Теорема о средней линии трапеции. Доказательство с помощью векторов.
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,279
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,962
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Разработка урока по теме «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Г – 9 класс Урок № 7
Тема: «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
Дидактическая: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов.
Развивающая: развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи; развивать воображение – репродуктивное, творческое, образное; абстрактное мышление, умение обобщать.
Воспитательная: нравственное воздействие, воспитание культуры умственного труда, культуры общения.
Знать, действия производимые с векторами, понятие средней линии трапеции, теорему о средней линии трапеции.
Уметь вычислять среднюю линию трапеции, решать задачи с помощью векторов.
Сообщение темы и целей урока.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.
Повторение изученного материала.
1. Ответить на вопросы на с. 213–214.
2. Проверка усвоения учащимися материала.
1. Устно ответить на вопросы:
1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы 
и 
и противоположно направленные векторы 
и .
2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
3) Могут ли векторы и 
быть неколлинеарными?
4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:
Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM : MD = BN : NC = 3 : 4.
Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.
Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем 
. Из условия следует, что 
, поэтому 
.
Таким образом, векторы 
и 
коллинеарные, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.
Изучение нового материала.
1. Определение трапеции. Виды трапеций.
2. Определение средней линии трапеции.
3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции.
Доказательство оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:
Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).
Доказать: MN || AD, MN = 
.
1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 
.
2) Так как 
, то 
и, значит, MN || AD.
3) Так как , то 
= AD + BC, поэтому MN = 
(AD + BC).
Формирование умений и навыков.
Работа по учебнику.
1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.
2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.
3. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что 
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем 
поэтому 
.
Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.
4. 1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.
Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) = 20 (см); средняя линия MN = 
= 10 (см).
2. Решить задачу № 795.
3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.
Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.
Тогда KD = AD – AK.
Но AK = 
, поэтому KD = AD – 
, то есть отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.
5. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ = 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство 
По условию AC:CB=2 : 3,поэтому 
Но 
Следовательно, 
откуда получается
Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.
6. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях.
Так как точка А1 – середина стороны ВС, то 
.
Далее 
7. При наличии времени решить задачу 4.
Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 
. Аналогично, 
.
Из этих равенств следует, что 
Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = 
AE.
Подвести итоги урока, выставить отметки обучающимся за урок.
В результате изучения параграфа обучающиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 782–787; 793–799.
Домашнее задание: изучить материал п. 87, 88; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.
Решение задачи трапеция вектор
Применение векторов к решению задач
Данная разработка — подробный разбор нескольких обучающих задач на применение векторов к задачам на доказательство, содержит доказательство теоремы о средней линии трапеции. Презентация может быть использована на уроках геометрии в 8 классе, либо в 9 классе в зависимости от календарно-тематического планирования (учебник Геометрия 7-9, автор Л.С.Атанасян)
Просмотр содержимого документа
«Применение векторов к решению задач»
Применение векторов к решению задач
К учебнику Геометрия 7-9,
автор Л.С.Атанасян и др.
Автор: Софронова Наталия Андреевна,
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Точка С – середина отрезка АВ, О – произвольная точка плоскости
Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
В треугольнике АВС В 1 — середина стороны АС, точка А 1 лежит на стороне ВС так, что ВА 1 : А 1 С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ 1 лежит на прямой АА 1.
Доказать: О є АА 1
О – середина ВВ 1
Задача 3 (продолжение).
О – середина ВВ 1
Доказать: О є АА 1
лежат на одной прямой,
В трапеции АВСD ВС : АD = 1 : 2, Е — середина боковой стороны СD, точка М лежит на стороне АЕ так, что АМ : МЕ= = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали ВD.
Доказать: М є BD
В трапеции АВСD основания АD и ВС относятся как 3 : 1, Е – середина стороны АВ.
Задача 5 (продолжение).
В параллелограмме АВСD точка Р – середина отрезка СD, М – середина стороны ВС, отрезки ВD и АМ пересекаются в точке О.
Задача 6 (продолжение).
Задача 7 (№ 788, Геометрия 7-9, Л.С.Атанасян)
Дан произвольный треугольник АВС, Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС.
Если треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС существует, то должно выполняться равенство:
Вывод: Если мы построим сумму векторов АА 1 , ВВ 1 , СС 1 по правилу многоугольника, то получим треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС.
Задача 8 (№ 789, Геометрия 7-9, Л.С.Атанасян)
На сторонах треугольника АВС построены параллелограммы АВВ 1 А 2 , ВСС 1 В 2 , АСС 2 А 1 . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А 1 А 2 , В 1 В 2 , С 1 С 2 .
Вывод: Если мы построим сумму векторов А 1 А 2 , В 1 В 2 , С 1 С 2 по правилу многоугольника, то получим треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А 1 А 2 , В 1 В 2 , С 1 С 2 .
Средняя линия трапеции
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Разработка урока по теме «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Г – 9 класс Урок № 7
Тема: «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
Дидактическая: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов.
Развивающая: развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи; развивать воображение – репродуктивное, творческое, образное; абстрактное мышление, умение обобщать.
Воспитательная: нравственное воздействие, воспитание культуры умственного труда, культуры общения.
Знать, действия производимые с векторами, понятие средней линии трапеции, теорему о средней линии трапеции.
Уметь вычислять среднюю линию трапеции, решать задачи с помощью векторов.
Сообщение темы и целей урока.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.
Повторение изученного материала.
1. Ответить на вопросы на с. 213–214.
2. Проверка усвоения учащимися материала.
1. Устно ответить на вопросы:
1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и .
2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
3) Могут ли векторы и быть неколлинеарными?
4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:
Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM : MD = BN : NC = 3 : 4.
Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.
Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем . Из условия следует, что , поэтому .
Таким образом, векторы и коллинеарные, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.
Изучение нового материала.
1. Определение трапеции. Виды трапеций.
2. Определение средней линии трапеции.
3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции.
Доказательство оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:
Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).
Доказать: MN || AD, MN = .
1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 .
2) Так как , то и, значит, MN || AD.
3) Так как , то = AD + BC, поэтому MN = (AD + BC).
Формирование умений и навыков.
Работа по учебнику.
1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.
2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.
3. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем поэтому .
Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.
4. 1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.
Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) = 20 (см); средняя линия MN = = 10 (см).
2. Решить задачу № 795.
3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.
Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.
Тогда KD = AD – AK.
Но AK = , поэтому KD = AD – , то есть отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.
5. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ = 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство
По условию AC:CB=2 : 3,поэтому Но Следовательно, откуда получается
Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.
6. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях.
Так как точка А1 – середина стороны ВС, то .
Далее
7. При наличии времени решить задачу 4.
Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 . Аналогично, .
Из этих равенств следует, что Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.
Подвести итоги урока, выставить отметки обучающимся за урок.
В результате изучения параграфа обучающиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 782–787; 793–799.
Домашнее задание: изучить материал п. 87, 88; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.
Тема: «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции»
Тема: «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
Дидактическая: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов. Развивающая: развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи; развивать воображение – репродуктивное, творческое, образное; абстрактное мышление, умение обобщать. Воспитательная: нравственное воздействие, воспитание культуры умственного труда, культуры общения.
Знать, действия производимые с векторами, понятие средней линии трапеции, теорему о средней линии трапеции.
Уметь вычислять среднюю линию трапеции, решать задачи с помощью векторов.
Сообщение темы и целей урока.
Актуализация знаний и умений обучающихся. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий. Повторение изученного материала.
1. Ответить на вопросы на с. 213–214.
2. Проверка усвоения учащимися материала.
1. Устно ответить на вопросы:
1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы 
и 
и противоположно направленные векторы 
и.
2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
3) Могут ли векторы 
и 
быть неколлинеарными?
4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:
Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM : MD = BN : NC = 3 : 4.
Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.
Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем 
. Из условия следует, что 
, поэтому 
.
Таким образом, векторы 
и 
коллинеарные, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.
Изучение нового материала.
1. Определение трапеции. Виды трапеций.
2. Определение средней линии трапеции.
3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции.
Доказательство оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:
Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).
Доказать: MN || AD, MN = 
.
1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 
.
2) Так как 
, то 
и, значит, MN || AD.
3) Так как 
, то 
= AD + BC, поэтому MN = 
(AD + BC).
Формирование умений и навыков.
Работа по учебнику.
1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.
2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.
3. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что 
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем 
поэтому 
.
Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.
4. 1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 000.
Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) = 20 (см); средняя линия MN = 
= 10 (см).
2. Решить задачу № 000.
3. Решить задачу № 000 на доске и в тетрадях.
Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.
Тогда KD = AD – AK.
Но AK = 
, поэтому KD = AD –
, то есть отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.
5. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ = 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство 
По условию AC:CB=2 : 3,поэтому 
Но 
Следовательно, 
откуда получается 
Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.
6. Решить задачу № 000 на доске и в тетрадях.
Так как точка А1 – середина стороны ВС, то 
.
Далее 
7. При наличии времени решить задачу 4.
Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 
. Аналогично, 
.
Из этих равенств следует, что 
Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = 
AE.
Подвести итоги урока, выставить отметки обучающимся за урок.
В результате изучения параграфа обучающиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 000–787; 793–799.
http://infourok.ru/razrabotka-uroka-po-teme-primenenie-vektorov-k-resheniyu-zadach-srednyaya-liniya-trapecii-1442001.html
http://b4.cooksy.ru/articles/reshenie-zadachi-trapetsiya-vektor
Операции с векторами
составляют основу векторной алгебры —
раздела математики, изучающего векторы
и действия с векторами. Векторы могут
использоваться для решения геометрических
задач и доказательства теорем.
Далее, вы увидите,
как применяется векторный метод на
примере доказательства уже известных
вам теорем о средней линии треугольника
и трапеции.
Р
ешение
задач и доказательство теорем состоит
из трех этапов подобно тому, как это
происходит при решении текстовых задач.
Сначала условие задачи надо записать
в векторном виде, введя подходящим
образом векторы (аналогично составляются
алгебраические уравнения). Потом с
помощью известных вам действий над
векторами исходное условии задачи,
записанное в векторной форме, нужно
преобразовать, т.е. привести к такому
виду, который дает решение задачи в
векторном виде ( аналогично решению
алгебраического уравнения). Наконец,
на последнем этапе на основании полученных
векторных соотношений ответ формулируется
уже в исходных терминах ( аналогично
дается ответ на текстовую задачу, исходя
из решений алгебраического уравнения).
6. Средняя линия треугольника.
Т
еорема.
Средняя
линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна ее половине.
Пусть
в
АВС: D
АВ,
Е АС,
причем АD
= DB,
BE
=EC.
Докажем,
что DE
ВС
и 2 DE
= ВС.
Запишем
условия задачи в векторной форме:
=
—
=
—
=
(
—
) =
Отработка навыков
с помощью тренажера.
Укажи векторы, которые являются коллинеарными.
Введите
недостающее число в формуле
7. Свойство средней линии трапеции.
Теорема:
Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
Доказательство:
Пусть
в трапеции АВСD,
EF
— средняя линия.
Докажем,
что EF
АD,
EFВС
и EF=
Запишем
условие задачи в векторной форме:
,
= —
,
= —
Т.к. по правилу
многоугольника
=
+
+
и
=
+
+
.
Сложим эти равенства и сгруппируем
слагаемые следующим образом:
2
=(
+
)+(
+
)+(
+
).
Т.к. при сложении противоположных
векторов в сумме получается нулевой
вектор, то 2
=0+
+
+0
, отсюда EF=
.
Теорема доказана.
Выводы по теме:
1.
Произведением вектора
0
на число k0
называется такой вектор k
,
для которого выполняются два условия:
1) модуль
вектора k
равен произведению модуля числа k
и модуля вектора
,
т.е.
k
=
k
2) вектор
k
сонаправлен с вектором
,
если k
>0, и направлен противоположно вектору
,
если k<0.
2.
Для любого вектора
и любых чисел k
и m
выполняется первый распределительный
закон: (k+m)
= k
+
m
3.
Для векторов
и
и любого числа k
выполняется второй распределительный
закон:
k(
+
)
= k
+
k
.
4.
Для вектора
и любых чисел k
и m
выполняется сочетательный закон k(m
)
= (km)
5.
Теорема:
Средняя линия треугольника параллельна
одной из сторон и равна половине этой
стороны.
6.
Теорема:
Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Выражение вектора через два неколлинеарных
Напомним, что мы уже изучили некоторые факты о векторах, и теперь умеем определять равные векторы, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно направленные. Также мы умеем складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма, складывать несколько векторов по правилу многоугольника, умеем умножать вектор на число. Решение задач с векторами использует все эти знания. Перейдем к решению некоторых примеров.
Пример 1 – задача 769: отрезок ВВ1 – медиана треугольника 
. Выразите через векторы 
и 
векторы 
, 
, 
и 
.
Отметим, что векторы 
и 
неколлинеарны, то есть прямые АВ и АС не параллельны.
В дальнейшем мы узнаем, что любой вектор может быть выражен через два неколлинеарных вектора.
Выразим первый вектор (см. Рис. 1): 
, т. к. по условию ВВ1 – медиана треугольника, значит, векторы 
и имеют равные модули, кроме того, очевидно, что они коллинеарны и при этом сонаправлены, значит, данные вектора равны.
Рис. 1
Для выражения следующего вектора воспользуемся правилом параллелограмма для вычитания. Мы помним, что одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов, а вторая – их разности. Диагональ, соответствующая разности векторов, следует от конца к началу, таким образом, если построить на заданных векторах и параллелограмм, то его диагональ будет соответствовать разности 
.
Вектор является противоположным к заданному вектору 
, отсюда 
.
Вектор аналогично вектору можно представить в виде разности векторов 
. При выражении следует учесть тот факт, что точка В1 является серединой отрезка АС, значит, векторы и равны, значит, вектор 
можно представить как удвоенное произведение вектора .
Перед решением задачи мы сказали, что через заданные два неколлинеарных вектора можно выразить любой вектор. Выразим, например, медиану АА1 (см. Рис. 2).
Получили систему уравнений, выполним их сложение:
Векторы 
в сумме составляют нулевой вектор, так как они коллинеарны и противонаправлены, а модули их равны, таким образом получаем:
Рис. 2
Поделим обе части уравнения на два, получим: 
Из данной задачи можно сделать вывод, что если заданы два неколлинеарных вектора, то любой третий вектор на плоскости можно однозначно выразить через эти два вектора. Для этого необходимо применить правило сложения векторов, либо методом треугольника, либо параллелограмма, и правило умножения вектора на число.
Свойство средней линии треугольника
Пример 2: доказать с помощью векторов свойство средней линии треугольника (см. Рис. 3).
Задан произвольный треугольник , точки M и N – середины сторон АВ и АС соответственно, MN – средняя линия треугольника. Свойство средней линии: средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине.
Доказательство данного свойства аналогично для треугольника и трапеции.
Рис. 3
Выразим вектор 
двумя способами:
Получили систему уравнений:
Выполним сложение уравнений системы:
Сумма векторов 
– это нулевой вектор, длины этих векторов равны по условию, кроме того, они очевидно коллинеарны и противонаправлены. Аналогично суммой векторов 
будет нулевой вектор. Получаем:
Поделим обе части уравнения на два:
Таким образом, мы получили, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Кроме того, из равенства вектора половине вектора следует, что эти векторы коллинеарны и сонаправлены, а значит, прямые MN и ВС параллельны.
Таким образом, мы доказали свойство средней линии трапеции при помощи векторов.
Свойство точки пересечения медиан треугольника
Пример 3: задан произвольный треугольник (см. Рис. 4). В нем проведены медианы АА1, ВВ1, СС1. Точка пересечения медиан – М. Вектор 
соответствует силе 
, 
– силе 
, 
– силе 
. Доказать, что 
.
Напомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Иногда точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника.
Выполним сложение векторов 
, воспользуемся для этого правилом параллелограмма (см. Рис. 5).
Рис. 4
Получаем: 
С другой стороны, 
, так как BMCD – параллелограмм, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, А1 – точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, отрезки МА1 и А1D равны, отсюда, по свойству точки пересечения медиан, длины векторов и 
равны, но данные векторы противонаправлены, а значит, их сумма
Рис. 5
равна нулевому вектору. Мы помним, что вектор , а вектор 
, таким образом, 
, что и требовалось доказать.
Неравенство треугольника
Пример 4 – задача 773: докажите, что для любых векторов и справедливо следующее неравенство: 
Решение: представим разность векторов в виде суммы: 
. Также обратим внимание на тот факт, что длины противонаправленных векторов и 
равны: 
. Таким образом, можно переписать исходное выражение:
Для удобства введем новую переменную: 
и перепишем выражение:
. А данное неравенство – неравенство треугольника – было доказано в предыдущем уроке. Отметим, что равенство наблюдается в том случае, когда треугольник вырождается в отрезок.
Итак, мы рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Terver.ru (Источник).
- Cleverstudents.ru (Источник).
Домашнее задание
- Задание 1: заданы два неколлинеарных вектора
и . Постройте векторы: 
; 
; 
. - Задание 2: заданы два коллинеарных вектора и . Постройте векторы:
; ; 
. - Задание 3: докажите, что для любого вектора справедливы равенства:
; 
.
; 
; 
.
; 
; 
.
справедливы равенства: 
; 
.Содержание:
- § 1 Теорема о средней линии трапеции
- § 2 Решение задач на применение теоремы о средней линии трапеции
§ 1 Теорема о средней линии трапеции
Векторы и их свойства можно применять не только для решения геометрических задач и задач на построение, но и использовать их при доказательстве теорем.
Рассмотрим доказательство теоремы о средней линии трапеции.
Что такое средняя линия трапеции?
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Докажем теорему:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство:
Что и требовалось доказать.
§ 2 Решение задач на применение теоремы о средней линии трапеции
Рассмотрим практическое применение доказанной теоремы о средней линии трапеции при решении следующей задачи.
Задача:
Боковые стороны трапеции равны 4 и 6 сантиметров, периметр равен 24 сантиметра. Найдите среднюю линию трапеции.
Дано:
Пусть нам дана трапеция ABCD, MN – её средняя линия.
Сторона АВ равна 4 см, а сторона CD равна 6 сантиметров.
Периметр трапеции P = 24 см.
Найти:
требуется найти длину MN.
Решение:
Периметр трапеции равен сумме длин её сторон AB, BC, CD и AD и равен 24 сантиметра.
P = AB+BC+CD+АD=24 см.
Выразим из представленного равенства сумму оснований.
Она будет равна AD+BC = 24 – (АВ+CD) = 24 – (4 + 6) = 24 – 10 = 14 см.
Поскольку средняя линия трапеции равна полусумме оснований, получаем, что
Таким образом, средняя линия трапеции равна 7 сантиметрам.
Подведем итоги урока:
1.Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
2.Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Список использованной литературы:
- Атанасян Л.С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. –383 с.
- Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие/ И.Б. Барский, Г.Н. Тимофеев. – Йошкар-Ола: изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. – 636с.
Применение векторов к решению задач
К учебнику Геометрия 7-9,
автор Л.С.Атанасян и др.
Автор: Софронова Наталия Андреевна,
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Задача 1.
Точка С – середина отрезка АВ, О – произвольная точка плоскости
B
C
A
O
Задача 2.
Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.
O
С
В
М
А
N
D
Задача 3.
В треугольнике АВС В 1 — середина стороны АС, точка А 1 лежит на стороне ВС так, что ВА 1 : А 1 С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ 1 лежит на прямой АА 1.
Доказать: О є АА 1
О – середина ВВ 1
В
А 1
О
А
С
В 1
Задача 3 (продолжение).
О – середина ВВ 1
Доказать: О є АА 1
В
А 1
О
лежат на одной прямой,
О є АА 1
А
С
В 1
Задача 4.
В трапеции АВСD ВС : АD = 1 : 2, Е — середина боковой стороны СD, точка М лежит на стороне АЕ так, что АМ : МЕ= = 4 : 1. Используя векторы, докажите, что точка М лежит на диагонали ВD.
В
С
М
Е
А
D
Доказать: М є BD
Вывод: …
Задача 5.
В трапеции АВСD основания АD и ВС относятся как 3 : 1, Е – середина стороны АВ.
B
C
E
A
D
Задача 5 (продолжение).
Задача 6.
В параллелограмме АВСD точка Р – середина отрезка СD, М – середина стороны ВС, отрезки ВD и АМ пересекаются в точке О.
M
C
B
P
O
D
A
Задача 6 (продолжение).
Задача 7 (№ 788, Геометрия 7-9, Л.С.Атанасян)
Дан произвольный треугольник АВС, Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС.
Р
В
М
С 1
А 1
Если треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС существует, то должно выполняться равенство:
К
В 1
С
А
В
Задача 7 (№ 788)
С 1
А 1
В 1
С
А
Вывод: Если мы построим сумму векторов АА 1 , ВВ 1 , СС 1 по правилу многоугольника, то получим треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС.
Задача 8 (№ 789, Геометрия 7-9, Л.С.Атанасян)
В 1
На сторонах треугольника АВС построены параллелограммы АВВ 1 А 2 , ВСС 1 В 2 , АСС 2 А 1 . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А 1 А 2 , В 1 В 2 , С 1 С 2 .
В 2
В
А 2
С 1
С
А
С 2
А 1
Вывод: Если мы построим сумму векторов А 1 А 2 , В 1 В 2 , С 1 С 2 по правилу многоугольника, то получим треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А 1 А 2 , В 1 В 2 , С 1 С 2 .
Средняя линия трапеции
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
В
С
N
M
А
D
MN – средняя линия
Теорема.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
С
В
M
N
А
D
В
С
M
N
А
D
.