Как найти точку минимума функции от логарифма - AutoPluse.ru

Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую повторить теорию, необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.

Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы уже рассмотрели. В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.

Теоретический момент:

По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).

5. Делаем вывод.

Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 11,2

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Посмотреть решение

Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию будем на интервале (– 5;+∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.

Ответ: – 4,75

Решите самостоятельно:

Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции у = х²–34х+140lnх–10

По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное уравнение, получим: D = 9 х₁ = 10 х₂ = 7.

Точка х = 0 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10.

Ось ох разбивается на интервалы: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х = 7 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 7

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у = 2х² –13х+9lnх+8

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Всего: 30 1–20 | 21–30

Добавить в вариант

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−2,5; 0].

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите точку минимума функции

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−2,5; 0].

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите точку минимума функции

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите точку минимума функции

Всего: 30 1–20 | 21–30

Источник

22 февраля 2012

Вообще говоря, для решения задачи B15 с логарифмом надо знать две формулы:

Первая формула — классическая производная натурального логарифма, вторая — производная сложной функции. Обратите внимание: в числителе стоит число k, это не опечатка.

Добавьте к этим формулам стандартные правила вычисления производных — и задача B15 решена:

(f ± g) ’ = f ’ ± g ’;
(c · f) ’ = c · f ’, c ∈ R.

В настоящих задачах логарифмы никогда не встречаются сами по себе. Поэтому обязательно приводите всю производную к общему знаменателю. Почему это важно, узнаете из примеров.

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0,5; 4]:

y = 2x² − 4 ln x + 5

Находим производную:

Выясняем, когда производная равна к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Имеем:

4(x² − 1) = 0;
x² = 1;
x = ±1.

Корень x = −1 не принадлежит отрезку [0,5; 4], поэтому нас интересует только x = 1. Кроме того, рассмотрим концы отрезка — числа 0,5 и 4. Итого три числа: 0,5; 1; 4. Поскольку требуется найти наименьшее значение функции, подставляем эти числа в исходную функцию:

y (0,5) = 2 · 0,5² − 4 ln 0,5 + 5 = 0,5 − 4 ln 0,5 + 5 = 5,5 − 4 ln 0,5;
y (1) = 2 · 1² − 4 ln 1 + 5 = 2 − 0 + 5 = 7;
y (4) = 2 · 4² − 4 ln 4 + 5 = 32 − 4 ln 4 + 5 = 37 − 4 ln 4.

В общем, выбирать особо не из чего. Ответ: 7. Потому что числа 5,5 − 4ln 0,5 и 37 − 4ln 4 иррациональны, их нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

Задача. Найдите точку минимума функции:

y = 2x − 5 ln (x − 7) + 3

Снова считаем производную:

Под логарифмом стоит линейная функция y = x − 7. Коэффициент при переменной x равен k = 1, поэтому в числителе никаких дополнительных множителей не возникнет — только множитель 5, который стоит перед логарифмом.

Поскольку требуется найти точку минимума, считаем нули числителя и знаменателя:

2x − 19 ⇒ x = 19 : 2 = 9,5;
x − 7 = 0 ⇒ x = 7.

Отмечаем эти точки на прямой, расставляем знаки производной между точками:

Итак, в точке x = 9,5 производная меняет знак с минуса на плюс, если считать слева — направо, в направлении стрелки. Это и есть точка минимума.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−1,5; 1]:

y = 3 ln (x + 2) − 3x + 10

Считаем производную:

Находим нули числителя:

−3x − 3 = 0;
x = −1.

Нули знаменателя нас не интересуют, поскольку требуется найти значение функции. А когда знаменатель равен нулю, значение функции не определено.

Поскольку корень x = −1 ∈ [−1,5; 1], получаем три точки: −1,5; −1; 1. Подставляем их в исходную функцию:

y (−1,5) = 3 ln (−1,5 + 2) − 3 · (−1,5) + 10 = 3 ln 0,5 + 14,5;
y (−1) = 3 ln (−1 + 2) − 3 · (−1) + 10 = 3 ln 1 + 13 = 0 + 13 = 13;
y (1) = 3 ln (1 + 2) − 3 · 1 + 10 = 3 ln 3 + 7.

Понятно, что числа 3 ln 0,5 + 14,5 и 3 ln 3 + 7 нельзя записать в ответ. Остается только число 13 — это и будет наибольшее значение.

Вынесение степени за знак логарифма

Еще одна полезная фишка, которая избавит вас от сложных производных:

ln (f (x))^k = k · ln f (x)

Обратите внимание: в первом случае внутри логарифма стоит степень, для которой потребуется производная сложной функции. Во втором случае все намного проще, поскольку чаще всего f (x) — это обычная линейная функция.

Этот прием часто встречается в задачах на вычисление максимального и минимального значения. В задачах на точки экстремума его почти не применяют. Прежде чем решать такую задачу, обязательно найдите ОДЗ логарифма. Если забыли, что это такое, см. «Что такое логарифм».

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−4; 1]:

y = 5x − ln (x + 5)⁵

Итак, область допустимых значений логарифма — аргумент должен быть больше нуля. Имеем:

(x + 5)⁵ > 0;
x + 5 > 0;
x > −5;
x ∈ (−5; +∞).

Теперь решаем задачу. Сначала немного преобразуем исходное выражение:

y = 5x − 5 ln (x + 5)

Это и есть вынесение степени за знак логарифма. Считаем производную:

Дальше все стандартно. Нас интересует значение функции, поэтому приравниваем числитель к нулю:

5x + 20 = 0;
x = −4.

Полученное число x = −4 ∈ [−4; 1] совпадает с концом отрезка, поэтому кандидатов на наименьшее значение всего два: −4 и 1. Оба числа подходят по ОДЗ. Поскольку требуется найти наименьшее значение, подставляем эти числа в исходную функцию:

y (−4) = 5 · (−4) − 5 · ln (−4 + 5) = −20 − 5 · ln 1 = −20;
y (1) = 5 · 1 − 5 · ln (1 + 5) = 5 − 5 ln 6.

Второе число — точно не ответ, поскольку его нельзя представить в виде десятичного числа. Значит, наименьшее значение функции равно −20.

Задача. Найдите точку максимума функции:

y = 18 ln x − x² + 5

ОДЗ логарифма: x > 0 ⇒ x ∈ (0; +∞). Считаем производную:

Поскольку требуется найти точку максимума, нас интересует и числитель, и знаменатель. Приравниваем их к нулю:

2 · (9 − x²) = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3 — числитель;
x = 0 — знаменатель.

Получили три точки. Отмечаем эти точки и знаки производной на числовой прямой:

Требуется найти точку максимума — там, где плюс меняется на минус. Таких точек две: x = −3 и x = 3. Но вспомним ОДЗ: x ∈ (0; +∞). Значит, точка x = −3 не подходит. Остается точка x = 3 — это и будет ответ.

Смотрите также:

Показательные функции в задаче B15
Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией
Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
Как решать задачи B15 без производных
Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции

Источник

Найдите точку минимума логарифмической функции

Дата: 2015-12-18

1313

Категория: Функции МАХ MIN

Метка: ЕГЭ-№11

Сразу отметим, что по свойству логарифма х+3>0, то есть х>–3. Рассматривать функцию будем на интервале (–3;+∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции на интервалах подставляя любые значения из них в найденную производную и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке х=–2,5 функция меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.

Ответ: –2,5

Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.

Источник

Нахождение
точек минимума логарифмической функции.

Краткие
теоретические сведения

Определение. Точки,
в которых производная функции равна 0 или не существует называются критическими.

Среди этих точек могут быть точки максимума ( max ) и минимума ( min ), которые называются точками экстремума ( X_maxи X_min ). Значения функции в
этих точках называют экстремумами функции и обозначают f_max (X_max) и f_min (X_min).

Необходимым условием существования экстремумов является
равенство нулю производной или если производная не существует, то есть
необходимое условие – это наличие критических точек. (Это теорема Ферма), но
этого условия еще не достаточно. Чтобы функция имела экстремум в некоторой
точке, надо, чтобы при переходе через эту точку производная меняла свой знак,
то есть надо, чтобы возрастание менялось на убывание, или убывание на
возрастание. Если такой смены нет, то в этой критической точке не будет
экстремума.

Если
знак производной меняется с (+ ) на (- ) – это точка max, если знак производной меняется с (- )
на (+ ) – это точка min.

Вывод. Для существования
экстремумов необходимо выполнение двух условий:

1. Существование критических точек.

2. Смена знака производной при переходе через критическую точку.

Ответить на
вопросы.

1.
Что такое критические точки, как их
находят?

2.
Какие бывают точки экстремума?

3.
Что такое экстремумы функции?

4.
Какие существуют экстремумы функции?

5.
Что является необходимым условием
существования экстремума?

6.
Что является достаточным условием
существования экстремума?

7.
В каком случае функция будет иметь
максимум?

8.
В каком случае функция будет иметь
минимум?

Нахождение точек экстремумов функции осуществляют по следующему
плану:

1.
Найти
область определения функции.

2.
Найти
производную.

3.
Найти
критические точки ( приравнять производную к нулю).

4.
На
числовой прямой отметить найденные критические точки, выделить
полученные числовые промежутки и проверить знак производной в каждом из них.

5.
Записать,
где получились точки максимума или минимума, (а может быть и перегиба, если
знак производной не менялся при переходе через точку, или разрыва).

Самостоятельная
работа.

Вариант
1.

1.Найдите
точку минимума функции .