В прошлой статье при разборе задач на прямолинейное движение я пообещал вам рассмотреть одну «сложненькую» задачку отдельно, решил далеко не откладывать. Хотя, возможно, непростой она оказалась для меня. Дело в том, что решил я её не сходу, пришлось подумать. Может быть вы её решите быстро? Попробуйте! Чур, в решение не подглядывать.
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 18 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 4 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Так как необходимо найти скорость третьего велосипедиста, то её и обозначим за х (км/ч). Сразу стоит обратить внимание на то, что третий велосипедист в определённый момент времени проходит одинаковое расстояние сначала с одним, потом с другим велосипедистом.
Именно в этом состоит ключ к решению задачи, так как выразив пройденные велосипедистами расстояния мы сможем их приравнять.
Обозначим t (часов) – как время, которое ему понадобилось, чтобы догнать второго.
До встречи на трассе они проехали одинаковое расстояние. Известно, что второй ехал на 1 час больше. Составим таблицу (как всегда в задачах на движение):
Таким образом, можем составить уравнение:
xt = 15 (t + 1)
Получили в одном уравнении две неизвестные величины. Решить его невозможно.
Продолжаем рассуждение. До встречи на трассе третий и первый проехали одинаковое расстояние. Третий догнал первого через 4 часа 20 минут (это 4 часа и ещё одна треть часа) после того, как догнал второго.
Значит, до встречи с первым третий затратил t + 13/3 часов, а первый на этот момент уже находился в пути 2 + t + 13/3 (так как он выехал на 2 часа раньше третьего). Составляем таблицу:
Таким образом, можем составить уравнение (расстояния пройденные первым и третьим до встречи равны):
Имеем два уравнения, можем решить систему:
Выразим х в первом уравнении и подставим во второе:
Получили, что t=5/3, так как время не может быть числом отрицательным.
Теперь находим искомую величину:
Таким образом, скорость третьего велосипедиста равна 24 (км/ч).
Ответ: 24
Вывод: если видите перед собой задачу, где присутствует три участника движения и они проходят в какой-то момент времени равные расстояния, то составляйте уравнения и решайте их систему.
Решите самостоятельно:
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Посмотреть решение
Конечно, данная задача отличается по сложности от других задач на движение, которые порой решаются устно. Но нужно быть готовыми к решению любых задач на ЕГЭ. Вчера совершенно случайно решил посмотреть её (номер 99597) на сайте mathege.ru, оказалось, что она удалена. Но не факт, что подобных задач на ЕГЭ не будет.
Рекомендую! С самыми сложными задачами (профильный ЕГЭ) вы можете ознакомиться в этом сборнике. Там мною собраны практически все задачи с «хитринками» и тонкостями. Даже сильные ребята ошибаются в этих заданиях на экзамене.
В будущем мы продолжим рассматривать текстовые задачи входящие в состав экзамена по математике, есть что вам рассказать, не пропустите! Успехов вам!!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Способ решения подобных задач с заполнением данных для каждого и нахождение того что можно прировнять для составления уравнения.
Поскольку 3-й велосипедист «контактировал» то со вторым, то с первым, то и сравним их данные поочередно.
Начнем с 3-го со 2-м
3-й: Скорость неизвестна — значит v км/ч; … | … время неизвестно — значит t ч … | … Путь до встречи — v•t км
2-й: Скорость известна — 10 км/ч; … | … время на 1 час больше — значит t+1 ч … | … Путь до встречи — 10•(t+1) км
Путь один и тот же получаем уравнение: v•t = 10t + 10 или v = 10 + 10/t (1)
Теперь сопоставим 3-го и 1-го до встречи
3-й: Скорость неизвестна — значит v км/ч; … | … время — (t + 2 и 1/3) ч … | … Путь до встречи — v•(t + 7/3) км
1-й: Скорость известна — 15 км/ч; … | … время на 2 часа больше — значит (t + 4 и 1/3) ч … | … Путь до встречи — 15•( t + 13/3) км
Путь один и тот же получаем уравнение: v•(t + 7/3) = 15•( t + 13/3)
или v•t + 7v/3 = 15t + 65 (2)
Получили систему из 2 уравнений с 2-мя переменными. Подставим (1) во (2)-е
10t + 10 + 70/3 + 70/(3t) = 15t + 65
Домножим на 3t ≠ 0 и приведем подобные
3t² + 19t — 14 = 0
D = 361 + 168 = 529
t₁ = (-19 + 23) / 6 = 4/6 = 2/3 часа
Второй корень отрицательный и не подходит.
Подставляем в (1)
v = 10 + 10 : 2/3
v = 10 + 30/2 = 10 + 15 = 25 км/ч
Проверка:
1-й ехал 1ч + 1ч + 2ч 20 мин + 40 мин = 5ч со скоростью 15. Проехал 5•15 = 75 км
3-й ехал 2ч 20 мин + 40 мин = 3 часа со скоростью 25. Проехал 3•25 =75 км
До встречи 2-го и 3-го
3-й ехал 40 мин = 2/3 часа со скоростью 25. Проехал 2/3•25 = 16 и 2/3 км
2-й ехал 1ч + 40 мин = 5/3 часа со скоростью 10. Проехал 5/3•10 = 16 и 2/3 км
Всё сошлось
Ответ: 25 км/ч
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Спрятать решение
Решение.
Пусть 
км/ч — скорость третьего велосипедиста, а t ч — время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста. Таким образом,
А через 2 часа 20 минут после этого третий велосипедист догнал первого. Таким образом,
Таким образом, 
Ответ: 25.
Приведем другое решение.
Примем за х км/ч скорость третьего велосипедиста. Тогда скорость сближения второго и третьего велосипедистов равна 
км/ч, а скорость сближения первого и третьего велосипедистов равна 
км/ч. Второй велосипедист выехал на час раньше третьего, поэтому изначально их разделяло 10 км. Чтобы преодолеть это расстояние, третьему велосипедисту понадобилось 
часа. Первый велосипедист выехал на два часа раньше третьего, поэтому изначально их разделяло 30 км. Следовательно, третий велосипедист догнал первого за 
часа. Третий велосипедист догнал первого через 7/3 часа после того, как он догнал второго, поэтому можно составить уравнение:
При условии 
избавляясь от знаменателей, получаем:
Найдем дискриминант:
Следовательно, 
Меньший корень 
меньше 15, а потому не подходит. Больший корень, равный 25, подходит. Скорость третьего велосипедиста равна 25 км/ч.
Решение:
Пусть третий велосипедист ехал со скоростью v км/ч и догнал второго за t часов, тогда расстояние, которое третий проехал до второго равно vt.
При этом второй велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч на час дольше третьего, значит, он проехал расстояние 10(t + 1).
Т.к. расстояние, которое проехали второй и третий до второго равны, то
vt = 10(t + 1).
Выразим отсюда скорость:
До первого велосипедиста третий ехал еще 1,5 ч и проехал расстояние v(t + 1,5).
При этом первый ехал со скоростью 13 км/ч и время его пути составляло (t + 1,5 + 2) ч. Значит, он проехал расстояние, равное 13(t + 3,5) ч.
Т.к. первый и третий проехали одно и то же расстояние, то составим уравнение:
v(t + 1,5) = 13(t + 3,5).
Снова выразим скорость:
Приравняем правые часть синих равенств и решим уравнение относительно t:
Второй корень будет отрицательным – в расчет его не берем, т.к. речь идет о времени.
Найдем скорость: для этого подставим найденное время в одну из синих формул (выбираем ту, что полегче).
Ответ: 25 км/ч.
#933