Как найти сторону треугольника с помощью медианы - AutoPluse.ru

Найти сторону треугольника через медиану и стороны — задача, обратная нахождению медианы через стороны.

Решается она аналогично, то есть с помощью дополнительного построения и применения свойства диагоналей параллелограмма.

Задача

Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана, проведенная к его третьей стороне, равна √46 см. Найти неизвестную сторону треугольника.

Дано: ∆ ABC,

AB=8 см,

BC=6 см,

BO — медиана, BO=√46 см.

Найти: AC.

Решение:

1) На луче BO отложим отрезок OD,

OD=BO.

2) Соединим точку D с точками A и C.

3) AO=CO (так как BO — медиана по условию), OD=BO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

4) По свойству диагоналей параллелограмма,

$[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + B{C^2})]$

$[A{C^2} + {(2sqrt {46} )^2} = 2({8^2} + {6^2})]$

$[A{C^2} + 184 = 200]$

$[A{C^2} = 16]$

Ответ: 4 см.

Если ввести обозначения BC=a, AB=c, AC=b, BO=mb, то получим формулу для нахождения стороны треугольника через медиану и две другие стороны:

$[{(2{m_b})^2} + {b^2} = 2({a^2} + {c^2})]$

$[4m_b^2 = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2}]$

$[m_b^2 = frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4}]$

$[{{m_b} = frac{{sqrt {2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}} }}{2}}]$

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

По сторонам и медиане найти сторону треугольника

Чтобы по сторонам и медиане найти сторону треугольника, достаточно знать ход решения задачи. Учить дополнительную формулу не обязательно.

По двум сторонам и медиане найти третью сторону треугольника — задача, обратная нахождению медианы треугольника по трем его сторонам .

Сначала рассмотрим, как по сторонам и медиане найти сторону треугольника, в общем виде.

Пусть в треугольнике ABC известны стороны AB=c, AC=b и медиана BF=m.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF и соединим точку D с точками A и C.

Поскольку в полученном четырехугольнике ABCD диагонали точкой пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку). А значит, мы можем применить свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Имеем: AC²+BD²=2(AB²+BC²). Отсюда b²+(2m)²=2(c²+BC²), b²+4m²=2c²+2BC², BC²=(b²+4m²-2c²)/2.

Переходим к решению конкретной задачи.

По двум сторонам 6 см и 8 см и медиане,проведенной к третьей стороне, найти неизвестную сторону треугольника. Длина медианы равна √46 см.

Пусть AB=6 см, BC=8 см, BF=√46 см. Рассуждая аналогично, получаем: AC²+BD²=2(AB²+BC²), AC²+(2√46)²=2(6²+8²), AC²+4∙46=200, AC²=200-184=16, AC=4 см.

Найти сторону треугольника через медиану и стороны

Найти сторону треугольника через медиану и стороны — задача, обратная нахождению медианы через стороны.

BO — медиана, BO=√46 см.

1) На луче BO отложим отрезок OD,

2) Соединим точку D с точками A и C.

3) AO=CO (так как BO — медиана по условию), OD=BO (по построению).

Определение и свойства медианы равностороннего треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Определение медианы

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.

ABC

Свойство 2

Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.

Свойство 3

Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

Свойство 4

Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S₁ = S₂.

Свойство 5

Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆.

Свойство 6

Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.

r – радиус вписанной окружности;
R – радиус описанной окружности;
R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 7

Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.

Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:

Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.

BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).

Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.

BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.

источники:

Найти сторону треугольника через медиану и стороны

Определение и свойства медианы равностороннего треугольника

Источник

Как найти сторону треугольника, если известна его медиана и сторона

Информации о медиане и одной из сторон треугольника достаточно для нахождения его другой стороны, если он равносторонний или равнобедренный. В остальных случаях для этого необходимо знать угол между медианой и высотой.

Наиболее простой случай возникает, когда в условии задачи дан равнобедренный треугольник с некоторой стороной a. Две боковые стороны такого треугольника равны, а все медианы пересекаются в одной точке. Кроме того,в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и высотой, и биссектрисой. Соответственно, в треугольнике ABC возникнет треугольник BHC, и по теореме Пифагора можно будет вычислить HC — половину стороны AC:HC=√[(CB)^2-(BH)^2]Следовательно, AC=2√[(CB)^2-(BH)^2]В равнобедренном треугольнике уголα=γ, как это показано на рисунке.

Если в условии задачи приведено значение длины медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его боковой стороне, решайте задачу несколько иным способом. Во-первых, медиана не перпендикулярна к боковой стороне фигуры, а во-вторых, формула зависимости между медианой и тремя сторонами выглядит следующим образом:ma=√2(c^2+b^2)-a^2По этой формуле найдите ту сторону, которую медиана делит пополам.

Если треугольник является неправильным, то информации о медиане и стороне недостаточно. Необходимо знать также угол между медианой и стороной. Чтобы решить задачу, вначале найдите по теореме косинусов половину стороны треугольника:c^2=a^2+b^2-2ab*cosγ, где c — сторона, которую нужно найти.Если получается так, что используя теорему косинусов, можно найти лишь только половину стороны, то тогдавычисляемое значение умножается на два. Например, дана медиана и прилежащая к ней сторона, между которыми находится угол. Противоположная углу сторона делится медианой пополам. Вычислив половину стороны по теореме косинусов, получим:BC = 2c, где c — 1/2 стороны BC

Решение прямоугольных треугольников является таким же, как и у любого неправильного треугольника, если нам не известны его углы, а дан лишь только угол между медианой и стороной. Узнав вторую сторону, уже можно найти и третьюпо теореме Пифагора. Такие задачи помогают искать помимо сторон и другие параметры треугольников. К ним относятся, например, площадь и периметр, которые вычисляются по заданным сторонам и углам.

Источник

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a, b, c — стороны произвольного треугольника

α, β, γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a, b — катеты

c — гипотенуза

α, β — острые углы

Формулы для катета, (a):

Формулы для катета, (b):

Формулы для гипотенузы, (c):

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b):

Формулы длины равных сторон , (a):

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c₁, c₂ — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β — углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны, (H):

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

L— биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α, β — углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

L — высота = биссектриса = медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

L — высота=биссектриса=медиана

a — сторона треугольника

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

Формула длины через катеты, (M):

Формула длины через катет и острый угол, (M):

Источник

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Медиана в равностороннем треугольнике

Определение и формулы медианы равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Для медиан равностороннего треугольника справедливы следующие утверждения:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).
Весь треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Медиана, проведенная к стороне , вычисляется по формуле:

$[m_{a} =frac{sqrt{3} a}{2} ,]$

где – сторона равностороннего треугольника.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник

Узнать ещё

По сторонам и медиане найти сторону треугольника

Найти сторону треугольника через медиану и стороны

Определение и свойства медианы равностороннего треугольника

Определение медианы

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Свойство 5

Свойство 6

Свойство 7

Примеры задач

Как найти сторону треугольника, если известна его медиана и сторона

Медиана в равностороннем треугольнике

Определение и формулы медианы равностороннего треугольника

Примеры решения задач

Не пропустите также: