Как найти утроенное произведение

Найти двузначное число равное утроенному произведению его цифр

Найти двузначное число, равное утроенному произведению его цифр.

Ответ

На самом деле, таких чисел два: 15 и 24.

Решение задачи

Представим условие задачи в виде уравнения 10x+y=3xy, отсюда y=10x/(3x-1). Так как x и y должны быть ЦЕЛЫМИ меньше 10 и больше 0, то возможными решениями этого уравнения могут быть:
1) x₁=1, y₁=5 (искомое число 15);
2) x₂=2, y₂=4 (искомое число 24).
Проверка: 3×(1×5)=15; 3×(2×4)=24.

О задаче

• Категория: Числовые головоломки,
• Степень сложности: средняя.
• Ключевые слова: 3, умножение, цифра, число,
• Источник: Физико-математическая хрестоматия,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.

Оставить комментарий

Свои вопросы, комментарии, замечания и занимательные задачи присылайте через предложенную ниже форму.

Решите задачу

Физик, устав, лег спать в десять часов вечера; предварительно он завел будильник на 12 часов следующего дня. Сколько часов он успеет проспать, прежде чем будильник его разбудит?

Занимательные задачи

Ещё больше занимательных задач собрано в следующих разделах:

Источник

—>Сайт учителя математики А.В.Капитановой —>

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 — b 2 = (a — b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1

Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение.

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a — b) 2 = (b — a) 2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт a 3 .

Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.

В спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение.

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

(a — b) 3 = + a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 )

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Первая скобка — сумма двух чисел.

Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

a 2 — ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов (Не путать с кубом разности. )

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2 )

Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Легкий способ запомнить формулы сокращенного умножения, или… Треугольник Паскаля.

Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.

Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

Разложим, например, :

В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце – куб второго числа. А вот что посередине – запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго – увеличивается – несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).

Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они – коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее — ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной единичкой – нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:

Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:

Ну а знаки запомнить еще проще: первый – такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму – значит, плюс, разность – значит, минус), а дальше знаки чередуются!

Вот такая это полезная штука – треугольник Паскаля. Пользуйтесь!

Источник

Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители.

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Очень часто нам встречаются выражения, которые требуют различных преобразований. Для того, чтобы это короче выполнять в некоторых случаях, существуют специальные формулы сокращенного умножения.

Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

(a–b) 2 =a 2 –2ab+b 2

Если сравнить два этих правила и формулы, то видно, что при возведении в квадрат есть отличие в знаках только перед удвоенным произведением. Рассмотрим применение данных формул на примерах.

Пример №1. Преобразуем выражение в многочлен: (с+8) 2 . По правилу выполняем последовательно: квадрат первого выражения это с 2 ; удвоенное произведение первого и второго выражения – это 2с8; квадрат второго выражения – это 8 2 . Выполним запись: (с+8) 2 =с 2 +2с8+8 2 . Теперь выполним умножение и возведение в степень чисел: (с+8) 2 =с 2 +2с8+8 2 =с 2 +16с+64. Получим многочлен. Промежуточные действия, выделенные жирным шрифтом, можно не записывать, а выполнять их устно.

Пример №2. Представим в виде многочлена выражение (2х–11) 2 . Выполним возведение в квадрат по правилу квадрата разности двух выражений: (2х–11) 2 =(2х) 2 –2•2х•11+11 2 =4х 2 –44х+121.

Пример №3. Представим в виде многочлена квадрат двучлена (–9х+4у) 2 . В данном выражении на первом месте стоит отрицательное число, на втором положительное, что не привычно для нас по работе с формулой. Но мы знаем, что можно просто поменять слагаемые местами, тогда получится разность двух выражений, которую возводим в квадрат по соответствующей формуле: (–9х+4у) 2 =(4у–9х) 2 =16у 2 –72ху+81х 2 .

Пример №4. Представим в виде многочлена выражение (–6с–10) 2 . Данное выражение содержит два слагаемых с минусом. Надо просто запомнить, что оно будет равносильно выражению (6с+10) 2 , потому что квадраты противоположных чисел равны (а 2 =(–а) 2 ) . Возведем данное выражение в квадрат по формуле квадрата суммы двух выражений: (–6с–10) 2 =(6с+10) 2 =36с 2 +120с+100.

Куб суммы и разности

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения:

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения:

(a–b) 3 =a 3 –3a 2 b+3ab 2 –b 3

Используя данные формулы, можно возводить в куб сумму и разность двух выражений. В данном случае не нужно выполнять промежуточные действия устно, чтобы избежать ошибок.

Пример №5. Возведем в куб сумму с+5а. Всё выполним и распишем строго по формуле:

(с+5а) 3 =с 3 +3с 2 •5а+3с(5а) 2 +(5а) 3 =с 3 +15ас 2 +75а 2 с+125а 3 .

Пример №6. Возведем в куб разность:

(х–10) 3 =х 3 –3х 2 10+3х10 2 –10 3 =х 3 –30х 2 +300х–1000.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

a 2 –b 2 =(a–b)(a+b)

Пример №7. Выполним умножение: (4–с)(4+с)=4 2 –с 2 =16–с 2 в данном выражении выполнили всё в соответствии с формулой: возвели в квадрат 4 и число с. Промежуточные записи (выделены жирным шрифтом) можно не делать, а выполнять их устно.

Пример №8. Упростим выражение: (5с+а)(5с–а)=25с 2 –а 2 в данном выражении мы видим, что первый множитель сумма, а второй – разность. Для выполнения задания по данной формуле это не имеет значения, так как мы знаем, что от перестановки множителей произведение не изменяется.

Применение формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители

Рассмотрим тождество, которое называют разностью квадратов двух выражений:

a 2 –b 2 =(a–b)(a+b)

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Эту формулу применяют для разложения на множители многочлена, содержащего разность квадратов. Рассмотрим на примерах.

Пример №9. Разложить на множители многочлен 100–с 2 . Из условия видно, что число 100 – это квадрат числа 10, следовательно, 100–с 2 =10 2 –с 2 , значит можно разложить на множители по формуле: 100–с 2 =10 2 –с 2 =(10–с)(10+с). Выделенное жирным шрифтом выражение можно не записывать, а выполнять устно.

Пример №10. Разложить на множители: х 2 у 2 –81=(ху–9)(ху+9). В данном выражении выполнено всё в соответствии с формулой, промежуточные записи не использованы.

Пример №11. Представим в виде произведения: х 4 –36=(х 2 –6)(х 2 +6). В данном выражении мы видим, что степень переменной может быть не только вторая, но и любая четная, чтобы ее можно было представить в виде квадрата переменной.

Пример №12. Представим в виде произведения х 10 с 6 –25=(х 5 с 3 –5)(х 5 с 3 +5). Здесь показаны разные четные степени переменных.

Для разложения на множители суммы и разности кубов существуют определенные правила и формулы.

Сумма и разность кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

a 3 –b 3 =(a–b)(a 2 +ab+b 2 )

Пример №13. Разложим на множители многочлен 8+с 3 . В данном случае мы видим число 8, которое нужно представить в виде куба числа, это будет 2 3 . Значит, 8+с 3 =2 3 +с 3 . Далее распишем по формуле суммы кубов: 8+с 3 =2 3 +с 3 =(2+с)(4–2с+с 2 ).

Пример №14. Запишем в виде произведения разность х 3 –а 12 . В этом выражении есть степень, отличная от третьей, поэтому представим а 12 в виде куба числа (а 4 ) 3 . Получим: х 3 –а 12 =х 3 –(а 4 ) 3 . Разложим на множители по формуле разности кубов: х 3 –а 12 =х 3 –(а 4 ) 3 =(х–а 4 )(х 2 +ха 4 +а 8 ).

Разложение многочлена формулой квадрата суммы и разности

Формулы квадрата суммы и квадрата разности также используют для разложения многочлена на множители. Для этого формулы записываются в обратном порядке, то есть меняются левая и правая части местами:

a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2

a 2 –2ab+b 2 =(a–b) 2

Пример №15. Преобразовать трехчлен 4х 2 +12х+9 в квадрат двучлена. Для этого определим, где здесь числа, которые можно представить в виде квадрата, это будут 4х 2 и 9, так как 4х 2 =(2х) 2 , а 9=3 2 . Соответственно проверим, является ли 12х удвоенным произведением чисел 2х и 3: 22х3=12х. Выполняем запись: 4х 2 +12х+9=(2х) 2 +2•2х•3+3 2 =(2х+3) 2 . Обычно промежуточное действие (выделено жирным) не записывается, квадраты чисел определяются устно.

Пример №16. Разложить на множители многочлен –16с+с 2 + Определяем, где здесь квадраты чисел – это с 2 и 64=8 2 . Слагаемое –16с не может быть квадратом числа, так как оно отрицательное и степень числа с первая, поэтому –16с это удвоенное произведение чисел с и 8. Выполняем разложение на множители: –16с+с 2 +64=(с–8) 2 . Обратим внимание на тот момент, что числа с и 8 можно записывать наоборот в ответе, так как квадраты противоположных чисел равны, то есть –16с+с 2 +64=(8–с) 2

P.S. Все формулы на одной картинке:

Найдите значение выражения: (x + 5) 2 — x (x- 10) при x = — 1/20

В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:

(x + 5) 2 — x (x — 10) = x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x

Затем приведем подобные слагаемые:

x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x = 20 x + 25

Далее подставим x из условия:

20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Python — высокоуровневый язык программирования, который применяется для разработки различных видов приложений. С помощью Python можно написать программу для поиска утроенного произведения двузначных чисел.

Что такое утроенное произведение

Утроенное произведение — это результат умножения трех чисел между собой. Например, утроенное произведение 2, 3 и 4 равно 2 * 3 * 4 = 24.

Алгоритм поиска утроенного произведения двузначных чисел на Python

1. Создайте список двузначных чисел.

numbers = [i for i in range(10, 100)]

1. Создайте переменную, в которой будет храниться максимальное утроенное произведение.

max_product = 0

1. Проходите по списку чисел. Для каждого числа создайте три переменные, в которых будут храниться цифры числа.

for n in numbers:
    a = n // 10
    b = n % 10
    c = n

1. Умножьте три переменные между собой и сохраните результат в переменную product.

product = a * b * c

1. Если product больше max_product, обновите значение max_product.

if product > max_product:
    max_product = product

1. Напечатайте значение max_product.

print(max_product)

Полный код программы

numbers = [i for i in range(10, 100)]
max_product = 0

for n in numbers:
    a = n // 10
    b = n % 10
    c = n
    product = a * b * c
    if product > max_product:
        max_product = product

print(max_product)

Заключение

В данной статье был рассмотрен алгоритм написания программы на Python для поиска утроенного произведения двузначных чисел. С помощью данной программы можно найти максимальное утроенное произведение среди всех двузначных чисел.

МНЕ СРОЧНО НАДО Записать в виде числового выражения и найти значение каждого из выражений:
1) удвоенное произведение чисел 1,73 и 2,01;
2) утроенное произведение чисел 1,27 и 3,05;
3) сумма удвоенного произведения чисел 1,73 и 2,01 и числа 4,4;
4) сумма утроенного произведения чисел 1,27 и 3,05 и числа 5,08;
5) произведение разности чисел 4,82 и 5,18 и их суммы;
6) произведение разности чисел 7,17 и 2,83 и их суммы;
7) разность числа 6,4 и произведения разности чисел 4,82 и 5,18 и их суммы;
разность числа 53,4 и произведения разности чисел 7,17 и 2,83 и их суммы