Как найти вектор перпендикулярный заданному

Содержание:

• Формула
• Примеры нахождения перпендикулярного вектора

Формула

Для того чтобы вектор $bar{a}$ был перпендикулярен вектору
$bar{b}$ необходимо, чтобы их
скалярное произведение было равно нулю, то есть

В случае если векторы заданы на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то условие их перпендикулярности примет вид:

Если векторы заданны в пространстве и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то условие перпендикулярности запишется в виде:

Примеры нахождения перпендикулярного вектора

Читать дальше: как найти орт вектора.

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Обозначение: $overline{AB}$ — вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.

Иначе одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).

Обозначение: $overline{0}$.

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$overline{α}overline{β}=|overline{α}||overline{β}|cos⁡∠(overline{α},overline{β})$

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

$overline{α}overline{β}=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$

Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Short answer: the vector $(s_z,(z + s_z) — x^2, -x y, -x,(z + s_z))$ with $s_z := text{sign}(z) , |(x,y,z)|$ is orthogonal to the vector $(x,y,z)$.

Note that we assume that $text{sign}(x)$ is defined as $+1$ for $x ge 0$ and as $-1$ otherwise.

Let $(x,y,z)$ be a vector with norm s and z > -s then the following matrix is an orthogonal basis where every basis vector has norm s:

$left(
begin{array}{ccc}
s — frac{x^2}{z+s} & -frac{x y}{z+s} & x \
-frac{x y}{z+s} & s — frac{y^2}{z+s} & y \
-x & -y & z \
end{array}
right)$

There are two notable cases if z = -s:

1. The vector is of form $(0,0,z)$ with z < 0 and we can simply invert it before applying the formula above. As shown below this can be exploited to get a branch-free implementation.
2. The vector is the zero vector $(0,0,0)$. «perpendicular» doesn’t make much sense in case of the null vector. If you interpret it as «dot product is zero» than you can just return the zero vector.

We can deal with these two problems as follows:

Let’s look at the first vector: $(s — frac{x^2}{z+s}, -frac{x y}{z+s}, -x)$. The singularity at $(0,0,-1)$ can be avoided by inverting the input vector and then inverting the result which gives: $(-s — frac{x^2}{z-s}, -frac{x y}{z-s}, -x)$.

Following this idea we can set $s_z := text{sign}(z) , s$ and compute an orthogonal basis vector for any non-null vector $(x,y,z)$ as:

$(s_z — frac{x^2}{z + s_z}, -frac{x y}{z + s_z}, -x)$

This leads to a nice branch-free C++ implementation for a normalized vector:

Vector3 OrthoNormalVector(double x, double y, double z) {
  const double g = std::copysign(1., z);
  const double h = z + g;
  return Vector3(g - x*x/h, -x*y/h, -x);
}

Check the implementation of copysign on your platform to make sure that copysign(1., 0.) returns 1 and not 0.

For an arbitrary vector, not necessarily normalized, we can use a little trick to get an orthogonal vector: we scale the vector by the factor $z+s_z$ to get:

$(s_z,(z + s_z) — x^2, -x y, -x,(z + s_z))$

This vector is still orthogonal to the original vector $(x,y,z)$ as it was just scaled by a factor. It also has zero norm if and only if the norm of the original vector is 0.

This leads again to a branch-free implementation:

Vector3 OrthogonalVector(double x, double y, double z) {
  const double s = std::sqrt(x*x + y*y + z*z);
  const double g = std::copysign(s, z);  // note s instead of 1
  const double h = z + g;
  return Vector3(g*h - x*x, -x*y, -x*h);
}