Как найти собственный вектор линейного оператора - AutoPluse.ru

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.

Пусть дано линейное пространство R_n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R_n в себя, то есть A:R_n
→ R_n.

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A·x = λ·x. Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x.

Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.

1. Любая линейная комбинация собственных векторов x₁, x₂, …, x_m оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.

2. Собственные векторы x₁, x₂, …, x_m оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m
линейно независимы.

3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …, x_n, соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .

Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.

Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе {ε_i} (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса — собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Пусть дан вектор x=(x₁, x₂, …, x_n), где x₁, x₂, …, x_n — координаты вектора x относительно базиса {ε₁, ε₂, …, ε_n} и x — собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу λ, то есть A·x=λ·x. Это соотношение можно записать в матричной форме

x·(A-λ·E). (*)

Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания x, причем x ≠ 0, то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A — λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A — λE) = 0.

Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:

(1)

где — матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Получили уравнение для нахождения собственных чисел.

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть — характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.

Пусть λ₁, λ₂, …, λ_n — вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.

Пример №1. Линейный оператор A действует в R₃ по закону A·x=(x₁-3x₂+4x₃, 4x₁-7x₂+8x₃, 6x₁-7x₂+7x₃), где x₁, x₂, .., x_n — координаты вектора x в базисе e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.

Решение. Строим матрицу этого оператора:

A·e₁=(1,4,6)

A·e₂=(-3,-7,-7)

A·e₃=(4,8,7)

.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(1-λ)x₁-3x₂+4x₃=0

x₁-(7+λ)x₂+8x₃=0

x₁-7x₂+(7-λ)x₃=0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

λ_1,2 = -1, λ₃ = 3.

Подставляя λ = -1 в систему, имеем:

или

Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.

Пусть x₁ — свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n — r = 3 — 2 = 1.

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: (x₁, 2x₁, x₁)=x₁(1,2,1), где x₁ — любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x₁ = 1: x₁=(1,2,1).

Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: x₂=(1,2,2).

В пространстве R₃ базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R₃ составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример №2. Дана матрица .

1. Доказать, что вектор x=(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.

2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение находим с помощью калькулятора.

1. Если A·x=λ·x, то x — собственный вектор

Вектор (1, 8, -1) — собственный вектор. Собственное число λ = -1.

Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.

Собственные векторы ищем из системы:

(2-λ)x₁+3x₃=0;

10x₁-(3+λ)x₂-6x₃=0;

-x₁-(2+λ)x₃=0;

Характеристическое уравнение: ;

(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ² — 1) = 0

λ₁ = -3, λ₂ = 1, λ₃ = -1.

Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:

5x₁+3x₃=0;

10x₁-6x₃=0;

-x₁+x₃=0;

Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x₁ = x₃ = 0. x₂ здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x₂ = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:

Если λ = 1, то получаем систему

Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.

Пусть x₃ — свободное неизвестное. Тогда x₁ = -3x₃, 4x₂ = 10x₁ — 6x₃ = -30x₃ — 6x₃, x₂ = -9x₃.

Полагая x₃ = 1, имеем (-3,-9,1) — собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R₃. Таким образом, в базисе f₁=(1,8,-1), f₂=(0,1,0), f₃=(-3,-9,1) матрица A имеет вид:

.

Не всякую матрицу линейного оператора A:R_n→ R_n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой a_i^k=a_kⁱ.

Замечания.

Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Источник

Собственные
векторы и собственные

значения
линейного оператора

Определение 1.
Собственным
вектором оператора

называют
ненулевой вектор
,
удовлетворяющий равенству:
=.

Определение 2.
Собственным
значением оператора

называют
число
,
для которого выполняется равенство:
=,
где

— ненулевой вектор.

(1)

(2)

Решив последнее
уравнение относительно
,
найдем собственные значения матрицы.
Уравнение (5.8) называют характеристическим
уравнением матрицы
.
Найдя корни характеристического
уравнения, последовательно подставляя
их в систему (1) и решая получаемые
системы, найдем собственные векторы
матрицы
,
каждый из которых соответствует
определенному собственному значению.

Рассмотрим несколько
примеров, в каждом из которых будем
выполнять последовательность действий
решения задачи об отыскании собственных
значений и собственных векторов матрицы.

Пример 1.

Найти собственные
значения и собственные векторы матрицы
.
Дать геометрическую интерпретацию
полученного решения.

Решение

Матрица имеет
размерность 22,
то есть является представлением
линейного оператора в пространстве
.
Собственный вектор матрицы будем искать
в виде:
.
Составим уравнение
для отыскания собственных векторов в
матричном виде:

3. Перепишем
матричное уравнение в виде системы
уравнений:

Однородная система
имеет ненулевые решения тогда и только
тогда, когда определитель ее главной
матрицы равен 0. Получаем характеристическое
уравнение системы и решаем его:

Собственные
значения матрицы
:

Найдем собственные
векторы для каждого собственного
значения:

;

Пусть
,
тогда собственное направление матрицы
,
соответствующее собственному значению
,
задается множеством векторов:

,
где
.

;

,
где
.

Пример
2. Найти собственные значения и
собственные векторы линейного оператора
, заданного в некотором базисе матрицей
А=.

Составим и решим
характеристическое уравнение
.

В нашей задаче
.

Тогда характеристическое
уравнение принимает вид:

,
или
,

— собственные
значения линейного оператора.

Найдем собственные
векторы, соответствующие собственному
значению
,
решая матричное уравнение:

х=0
или
,
т.е.

Полагая в последнем
равенстве
,
получим
.

Откуда собственные
векторы, соответствующие собственному
значению
,
имеют вид х¹=.

Найдем собственные
векторы, соответствующие собственному
значению
,
решая матричное уравнение:

х=0
или
,
т.е.

Полагая в последнем
равенстве
,
получим
.

Откуда собственные
векторы, соответствующие собственному
значению
,
имеют вид х²=.

Ответ. Собственному
значению
соответствуют собственные векторы
х¹=,
а собственному значению
собственные векторы

х²=.

Пример
3. Найти собственные значения и
собственные векторы линейного оператора
, заданного в некотором базисе матрицей
А=.

Найдем собственные
значения линейного оператора. Для этого
составим характеристическое уравнение
и найдем его корни:

,

— собственные значения линейного
оператора.

Найдем собственные
векторы, соответствующие собственному
значению
.
Исходя из соотношения
х=0
или в нашем случае

,
запишем систему:

Решая методом
Гаусса, получаем

Поскольку ранг
матрицы системы (r=2)
меньше количества неизвестных, то
система имеет бесконечное множество
решений. Записывая преобразованную
систему и решая ее, получим
,
.

Таким образом,
собственные векторы, соответствующие
собственному значению
,
имеют вид: Х¹=.

Найдем собственные
векторы, соответствующие собственному
значению
.
Исходя из соотношения
х=0
или в нашем случае

,
т.е.

Решая методом
Гаусса, получаем

откуда, система
принимает вид

Полагая
,
получим
.

Таким образом,
собственные векторы, соответствующие
собственному значению
,
имеют вид: Х²=.

Найдем собственные
векторы, соответствующие собственному
значению
.
Исходя из соотношения
х=0
или в нашем случае

,
т.е.

Решая методом
Гаусса, получаем

откуда, система
принимает вид

Полагая
,
получим
.

Таким
образом, собственные векторы,
соответствующие собственному значению
,
имеют вид: Х³=.

Соседние файлы в папке Математика

Источник

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Пусть mathcal{A}colon Vto V — линейное преобразование n-мерного линейного пространства . Ненулевой вектор boldsymbol{s} линейного пространства , удовлетворяющий условию

mathcal{A}(boldsymbol{s})=lambdacdot boldsymbol{s},

(9.5)

называется собственным вектором линейного преобразования mathcal{A} . Число lambda в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению lambda . Если пространство вещественное (комплексное), то собственное значение lambda — действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром.

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования mathcal{A} , если его образ mathcal{A} (boldsymbol{s}) коллинеарен прообразу . Другими словами, если — собственный вектор, то преобразование имеет одномерное инвариантное подпространство operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор boldsymbol{s} соответствует некоторому собственному значению lambda . Любой вектор boldsymbol{v} из operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) имеет вид boldsymbol{v}=alpha boldsymbol{s} , где alpha — любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

mathcal{A}(boldsymbol{v})= mathcal{A}(alpha boldsymbol{s})= alphacdot mathcal{A}(boldsymbol{s})= alphacdot lambdacdot boldsymbol{s}in operatorname{Lin} (boldsymbol{s}).

Следовательно, mathcal{A}(boldsymbol{v})in operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) для любого вектора boldsymbol{v}in operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) , т.е. подпространство инвариантно относительно преобразования . Размерность подпространства operatorname{Lin} (boldsymbol{s}) равна единице, так как boldsymbol{s}ne boldsymbol{o} по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы n-го порядка называется ненулевой числовой столбец $s=begin{pmatrix}s_1&cdots&s_{n}end{pmatrix}^T$ , удовлетворяющий условию (7.13):

Acdot s=lambdacdot s.

(9.6)

Число lambda в (9.6) называется собственным значением матрицы . При этом считалось, что собственное значение lambda и числа s_i~(i=1,ldots,n) принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть mathcal{A}colon Vto V — линейное преобразование n-мерного линейного пространства с базисом $boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n$ . Тогда собственное значение lambda и координатный столбец {s} собственного вектора boldsymbol{s} преобразования mathcal{A} являются собственным значением и собственным вектором матрицы этого преобразования, определенной относительно базиса $boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_n$ , т.е.

mathcal{A}(boldsymbol{s})=lambdacdot boldsymbol{s}quad Rightarrowquad Acdot s=lambdacdot s, где $boldsymbol{s}=s_1 boldsymbol{e}_1+ldots+s_n boldsymbol{e}_n,~ s=begin{pmatrix}s_1&cdots& s_nend{pmatrix}^T.$

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец $s=begin{pmatrix} s_1&cdots&s_nend{pmatrix}^T$ и число lambda являются собственным вектором и собственным значением матрицы , причем числа s_1,ldots,s_n,lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство , то вектор $boldsymbol{s}=s_1 boldsymbol{e}_1+ ldots+s_n boldsymbol{e}_n$ и число lambda являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V с матрицей в базисе $boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n$ .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы $boldsymbol{s}=s_1 boldsymbol{e}_1+ldots+s_n boldsymbol{e}_n$ и lambdacdot boldsymbol{s} определены, т.е. числа s_1,ldots,s_n, lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения Delta_A(lambda)=0 , где Delta_A(lambda)=det(A-lambda E) — характеристический многочлен матрицы . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен $Delta_{mathcal{A}}(lambda)=det(A-lambda E)$ матрицы этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства .

Уравнение $Delta_{mathcal{A}}(lambda)=0$ называется характеристическим уравнением линейного преобразования.

Преобразование mathcal{A}-lambdamathcal{E} называется характеристическим для линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V .

Замечания 9.4

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы $mathop{A}limits_{(boldsymbol{e})}$ и $mathop{A}limits_{(boldsymbol{f})}$ линейного преобразования mathcal{A} в базисах $(boldsymbol{e})= (boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_n)$ и $(boldsymbol{f})=(boldsymbol{f}_1,ldots,boldsymbol{f}_n)$ являются, согласно (9.4), подобными: $mathop{A}limits_{(boldsymbol{f})}=S^{-1}mathop{A}limits_{(boldsymbol{e})}S$ , где — матрица перехода от базиса к базису . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования mathcal{A} можно использовать обозначение $Delta_{mathcal{A}}(lambda)$ , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V линейного пространства , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Действительно, составим матрицу линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V n-мерного вещественного линейного пространства в произвольном базисе $boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n$ . Элементы этой матрицы — действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен $Delta_{mathcal{A}}(lambda)=det(A-lambda E)$ — это многочлен степени с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если lambda=lambda_1 — действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор $s=begin{pmatrix}s_1&cdots&s_nend{pmatrix}^T$ матрицы также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор $boldsymbol{s}=s_1 boldsymbol{e}_1+ldots+s_n boldsymbol{e}_n$ линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно mathcal{A} подпространство operatorname{Lin}(boldsymbol{s}) (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если lambda=alphapmbeta i — пара комплексных сопряженных корней (betane0) , то собственный вектор sne o матрицы также с комплексными элементами: $s=begin{pmatrix}x_1+y_1i&cdots& x_n+y_n i end{pmatrix}^T$ . Его можно представить в виде s=x+yi , где x,,y — действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

Acdot(x+yi)= (alpha+beta i)cdot(x+yi).

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

$begin{cases}Ax=alpha x-beta y,\ Ay=beta x+alpha y.end{cases}$

(9.7)

Покажем, что столбцы {x} и {y} линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если x=o , то из первого уравнения (9.7) следует, что y=o , так как betane0 . Тогда s=o , что противоречит условию sne o . Предположим, что xne o и столбцы и пропорциональны, т.е. существует такое действительное число gamma , что y=gamma x . Тогда из системы (9.7) получаем $begin{cases}Ax=(alpha-betagamma)x,\ gamma Ax=(beta-alphagamma)x. end{cases}$ Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на (-gamma) , приходим к равенству [(beta+alphagamma)-gamma(alpha-betagamma)]x=o . Так как xne o , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. (beta+alphagamma)- gamma(alpha- betagamma)= beta(1+gamma^2)=0 . Поскольку betane0 , то gamma^2=-1 . Этого не может быть, так как gamma — действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы и линейно независимы.

Рассмотрим подпространство operatorname{Lin}(boldsymbol{x},boldsymbol{y}) , где $boldsymbol{x}= x_1 boldsymbol{e}_1+ldots+x_n boldsymbol{e}_n,~ boldsymbol{y}= y_1 boldsymbol{e}_1+ldots+ y_n boldsymbol{y}_n$ . Это подпространство двумерное, так как векторы линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы x,y линейно независимы). Из (9.7) следует, что $begin{cases}mathcal{A}(boldsymbol{x})=alpha boldsymbol{x}-beta boldsymbol{y},\ mathcal{A}(boldsymbol{y})=beta boldsymbol{x}+alpha boldsymbol{y},end{cases}$ т.е. образ любого вектора, принадлежащего operatorname{Lin}(boldsymbol{x},boldsymbol{y}) , также принадлежит . Следовательно, — двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования mathcal{A} , что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования mathcal{A}colon Vto V вещественного линейного пространства следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис $boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_n$ линейного пространства и найти в этом базисе матрицу преобразования mathcal{A} .

2. Составить характеристический многочлен преобразования $mathcal{A}colon, Delta_{mathcal{A}}(lambda)=det(A-lambda E)$ .

3. Найти все различные действительные корни lambda_1,ldots,lambda_k характеристического уравнения $Delta_{mathcal{A}}(lambda)=0$ . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня lambda=lambda_1 найти фундаментальную систему $varphi_1, varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ решений однородной системы уравнений (A-lambda_1E)x=o , где $r=operatorname{rg}(A-lambda_1E)$ . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования mathcal{A} , отвечающие собственному значению lambda_1:

$begin{matrix} boldsymbol{s}_1=varphi_{1,1}boldsymbol{e}_1+ ldots+ varphi_{n,1}boldsymbol{e}_n,\ boldsymbol{s}_2=varphi_{1,2}boldsymbol{e}_1+ ldots+ varphi_{n,2}boldsymbol{e}_n,\ vdots\ boldsymbol{s}_{n-r}=varphi_{1,n-r} boldsymbol{e}_1+ ldots+varphi_{n,n-r}boldsymbol{e}_n. end{matrix}$

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению lambda_1 , образовать ненулевые линейные комбинации

$boldsymbol{s}= C_1 boldsymbol{s}_1+C_2 boldsymbol{s}_2+ldots+ C_{n-r}boldsymbol{s}_{n-r},$

где $C_1,C_2,ldots,C_{n-r}$ — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений lambda_2,ldots,lambda_k линейного преобразования mathcal{A} .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования mathcal{O}colon Vto V любой ненулевой вектор boldsymbol{s}in V является собственным, соответствующим нулевому собственному значению lambda=0 , так как mathcal{O}(boldsymbol{s})=0cdot boldsymbol{s}~ forall boldsymbol{s}in V .

2. Для тождественного преобразования mathcal{E}colon Vto V любой ненулевой вектор boldsymbol{s}in V является собственным, соответствующим единичному собственному значению lambda=1 , так как mathcal{E} (boldsymbol{s})=1cdot boldsymbol{s}~ forall boldsymbol{s}in V .

3. Для центральной симметрии $mathcal{Z}_{boldsymbol{o}}colon Vto V$ любой ненулевой вектор boldsymbol{s}in V является собственным, соответствующим собственному значению lambda=-1 , так как $mathcal{Z}_{boldsymbol{o}} (boldsymbol{s})=(-1)cdot boldsymbol{s}~ forall boldsymbol{s}in V$ .

4. Для гомотетии $mathcal{H}_{lambda}colon Vto V$ любой ненулевой вектор boldsymbol{s}in V является собственным, соответствующим собственному значению lambda (коэффициенту гомотетии), так как $mathcal{H}_{lambda} (boldsymbol{boldsymbol{s}})= lambdacdot boldsymbol{s}~ forall boldsymbol{s}in V$ .

5. Для поворота $mathcal{R}_{varphi}colon V_2to V_2$ плоскости (при varphinepi k,~ kinmathbb{Z} ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования $mathcal{D}colon P_n(mathbb{R})to P_n(mathbb{R})$ любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению lambda=0 , так как mathcal{D}(s(x))=0cdot s(x) forall s(x)equiv text{const} . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: mathcal{D}(s(x))=s'(x)ne lambdacdot s(x) , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор $Pi_{L_1}colon Vto V$ проектирования на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1oplus L_2, $Pi_{L_1}(boldsymbol{v}_1+ boldsymbol{v}_2)=boldsymbol{v}_1$ для $boldsymbol{v}=boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2,$ $boldsymbol{v}_1in L_1,~ boldsymbol{v}_2in L_2$ . Для этого оператора любой ненулевой вектор $boldsymbol{v}_1in L_1$ является собственным, соответствующим собственному значению lambda=1 , так как $Pi_{L_1}(boldsymbol{v}_1)=1cdot boldsymbol{v}_1$ , а любой ненулевой вектор $boldsymbol{v}_2in L_2$ является собственным, соответствующим собственному значению lambda=0 , так как $Pi_{L_2}(boldsymbol{v}_2)=0cdot boldsymbol{v}_2$ . Другие векторы не являются собственными, так как равенство $Pi_{L_1}(boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2)= boldsymbol{v}_1= lambda(boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2)$ возможно либо при $boldsymbol{v}_1=boldsymbol{o}$ , либо при $boldsymbol{v}_2= boldsymbol{o}$ .

8. Рассмотрим оператор $mathcal{Z}_{L_1}colon Vto V$ отражения на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1oplus L_2 $mathcal{Z}_{L_1}(boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2)= boldsymbol{v}_1- boldsymbol{v}_2$ , для $boldsymbol{v}=boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2,$ $boldsymbol{v}_1in L_1,~ boldsymbol{v}_2in L_2$ . Для этого оператора любой ненулевой вектор $boldsymbol{v}_1in L_1$ является собственным, соответствующим собственному значению lambda=1 , так как $mathcal{Z}_{L_1} (boldsymbol{v}_1)= 1cdot boldsymbol{v}_1$ , а любой ненулевой вектор $boldsymbol{v}_2in L_2$ является собственным, соответствующим собственному значению lambda=-1 , так как $mathcal{Z}_{L_2} (boldsymbol{v}_2)= (-1)cdot boldsymbol{v}_2$ . Другие векторы не являются собственными, так как равенство $mathcal{Z}_{L_1}(boldsymbol{v}_1+boldsymbol{v}_2)= boldsymbol{v}_1- boldsymbol{v}_2= lambda(boldsymbol{}_1+ boldsymbol{v}_2)$ возможно либо при $boldsymbol{v}_1=boldsymbol{o}$ , либо при $boldsymbol{v}_2= boldsymbol{o}$ .

9. В пространстве V_3 радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , рассмотрим поворот на угол varphinepi k,~ kinmathbb{Z} , вокруг оси ell , заданной радиус-вектором vec{ell} . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору , является собственным, отвечающим собственному значению lambda=1 . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования $mathcal{D}colon T_1to T_1$ , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты omega=1 ):

а) с действительными коэффициентами $T_1=T_1(mathbb{R})= operatorname{Lin} (sin{t},cos{t})$ ;

б) с комплексными коэффициентами $T_1=T_1(mathbb{C})= operatorname{Lin} (sin{t},cos{t})$ .

Решение. 1. Выберем стандартный базис $e_1(t)=sin{t},~ e_2(t)=cos{t}$ и составим в этом базисе матрицу оператора mathcal{D}:

$D=begin{pmatrix}0&-1\ 1&0 end{pmatrix}!.$

2. Составим характеристический многочлен преобразования $mathcal{D}colon, Delta_{mathcal{D}}(lambda)= begin{vmatrix}-lambda&-1\ 1&-lambdaend{vmatrix}= lambda^2+1.$ .

3. Характеристическое уравнение lambda^2+1=0 имеет комплексные сопряженные корни lambda_1=i,~ lambda_2=-i . Действительных корней нет, поэтому преобразование mathcal{D} вещественного пространства $T_1(mathbb{R})$ (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование комплексного пространства $T_1(mathbb{C})$ (случай (б)) имеет комплексные собственные значения lambda_1,,lambda_2 .

4(1). Для корня lambda_1=i находим фундаментальную систему varphi_1 решений однородной системы уравнений (D-lambda_1 E)x=o:

$begin{pmatrix}-i&-1\ 1&-iend{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0 end{pmatrix}!.$

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на {i} и вычитая его из второго уравнения:

$begin{pmatrix}-i&-1\ 1&-i end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&-i\ 1&-i end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&-i\ 0&0end{pmatrix}!.$

Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=ix_2 . Полагая x_2=1 , получаем x_1=i , т.е. $varphi=begin{pmatrix}i&1 end{pmatrix}^T$ .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению $lambda_1= icolon, s_1(t)=icdotsin{t}+1cdotcos{t}$ . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению lambda_1=i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_1(t) .

4(2). Для корня lambda_2=-i аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) $varphi_2=begin{pmatrix}-i&1 end{pmatrix}^T$ решений однородной системы уравнений (D-lambda_2E)x=o:

$begin{pmatrix}i&-1\ 1&i end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} x_1\x_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0 end{pmatrix}!.$

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению $lambda_2=-icolon, s_2(t)=-icdotsin{t}+1cdotcos{t}$ . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_2(t) .

См. также Свойства собственных векторов линейных операторов (преобразований)

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Решение

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

Не пропустите также: