Представление о том, что такое прямоугольный параллелепипед, все имеют еще с детства, когда играли в кубики, держали в руках такие предметы, как коробка из-под сока или из- под конфет, видели аквариум такой формы. В жизни мы постоянно сталкиваемся с предметами, которые представляют собой прямоугольный параллелепипед (рисунок 1).
Рисунок 1
Определение
Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью. Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.
Так, на рисунке 2 показан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH. Он имеет 6 граней, основаниями являются грани ABCD и EFGH.
У параллелепипеда есть вершины, их 8. Они обозначены заглавными латинскими буквами. Также у прямоугольного параллелепипеда есть 12 ребер – это стороны граней: AB, BC, CD, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG, HD.
Рисунок 2
Противоположные (не имеющие общих вершин) грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Длина, ширина, высота
Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину (а), ширину (b) и высоту (c) – рисунок 3. Зная эти измерения, можно найти не только площадь каждой грани, но и площадь всей поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Рисунок 3
Так как каждая грань параллелепипеда – это прямоугольник, то для нахождения площади любой грани надо умножить длину и ширину этих граней, т.е S=ab, S=bc, S=ac.
Для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда надо сложить площади всех граней, то есть S поверхности = ab+bc+ac+ab+bc+ac. Так как противоположные грани равны, то их площади тоже равны, значит S поверхности = 2ab+2bc+2ac. Это действие можно записать короче, вынося 2 за скобки, как общий множитель, то есть S поверхности = 2(ab+bc+ac). Таким образом, нахождение площади поверхности становится более быстрым.
Куб
Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов (рисунок 4).
Рисунок 4
Для нахождения площади одной грани достаточно найти площадь квадрата по формуле S=a2. Тогда для нахождения площади поверхности куба надо эту площадь умножить на 6, так как шесть равных граней у куба: S=6a2
Объем прямоугольного параллелепипеда
Рисунок 5
С понятием объема люди встречаются в повседневной жизни ежедневно. Мы наливаем воду в чайник, в ванну, другие жидкости в разные ёмкости – это всё измеряется в определенных единицах и является объемом. Наши шкафы, холодильники и другие подобные предметы – имеют объемы, так как мы их заполняем определенными вещами. На рисунке 5 показаны предметы, которые мы используем и которые имеют определенный объем.
Рассмотрим объемные геометрические фигуры. Так, например, прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим рисунок 6, где показано, что параллелепипед состоит из нескольких одинаковых кубиков. Значит, объем данного параллелепипеда равен сумме объемов его кубиков.
Рисунок 6
За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.
Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром и записывают 1 мм3; с ребром 1 см – кубическим сантиметром (см3) и так далее. Измерить объем фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается. Если объем маленького кубика на рисунке 3 принять за единицу, то объем нашего прямоугольного параллелепипеда будет равен 15 кубическим единицам.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения – длину, ширину и высоту. То есть V=abc (рисунок 4). Зная, что произведение длины и ширины – это есть площадь основания, получим, что V=(ab)h=Sh, где h – высота прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, мы получили еще одну формулу для нахождения объема параллелепипеда.
Рисунок 7
Объем куба
Поскольку у куба все ребра равны (рисунок 7), то его объем вычисляется по формуле:
V=a3
Рисунок 8
Пирамида
Рисунок 9
Прямоугольный параллелепипед является одним из видов многогранников. Также одним из видов многогранника является пирамида, образ которой также известен нам из жизни – из истории и других источников (рисунок 9).
Поверхность пирамиды состоит из боковых граней – треугольников, которые имеют общую вершину, а в её основании могут быть различные многоугольники – треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (рисунок 10).
Рисунок 10
Таким образом, пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания (треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.). Если пирамида треугольная (рисунок 11), то её основанием может служить любая грань.
Рисунок 11
Даниил Романович | Просмотров: 1k
Прямоугольный параллелепипед. Формулы и свойства прямоугольного параллелепипеда
Определение.
Прямоугольный параллелепипед — это многогранная объемная фигура ограничена шестью прямоугольниками.
Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда.
 |
|
| Рис.1 |
Основные свойства правильного прямоугольного параллелепипеда
Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда параллельны и равны.
Ребра прямоугольного параллелепипеда, которые сходятся в одной вершине взаимно перпендикулярны.
Не параллельные грани прямоугольного параллелепипеда пересекаются под прямым углом.
У прямоугольного параллелепипеда четыре диагонали.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и пересекаются в одной точке.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Формула. Объем прямоугольного параллелепипеда равна произведению длин его сторон:
V = a · b · c
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Определение. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из суммы площадей прямоугольников, ограничивающие его.
Формула. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда через длины его сторон:
S = 2a·b + 2a·c + 2b·c
Диагональ прямоугольного параллелепипеда
Определение. Диагональ прямоугольного параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, лежащие на разных гранях.
Формула. Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда через длины его сторон:
d = √a2 + b2 + c2
Математика
Тема 4: Площади и объемы
Урок 2: Прямоугольный параллелепипед
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
Прямоугольный параллелепипед
Мы часто встречаем предметы, имеющие похожую форму. Они могут быть сделаны из разного материала и окрашены в разные цвета. Например, коробок, шкаф, колонки, кирпич – похожи, но отличаются мелкими деталями: у колонок есть кнопки, у шкафа – двери. Все они напоминают по форме изображенный на рисунке предмет, не имеющий никаких второстепенных деталей. Это тело называется прямоугольный параллелепипед.
Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников, каждый из которых называют гранью прямоугольного параллелепипеда. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.
Стороны прямоугольников, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда, называются ребрами этого прямоугольного параллелепипеда, а вершины граней – вершины параллелепипеда.
У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину, ширину и высоту.
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковы. Поэтому поверхность куба состоит из 6 равных квадратов.
Названия всех ребер параллелепипеда: АВ, ВС, CD, DA, А1В1, В1С1, C1D1, D1A1, АА1, DD1, СС1, ВВ1.
Вершины параллелепипеда: А, В, С, D, А1, В1, С1, D1.
У параллелепипеда 6 граней, каждая грань повторяется 2 раза. Тогда можно записать формулу для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:
где a, b, c – длина, ширина и высота.
У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер, причём длина a=DA=BC= D1A1= В1С1, ширина b=AB=CD=А1В1=C1D1, высота c=АА1=DD1=СС1=ВВ1. Тогда периметр (сумма всех сторон) прямоугольного параллелепипеда будет равен:
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.