругости вещества; $rho =const$ — плотность среды. В газах формула (4) выполняется, если избыточное давление много меньше, равновесного давление газа в невозмущенном состоянии.
Для нахождения скорости распространения продольных волн в газе применяют выражение:
[v=sqrt{frac{gamma p}{rho }}left(5right),]
где $gamma $ — показатель адиабаты; $p$ — давление газа.
Продольные механические волны могут распространяться в твердых телах, их фазовая скорость равна:
[v=sqrt{frac{E}{rho }}left(6right),]
где $E$ — модуль Юнга вещества стержня.
Формула для фазовой скорости распространения поперечных волн
Поперечные механические волны способны распространяться только в твердых телах. Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде при этом можно найти как:
[v=sqrt{frac{G}{rho }left(7right),}]
где $G$ — модуль сдвига среды; $rho $ — плотность вещества.
Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.
Формула для групповой скорости волн
Кроме фазовой скорости для описания распространения диспергирующих волн применяют понятие групповой скорости. При этом фазовая скорость может зависеть от частоты, при этом в веществе распространяются волны сложного негармонического характера, тогда с групповую скорость проще использовать, как характеристику скорости распространения волн.
Групповой скоростью называют скорость перемещения группы (цуга) волн, которые создают в каждый момент времени, локализованный в пространстве, волновой пакет. Любая реальная волна представляет собой суперпозицию гармонических волн. Скорость, с которой такая волна распространяется в веществе, имеющем дисперсию, равна фазовой скорости накрадывающихся волн. Распространение волны определяют перемещением энергии колебаний, которую переносит группа вол от источника.
Групповая скорость ($u$) связана с фазовой скоростью ($v$) формулой:
[u=v-frac{dv}{dlambda }left(8right).]
Если дисперсия отсутствует, то $frac{dv}{dlambda }=0$, тогда фазовая и групповая скорости равны и не зависят от длины волны.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. За время равное $t=20$ c волне совершается $N=$100 колебаний, при этом расстояние между соседними максимумами волны составляет 1 м. Какова скорость распространения волны?
Решение. Сделаем рисунок.
В качестве основы для решения задачи используем формулу для вычисления фазовой скорости волны вида:
[v=frac{lambda }{T} left(1.1right).]
Найдем период колебаний как время одного полного колебания:
[T=frac{t}{N} left(1.2right).]
Используя формулу (1.2) скорость будем вычислять, применяя формулу:
[v=frac{lambda N}{t}.]
Вычислим искомую скорость:
[v=frac{1cdot 100}{20}=5left(frac{м}{с}right).]
Ответ. $v=5frac{м}{с}$
Пример 2
Задание. Уравнение плоской волны, которая распространяется вдоль положительного направления оси X, имеет вид: $xi left(x,tright)=2{cos left[omega left(t-frac{x}{v}right)right] }left(мright).$ Частота колебаний $nu =450$Гц, длина волны $lambda =0,8 $м. Какова скорость распространения волны, какой будет максимальная скорость колебания частиц среды?
Решение. Фазовую скорость движения волны найдем как:
[v=frac{lambda }{T}=lambda nu left(2.1right),]
где период — величина обратная частоте колебаний:
[T=frac{1}{nu }left(2.2right).]
Вычислим фазовую скорость:
[v=450cdot 0,8=360 left(frac{м}{с}right).]
Скорость колебания частиц равна:
[frac{dxi }{dt}=frac{d}{dt}left(2{cos left[omega left(t-frac{x}{v}right)right] }right)=-2omega {sin left[omega left(t-frac{x}{v}right)right]left(2.3right). }]
Максимальное значение скорости колебаний частиц в волне из (2.3) равно:
[{left(frac{dxi }{dt}right)}_{max}=left|2omega right|left(2.4right).]
Циклическую частоту найдем как:
[omega =2pi nu ,]
тогда:
[{left(frac{dxi }{dt}right)}_{max}=left|2cdot 2pi nu right|=4pi nu .]
Вычислим максимальную скорость колебаний частиц:
[{left(frac{dxi }{dt}right)}_{max}=4pi cdot 450=5,65cdot {10}^3left(frac{м}{с}right).]
Ответ. $v=360 frac{м}{с}$, ${left(frac{dxi }{dt}right)}_{max}=5,65cdot {10}^3frac{м}{с}$
Читать дальше: формула скорости свободного падения.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Скорость распространения волны
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 150.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 150.
Волны любой природы распространяются в пространстве не мгновенно, следовательно, это распространение имеет конечную скорость. Поговорим об этой скорости более подробно.
Распространение колебаний
Далеко не любые колебательные процессы приводят к распространению волн. Колебательная система представляет собой лишь источник колебаний. Для того, чтобы эти колебания могли распространяться, необходимо также существование упругой среды без разрывов, связанной с этим источником. Природа упругих сил может быть различна в различных средах, однако, их наличие обязательно, без этого второго условия, распространение волн в среде невозможно.
Каждая точка среды, через которую проходит волна, в простейшем случае начинает колебаться по гармоническому закону (в более сложных случаях колебания точек можно представить в виде суммы таких функций с различными параметрами):
$$x=Asin(omega t+varphi)$$
Однако, уравнение колебания соседних точек будет немного различаться. Во-первых, чем дальше точка расположена от источника колебаний, тем больше потерь происходит по пути, и тем меньше амплитуда колебаний (параметр $A$ в представленной формуле). Однако, когда потери невелики, заметное изменение амплитуды происходит лишь на больших расстояниях.
Гораздо важнее другое отличие – отличие фазы колебаний (параметр $varphi$ ) для различных точек. По мере удаления от источника колебаний, фаза плавно изменяется, постоянно увеличиваясь. Поскольку синус – круговая функция, то рано или поздно разность фаз между двумя точками становится равной ${2pi}$, а значит, эти две точки колеблются одинаково – синфазно. Для более далеких точек фаза увеличивается дальше, и для точек, разность фаз которых составит ${4pi}$ колебания опять будут синфазны.
Таким образом, по мере удаления от источника колебаний в среде будет ряд точек, колеблющихся в одной фазе. Минимальное расстояние между двумя такими точками называется длиной волны. Она обозначается греческой буквой $lambda$ (лямбда).
Скорость распространение волн
Плавное изменение фазы колебаний по мере удаления от источника колебаний можно представить в виде распространения этих колебаний, и определить скорость этого распространения. Разность фаз между ближайшими точками, колеблющимися синфазно, составляет $2pi$, это один период колебаний. А значит, волна проходит расстояние между этими точками за время одного периода $T$. Зная длину волны – можно вычислить скорость ее распространения:
$$v = {lambda over T}$$
Иногда известен не период, а частота колебаний $nu$. В этом случае формула скорости распространения волны примет вид:
$$v = {lambda nu}$$
Если среда первоначально была спокойна, то начало возмущений (иногда его называют «фронт волны») будет удаляться от источника колебаний как раз с указанной скоростью.
Что мы узнали?
Колебания среды распространяются не мгновенно, а с конечной скоростью. Каждая точка среды колеблется с некоторой фазой, которая изменяется, по мере удаления от источника колебаний. Минимальная длина между точками, колеблющимися синфазно, называется длиной волны, а отношение длины волны к периоду колебаний – скорости распространения волн.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка доклада
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 150.
А какая ваша оценка?
Рассмотрим
неустановившееся движение в открытом
прямоугольном русле (с горизонтальным
дном), считая, что потерями на трение
можно пренебречь. В этом случае
и уравнения (19.14) записываются в виде
,
(19.20)
где
—
скорость перемещения отдельных точек
фронта волны.
Интегрируя (19.15) с
учетом того, что
,
получим
const.
(19.21)
Найдя постоянную
интегрирования из начальных условий,
когда
=const
и
=const,
получим
и
,
(19.22)
где
—
первоначальная глубина наполнения;
,
—
высота волны (рис. 19.7).
Средняя скорость
движения при неустановившемся движении
в прямоугольном горизонтальном русле
при отсутствии гидравлических
сопротивлений определяется по (19.22). С
использованием (19 22) из (19.20) получим
.
(19.23)
Далее
;
(19.24)
;
(19.25)
,
(19.26)
где
—
произвольная функция.
Рис. 19.7
В полученных
формулах знак плюс соответствует прямой
волне, знак минус — обратной. При этом
для положительной волны
,
для отрицательной
.
В соответствии с
(19.25) в волне, характеризующейся повышением
уровня (
),
сечение с большей глубиной нагоняет
сечение с меньшей глубиной. Поэтому
мгновенные профили волны становятся
все более крутыми, при определенных
условиях волна может опрокинуться, т.е.
разрушиться. Для волн
сечение с меньшей глубиной отстает от
сечения с большей глубиной и мгновенные
профили волны становятся все более
распластанными. Если изменение расхода,
вызвавшее появление положительной
волны, произошло достаточно быстро, то
фронт такой волны считают вертикальным,
хотя на самом деле положительная волна
в таких условиях начинается с переднего
вала высотой примерно
(рис. 19.7).
При медленном
изменении расхода (или отметки уровня,
или глубины), приведшем к появлению
положительной волны, ее фронт растянут.
От скорости
перемещения отдельных точек фронта
волны можно перейти к скорости
распространения фронта волны. Эту
скорость называют скоростью распространения
волны
.
Ее находят из выражения
.
Подставив сюда
по (19.25) и выполнив преобразования,
получим
.
С учетом
после интегрирования
получим
.
(19.27)
Вновь для прямой
волны — знак плюс, для обратной волны —
знак минус.
При
получим
.
(19.28)
Если волна
распространяется в неподвижной жидкости
(
),
то получим формулу Лагранжа для этого
случая
.
(19.29)
Все формулы даны
для случая, когда волна положительная,
т. е.
.
При отрицательной
волне
в формулах должна быть принята
отрицательной.
Формулы, полученные
для прямоугольного русла, могут быть
применены для призматических русл с
другой формой поперечного сечения.
Следует при этом в формулах для
и
заменить
на
,
где
—
первоначальная площадь живого сечения;
—
ширина по верху живого сечения при
.
Формулы скорости
распространения волны (19.27) — (19.29) могут
быть применены и для реальных случаев,
когда силы сопротивления не равны нулю,
так как их влияние не сказывается
ощутимым образом на
.
Соседние файлы в папке Штеренлихт
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #