Как найти вектор с если известно что

Нахождение длины вектора, примеры и решения

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x — a x ; b y — a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2

А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 : A B → = ( — 3 — 1 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( — 3 — 1 ; 1 — 3 ) = ( — 4 ; 1 — 3 ) ; A B → = ( — 4 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ: A B → = 20 — 2 3 .

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 = ( 5 — 0 ) 2 + ( 2 — 1 ) 2 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 — 2 ) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :

26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 ( λ 2 — 2 ) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 или A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Длина вектора — основные формулы

Время чтения: 16 минут

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

• Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
• Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

• Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
• Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
• Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
  Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.

Чтобы рассчитать длину = (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу

Ответ:

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a )

В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Ответ:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Для прямой системы координат, найти длину вектора ( overrightarrow) , где A(1,√3) B(-3,1)

Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:

Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:

Ответ:

Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,(λ^2))

В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
( left|vecright|=sqrt<left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2>)
(=sqrt <left ( 5-0 right )^2+ left ( 2-1 right )^2 + left ( lambda^2 -2right )^2>= sqrt<26 + left ( lambda^2 -2right )^2>)
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
( sqrt<26+left(lambda^2-2right)^2>=sqrt <30>)
( 26+left(lambda^2-2right)^2=30 )
( left(lambda^2-2right)^2=4 )
( lambda^2-2=2 ) или ( lambda^2-2=-2 ) ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )
Ответ: ( lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0. )

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow) и (overrightarrow) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Даны длины двух векторов ( overrightarrow) и ( overrightarrow) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен ( frac<pi> <3>) . необходимо найти длину ( overrightarrow).

В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
( KM^2=AK^2+AM^2-2cdot AKcdot AMcdotcosfrac<pi><3>)
(=2^2+4^2-2cdot2cdot4cdotcosfrac<pi><3>)
(=4+16-16cosfrac<pi><3>)
(=20-8=12 )
Получается (KM=sqrt <12>)
Ответ: ( left|overrightarrowright|=sqrt <12>)

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vecright|=sqrt<left ( b_z-a_z right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2>) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vecright|=sqrt< s_x^2+s_y^2>) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

Содержание:

• Формула
• Примеры нахождения координат вектора по точкам

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_{1} ; y_{1}right)$ и конца $Bleft(x_{2} ; y_{2}right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть

Чтобы найти координаты вектора $overline{A B}$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}right)$ и $Bleft(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Читать дальше: как найти сумму векторов.

• Как найти сумму векторов
• Как найти скалярное произведение векторов
• Как найти векторное произведение векторов
• Как найти смешанное произведение векторов
• Как найти вектор коллинеарный вектору
• Как найти вектор перпендикулярный вектору
• Как найти орт вектора
• Как найти разность векторов
• Как найти проекцию вектора
• Как найти длину вектора
• Как найти модуль вектора
• Как найти координаты вектора
• Как найти направляющие косинусы вектора
• Как найти угол между векторами
• Как найти косинус угла между векторами

Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам

Примеры для плоских задач

Примеры для пространственных задач

Примеры для n -мерного пространства

Раздел
3. Векторная алгебра в координатной
плоскости

3.1
Основные векторы

Три
взаимно перпендикулярные оси ОХ,
OY
и OZ
образуют прямоугольную систему координат
(раздел 2). Отложив на этих осях в
положительном направлении отрезки ОА,
ОВ
и ОС,
равные единице масштаба, получим три
вектора:
,

и
.
Они называются основными
векторами (ортами)
и обозначаются соответственно
,

и
.

3.2
Координаты вектора на плоскости

Если
,

– орты координатных осей прямоугольной
системы координат Оху,
то любой вектор

единственным образом можно представить
в виде их суммы (линейной комбинации) с
коэффициентами a_х
и a_у:
.
Коэффициенты а_х,
а_у
линейной комбинации называют координатами
вектора

в базисе
,
.
Координаты а_х,
а_у
вектора

– это его проекции на соответствующие
координатные оси. Вектор

с координатами а_х,
a_y
записывают в виде
.
Длина вектора

определяется по формуле
.

Вектор

образует с координатными осями Ох
и Оу
углы α и β соответственно. Направление
вектора

определяется с помощью направляющих
косинусов: cosα,
cosβ
для которых справедливы равенства
,
.

Пусть
даны два вектора

и
.
Тогда:

1. векторы
   
   и
   
   равны тогда и только тогда, когда равны
   их соответствующие координаты, т. е.
   .

2. векторы
   
   и
   
   коллинеарны тогда и только тогда, когда
   их соответствующие координаты
   пропорциональны, т. е.:
   .

3. При
   сложении векторов их одноименные
   координаты складываются, при вычитании
   – вычитаются, при умножении вектора
   на число – умножаются на это число:
   ;
   .

Вектор
,
соединяющий начало координат с
произвольной точкой

называется радиус-вектором точки М.
Координаты точки – это координаты ее
радиус-вектора

или
.
Если вектор

задан точками

и
,
то его координаты а_х,
а_y
вычисляются по формулам
,
:
.

Если
векторы

и

заданы своими координатами

и

то их скалярное произведение находится
по формуле:
.

3.3
Координаты вектора в пространстве

Если
,

и

– орты координатных осей прямоугольной
системы координат Oху,
то любой вектор

единственным образом можно представить
в виде их суммы (линейной комбинации) с
коэффициентами a_х
и a_у:
.
Коэффициенты а_х,
а_у,
а_z
линейной комбинации называют координатами
вектора

в базисе
,

и
.
Координаты а_х,
а_у,
а_z
вектора

– это его проекции на соответствующие
координатные оси. Вектор

с координатами а_х,
а_у,
а_z
записывают в виде
.
Длина вектора

определяется по формуле:

(1.1).

Вектор

образует с координатными осями О_х,
О_у
и O_z
углы α, β и γ соответственно. Направление
вектора

определяется с помощью направляющих
косинусов: cosα,
cosβ
и cosγ
для которых справедливы равенства:
,
,

(1.2).

Пусть
даны два вектора
,
.
Тогда:

1. векторы
   
   и
   
   равны тогда и только тогда, когда равны
   их соответствующие координаты, т. е.
   

2. векторы
   
   и
   
   коллинеарны тогда и только тогда, когда
   их соответствующие координаты
   пропорциональны, т. е.
   
   (1.3)

При
сложении векторов их одноименные
координаты складываются, при вычитании
– вычитаются, при умножении вектора на
число – умножаются на это число:

Вектор
,
соединяющий начало координат с
произвольной точкой

называется радиус-вектором
точки М.
Координаты точки – это координаты ее
радиус-вектора

или
.

Если
вектор

задан точками

и
,
то его координаты а_х,
а_y,
a_z
вычисляются по формулам:
,
,
:

(1.4).

Пример
1:
Даны три последовательные вершины
параллелограмма:
,
,
.
Найти его четвертую вершину D.

Решение:

Обозначим
координаты вершины D
через х,
y,
z,
т. е.
.
Так как ABCD
– параллелограмм, то имеем:
.
Находим координаты векторов

и
:
,т.е.
;
.
Из равенства векторов

и

следует, что
,
,
.
Отсюда находим:
x,
,
.
Итак,
.

Пример
2: Найти
координаты вектора
,
если известно, что он направлен в
противоположную сторону к вектору
,
и его модуль равен 5.

Решение:

Можно
записать, что
.
Так как вектор

направлен в противоположную сторону к
вектору
,
то
.
Найдем орт
.
Из равенства

находим
.
Но
.
Значит,
.

Следовательно,

и
,
т.е.
.

Пример
3: Вектор

составляет с осями Ох
и Оу
углы α
= 60° и β
= 120°. Найти его координаты, если
.

Решение:

Пусть
х,
у,
z
– координаты вектора
,
то есть
.
Координаты вектора

найдем из соотношений
,
,
.
Предварительно найдем
.
Так как, то
,
то есть
.
Отсюда находим, что

или
.
Условию задачи удовлетворяют два вектора

и
:

с направляющими косинусами
,
,

и

с направляющими косинусами
,
,
.
Имеем:
,
,
,
,
,
.
Отсюда находим:
,
,

и
,
,
.
То есть

и
.

Пример
4: При
каких значениях α
и β
векторы

и

коллинеарны?

Решение:

Так
как
,
то

(см. условие (1.3)). Отсюда находим, что
,
.

Пример
5: Разложить
вектор

по векторам

и
.

Решение:

Требуется
представить вектор

в виде
,
где

и

– числа. Найдем их, используя определение
равенства векторов. Имеем:
,
,

и равенство
,
то есть
.
Отсюда следует, что
,
то есть
,
,
следовательно,
.

3.4
Векторное произведение векторов

Если
векторы

и

заданы своими координатами
,
,
то
,
или

(3.2).

Для
вычисления площади параллелограмма,
построенного на векторах

и

применяется формула

(3.3).

Векторное
произведение может быть выражено
формулой

(3.4), где

– орт направления
.

Пример
6: Найти
площадь треугольника с вершинами
,
,
.

Решение:

Площадь
S
треугольника АВС
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах

и
,
то есть
.
Имеем:
,
.
Тогда по формуле (3.2)
,
то есть
.
Следовательно,
.

3.5
Смешанное произведение векторов

Смешанным
произведением
трех векторов
,

и

называется число, равное скалярному
произведению вектора

на вектор
.

Обозначение:
.

Таким
образом:
.

Геометрически
смешанное произведение интерпретируется
как число, равное объему параллелепипеда,
построенного на векторах
,

и

как на ребрах. Смешанное произведение
векторов
,

и

положительно, если данные векторы
образуют правую тройку, и отрицательно
– если левую.

Свойства
смешанного произведения:

1. ,
   т. е. смешанное произведение не меняется
   при циклической перестановке векторов;

2. ,
   т. е. смешанное произведение не меняется
   при перестановке знаков векторного и
   скалярного умножения;

3. 
   т.е.
   смешанное произведение меняет знак на
   противоположный при перемене мест
   любых двух векторов-сомножителей;

4. ,
   если
   ,
   
   и
   
   компланарны (в частности, если любые
   два из перемножаемых вектора коллинеарны).

Если
векторы
,

и

заданы своими координатами
,
,

то

(4.1).

Если
,
то
,


– правая тройка;

– левая.

Объем
V₁
параллелепипеда, построенного на
векторах
,

и
,
и объем V₂,
построенной на них треугольной пирамиды,
находятся по формулам

, (4.2)

. (4.3)

Пример
7: Доказать,
что четыре точки
,
,
,

лежат в одной плоскости.

Решение:

Достаточно
показать, что три вектора
,
,
,
имеющие начало в одной из данных точек,
лежат в одной плоскости (то есть
компланарны). Находим координаты векторов
,
,
:

;

;

.

Проверяем
условие компланарности векторов
(свойство 4 смешанного произведения
векторов):

.

Следовательно,
векторы
,

и

компланарны, а значит, точки
,
,
,

лежат в одной плоскости.

Вопросы
для контроля

1. Дайте
   понятие основных векторов (ортов).

2. Линейная
   комбинация вектора на плоскости и в
   пространстве. Координаты вектора на
   плоскости и в пространстве.

3. Формулы
   для нахождения длины вектора, заданного
   своими координатами на плоскости и в
   пространстве.

4. Условия
   равенства и коллинеарности векторов
   на плоскости и в пространстве.

5. Операции
   над векторами, заданными своими
   координатами на плоскости и в пространстве
   (сложение, вычитание, умножение на
   число, скалярное произведение).

6. Направление
   вектора на плоскости и в пространстве.

7. Радиус-вектор
   точки на плоскости и в пространстве.

8. Координаты
   вектора, заданного координатами его
   концов на плоскости и в пространстве.

9. Векторное
   произведение векторов, заданных своими
   координатами. Свойства векторного
   произведения.

10. Смешанное
    произведение векторов. Свойства
    смешанного произведения.

11. Формула
    для нахождения смешанного произведения
    векторов, заданных своими координатами.
    Применение смешанного произведения
    векторов для нахождения объема
    параллелепипеда и треугольной пирамиды.

12. Условие
    компланарности векторов.