Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Пример.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
Решение:
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
4) вычислим cos β для a . Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинус угла β определяются по формуле: cos β = ya1 .
Тогда cos β = |
y |
−6 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
286 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) вычислим |
a +b |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
a +b = (35;−3; 9). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сумма векторов равна вектору с координатами: |
Тогда длина |
этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора равна |
a +b |
= 352 +(−3)2 +92 = |
1225 +9 +81 |
= |
1315 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
6) вычислим прb a . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проекцией |
вектора a на |
вектор b называется |
число, равное |
пр a |
= |
a |
b |
. |
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
пр a |
= |
a |
b |
= 15 20 −6 3 −5 16 = |
202 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
20 |
2 +32 +162 |
665 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Опр. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором.
Опр. Если вектор n перпендикулярен направляющему вектору апрямой l, то он называется
нормальным вектором прямой l.
1)каноническое уравнениями прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) и имеющей направляющий вектор а = (а1, а2 ):
x − x0 |
= |
y − y0 |
(1) |
|
a |
a |
2 |
||
1 |
2) уравнение прямой, проходящей через две точки М0(x0, y0) и М1(x1, y1):
x − x0 |
= |
y − y0 |
(2) |
|||
x |
− x |
0 |
y |
− y |
0 |
|
1 |
1 |
3)общее уравнение прямой на плоскости. Вектор a = (−B, A)является направляющим вектором прямой, а вектор n = (А, В) является нормальным вектором прямой, заданной
общим уравнением:
4) уравнением прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) перпендикулярно вектору
n = (А, В):
А(x − x0 ) + В(y − y0 )= 0 |
(4) |
5)расстояние d от точки М0(x0, y0) до прямой, заданной общим уравнением вычисляется формулой:
d = |
Ax0 + By0 +C |
(5) |
||||||||||||||
A2 + B2 |
||||||||||||||||
6) расстояние d между двумя точками М0(x0, y0) |
и М1(x1, y1) вычисляется по формуле: |
|||||||||||||||
d = |
(x |
− x |
0 |
)2 + (y |
1 |
−y |
0 |
)2 |
(6) |
|||||||
1 |
7) координаты точки М(x, y), делящей отрезок М1М2 пополам вычисляется по формуле:
x |
1 |
+ x |
2 |
|||
x = |
||||||
2 |
(7) |
|||||
y |
||||||
1 |
+ y |
2 |
||||
y = |
||||||
2 |
||||||
|
и l2 перпендикулярны, если нормальные |
векторыn1 = (A1, B1 ) иn2 = (A2 , B2 ) ортогональны, т.е. A1 A2 + B1 B2 = 0 .
9)условие параллельности прямых: прямые l1 и l2 параллельны, если их направляющие векторыa = (−B1, A1 ) иb = (−B2 , A2 ) коллинеарны, т.е. координаты этих векторов
пропорциональны: А1 = В1 .
А2 В2
Задача 4. Известны координаты вершин треугольника ABC: A(4; 3); B(-3; –3); C(2; 7). Найти:
1)общее уравнение всех сторон;
2)уравнение всех высот в общем виде (AN1, BN2, CN3);
3)уравнение всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3);
4)расстояние от точки C до прямой AB;
5)уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB;
6)длину стороны AB;
7)длину медианы AM1;
длину высоты AN1;
9)площадь треугольника ABC.
Решение.
1) Найдем общее уравнение всех сторон.
Найдем уравнение стороны AB как уравнение прямой, проходящей через две точки A(4; 3) и B(-3; –3) согласно формуле (2):
y −3 |
= |
x − 4 |
y −3 |
= |
x − 4 |
— 7(y — 3)= (−6)(x − 4) 6x — 7y — 3 = 0. |
||||||||||||||||||||
−3 −3 |
−3 − 4 |
|||||||||||||||||||||||||
−6 |
−7 |
|||||||||||||||||||||||||
Найдем уравнение стороны BС как уравнение прямой, проходящей через две точки B(-3; –3) |
||||||||||||||||||||||||||
и C(2; 7): |
y +3 |
= |
x +3 |
y +3 |
= |
x +3 |
5(y +3)=10(x +3) 2x — y +3 = 0 . |
|||||||||||||||||||
7 +3 |
2 +3 |
10 |
5 |
|||||||||||||||||||||||
Найдем уравнение стороны AС как уравнение прямой, проходящей через две точки A(4; 3) и |
||||||||||||||||||||||||||
C(2; 7): |
y −3 |
= |
x − 4 |
y −3 |
= |
x − 4 |
— 2(y — 3)= 4(x − 4) 2x + y -11 = 0 . |
|||||||||||||||||||
7 −3 |
2 − 4 |
4 |
− 2 |
|||||||||||||||||||||||
2) Найдем общее уравнение всех высот (AN1, BN2, CN3). |
||||||||||||||||||||||||||
Найдем общее уравнение высоты AN1 |
как уравнением прямой, проходящей через точку |
М0(x0, y0) перпендикулярно нормальному векторуn = (А, В). Так как прямая проходящая через точку А(4, 3) перпендикулярно нормальному вектору BC = (5,10), то уравнение данной прямой будет иметь вид:
5(x − 4) +10(y −3)= 0 5x − 20 +10y −30 = 0 5x +10y −50 = 0 x + 2y −10 = 0 .
Найдем общее уравнение высоты BN2 как уравнением прямой, проходящей через точку через точку B(-3, -3) перпендикулярно нормальному вектору AC = (−2,4), то уравнение данной прямой будет иметь вид:
− 2(x +3) + 4(y +3)= 0 − 2x −6 + 4y +12 = 0 − 2x + 4y + 6 = 0 x − 2y −3 = 0 .
Найдем общее уравнение высоты CN3 как уравнением прямой, проходящей через точку через точку C(2, 7) перпендикулярно нормальному вектору AB = (−7,−6), то уравнение данной прямой будет иметь вид:
−7(x − 2) −6(y −7)= 0 −7x +14 −6y + 42 = 0 −7x −6y +56 = 0 7x + 6y −56 = 0..
3)Найдем уравнение всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3).
Чтобы найти уравнение медианы AM1, нужно найти координаты точки M1 — середины
отрезка ВС, по формуле (7) имеем: х = |
х1 + х2 |
; |
у = |
у1 + у2 |
. |
|
2 |
2 |
|||||
Тогда х = 2 −2 3 = − 12 ; у = 7 −2 3 = 2 М1 (−0,5;2) .
Пусть a = AМ1 = (−4,5;−1)– направляющий вектор прямой. |
|||||||||||
х− x |
у− y |
1 |
|||||||||
Тогда из канонического уравнения прямой на плоскости (1) имеем: |
1 |
= |
. |
||||||||
a |
a |
2 |
|||||||||
1 |
|||||||||||
Следовательно, |
х−4 |
= |
у−3 |
AМ1 : 2x −9y +19 =0. |
|||||||
−1 |
|||||||||||
−4,5 |
|||||||||||
Аналогично уравнение |
медианы BM2 в общем виде: |
4x −3y +3 =0, |
медианы |
СM2: 14x −3y −7 =0.
4) Найдем расстояние от точки C до прямой AB.
Расстояние от точки C(2; 7) до прямой AB, заданной общим уравнением 6x — 7y — 3 = 0
вычисляется формулой (5): d = |
Ax3 |
+ By3 |
+C |
. |
||||||||||||||||||
A2 + B2 |
||||||||||||||||||||||
Следовательно, d = |
6 2 −7 7 −3 |
= |
− 40 |
= |
40 |
. |
||||||||||||||||
62 + (−7)2 |
85 |
85 |
||||||||||||||||||||
5) Найдем уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB.
Прямая СС1 проходит через точку C(2; 7) и параллельна AB, заданной общим уравнением 6x — 7y — 3 = 0. Таким образом, прямая CC1, заданная общим Ax + By + C = 0 и параллельна прямой AB, если ее коэффициенты при x и y пропорциональны (согласно условию
параллельности прямых), т.е. A6 = −B7 . Взяв A = 6, B = -7 (при коэффициенте
пропорциональности, |
равном 1), |
получим уравнение |
прямой CC1: 6x — 7y + С = 0 . |
||||||||||||||
Коэффициент |
С найдем с учетом того, что координаты точки С(2;7), лежащей на прямой, |
||||||||||||||||
должны удовлетворять ее уравнению, т.е. |
6 2 — 7 7 + С = 0 , откуда С = 37 и уравнение |
||||||||||||||||
прямой СС1 примет вид: 6x — 7y +37 = 0. |
|||||||||||||||||
6) Найдем длину стороны AB. |
|||||||||||||||||
Длина стороны AB – это расстояние от точки А до точки |
B и находится по формуле (6): |
||||||||||||||||
= |
|||||||||||||||||
AB |
= |
(x |
− x )2 +(y |
− y )2 |
, тогда |
AB |
= |
(−3 − 4)2 + (−3 −3)2 |
|||||||||
2 |
2 |
85. |
|||||||||||||||
1 |
1 |
7) Найдем длину медианы AM1.
Длина медианы AM1 – это расстояние от точки А до точки М1 (−0,5;4) и находится по формуле (6): AМ1 = (−0,5 − 4)2 + (3 − 4)2 =
21,25.
Найдем длину высоты AN1.
Длина высоты AN1 – это расстояние от точки А(4;3) до прямой BC и вычисляется по
формуле (5): d = |
Ax1 + By1 +C |
. |
Так |
как общее уравнение прямой BC имеет вид |
|||||||||||||||
A2 + B2 |
|||||||||||||||||||
2x — y +3 = 0, то d = |
2 4 −1 3 +3 |
= |
8 |
= |
8 |
. |
|||||||||||||
22 + (−1)2 |
5 |
5 |
|||||||||||||||||
9)Найдем площадь треугольника ABC.
Площадь треугольника вычисляется по формуле: S∆ = 12 AB× AC
Имеем AB = (−7;−6;0), AC = (−2;4;0).
Тогда q = AB × AC = |
i |
j |
k |
= k (−1)1+3 |
−7 |
−6 |
= (−28 −12)k |
= −40k. |
||||||||||||||||
−7 |
−6 |
0 |
||||||||||||||||||||||
− 2 |
4 |
0 |
− 2 |
4 |
||||||||||||||||||||
Следовательно, вектор q = (0,0,−40). |
||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||
0 |
2 |
+ 0 |
2 |
+ (−40) |
2 |
= |
40 = |
20 (кв. ед.) |
||||||||||||||||
Тогда S∆ = 2 |
q |
= 2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
Соседние файлы в папке Subj
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Высота треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
Высота треугольника. Определение
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.
Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
.
(1) |
Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.
Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:
Ответ:
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
(2) |
где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:
(3) |
Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
(4) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:
Ответ:
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
(5) |
(6) |
Далее, из теоремы синусов имеем:
(7) |
Подставляя (6) в (7), получим:
(8) |
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Проверим сначала условие (9):
(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу
Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )
( small h_a=c cdot sin angle B. ) | (11) |
Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:
Уравнение высоты треугольника по координатам формула
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
;
.
2. Уравнение прямой ВС: ;
;
.
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
:
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС:
.
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
;
;
.
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и
;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
1. | 2. | ||
3. | 4. | ||
5. | 6. | ||
7. | 8. | ||
9. | 10. | ||
11. | 12. | ||
13. | 14. | ||
15. | 16. | ||
17. | 18. | ||
19. | 20. | ||
21. | 22. | ||
23. | 24. | ||
25. | 26. | ||
27. | 28. | ||
29. | 30. |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 –
или читать все.
Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @
Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)
Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:
Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0
Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9
Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:
y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.
10 = (32/3) + d,
d = -2/3
Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0
Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: XE = 6, YE = -1
Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.
(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0
Это уравнение медианы AE.
Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:
S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)
http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php
http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/
Решить треугольник Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
2.9. Типовая задача с треугольником
Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в
сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не
будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.
Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется
найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:
Задача 95
Даны вершины треугольника . Требуется:
1) составить уравнения сторон и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны ;
3) найти ;
4) составить прямой , проходящей через точку
параллельно прямой
;
5) составить уравнение высоты и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника ;
7) составить уравнение медианы ;
найти точку пересечения
.
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы ;
10) найти центр тяжести треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и
самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать:
Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1
см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.
Вперёд без страха и сомнений:
1) Составим уравнения сторон и найдём их угловые
коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум
точкам.
Составим уравнение стороны по точкам
:
Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.
Теперь
найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:
Таким образом, угловой коэффициент:
Самостоятельно разбираемся со сторонами и сверяемся, что
получилось:
2) Найдём длину стороны . Используем соответствующую формулу для точек
:
Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка
3) Найдём . Это Задача 31, повторим:
Используем формулу .
Найдём векторы:
Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого
он есть.
Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла
между прямыми, так как они всегда дают острый угол.
4) Составим уравнение прямой , проходящей через точку
параллельно прямой
. Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь!
Из общего уравнения прямой вытащим направляющий вектор
.
Составим уравнение прямой по точке
и направляющему вектору
:
5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали:
Из уравнения стороны снимаем вектор нормали
. Уравнение высоты
составим по точке
и направляющему вектору
:
Обратите внимание, что координаты точки нам не известны.
Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае
, тогда:
. Уравнение высоты
составим по точке
и угловому коэффициенту
:
Длину высоты можно найти двумя способами.
Существует окольный путь:
а) находим – точку
пересечения высоты и стороны ;
б) находим длину отрезка по двум
известным точкам.
Но зачем? – ведь есть удобная формула расстояния от точки до прямой
:
6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:
7) Уравнение медианы составим в два шага:
а) Найдём точку – середину стороны
. Используем формулы координат середины отрезка.
Известны концы , и тогда середина:
б) Уравнение медианы составим по точкам
:
– для проверки подставим координаты точек
.
Найдём точку пересечения
высоты и медианы:
в
Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
– подставим в первое уравнение:
9) Биссектриса делит угол пополам:
Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:
Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .
Таким образом, . Координаты точки
найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да,
параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки известны и понеслась нелёгкая:
Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение – чтобы использовать формулу
и
избавиться от иррациональности в знаменателе.
Разбираемся со второй координатой:
аким образом:
И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы составим по точкам
по формуле
:
обратите внимание на технику упрощений:
Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)
10) Найдём центр тяжести треугольника.
Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца
в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то
теоретически фигура не должна свалиться.
Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке.
Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу?
Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь
короче! Нужно только знать полезное свойство:
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в
отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо
отношение
Нам известны концы отрезка – точки и
.
По формулам деления отрезка в данном отношении:
Таким образом, центр тяжести треугольника:
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные
неравенства:
11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:
Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится
вершина . Составим вспомогательный многочлен
и вычислим его значение в точке
:
. Поскольку сторона
принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:
Внимание! Если вам не понятен этот алгоритм, то обратитесь к
Задаче 90.
Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому
очевидно неравенство .
И, наконец, для составим многочлен
, в который подставим координаты точки
:
.
Таким образом, получаем третье неравенство: .
Итак, треугольник определяется следующей системой линейных
неравенств:
Готово.
Какой можно сделать вывод?
Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты,
главное, не допустить вычислительных ошибок.
Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них!
Главное, придерживаться методики решения и проявить маломальское упорство.
Ну что, может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =)
Но сейчас на очереди другая увлекательная тема, продолжаем изучать геометрию плоскости:
3.1. Алгебраическая линия и её порядок
2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин