Как найти смешанное произведение трех векторов - AutoPluse.ru

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти смешанное произведение трех векторов через вычисление определителя соответствующей матрицы, перечислим свойства этой операции, а также разберем пример решения задачи.

Нахождение смешанного произведения векторов
Свойства смешанного произведения векторов
Пример задачи

Нахождение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равняется определителю матрицы, которая составлена из координат этих векторов.

Алгоритм действий следующей:

Допустим, у нас есть три вектора: a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и с = {с_x; с_y; с_z}. Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе) мы составляем матрицу с элементами, как показано ниже, и затем просто вычисляем ее определитель.

Свойства смешанного произведения векторов

1. Модуль смешанного произведения трех векторов равняется объему параллелепипеда, который образован этими векторами.

V_{паралл.} = |a · [b × c]|

2. Объем пирамиды, которая образована тремя векторами, равняется 1/6 от модуля смешанного произведения данных векторов.

V_{паралл.} = 1/6 · |a · [b × c]|

3. Смешанное произведение трех ненулевых компланарных векторов равняется нулю.

4. a · [b × c] = b · (a · c) – c · (a · b)

5. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = –a · [c ×b] = –b · [a ×c] = –c · [b ×a]

6. a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 (тождество Якоби)

Пример задачи

Найдем смешанное произведение векторов a = {3; 8; 4}, b = {1; -10; 12} и с = {11; 5; 9}.

Решение:

a · [b × c] = 3 · (-10) · 9 + 11 · 8 · 12 + 1 · 5 · 4 – 11 · (-10) · 4 – 3 · 5 · 12 – 1 · 8 · 9 = -270 + 1056 + 20 + 440 – 180 – 72 = 994

Источник

Марина Николаевна Ковальчук

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Предварительные сведения

Для того чтобы мы могли ввести понятие смешанного произведения векторов, нужно сначала вспомнить понятия скалярного и векторного произведений этих векторов.

Определение 1

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$overline{α}overline{β}=|overline{α}||overline{β}|cos⁡∠(overline{α},overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $overline{α}$ и $overline{β}$ равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$overline{α}overline{β}=α_1 α_2+β_1 β_2$

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Обозначение: $overline{α}cdot overline{β}$.

Определение 2

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

$|overline{α}хoverline{β}|=|overline{α}||overline{β}|sin⁡∠(overline{α},overline{β})$
$overline{α}хoverline{β}⊥overline{α}$, $overline{α}хoverline{β}⊥overline{β}$
$(overline{α}хoverline{β},overline{α},overline{β})$ и $(overline{i},overline{j},overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 1)

«Как найти смешанное произведение векторов» 👇

Понятие смешанного произведения векторов

Определение 3

Смешанным произведением векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$ будем называть такой скаляр (или число), которое будет равняться скалярному произведению первого вектора $overline{α}$ на вектор векторного произведения $overline{β}хoverline{γ}$ двух других векторов.

Обозначение: $(overline{α},overline{β},overline{γ})$.

Математически это выглядит следующим образом:

$(overline{α},overline{β},overline{γ})=overline{α}cdot (overline{β}хoverline{γ})$

Очевидно, что смешанное произведение будет равняться нулю в двух случаях:

Если длина одного или нескольких векторов равняется нулю.
Если эти векторы будут являться компланарными.

Пример 1

Найти значение смешанного произведения векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$, которые имеют координаты $(0,0,5)$, $(0,4,0)$ и $(3,0,0)$, соответственно.

Решение.

Из определений 1, и 3 будем получать

$(overline{α},overline{β},overline{γ})=overline{α}cdot (overline{β}хoverline{γ})=|overline{a}||overline{β}хoverline{γ}|cos∠(overline{α},overline{β}хoverline{γ})$

Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 2):

Найдем вначале длину вектора векторного произведения векторов $overline{β}$ и $overline{γ}$

Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^0$. Найдем длины этих векторов:

$|overline{β}|=sqrt{0+16+0}=4$

$|overline{γ}|=sqrt{9+0+0}=3$

Тогда, по определению 2, получим

$|overline{β}хoverline{γ}|=|overline{α}||overline{β}|sin90^circ=4cdot 3cdot 1=12$

Из 3 части определения 2 очевидно, что вектор $overline{β}хoverline{γ}$ принадлежит оси $Oz$ и направлен в туже сторону, что и сама ось, следовательно, угол между векторами $overline{α}$ и $overline{β}хoverline{γ}$ равняется $0^circ$.

Длина вектора $overline{α}$

$|overline{α}|=sqrt{0+0+25}=5$

Получим

$(overline{α},overline{β},overline{γ})=|overline{a}||overline{β}хoverline{γ}|cos∠(overline{α},overline{β}хoverline{γ})=5cdot 12cdot cos0^circ=60$

Ответ: $60$.

Вычисление смешанного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения смешанного произведения для трех данных векторов. Но существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$, $(β_1,β_2,β_3)$ и $(γ_1,γ_2,γ_3)$, соответственно. Тогда значение смешанного произведения можно найти по следующей формуле:

$(overline{α},overline{β},overline{γ})=begin{vmatrix}α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3\γ_1&γ_2&γ_3end{vmatrix}$

Иначе, получим

$overline{α}хoverline{β}=α_1 β_2 γ_3+α_3 β_1 γ_2+α_2 β_3 γ_1-α_3 β_2 γ_1-α_2 β_1 γ_3-α_1 β_3 γ_2$

Пример 2

Найти значение смешанного произведения векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$ с координатами $(1,1,0)$, $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение.

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

$(overline{α},overline{β},overline{γ})=begin{vmatrix}1&1&0\0&3&3\-1&2&6end{vmatrix}=18+(-3)+0-0-6-0=18-9=9$

Ответ: $9$.

Свойства смешанного произведения векторов

Для произвольных четырех векторов $overline{α}, $overline{β}$, $overline{γ}$ и $overline{δ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства: справедливы следующие свойства:

1) При перестановке местами знаков произведений в смешанном произведении можно менять между собой

$(overline{α},overline{δ},overline{γ})=overline{α}cdot (overline{δ}хoverline{γ})=(overline{α}хoverline{δ})cdot overline{γ}$

2) Векторы в смешанном произведении можно менять только циклически

$(overline{α},overline{δ},overline{γ})=(overline{δ},overline{γ},overline{α})=(overline{γ},overline{α},overline{δ})$

3) Перемещение только одного вектора на другое место меняет знак

$(overline{α},overline{δ},overline{γ})=-(overline{β},overline{α},overline{γ})=-(overline{γ},overline{δ},overline{α})=-(overline{α},overline{γ},overline{δ})$

4) Из формулы выше, очевидны следующие равенства:

$(roverline{α},overline{δ},overline{γ})=r(overline{α},overline{δ},overline{γ})$

$(overline{α},roverline{δ},overline{γ})=r(overline{α},overline{δ},overline{γ})$

$(overlie{α},overline{δ},roverline{γ})=r(overline{α},overline{δ},overline{γ})$

5) Справедливы равенства:

$(overline{α}+overline{β},overline{δ},overline{γ})=(overline{α},overline{δ},overline{γ})+(overline{β},overline{δ},overline{γ})$

$(overline{α},overline{δ}+overline{β},overline{γ})=(overline{α},overline{δ},overline{γ})+(overline{α},overline{β},overline{γ})$

$(overline{α},overline{δ},overline{γ}+overline{β})=(overline{α},overline{δ},overline{γ})+(overline{α},overline{δ},overline{β})$

6) Геометрический смысл – площадь параллелепипеда (рис. 3):

$S=|(overline{α},overline{β},overline{c})|$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления смешанного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти смешанное произведение
$(bar{a}$, $bar{b}$, $bar{c})$ трех векторов, заданных своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right), b=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ и $bar{c}=left(c_{x}, c_{y}, c_{z}right)$ необходимо
вычислить следующий определитель, где по
строкам записаны координаты заданных векторов, то есть

$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z} \ c_{x} & c_{y} & c_{z}end{array}right|$$

Примеры вычисления смешанного произведения векторов

Пример

Задание. Вычислить смешанное произведение векторов
$bar{a}=(1 ; 3 ; 1)$, $bar{b}=(2 ; 1 ; 3)$, и $bar{c}=(3 ; 1 ; 2)$

Решение. Для нахождения смешанного произведения заданных векторов воспользуемся формулой

$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z} \ c_{x} & c_{y} & c_{z}end{array}right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 2end{array}right|$$

Определитель вычисляем по правилу треугольника:

$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 2end{array}right|=1 cdot 1 cdot 2+3 cdot 3 cdot 3+2 cdot 1 cdot 1-$$
$$-1 cdot 1 cdot 3-3 cdot 2 cdot 2-3 cdot 1 cdot 1=2+27+2-3-12-3=13$$

Ответ. $(bar{a}, bar{b}, bar{c})=13$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны три вектора $bar{a}=(1 ;-2 ; 3), bar{b}=(3 ;-5 ; 6)$ и $bar{c}=(5 ;-4 ; 1)$. Проверить, являются ли они компланарными, если нет,
определить левую или правую тройку они образуют.

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов. Для этого воспользуемся формулой

$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z} \ c_{x} & c_{y} & c_{z}end{array}right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим

$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \ 3 & -5 & 6 \ 5 & -4 & 1end{array}right|$$

Определитель вычисляем по правилу треугольника:

$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \ 3 & -5 & 6 \ 5 & -4 & 1end{array}right|=1 cdot(-5) cdot 1+(-2) cdot 5 cdot 6+$$
$$+3 cdot 3 cdot(-4)-3 cdot(-5) cdot 5-3 cdot(-2) cdot 1-1 cdot 6 cdot(-4)=$$
$$-5-60-36+75+6+24=4 neq 0$$

Смешанное произведение заданных векторов не равно нулю, следовательно, векторы некомпланарные. Так как смешанное
произведение положительно, то делаем вывод, что заданные векторы образуют правую тройку.

Ответ. Векторы некомпланарны и образуют правую тройку.

Читать дальше: как найти вектор коллинеарный вектору.

Источник

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Если векторное произведение является вектором, то смешанное произведение – числом. Обозначается смешанное произведение следующим образом: a⃗⋅b⃗⋅c⃗,a⃗b⃗c⃗,(a⃗,b⃗,c⃗).vec{a} cdot vec{b} cdot vec{c}, vec{a}vec{b}vec{c}, (vec{a},vec{b},vec{c}).

Смешанное произведение векторов a⃗={ax;ay;az},b⃗={bx;by;bz},c⃗={cx;cy;cz}vec{a}=left { a_{x};a_{y};a_{z} right }, vec{b}=left { b_{x};b_{y};b_{z} right }, vec{c}=left { c_{x};c_{y};c_{z} right } можно найти по формуле a⃗⋅b⃗⋅c⃗=∣axayazbxbybzcxcycz∣.vec{a} cdot vec{b} cdot vec{c}=begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\b_{x}&b_{y}&b_{z}\c_{x}&c_{y}&c_{z}end{vmatrix}.

Пример 1

Найти смешанное произведение векторов a⃗={1;2;3},b⃗={−1;−1;−3}vec{a}=left { 1;2;3 right }, vec{b}=left { -1;-1;-3 right } и c⃗={5;3;0}.vec{c}=left { 5;3;0 right }.

Решение

Подставим в формулу a⃗⋅b⃗⋅c⃗=∣axayazbxbybzcxcycz∣vec{a} cdot vec{b} cdot vec{c}=begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\b_{x}&b_{y}&b_{z}\c_{x}&c_{y}&c_{z}end{vmatrix} координаты векторов и вычислим определитель третьего порядка.

Получим: a⃗⋅b⃗⋅c⃗=∣123−1−1−3530∣=1⋅(−1)2⋅∣−1−330∣+2⋅(−1)3⋅∣−1−350∣+3⋅(−1)4⋅∣−1−153∣=0+9−2⋅15+3⋅(−3+5)=9−30+6=−15.vec{a} cdot vec{b} cdot vec{c}=begin{vmatrix}1&2&3\-1&-1&-3\5&3&0end{vmatrix}=1cdot(-1)^2cdotbegin{vmatrix}-1&-3\3&0end{vmatrix}+2cdot(-1)^3cdotbegin{vmatrix}-1&-3\5&0end{vmatrix}+3cdot(-1)^4cdotbegin{vmatrix}-1&-1\5&3end{vmatrix}=0+9-2cdot15+3cdot(-3+5)=9-30+6=-15.

Пример 2

Найти смешанное произведение векторов e⃗={0;4;2},k⃗={−1;2;6}иf⃗={3;0;1}.vec{e}=left {0;4;2 right }, vec{k}=left { -1;2;6 right } и vec{f}=left { 3;0;1 right }.

Решение

Получим: e⃗⋅k⃗⋅f⃗=∣042−126301∣=0⋅(−1)2⋅∣2601∣+4⋅(−1)3⋅∣−1631∣+2⋅(−1)4⋅∣−1230∣=0⋅2−4⋅(−1−18)+2⋅(0−6)=0−4⋅(−19)−2⋅6=76−12=64.vec{e} cdot vec{k} cdot vec{f}=begin{vmatrix}0&4&2\-1&2&6\3&0&1end{vmatrix}=0cdot(-1)^2cdotbegin{vmatrix}2&6\0&1end{vmatrix}+4cdot(-1)^3cdotbegin{vmatrix}-1&6\3&1end{vmatrix}+2cdot(-1)^4cdotbegin{vmatrix}-1&2\3&0end{vmatrix}=0cdot2-4cdot(-1-18)+2cdot(0-6)=0-4cdot(-19)-2cdot6=76-12=64.