Как найти уравнение высоты в общем виде - AutoPluse.ru

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

$[left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot 5 + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{{11}}{4};b = frac{{43}}{4}.]$

Таким образом, уравнение прямой BC —

$[y = - frac{{11}}{4}x + frac{{43}}{4}.]$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{{11}}{4}}} = frac{4}{{11}}.]$

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

$[y = frac{4}{{11}}x + b.]$

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

$[2 = frac{4}{{11}} cdot ( - 7) + b, Rightarrow b = frac{{50}}{{11}}.]$

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

$[y = frac{4}{{11}}x + frac{{50}}{{11}}.]$

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

$[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ - 3 = k cdot 5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - frac{5}{{12}};b = - frac{{11}}{{12}}.]$

Уравнение прямой AB:

$[y = - frac{5}{{12}}x - frac{{11}}{{12}}.]$

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{ - frac{5}{{12}}}} = frac{{12}}{5} = 2,5.]$

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

$[left{ begin{array}{l} 2 = k cdot ( - 7) + b; \ 8 = k cdot 1 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = frac{3}{4};b = frac{{29}}{4}.]$

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{{frac{3}{4}}} = - frac{4}{3}.]$

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

$[y = - frac{4}{3}x + b.]$

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

$[- 3 = - frac{4}{3} cdot 5 + b, Rightarrow b = frac{{11}}{3}.]$

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

$[y = - frac{4}{3}x + frac{{11}}{3}.]$

Источник

4) вычислим cos β для a . Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинус угла β определяются по формуле: cos β = ya1 .

Тогда cos β =

−6

286

5) вычислим

a +b

a +b = (35;−3; 9).

Сумма векторов равна вектору с координатами:

Тогда длина

этого

вектора равна

a +b

= 352 +(−3)2 +92 =

1225 +9 +81

1315

6) вычислим прb a .

Проекцией

вектора a на

вектор b называется

число, равное

пр a

Тогда

пр a

= 15 20 −6 3 −5 16 =

202

2 +32 +162

665

Опр. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Опр. Если вектор n перпендикулярен направляющему вектору апрямой l, то он называется

нормальным вектором прямой l.

1)каноническое уравнениями прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) и имеющей направляющий вектор а = (а1, а2 ):

x − x0	=	y − y0	(1)
a	a	2

1

2) уравнение прямой, проходящей через две точки М0(x0, y0) и М1(x1, y1):

x − x0	=	y − y0	(2)
x	− x	0	y	− y	0

1			1

3)общее уравнение прямой на плоскости. Вектор a = (−B, A)является направляющим вектором прямой, а вектор n = (А, В) является нормальным вектором прямой, заданной

общим уравнением:

4) уравнением прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) перпендикулярно вектору

n = (А, В):

А(x − x0 ) + В(y − y0 )= 0

(4)

5)расстояние d от точки М0(x0, y0) до прямой, заданной общим уравнением вычисляется формулой:

	d =		Ax0 + By0 +C						(5)



					A2 + B2

6) расстояние d между двумя точками М0(x0, y0)	и М1(x1, y1) вычисляется по формуле:

d =		(x	− x	0	)2 + (y	1	−y	0	)2	(6)
	1

7) координаты точки М(x, y), делящей отрезок М1М2 пополам вычисляется по формуле:

	x	1	+ x	2
x =
		2			(7)
	y
1	+ y	2
y =
			2

условие перпендикулярности прямых: прямые l1	и l2 перпендикулярны, если нормальные

векторыn1 = (A1, B1 ) иn2 = (A2 , B2 ) ортогональны, т.е. A1 A2 + B1 B2 = 0 .

9)условие параллельности прямых: прямые l1 и l2 параллельны, если их направляющие векторыa = (−B1, A1 ) иb = (−B2 , A2 ) коллинеарны, т.е. координаты этих векторов

пропорциональны: А1 = В1 .

А2 В2

Задача 4. Известны координаты вершин треугольника ABC: A(4; 3); B(-3; –3); C(2; 7). Найти:

1)общее уравнение всех сторон;

2)уравнение всех высот в общем виде (AN1, BN2, CN3);

3)уравнение всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3);

4)расстояние от точки C до прямой AB;

5)уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB;

6)длину стороны AB;

7)длину медианы AM1;

длину высоты AN1;

9)площадь треугольника ABC.

Решение.

1) Найдем общее уравнение всех сторон.

Найдем уравнение стороны AB как уравнение прямой, проходящей через две точки A(4; 3) и B(-3; –3) согласно формуле (2):

y −3

x − 4

y −3

x − 4

— 7(y — 3)= (−6)(x − 4) 6x — 7y — 3 = 0.

−3 −3

−3 − 4

−6

−7

Найдем уравнение стороны BС как уравнение прямой, проходящей через две точки B(-3; –3)

и C(2; 7):

y +3

x +3

y +3

x +3

5(y +3)=10(x +3) 2x — y +3 = 0 .

7 +3

2 +3

Найдем уравнение стороны AС как уравнение прямой, проходящей через две точки A(4; 3) и

C(2; 7):

y −3

x − 4

y −3

x − 4

— 2(y — 3)= 4(x − 4) 2x + y -11 = 0 .

7 −3

2 − 4

− 2

2) Найдем общее уравнение всех высот (AN1, BN2, CN3).

Найдем общее уравнение высоты AN1

как уравнением прямой, проходящей через точку

М0(x0, y0) перпендикулярно нормальному векторуn = (А, В). Так как прямая проходящая через точку А(4, 3) перпендикулярно нормальному вектору BC = (5,10), то уравнение данной прямой будет иметь вид:

5(x − 4) +10(y −3)= 0 5x − 20 +10y −30 = 0 5x +10y −50 = 0 x + 2y −10 = 0 .

Найдем общее уравнение высоты BN2 как уравнением прямой, проходящей через точку через точку B(-3, -3) перпендикулярно нормальному вектору AC = (−2,4), то уравнение данной прямой будет иметь вид:

− 2(x +3) + 4(y +3)= 0 − 2x −6 + 4y +12 = 0 − 2x + 4y + 6 = 0 x − 2y −3 = 0 .

Найдем общее уравнение высоты CN3 как уравнением прямой, проходящей через точку через точку C(2, 7) перпендикулярно нормальному вектору AB = (−7,−6), то уравнение данной прямой будет иметь вид:

−7(x − 2) −6(y −7)= 0 −7x +14 −6y + 42 = 0 −7x −6y +56 = 0 7x + 6y −56 = 0..

3)Найдем уравнение всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3).

Чтобы найти уравнение медианы AM1, нужно найти координаты точки M1 — середины

отрезка ВС, по формуле (7) имеем: х =	х1 + х2	;	у =	у1 + у2	.
2	2

Тогда х = 2 −2 3 = − 12 ; у = 7 −2 3 = 2 М1 (−0,5;2) .

Пусть a = AМ1 = (−4,5;−1)– направляющий вектор прямой.
						х− x	у− y	1
Тогда из канонического уравнения прямой на плоскости (1) имеем:		1	=			.
	a	a	2
					1
Следовательно,	х−4	=	у−3	AМ1 : 2x −9y +19 =0.
	−1
	−4,5
Аналогично уравнение	медианы BM2 в общем виде:	4x −3y +3 =0,		медианы

СM2: 14x −3y −7 =0.

4) Найдем расстояние от точки C до прямой AB.

Расстояние от точки C(2; 7) до прямой AB, заданной общим уравнением 6x — 7y — 3 = 0

вычисляется формулой (5): d =

Ax3

+ By3

A2 + B2

Следовательно, d =

6 2 −7 7 −3

− 40

62 + (−7)2

5) Найдем уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB.

Прямая СС1 проходит через точку C(2; 7) и параллельна AB, заданной общим уравнением 6x — 7y — 3 = 0. Таким образом, прямая CC1, заданная общим Ax + By + C = 0 и параллельна прямой AB, если ее коэффициенты при x и y пропорциональны (согласно условию

параллельности прямых), т.е. A6 = −B7 . Взяв A = 6, B = -7 (при коэффициенте

пропорциональности,

равном 1),

получим уравнение

прямой CC1: 6x — 7y + С = 0 .

Коэффициент

С найдем с учетом того, что координаты точки С(2;7), лежащей на прямой,

должны удовлетворять ее уравнению, т.е.

6 2 — 7 7 + С = 0 , откуда С = 37 и уравнение

прямой СС1 примет вид: 6x — 7y +37 = 0.

6) Найдем длину стороны AB.

Длина стороны AB – это расстояние от точки А до точки

B и находится по формуле (6):

− x )2 +(y

− y )2

, тогда

(−3 − 4)2 + (−3 −3)2

85.

7) Найдем длину медианы AM1.

Длина медианы AM1 – это расстояние от точки А до точки М1 (−0,5;4) и находится по формуле (6): AМ1 = (−0,5 − 4)2 + (3 − 4)2 = 21,25.

Найдем длину высоты AN1.

Длина высоты AN1 – это расстояние от точки А(4;3) до прямой BC и вычисляется по

формуле (5): d =

Ax1 + By1 +C

Так

как общее уравнение прямой BC имеет вид

A2 + B2

2x — y +3 = 0, то d =

2 4 −1 3 +3

22 + (−1)2

9)Найдем площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: S∆ = 12 AB× AC

Имеем AB = (−7;−6;0), AC = (−2;4;0).

Тогда q = AB × AC =

= k (−1)1+3

−7

−6

= (−28 −12)k

= −40k.

−7

−6

− 2

Следовательно, вектор q = (0,0,−40).

+ 0

+ (−40)

40 =

20 (кв. ед.)

Тогда S∆ = 2

= 2

Соседние файлы в папке Subj

Источник

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )

( small h_a=c cdot sin angle B. )

(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Уравнение высоты треугольника по координатам формула

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

Точка К является серединой отрезка АМ.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.

Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:

Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0

Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9

Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:

y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.

10 = (32/3) + d,
d = -2/3

Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0

Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: X_E = 6, Y_E = -1

Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.

(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0

Это уравнение медианы AE.

Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:

S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)

источники:

http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php

http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/

Источник

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

2.9. Типовая задача с треугольником

Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в

сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не

будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.

Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется

найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:

Задача 95

Даны вершины треугольника . Требуется:

1) составить уравнения сторон и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны ;
3) найти ;
4) составить прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
5) составить уравнение высоты и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника ;
7) составить уравнение медианы ;
найти точку пересечения .
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы ;
10) найти центр тяжести треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и

самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать:

Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1

см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.

Вперёд без страха и сомнений:

1) Составим уравнения сторон и найдём их угловые

коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум

точкам.

Составим уравнение стороны по точкам :

Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.

Теперь

найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Таким образом, угловой коэффициент:

Самостоятельно разбираемся со сторонами и сверяемся, что

получилось:

2) Найдём длину стороны . Используем соответствующую формулу для точек :

Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка

3) Найдём . Это Задача 31, повторим:

Используем формулу .
Найдём векторы:

Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого

он есть.

Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла

между прямыми, так как они всегда дают острый угол.

4) Составим уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой . Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь!

Из общего уравнения прямой вытащим направляющий вектор .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали:

Из уравнения стороны снимаем вектор нормали . Уравнение высоты

составим по точке и направляющему вектору :

Обратите внимание, что координаты точки нам не известны.

Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае , тогда: . Уравнение высоты составим по точке и угловому коэффициенту :

Длину высоты можно найти двумя способами.

Существует окольный путь:

а) находим – точку

пересечения высоты и стороны ;

б) находим длину отрезка по двум

известным точкам.

Но зачем? – ведь есть удобная формула расстояния от точки до прямой :

6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:

7) Уравнение медианы составим в два шага:

а) Найдём точку – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка.

Известны концы , и тогда середина:

б) Уравнение медианы составим по точкам :

– для проверки подставим координаты точек .

Найдём точку пересечения высоты и медианы:
в

Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
– подставим в первое уравнение:

9) Биссектриса делит угол пополам:

Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:

Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .

Таким образом, . Координаты точки найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да,

параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки известны и понеслась нелёгкая:

Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение – чтобы использовать формулу и

избавиться от иррациональности в знаменателе.

Разбираемся со второй координатой:

аким образом:

И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы составим по точкам по формуле :

обратите внимание на технику упрощений:

Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)

10) Найдём центр тяжести треугольника.

Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца

в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то

теоретически фигура не должна свалиться.

Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке.

Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу?

Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь

короче! Нужно только знать полезное свойство:

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в

отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо

отношение
Нам известны концы отрезка – точки и .
По формулам деления отрезка в данном отношении:

Таким образом, центр тяжести треугольника:
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные

неравенства:

11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:

Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится

вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим: