Условие задачи неполное.
Должно быть так:
Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см, а одна из сторон в два раза больше другой.
Противоположные стороны параллелограмма равны.
Формула для нахождения периметра параллелограмма со сторонами а и b:
P = (a + b) · 2
Пусть х — меньшая сторона параллелограмма, тогда 2х — большая.
Так как периметр равен 36 см, составим и решим уравнение:
(x + 2x) · 2 = 36
6x = 36
x = 6 см
2 · 6 = 12 см
Ответ: стороны параллелограмма 6 см и 12 см.
|
Как найти длину одной из сторон параллелограмма?
Чтобы найти сторону параллелограмма, необходимо наличие некоторых других значений, которые бы были известны. Далее попросту использовать одну из подходящих формул. Например, по теореме косинусов, это формулы сторон через диагонали и находящийся между ними угол:
Другим решением, являются формулы, где стороны рассчитываются по диагонали и одной из известной стороны:
Вот еще формулы сторон параллелепипеда, через вторую сторону, диагонали и косинус угла:
Стоит напомнить и про формулы длин сторон, через высоту и синус угла:
Так же длину стороны параллелограмма, можно определить если известны площадь и высота:
Как видим, вариантов расчета высоты параллелограмма достаточно много и хотелось напомнить основные характеристики этой геометрической фигуры: Во первых, параллелограммом называется четырехугольник, имеющий параллельно расположенные противоположные стороны , т. е. находящиеся на параллельных прямых. Квадраты, прямоугольники и ромбы, также являются параллелограммами. система выбрала этот ответ лучшим
Для нахождения стороны параллелограмма есть более десятка разных формул (они перечислены в ответе автора Бульбозавр), но для решения задач на эту тему, далеко не всегда их можно применить. На мой взгляд лучше всего разобрать несколько примеров и на практике увидеть, как находить сторону этой фигуры — в наших случаях с помощью уравнений. Пример 1 Нужно найти стороны параллелограмма, если одна из сторон больше другой в два раза а периметр равен 30 см. Даже не нужно чертить рисунок, а просто составить уравнение и решить его периметр(30см) = 2(х+2х) откуда х=5см, следовательно одна сторона равна 5см, другая — 10см. Пример 2 АВСД — параллелограмм, нужно найти его стороны если — ВМ перпендикуляр к АС, АМ=6см, МС=15см, ВС больше АВ на 6 см
Для решения этой задачи сначала рассматриваем два прямоугольных треугольника АВМ и ВСМ у которых общий катет h. Согласно Пифагору h*h=a*a-6*6=b*b-15*15 откуда b*b-a*a=(b-a)(b+a)=225-36=189 по условию задачи b-a=7 тогда b+a=189/7=27 решив эту простенькую систему уравнений найдем стороны a=10см b=17cм
Alexsandr82 6 лет назад Есть еще несколько формул которые будут скорее вспомогательными при решении задач по нахождению стороны паралелограмма но тем не менее их тоже нужно знать. Например одну из сторон паралеллограмма можно найти если известна вторая сторона и периметр фигуры по формуле: Р = 2(а+b), тогда а = (Р/2 — b), или b = (P/2 — a), где Р — периметр, а и b — стороны. Также можно найти сторону паралеллограмма зная его площадь и высоту опущенную на искомую сторону: S = a*H1 = b*H2, тогда а = S/H1 или b = S/H2, где S — площадь, а — меньшая сторона паралелограмма, b — большая сторона, Н1 — высота построенная к меньшей стороне, Н2 — сторна построенная к большей стороне паралеллограмма.
Vector 60 8 месяцев назад Существует несколько формул для вычисления сторон параллелограмма (a и b). 1) Для нахождения сторон параллелограмма можно воспользоваться длиной диагоналей, а также величиной углов между диагоналями. Формулы будут такими:
2) Если известна одна из сторон и диагонали, то другую сторону можно найти так:
3) Если известна высота и величина одного из углов, то стороны параллелограмма можно найти по таким формулам:
4) Еще можно использовать значение площади и высоты:
Stasy12 более года назад Формул, конечно много, с помощью которых можно найти сторону параллелограмма. Например можно найти стороны паралелограмма, зная размеры диагоналей и угла между ними(формула 1и 2) Зная длины диагоналей и одну из сторон, легко можно найти вторую(формулы 3 и 4) Через высоту, которая опущена на сторону и угол между сторонами(формулы 5 и 6) Зная площадь и высоту, которая опущена на заданную сторону можно найти длину стороны(формулы 7 и 8).
Знаете ответ? |
Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Решение задач по теме «Параллелограмм» с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. М.: Просвещение». Урок 7. Решение задач: Параллелограмм
Основные дидактические цели урока: закрепить свойства и признаки параллелограмма в процессе решения задач; совершенствовать навыки решения задач.
Ход урока
I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности
(Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)
II. Актуализация знаний учащихся
1. Работа у доски.
(Три ученика готовят у доски доказательства признаков параллелограмма.)
2. Проверка домашнего задания.
(Учитель проверяет решение задачи № 373. Один ученик готовит решение задачи на доске. Решение заслушать после проверки задач по готовым чертежам.)
Задача № 373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
Решение: В ΔВСН ∠H = 90°, ∠C = 30°, следовательно, ВС = 2 • НВ, т. е. ВС = 13 см (рис. 5.51). PABCD = АВ + ВС + CD + DA, АВ = DC, ВС = DA как противолежащие стороны параллелограмма, значит, 2 • АВ + 13 • 2 = 50. Таким образом, АВ = 12 см, тогда CD = АВ = 12 см, AD = ВС = = 13 см.
Ответ: АВ = CD = 12 см, AD = ВС = 13 см.
Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о треугольнике ВСН. Можно ли найти другие его стороны?
– Как найти стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 50 см.
3. Работа по индивидуальным карточкам.
(3–6 учеников работают по карточкам.)
I уровень сложности
1. Точки Е и К – середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что АЕСК – параллелограмм.
2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АС = 2 дм, АО = 10 см, BD = 1,5 дм, ВО = 7 см. Выясните, является ли ABCD параллелограммом?
II уровень сложности
1. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD отмечены соответственно точки М и N так, что ∠BMC = ∠AND. Докажите, что AMCN – параллелограмм.
2. Точки А и В делят диагональ МК параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP параллелограммом? Ответ обоснуйте.
III уровень сложности
1. Дано: ABCD – параллелограмм, AM = СК, АР = CN (рис. 5.52). Доказать: MNKP – параллелограмм.
2. Через точку пересечения диагоналей О параллелограмма ABCD проведена прямая MN, пересекающая стороны AD и ВС в точках М и N соответственно. Является ли MBND параллелограммом? Ответ обоснуйте.
4. Решение задач по готовым чертежам.
(Ученики решают задачи с последующей самопроверкой по готовым ответам. В это время учитель может заслушать доказательства признаков параллелограмма и проверить решение дополнительных домашних задач индивидуально у тех учащихся, которые их решали.)
- Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.53). Найти: ∠C, ∠D.
- Дано: MNKP – параллелограмм (рис. 5.54). Найти: МР, РК.
- Рис. 5.55. Найти: углы параллелограмма ABCD.
- Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.56). Найти: РABCD.
- Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.57). Найти: AD.
- Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.58). Найти: PABCD, ∠AED.
- Дано: NBFD – параллелограмм. AD = 4 см, NB = 5 см (рис. 5.59). Найти: ВС, CD.
- Дано: ABCD – параллелограмм. PMNKP = 20 см (рис. 5.60). Найти: MN, МР.
- Дано: BNDM – параллелограмм. АВ : ВС = 4:5, PABCD = 18 см (рис. 5.61). Найти: AD, DC.
(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:
- оценка «5» – правильно решены восемь–девять задач;
- оценка «4» – правильно решены шесть–семь задач;
- оценка «3» – правильно решены три–пять задач;
- оценка «2» – правильно решено менее трех задач.
Ответы к задачам по готовым чертежам:
- 1) ∠C= 64°, ∠D = 116°.
- 2) МР = 4 см, РК = 10 см.
- 3) ∠B = ∠D = 115°, ∠A = ∠C = 65°.
- 4) PABCD = 16 см.
- 5) AD = 10 см.
- 6) PABCD = 30 см, ∠AED = 90°.
- 7) ВС = 4 см, CD = 5 см.
-
MN = 3 см, МР = 7 см. - 9) AD = 5 см, DC = 4 см.
MN = 3 см, МР = 7 см.5. Проверка решения дополнительных домашних задач.
I уровень сложности: В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = CD, ∠В = 70°, ∠BCA = 60°, ∠ACD = 50°. Докажите, что ВС = AD.
Решение. (рис. 5.62) ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 60° + 50° = 110°.
∠ABC и ∠BCD – односторонние углы при прямых CD и АВ и секущей ВС. ∠ABC + ∠BCD = 70° + 110° = 180°, значит, CD || AB.
В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны АВ и CD параллельны и равны, следовательно, ABCD – параллелограмм, а это значит, что ВС = AD как противолежащие стороны параллелограмма.
II уровень сложности: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD соответственно в точках М и К, вторая – стороны ВС и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырехугольник MNKL – параллелограмм.
Решение. (рис. 5.63)
а) ΔAOL = ΔCON по стороне и прилежащим к ней углам (АО = СО, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠AOL = ∠CON как вертикальные, ∠NCO = ∠LAO как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС), тогда NO = LO.
б) ΔBOM = ΔDOК по стороне и прилежащим к ней углам (ВО = DO, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠BOM = ∠DOK как вертикальные, ∠MBO = ∠KDO как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD), тогда МО = КО.
в) В четырехугольнике MNKL диагонали МК и NL точкой пересечения делятся пополам (МО = КО, NO = АО), следовательно, MNKL – параллелограмм.
III. Решение задач
Решить задачи № 374, 377 (выполнить рисунок и записать краткое решение). (Два ученика работают у доски, остальные – в тетрадях. По окончании работы учащиеся слушают решения задач, а затем исправляют ошибки.)
Задача № 374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
Решение: ΔАВК – равнобедренный, АВ = ВК = CD = 15 см, ВС = AD = 15 + 9 = 24 см, PABCD = (15 + 24) • 2 = 78 см (рис. 5.64). Ответ: 78 см.
Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о ΔАВК, если АК – биссектриса ∠BAD параллелограмма ABCD?
– Чему равны стороны параллелограмма ABCD? Чему равен его периметр?
Задача № 377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
Решение: В ΔMNH ∠H = 90°, ∠N = 30°, MN = 3 см, следовательно, MN = 6 см (рис. 5.65). MNPQ – параллелограмм, следовательно, MN = PQ = 6 см, NP = MQ = 8 см.
Ответ: MN = PQ – 6 см, NP = MQ = 8 см.
Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о AMNH? Какую из его сторон можно найти?
– Найдите стороны параллелограмма MNPQ.
IV. Самостоятельная работа № 2 (3 уровня сложности)
Задания I уровня сложности предлагаются менее подготовленным учащимся, задания III уровня сложности – самым подготовленным, задания II уровня сложности – всем остальным, что составляет большинство класса. Учащихся, выполняющих задания I и III уровня, необходимо предупредить о критериях оценивания их работ. Правильное решение всех заданий I уровня может быть оценено максимально в 4 балла, для получения 5 баллов, решающим задания III уровня, необходимо правильно решить или решить с негрубыми ошибками третье задание. Учащиеся сами выбирают уровень сложности.
Самостоятельная работа № 2 с ответами
V. Рефлексия учебной деятельности
- Сформулируйте признаки параллелограмма.
- Сформулируйте свойства параллелограмма.
Домашнее задание
- Решить задачи № 375, 380, 384 (устно).
- Решить задачу № 14 (рабочая тетрадь).
- Решить дополнительные задачи.
I уровень сложности: Дано: ABCD – параллелограмм. AN – биссектриса ∠BAD, ВМ – биссектриса ∠ABC (рис. 5.66). Доказать: ABNM – параллелограмм.
II уровень сложности: Докажите, что угол между перпендикулярами, проведенными из вершины тупого угла параллелограмма к прямым, содержащим стороны параллелограмма, равен острому углу параллелограмма, а угол между перпендикулярами, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.
Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Урок 7. Решение задач: Параллелограмм с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 8 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».
Вернуться в Поурочное планирование по геометрии для 8 класса (УМК Атанасян).
Как можно найти стороны параллелограма если известен только периметр и известно что одна его сторона в 10раз больше.
Если вам необходимо получить ответ на вопрос Как можно найти стороны параллелограма если известен только периметр и известно что одна его сторона в 10раз больше?, относящийся
к уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов, вы открыли нужную страницу.
В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по
интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после
ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или
полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с
помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с
посетителями этой страницы.
В параллелограмме противоположные стороны друг другу параллельны, а прилежащие находятся образуют определенный угол, поэтому чтобы определить большинство параметров параллелограмма нужно знать кроме сторон высоту или угол, их соединяющий. Если заданы стороны и высота, то одними из первых можно рассчитать периметр и площадь параллелограмма. Периметр параллелограмма, зная стороны, выглядит как их удвоенная сумма, а площадь является произведением высоты и стороны, на которую она опущена.
P=2(a+b)
S=ah_a=bh_b
Чтобы иметь возможность продолжать расчеты, необходимо найти углы между сторонами α и β. Используя прямоугольный треугольник, образованный высотой со стороной параллелограмма, выводим их взаимосвязь в тригонометрическое отношение. Затем, зная один из углов, в зависимости от того, какая высота была дана, отнимаем его из 180 градусов, чтобы найти второй. (рис.106.1)
sinα=h_b/a
sinβ=h_a/b
α=180°-β
β=180°-α
Зная углы и стороны, можно найти диагонали параллелограмма по теореме косинусов в треугольниках, которые они образуют со сторонами. Каждая диагональ будет равна корню из суммы квадратов сторон параллелограмма и разности удвоенного их произведения на косинус угла между ними. (рис.106.2)
d_1=√(a^2+b^2-2ab cosβ )
d_2=√(a^2+b^2-2ab cosα )
Используя эту же теорему косинусов, можно найти угол между диагоналями в одном из четырех треугольников, образованных ими, где сторонами являются половины диагоналей и одна из сторон параллелограмма. (рис.106.3)
cosγ=(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-a^2)/((d_1 d_2)/4)=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4a^2)/(2d_1 d_2 )
cosδ=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4b^2)/(2d_1 d_2 )
Биссектрисы параллелограмма, проведенные из углов α и β, образуют равнобедренные треугольники, в которых сама биссектриса является основанием, а боковыми конгруэнтными сторонами становится меньшая сторона параллелограмма. Треугольник считается равнобедренным, так как из свойств биссектрисы и суммы углов в треугольнике следует, что углы при основании такого треугольника конгруэнтны. Используя теорему косинусов, можно найти биссектрисы параллелограмма через стороны. (рис. 106.4)
l_α=√(2a^2-2a^2 cosβ )=a√(2-2 cosβ )
l_β= b√(2-2 cosα )